1 00:00:23,000 --> 00:00:30,939 I nodi marinari non sono dei veri nodi per i matematici! Gli intrecci infatti possono “scappare” dalle estremità dei fili 2 00:00:31,369 --> 00:00:35,180 Se però colleghiamo i capi delle cordicelle, imprigioniamo l'intreccio 3 00:00:38,000 --> 00:00:41,360 gli oggetti a sinistra sono ora dei veri nodi matematici 4 00:00:41,460 --> 00:00:48,650 Se richiudiamo i capi delle cordicelle a destra otteniamo dei nodi più complessi, formati da due componenti 5 00:00:50,000 --> 00:00:55,240 A volte i nodi possono sembrare più complicati di quello che sono 6 00:00:55,540 --> 00:01:01,110 Se possono essere slacciati senza tagliare la cordicella i matematici li chiamano nodi banali 7 00:01:06,000 --> 00:01:10,000 I nodi ci possono trarre in inganno anche in altri modi: 8 00:01:10,620 --> 00:01:14,719 il nodo a otto e la sua immagine allo specchio sembrano diversi 9 00:01:17,319 --> 00:01:27,840 ma li possiamo trasformare uno nell'altro senza mai tagliare il filo! 10 00:01:33,030 --> 00:01:40,000 Allora li consideriamo uguali 11 00:01:48,000 --> 00:01:53,560 Anche questi due nodi sembrano diversi a prima vista ma in realtà sono annodati alla stessa maniera 12 00:01:53,860 --> 00:01:59,740 cioè possono trasformarsi uno nell'altro senza essere mai tagliati 13 00:02:03,000 --> 00:02:09,839 Per la forma del disegno a destra, questo nodo viene chiamato trifoglio 14 00:02:11,039 --> 00:02:14,819 Il trifoglio è uguale alla sua immagine allo specchio? 15 00:02:16,290 --> 00:02:20,170 La risposta non è per niente immediata! 16 00:02:20,170 --> 00:02:27,230 I due nodi, destro e sinistro, sono diversi ma per dimostrarlo servono tecniche piuttosto sofisticate 17 00:02:27,940 --> 00:02:37,030 Come fare un po' d'ordine nel regno dei nodi per distinguerli uno dall'altro? 18 00:02:37,539 --> 00:02:46,520 Si possono sfruttare le trecce! 19 00:02:55,580 --> 00:03:11,080 Passare da una treccia a un nodo è semplice: basta chiudere le estremità della treccia con dei nuovi fili, dritti 20 00:03:16,240 --> 00:03:22,490 Ma viceversa? C'è un modo per passare da un nodo a una treccia? 21 00:03:22,490 --> 00:03:27,770 Un teorema di Alexander dice come si può fare 22 00:03:28,700 --> 00:03:35,700 Descriviamo il suo algoritmo, anche se ne esistono di molto più efficienti 23 00:03:37,530 --> 00:03:44,530 Fissiamo un asse. Cercheremo di avvolgere il nodo intorno ad esso 24 00:03:44,740 --> 00:03:48,310 Scegliamo un punto di partenza sul nodo e percorriamo la cordicella in senso orario 25 00:03:54,010 --> 00:03:59,520 A un certo punto il nodo può curvare e ci troveremo a camminare in senso antiorario 26 00:04:00,060 --> 00:04:03,960 Coloriamo di rosso tutte le parti del nodo sulle quali ci muoviamo in senso antiorario 27 00:04:10,700 --> 00:04:20,790 Ora muoviamo le parti rosse, una alla volta, al di là dell'asse senza fare mai intersecare la cordicella 28 00:04:21,290 --> 00:04:24,290 Dopo averle spostate, togliamo il colore rosso 29 00:04:35,029 --> 00:04:48,020 Alla fine abbiamo trasformato il nodo di partenza in uno equivalente che gira sempre nello stesso senso intorno all'asse 30 00:05:00,070 --> 00:05:07,589 Prendiamo un semipiano con l'asse come bordo e tagliamo i fili del nodo dove intersecano il semipiano 31 00:05:08,049 --> 00:05:13,500 Apriamo il nodo, tenendo fisse le estremità sui semipiani 32 00:05:14,000 --> 00:05:19,099 e stando attenti a non far mai intersecare i fili tra loro 33 00:05:19,099 --> 00:05:24,099 Ed ecco una treccia! 34 00:05:26,840 --> 00:05:31,899 Se la chiudiamo, avremo un nodo equivalente a quello di partenza 35 00:05:32,299 --> 00:05:36,079 cioè che può essere trasformato nel nodo iniziale, senza bisogno di essere tagliato 36 00:05:37,079 --> 00:05:44,030 Quale vantaggio abbiamo? Il nodo originale sembrava più semplice... 37 00:05:44,789 --> 00:05:49,750 ma ora che l'abbiamo messo in forma di treccia chiusa possiamo sfruttare la struttura dei gruppi treccia! 38 00:05:50,549 --> 00:05:56,089 L'algoritmo di Alexander ci assicura che ogni nodo può essere messo in forma di treccia chiusa 39 00:05:56,589 --> 00:06:01,510 ma due trecce, anche molto diverse, possono essere chiuse e dare lo stesso nodo 40 00:06:01,680 --> 00:06:07,210 Perfino trecce con un numero diverso di fili! 41 00:06:08,510 --> 00:06:16,530 Come capire quando questo accade? 42 00:06:18,010 --> 00:06:22,250 Definiamo una nuova operazione, detta coniugio 43 00:06:22,550 --> 00:06:25,589 Scegliamo una treccia 44 00:06:25,789 --> 00:06:30,370 Prendiamone una seconda e la sua inversa 45 00:06:30,570 --> 00:06:33,840 e componiamole una a destra e una a sinistra della treccia di partenza 46 00:06:34,540 --> 00:06:37,560 La nuova treccia così ottenuta è detta una coniugata della prima 47 00:06:40,560 --> 00:06:49,550 Se proviamo a fare la coniugio di un numero positivo con un qualsiasi altro positivo il risultato non cambia, perché il prodotto è commutativo 48 00:06:54,050 --> 00:07:01,050 Invece due trecce, come queste, anche se sono coniugate, possono essere diverse 49 00:07:06,390 --> 00:07:18,350 E perfino le trecce più semplici, i generatori del gruppo treccia, sono coniugate 50 00:07:32,060 --> 00:07:38,010 Capire se due trecce qualsiasi sono coniugate o no è un problema piuttosto interessante che ha dato vita a parecchie altre questioni 51 00:07:44,010 --> 00:07:51,010 Ma torniamo a noi: quand'è che la chiusura di due trecce dà lo stesso nodo? 52 00:07:53,040 --> 00:07:57,690 Se coniughiamo una treccia con un'altra qualsiasi, il nodo ottenuto non cambia 53 00:08:00,710 --> 00:08:08,010 Infatti possiamo far scivolare le due parti laterali finché arrivano a contatto 54 00:08:08,510 --> 00:08:12,550 Ora le possiamo semplificare, perché sono una l'inversa dell'altra 55 00:08:18,080 --> 00:08:24,590 C'è un altro modo di modificare una treccia senza cambiarne la chiusura: 56 00:08:24,790 --> 00:08:29,230 aggiungiamo un filo e intrecciamolo con il vicino 57 00:08:35,050 --> 00:08:48,020 Per vedere che il nodo ottenuto è lo stesso basta sciogliere il ricciolo che si è formato al centro 58 00:08:49,520 --> 00:08:53,520 Possiamo anche fare viceversa: 59 00:08:53,520 --> 00:09:00,590 togliere l'ultimo filo della treccia se questo si intreccia una sola volta con il penultimo, a destra 60 00:09:00,790 --> 00:09:07,790 Queste operazioni sono chiamate stabilizzazioni 61 00:09:09,440 --> 00:09:22,079 Il teorema di Markov dice che la chiusura di due trecce dà lo stesso nodo se e solo se c'è una sequenza di mosse di coniugio e di stabilizzazione che porta una treccia nell'altra 62 00:09:30,690 --> 00:09:37,639 Abbiamo visto con degli esempi solo la parte facile della dimostrazione: dimostrare che queste due mosse sono sufficienti richiede molto più lavoro! 63 00:09:37,810 --> 00:09:44,870 Qui facciamo solo un esempio: sappiamo che queste due trecce danno lo stesso nodo 64 00:09:45,020 --> 00:09:58,109 Ora vediamo una sequenza di mosse di Markov, e di deformazioni ammesse nel gruppo, che trasforma una treccia nell'altra 65 00:10:12,500 --> 00:10:19,510 Tuttavia, date due trecce, trovare una sequenza di mosse che trasformi una nell'altra può rivelarsi veramente difficile 66 00:10:20,010 --> 00:10:23,520 Ricadiamo allora in un problema già incontrato: 67 00:10:24,020 --> 00:10:32,380 se non troviamo una sequenza, come possiamo sapere se è perché non esiste o perché siamo sfortunati? 68 00:10:34,640 --> 00:10:40,310 Sembra che le trecce non siano di grande aiuto per i nodi... 69 00:10:40,310 --> 00:10:45,210 ...e invece, uno dei più importanti risultati sui nodi fu scoperto proprio grazie alle trecce 70 00:10:45,210 --> 00:10:52,050 Infatti nel 1984 Jones, lavorando sulle trecce, ottenne un risultato così importante per i nodi 71 00:10:52,050 --> 00:10:59,070 che gli valse la medaglia Fields, il premio più ambìto dai matematici 72 00:11:00,280 --> 00:11:12,230 Jones trovò un modo per associare alle trecce un'espressione matematica che permettesse di distinguere i nodi ottenuti chiudendole 73 00:11:13,520 --> 00:11:19,080 Se due polinomi di Jones sono diversi, sicuramente i due nodi ottenuti chiudendo le trecce corrispondenti sono diversi 74 00:11:20,030 --> 00:11:29,000 Invece, a trecce che differiscono per mosse di Markov, viene associato lo stesso polinomio 75 00:11:30,050 --> 00:11:38,030 Questo significa che in realtà il polinomio di Jones dipende solo dal nodo e non dalla treccia scelta per ottenerlo! 76 00:11:40,040 --> 00:11:45,530 Ad esempio, il trifoglio e il nodo a otto hanno polinomi di Jones differenti quindi sono sicuramente nodi distinti! 77 00:11:48,070 --> 00:11:54,090 Anche se la dimostrazione di questo risultato passa per le trecce, il polinomio di Jones si può calcolare direttamente sui nodi. Ecco come: 78 00:11:54,510 --> 00:11:58,750 Scegliamo un verso di percorrenza del nodo 79 00:11:59,250 --> 00:12:08,550 Gli incroci che si vedono possono essere di due tipi, a seconda di quale filo passa davanti all'altro 80 00:12:09,560 --> 00:12:15,250 Semplificare un incrocio significa tagliare i due fili e collegarli nell'altro modo possibile, rispettando il verso di percorrenza 81 00:12:15,950 --> 00:12:20,980 Introduciamo una relazione tra questi tre pezzi 82 00:12:20,980 --> 00:12:24,470 Qui il simbolo V indica il polinomio di Jones 83 00:12:24,470 --> 00:12:27,880 Se associamo il polinomio 1 al nodo banale 84 00:12:28,080 --> 00:12:33,090 queste due relazioni sono sufficienti per calcolare il polinomio di Jones di qualsiasi nodo! 85 00:12:33,090 --> 00:12:38,190 Scegliamo un incrocio e usiamo la prima relazione 86 00:12:38,190 --> 00:12:40,790 Semplifichiamo... 87 00:12:44,090 --> 00:12:50,080 Usiamo la stessa relazione sul nodo a destra per scrivere una nuova equazione 88 00:12:50,410 --> 00:13:07,400 Scegliamo un nuovo incrocio e continuiamo così a semplificare in modo da avere delle equazioni con nodi semplici come incognite 89 00:13:11,960 --> 00:13:18,550 Poi, man mano, possiamo risolvere tutte le equazioni partendo dal basso, fino a trovare il polinomio di Jones dei nodi più complessi 90 00:13:18,600 --> 00:13:21,670 in questo caso del trifoglio destro 91 00:13:22,570 --> 00:13:37,500 Si può dimostrare che questa procedura dà lo stesso risultato su nodi uguali, anche se appaiono diversi o se scegliamo incroci diversi dove applicare la relazione 92 00:13:53,800 --> 00:14:01,679 Se calcoliamo il polinomio di Jones sul trifoglio sinistro otteniamo un'espressione simmetrica a quella del trifoglio destro, 93 00:14:01,679 --> 00:14:04,240 ma non uguale! 94 00:14:04,240 --> 00:14:08,530 Ecco una dimostrazione che i due nodi trifoglio sono diversi!