I nodi marinari non sono dei veri nodi per i matematici! Gli intrecci infatti possono “scappare” dalle estremità dei fili
Se però colleghiamo i capi delle cordicelle, imprigioniamo l'intreccio
gli oggetti a sinistra sono ora dei veri nodi matematici
Se richiudiamo i capi delle cordicelle a destra otteniamo dei nodi più complessi, formati da due componenti
A volte i nodi possono sembrare più complicati di quello che sono
Se possono essere slacciati senza tagliare la cordicella i matematici li chiamano nodi banali
I nodi ci possono trarre in inganno anche in altri modi:
il nodo a otto e la sua immagine allo specchio sembrano diversi
ma li possiamo trasformare uno nell'altro senza mai tagliare il filo!
Allora li consideriamo uguali
Anche questi due nodi sembrano diversi a prima vista ma in realtà sono annodati alla stessa maniera
cioè possono trasformarsi uno nell'altro senza essere mai tagliati
Per la forma del disegno a destra, questo nodo viene chiamato trifoglio
Il trifoglio è uguale alla sua immagine allo specchio?
La risposta non è per niente immediata!
I due nodi, destro e sinistro, sono diversi ma per dimostrarlo servono tecniche piuttosto sofisticate
Come fare un po' d'ordine nel regno dei nodi per distinguerli uno dall'altro?
Si possono sfruttare le trecce!
Passare da una treccia a un nodo è semplice: basta chiudere le estremità della treccia con dei nuovi fili, dritti
Ma viceversa? C'è un modo per passare da un nodo a una treccia?
Un teorema di Alexander dice come si può fare
Descriviamo il suo algoritmo, anche se ne esistono di molto più efficienti
Fissiamo un asse. Cercheremo di avvolgere il nodo intorno ad esso
Scegliamo un punto di partenza sul nodo e percorriamo la cordicella in senso orario
A un certo punto il nodo può curvare e ci troveremo a camminare in senso antiorario
Coloriamo di rosso tutte le parti del nodo sulle quali ci muoviamo in senso antiorario
Ora muoviamo le parti rosse, una alla volta, al di là dell'asse senza fare mai intersecare la cordicella
Dopo averle spostate, togliamo il colore rosso
Alla fine abbiamo trasformato il nodo di partenza in uno equivalente che gira sempre nello stesso senso intorno all'asse
Prendiamo un semipiano con l'asse come bordo e tagliamo i fili del nodo dove intersecano il semipiano
Apriamo il nodo, tenendo fisse le estremità sui semipiani
e stando attenti a non far mai intersecare i fili tra loro
Ed ecco una treccia!
Se la chiudiamo, avremo un nodo equivalente a quello di partenza
cioè che può essere trasformato nel nodo iniziale, senza bisogno di essere tagliato
Quale vantaggio abbiamo? Il nodo originale sembrava più semplice...
ma ora che l'abbiamo messo in forma di treccia chiusa possiamo sfruttare la struttura dei gruppi treccia!
L'algoritmo di Alexander ci assicura che ogni nodo può essere messo in forma di treccia chiusa
ma due trecce, anche molto diverse, possono essere chiuse e dare lo stesso nodo
Perfino trecce con un numero diverso di fili!
Come capire quando questo accade?
Definiamo una nuova operazione, detta coniugio
Scegliamo una treccia
Prendiamone una seconda e la sua inversa
e componiamole una a destra e una a sinistra della treccia di partenza
La nuova treccia così ottenuta è detta una coniugata della prima
Se proviamo a fare la coniugio di un numero positivo con un qualsiasi altro positivo il risultato non cambia, perché il prodotto è commutativo
Invece due trecce, come queste, anche se sono coniugate, possono essere diverse
E perfino le trecce più semplici, i generatori del gruppo treccia, sono coniugate
Capire se due trecce qualsiasi sono coniugate o no è un problema piuttosto interessante che ha dato vita a parecchie altre questioni
Ma torniamo a noi: quand'è che la chiusura di due trecce dà lo stesso nodo?
Se coniughiamo una treccia con un'altra qualsiasi, il nodo ottenuto non cambia
Infatti possiamo far scivolare le due parti laterali finché arrivano a contatto
Ora le possiamo semplificare, perché sono una l'inversa dell'altra
C'è un altro modo di modificare una treccia senza cambiarne la chiusura:
aggiungiamo un filo e intrecciamolo con il vicino
Per vedere che il nodo ottenuto è lo stesso basta sciogliere il ricciolo che si è formato al centro
Possiamo anche fare viceversa:
togliere l'ultimo filo della treccia se questo si intreccia una sola volta con il penultimo, a destra
Queste operazioni sono chiamate stabilizzazioni
Il teorema di Markov dice che la chiusura di due trecce dà lo stesso nodo se e solo se c'è una sequenza di mosse di coniugio e di stabilizzazione che porta una treccia nell'altra
Abbiamo visto con degli esempi solo la parte facile della dimostrazione: dimostrare che queste due mosse sono sufficienti richiede molto più lavoro!
Qui facciamo solo un esempio: sappiamo che queste due trecce danno lo stesso nodo
Ora vediamo una sequenza di mosse di Markov, e di deformazioni ammesse nel gruppo, che trasforma una treccia nell'altra
Tuttavia, date due trecce, trovare una sequenza di mosse che trasformi una nell'altra può rivelarsi veramente difficile
Ricadiamo allora in un problema già incontrato:
se non troviamo una sequenza, come possiamo sapere se è perché non esiste o perché siamo sfortunati?
Sembra che le trecce non siano di grande aiuto per i nodi...
...e invece, uno dei più importanti risultati sui nodi fu scoperto proprio grazie alle trecce
Infatti nel 1984 Jones, lavorando sulle trecce, ottenne un risultato così importante per i nodi
che gli valse la medaglia Fields, il premio più ambìto dai matematici
Jones trovò un modo per associare alle trecce un'espressione matematica che permettesse di distinguere i nodi ottenuti chiudendole
Se due polinomi di Jones sono diversi, sicuramente i due nodi ottenuti chiudendo le trecce corrispondenti sono diversi
Invece, a trecce che differiscono per mosse di Markov, viene associato lo stesso polinomio
Questo significa che in realtà il polinomio di Jones dipende solo dal nodo e non dalla treccia scelta per ottenerlo!
Ad esempio, il trifoglio e il nodo a otto hanno polinomi di Jones differenti quindi sono sicuramente nodi distinti!
Anche se la dimostrazione di questo risultato passa per le trecce, il polinomio di Jones si può calcolare direttamente sui nodi. Ecco come:
Scegliamo un verso di percorrenza del nodo
Gli incroci che si vedono possono essere di due tipi, a seconda di quale filo passa davanti all'altro
Semplificare un incrocio significa tagliare i due fili e collegarli nell'altro modo possibile, rispettando il verso di percorrenza
Introduciamo una relazione tra questi tre pezzi
Qui il simbolo V indica il polinomio di Jones
Se associamo il polinomio 1 al nodo banale
queste due relazioni sono sufficienti per calcolare il polinomio di Jones di qualsiasi nodo!
Scegliamo un incrocio e usiamo la prima relazione
Semplifichiamo...
Usiamo la stessa relazione sul nodo a destra per scrivere una nuova equazione
Scegliamo un nuovo incrocio e continuiamo così a semplificare in modo da avere delle equazioni con nodi semplici come incognite
Poi, man mano, possiamo risolvere tutte le equazioni partendo dal basso, fino a trovare il polinomio di Jones dei nodi più complessi
in questo caso del trifoglio destro
Si può dimostrare che questa procedura dà lo stesso risultato su nodi uguali, anche se appaiono diversi o se scegliamo incroci diversi dove applicare la relazione
Se calcoliamo il polinomio di Jones sul trifoglio sinistro otteniamo un'espressione simmetrica a quella del trifoglio destro,
ma non uguale!
Ecco una dimostrazione che i due nodi trifoglio sono diversi!