Chapitre 3 - Le monde des nœuds
Observons ces nœuds marins...
D'un point de vue mathématique ils ne sont pas vraiment noués!
On peut les défaire simplement en faisant glisser leurs extrémités.
Mais si on les referme sur eux-même,
alors on obtient de vrais nœuds mathématiques.
En fermant les nœuds de droite, on obtient un résultat plus complexe, où plusieurs composantes sont entrelacées.
Ces types de nœuds sont également appelés “entrelacs”.
Un nœud qui semble compliqué peut parfois se simplifier
Si on peut le dénouer complétement, on dit que c'est un nœud trivial.
Un même nœud peut se présenter sous différentes formes. Ce nœud semble différent de son reflet dans le miroir,
mais on peut en fait passer de l'un à l'autre par déformation, sans couper les fils.
On dit alors que ces deux nœuds sont égaux.
À première vue, ces deux nœuds semblent différents,
mais ils sont en fait enchevêtrés de la même manière:
on peut transformer l'un en l'autre sans jamais couper les brins.
Nous avons donc ici un seul et même nœud, que l'on appelle “nœud de trèfle”.
Le nœud de trèfle est-il égal à son image dans le miroir?
Ceci est loin d'être évident! Pour répondre, il faut même utiliser des outils assez élaborés.
La réponse est non: ces deux nœuds sont différents. On les appelle nœuds de trèfle gauche et droit.
En général, comment faire pour savoir si deux dessins représentent ou non le même nœud?
Une façon d'explorer le monde des nœuds est de le relier au monde des tresses.
On peut passer d'une tresse à un nœud par une opération assez simple:
refermer la tresse en attachant les extrêmités de ses brins.
Mais vice versa? Y a t-il une façon de passer d'un nœud à une tresse?
Un théorème d'Alexander nous dit comment le faire.
Nous allons présenter ici son algorithme, même s'il en existe d'autres plus efficaces.
On commence par choisir un axe, autour duquel on aimerait que notre nœud soit enroulé.
À partir d'un point de départ, on se déplace le long du nœud en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre.
Arrivé à un certain point, le fil peut rencontrer un virage et tourner dans le sens inverse.
On colorie en rouge toutes les parties du nœud que l'on parcourt dans le sens anti-horaire.
Maintenant, on tire l'une après l'autre chaque partie rouge de l'autre côté de l'axe.
A la fin de cette opération, on a donc déformé notre nœud de telle sorte...
...qu'il s'enroule toujours dans le même sens autour de l'axe.
Alors il ne reste plus qu'à découper le nœud le long d'un demi-plan qui part de l'axe...
...puis à l'ouvrir, en gardant les extrémités fixes sur les demi-plans...
et en prenant garde de ne pas faire passer un fil à travers l'autre.
Et voici notre tresse!
Quand on la referme, on obtient un nœud égal au nœud de départ, à déformation près.
On peut se demander quel est l'intérêt de ce résultat:
le nœud original, à gauche, semble plus simple...
Mais grâce à ce nouveau point de vue, on peut exploiter la structure de groupe que l'on connait sur les tresses.
Le théorème d'Alexander assure que tout nœud peut être représenté par une tresse fermée...
mais il se peut que deux tresses très différentes produisent le même nœud.
Ces deux tresses peuvent même avoir un nombre de brins différent!
Donc la question est: étant données deux tresses, comment savoir si elles produisent le même nœud, une fois fermées?
On définit une nouvelle opération, appelée conjugaison.
Choisissons une tresse.
Prenons une autre tresse avec son inverse, et composons-les:
une à gauche, et son inverse à droite.
On dit que la nouvelle tresse est une conjuguée de la première.
Dans le monde des nombres, l'opération de conjugaison ne change pas le nombre de départ, parce que le produit est commutatif.
En revanche, deux tresses différentes peuvent être conjuguées.
Voici un exemple plus simple: ces deux générateurs du groupe des tresses sont clairement différents...
mais ils sont conjugués.
En général, déterminer si deux tresses sont conjuguées ou non est un problème difficile.
Mais revenons à notre question: dans quels cas deux tresses donnent-elles le même nœud quand on les referme?
Le fait de conjuguer une tresse avec une autre ne change pas le nœud correspondant.
En effet, on peut faire glisser les parties latérales...
...les rapprocher, et finalement les simplifier...
...puisqu'elles sont inverses l'une de l'autre.
On peut modifier notre tresse d'une autre façon:
ajoutons un brin au-dessus, ainsi qu'un croisement.
Si l'on referme la nouvelle tresse, on obtient le même nœud qu'au départ...
...puisque la boucle au centre peut se simplifier.
Réciproquement, on peut aussi supprimer le dernier brin...
...s'il ne croise qu'une seule fois l'avant-dernier.
Ces opérations sont appelées stabilisations.
Un mathématicien Russe, Markov, remarqua que:
deux tresses fermées donnent le même nœud si et seulement si elles sont reliées par une suite de conjugaisons et de stabilisations.
On appelle ce résultat le “théorème de Markov”, même si la première preuve est probablement due à l'un de ses étudiants.
Ici, nous n'avons pas démontré la partie difficile du théorème, c'est-à-dire, que ces deux types de mouvements suffisent.
Voyons un exemple. Nous avons déjà vu que ces deux tresses donnent le même nœud.
Maintenant, on peut le prouver sans même passer par le monde des nœuds!
Il suffit de trouver une suite de conjugaisons et de stabilisations qui relie les deux tresses.
Toutefois, le théorème de Markov ne permet pas toujours de décider si deux tresses données produisent ou non le même nœud.
C'est là un problème déjà rencontré au Chapitre 2:
même si on ne trouve pas de suite de relations entre les deux tresses, on ne peut pas pour autant en déduire qu'une telle suite n'existe pas!
Etudier les nœuds en passant par les tresses ne semble pas simplifier les choses à première vue...
Mais l'un des résultats les plus importants sur les nœuds a pourtant été découvert grâce aux tresses!
En 1984, Jones, en étudiant les tresses, a obtenu un résultat si important pour les nœuds...
...que cela lui a valu la médaille Fields, le prix le plus important en mathématiques.
Jones a découvert un moyen d'associer une formule à chaque tresse.
Le grand intérêt de cette découverte est qu'elle permet de distinguer les nœuds obtenus en fermant des tresses:
si à deux tresses sont associées deux formules différentes, alors elles donnent deux nœuds différents.
Si deux tresses sont reliées par des mouvements de Markov, alors les deux formules associées sont égales.
Cela signifie que la formule, appelée polynôme de Jones, ne dépend que du nœud, et pas de la tresse utilisée pour l'obtenir!
Par exemple, le nœud de trèfle et le nœud de huit n'ont pas le même polynôme de Jones, donc on peut en déduire qu'ils ne sont pas égaux.
Un peu plus tard, un nouvel algorithme permettant de calculer le polynôme de Jones sans passer par les tresses a été découvert. Voici comment il fonctionne.
Commençons par orienter le nœud, c'est-à-dire choisir un sens de parcours.
À certains endroits, il y a des croisements.
Ces croisements peuvent être de deux types différents, suivant quel brin passe derrière l'autre.
Résoudre un croisement signifie couper les brins et les recoller de l'autre façon, en respectant leur orientation.
On introduit une relation entre ces trois alternatives.
Le symbole V représente le polynôme de Jones.
De plus, on décrète que le polynôme du nœud trivial est égal à 1.
En utilisant ces deux règles, on peut calculer le polynôme de Jones de tous les nœuds.
Choisissons un croisement et appliquons la relation...
Simplifions...
Et appliquons de nouveau la relation au nœud de droite pour écrire une nouvelle équation.
Choisissons de nouveaux croisements, et continuons ainsi à simplifier les nœuds en appliquant la relation.
Sachant que le polynôme de Jones du nœud trivial vaut 1, on peut résoudre toutes les équations en remontant étapes par étapes...
...et finalement obtenir le polynôme de Jones des nœuds plus complexes,
comme ici le nœud de trèfle droit.
En fait, on peut montrer que tous ces calculs sont cohérents.
C'est la partie difficile, et intéressante: le polynôme de Jones est un invariant de nœuds.
Quelle que soit la façon dont on le calcule pour deux nœuds équivalents, on obtient le même résultat.
Si l'on calcule le polynôme de Jones du nœud de trèfle gauche, on obtient une expression qui est symétrique au polynôme du nœud de trèfle droit, en un certain sens,
mais pas égale.
Voici donc une preuve que les nœuds de trèfle gauche et droit ne sont pas équivalents!