0:00:08.000 --> 0:00:15.000 Chapitre 3 - Le monde des nœuds 1 00:00:20,249 --> 00:00:23,200 Observons ces nœuds marins... 2 00:00:23,200 --> 00:00:27,100 D'un point de vue mathématique ils ne sont pas vraiment noués! 3 00:00:27,200 --> 00:00:31,369 On peut les défaire simplement en faisant glisser leurs extrémités. 4 00:00:31,369 --> 00:00:37,180 Mais si on les referme sur eux-même, 5 00:00:37,980 --> 00:00:41,360 alors on obtient de vrais nœuds mathématiques. 6 00:00:41,460 --> 00:00:48,650 En fermant les nœuds de droite, on obtient un résultat plus complexe, où plusieurs composantes sont entrelacées. 7 00:00:49,250 --> 00:00:53,240 Ces types de nœuds sont également appelés “entrelacs”. 8 00:00:55,540 --> 00:00:59,100 Un nœud qui semble compliqué peut parfois se simplifier 9 00:00:59,100 --> 00:01:05,100 Si on peut le dénouer complétement, on dit que c'est un nœud trivial. 10 00:01:10,620 --> 00:01:14,719 Un même nœud peut se présenter sous différentes formes. Ce nœud semble différent de son reflet dans le miroir, 11 00:01:17,319 --> 00:01:27,840 mais on peut en fait passer de l'un à l'autre par déformation, sans couper les fils. 12 00:01:33,030 --> 00:01:40,000 On dit alors que ces deux nœuds sont égaux. 13 00:01:46,000 --> 00:01:52,560 À première vue, ces deux nœuds semblent différents, 14 00:01:52,860 --> 00:01:57,740 mais ils sont en fait enchevêtrés de la même manière: 15 00:01:58,240 --> 00:02:04,080 on peut transformer l'un en l'autre sans jamais couper les brins. 16 00:02:04,880 --> 00:02:09,839 Nous avons donc ici un seul et même nœud, que l'on appelle “nœud de trèfle”. 17 00:02:11,039 --> 00:02:14,819 Le nœud de trèfle est-il égal à son image dans le miroir? 18 00:02:16,290 --> 00:02:20,170 Ceci est loin d'être évident! Pour répondre, il faut même utiliser des outils assez élaborés. 19 00:02:20,170 --> 00:02:27,230 La réponse est non: ces deux nœuds sont différents. On les appelle nœuds de trèfle gauche et droit. 20 00:02:27,940 --> 00:02:35,030 En général, comment faire pour savoir si deux dessins représentent ou non le même nœud? 21 00:02:37,539 --> 00:02:46,520 Une façon d'explorer le monde des nœuds est de le relier au monde des tresses. 22 00:02:55,580 --> 00:03:02,080 On peut passer d'une tresse à un nœud par une opération assez simple: 23 00:03:02,200 --> 00:03:07,500 refermer la tresse en attachant les extrêmités de ses brins. 24 00:03:16,240 --> 00:03:22,490 Mais vice versa? Y a t-il une façon de passer d'un nœud à une tresse? 25 00:03:22,490 --> 00:03:27,770 Un théorème d'Alexander nous dit comment le faire. 26 00:03:28,700 --> 00:03:35,700 Nous allons présenter ici son algorithme, même s'il en existe d'autres plus efficaces. 27 00:03:37,530 --> 00:03:44,530 On commence par choisir un axe, autour duquel on aimerait que notre nœud soit enroulé. 28 00:03:44,740 --> 00:03:51,300 À partir d'un point de départ, on se déplace le long du nœud en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre. 29 00:03:54,010 --> 00:03:59,520 Arrivé à un certain point, le fil peut rencontrer un virage et tourner dans le sens inverse. 30 00:04:00,060 --> 00:04:05,500 On colorie en rouge toutes les parties du nœud que l'on parcourt dans le sens anti-horaire. 31 00:04:10,700 --> 00:04:20,790 Maintenant, on tire l'une après l'autre chaque partie rouge de l'autre côté de l'axe. 32 00:04:35,029 --> 00:04:41,020 A la fin de cette opération, on a donc déformé notre nœud de telle sorte... 33 00:04:41,100 --> 00:04:51,509 ...qu'il s'enroule toujours dans le même sens autour de l'axe. 34 00:04:59,000 --> 00:05:07,589 Alors il ne reste plus qu'à découper le nœud le long d'un demi-plan qui part de l'axe... 35 00:05:08,049 --> 00:05:13,500 ...puis à l'ouvrir, en gardant les extrémités fixes sur les demi-plans... 36 00:05:14,000 --> 00:05:19,099 et en prenant garde de ne pas faire passer un fil à travers l'autre. 37 00:05:19,099 --> 00:05:24,099 Et voici notre tresse! 38 00:05:26,840 --> 00:05:35,899 Quand on la referme, on obtient un nœud égal au nœud de départ, à déformation près. 39 00:05:37,079 --> 00:05:39,079 On peut se demander quel est l'intérêt de ce résultat: 40 00:05:39,079 --> 00:05:44,030 le nœud original, à gauche, semble plus simple... 41 00:05:44,789 --> 00:05:49,750 Mais grâce à ce nouveau point de vue, on peut exploiter la structure de groupe que l'on connait sur les tresses. 42 00:05:50,549 --> 00:05:56,089 Le théorème d'Alexander assure que tout nœud peut être représenté par une tresse fermée... 43 00:05:56,589 --> 00:06:01,510 mais il se peut que deux tresses très différentes produisent le même nœud. 44 00:06:01,680 --> 00:06:07,210 Ces deux tresses peuvent même avoir un nombre de brins différent! 45 00:06:08,510 --> 00:06:16,530 Donc la question est: étant données deux tresses, comment savoir si elles produisent le même nœud, une fois fermées? 46 00:06:18,010 --> 00:06:22,250 On définit une nouvelle opération, appelée conjugaison. 47 00:06:22,550 --> 00:06:25,589 Choisissons une tresse. 48 00:06:25,789 --> 00:06:30,370 Prenons une autre tresse avec son inverse, et composons-les: 49 00:06:30,570 --> 00:06:33,840 une à gauche, et son inverse à droite. 50 00:06:34,540 --> 00:06:37,560 On dit que la nouvelle tresse est une conjuguée de la première. 51 00:06:40,560 --> 00:06:49,550 Dans le monde des nombres, l'opération de conjugaison ne change pas le nombre de départ, parce que le produit est commutatif. 52 00:06:54,050 --> 00:07:01,050 En revanche, deux tresses différentes peuvent être conjuguées. 53 00:07:06,390 --> 00:07:13,350 Voici un exemple plus simple: ces deux générateurs du groupe des tresses sont clairement différents... 54 00:07:14,050 --> 00:07:19,000 mais ils sont conjugués. 55 00:07:34,060 --> 00:07:38,010 En général, déterminer si deux tresses sont conjuguées ou non est un problème difficile. 56 00:07:44,010 --> 00:07:51,010 Mais revenons à notre question: dans quels cas deux tresses donnent-elles le même nœud quand on les referme? 57 00:07:53,040 --> 00:07:56,690 Le fait de conjuguer une tresse avec une autre ne change pas le nœud correspondant. 58 00:07:57,090 --> 00:08:01,000 En effet, on peut faire glisser les parties latérales... 59 00:08:02,710 --> 00:08:08,010 ...les rapprocher, et finalement les simplifier... 60 00:08:08,510 --> 00:08:12,550 ...puisqu'elles sont inverses l'une de l'autre. 61 00:08:20,080 --> 00:08:24,590 On peut modifier notre tresse d'une autre façon: 62 00:08:24,790 --> 00:08:29,230 ajoutons un brin au-dessus, ainsi qu'un croisement. 63 00:08:33,050 --> 00:08:41,020 Si l'on referme la nouvelle tresse, on obtient le même nœud qu'au départ... 64 00:08:41,520 --> 00:08:48,020 ...puisque la boucle au centre peut se simplifier. 65 00:09:00,000 --> 00:09:04,000 Réciproquement, on peut aussi supprimer le dernier brin... 66 00:09:04,000 --> 00:09:09,000 ...s'il ne croise qu'une seule fois l'avant-dernier. 67 00:09:10,000 --> 00:09:14,000 Ces opérations sont appelées stabilisations. 68 00:09:14,400 --> 00:09:19,000 Un mathématicien Russe, Markov, remarqua que: 69 00:09:19,200 --> 00:09:26,300 deux tresses fermées donnent le même nœud si et seulement si elles sont reliées par une suite de conjugaisons et de stabilisations. 70 00:09:26,800 --> 00:09:31,100 On appelle ce résultat le “théorème de Markov”, même si la première preuve est probablement due à l'un de ses étudiants. 71 00:09:31,600 --> 00:09:37,639 Ici, nous n'avons pas démontré la partie difficile du théorème, c'est-à-dire, que ces deux types de mouvements suffisent. 72 00:09:37,810 --> 00:09:44,870 Voyons un exemple. Nous avons déjà vu que ces deux tresses donnent le même nœud. 73 00:09:45,020 --> 00:09:48,109 Maintenant, on peut le prouver sans même passer par le monde des nœuds! 74 00:09:48,340 --> 00:10:00,370 Il suffit de trouver une suite de conjugaisons et de stabilisations qui relie les deux tresses. 75 00:10:11,500 --> 00:10:19,010 Toutefois, le théorème de Markov ne permet pas toujours de décider si deux tresses données produisent ou non le même nœud. 76 00:10:19,010 --> 00:10:23,520 C'est là un problème déjà rencontré au Chapitre 2: 77 00:10:25,300 --> 00:10:32,380 même si on ne trouve pas de suite de relations entre les deux tresses, on ne peut pas pour autant en déduire qu'une telle suite n'existe pas! 78 00:10:34,640 --> 00:10:40,310 Etudier les nœuds en passant par les tresses ne semble pas simplifier les choses à première vue... 79 00:10:40,310 --> 00:10:45,210 Mais l'un des résultats les plus importants sur les nœuds a pourtant été découvert grâce aux tresses! 80 00:10:45,210 --> 00:10:52,050 En 1984, Jones, en étudiant les tresses, a obtenu un résultat si important pour les nœuds... 81 00:10:52,050 --> 00:10:59,070 ...que cela lui a valu la médaille Fields, le prix le plus important en mathématiques. 82 00:11:00,280 --> 00:11:06,230 Jones a découvert un moyen d'associer une formule à chaque tresse. 83 00:11:06,520 --> 00:11:13,520 Le grand intérêt de cette découverte est qu'elle permet de distinguer les nœuds obtenus en fermant des tresses: 84 00:11:13,520 --> 00:11:19,080 si à deux tresses sont associées deux formules différentes, alors elles donnent deux nœuds différents. 85 00:11:20,030 --> 00:11:29,000 Si deux tresses sont reliées par des mouvements de Markov, alors les deux formules associées sont égales. 86 00:11:30,050 --> 00:11:38,030 Cela signifie que la formule, appelée polynôme de Jones, ne dépend que du nœud, et pas de la tresse utilisée pour l'obtenir! 87 00:11:40,040 --> 00:11:46,500 Par exemple, le nœud de trèfle et le nœud de huit n'ont pas le même polynôme de Jones, donc on peut en déduire qu'ils ne sont pas égaux. 88 00:11:48,070 --> 00:11:54,090 Un peu plus tard, un nouvel algorithme permettant de calculer le polynôme de Jones sans passer par les tresses a été découvert. Voici comment il fonctionne. 89 00:11:54,510 --> 00:11:58,750 Commençons par orienter le nœud, c'est-à-dire choisir un sens de parcours. 90 00:11:58,950 --> 00:12:02,550 À certains endroits, il y a des croisements. 91 00:12:02,550 --> 00:12:09,360 Ces croisements peuvent être de deux types différents, suivant quel brin passe derrière l'autre. 92 00:12:09,560 --> 00:12:15,250 Résoudre un croisement signifie couper les brins et les recoller de l'autre façon, en respectant leur orientation. 93 00:12:15,950 --> 00:12:20,980 On introduit une relation entre ces trois alternatives. 94 00:12:20,980 --> 00:12:24,470 Le symbole V représente le polynôme de Jones. 95 00:12:24,470 --> 00:12:27,680 De plus, on décrète que le polynôme du nœud trivial est égal à 1. 96 00:12:28,080 --> 00:12:33,090 En utilisant ces deux règles, on peut calculer le polynôme de Jones de tous les nœuds. 97 00:12:33,090 --> 00:12:38,190 Choisissons un croisement et appliquons la relation... 98 00:12:38,190 --> 00:12:40,790 Simplifions... 99 00:12:44,090 --> 00:12:50,080 Et appliquons de nouveau la relation au nœud de droite pour écrire une nouvelle équation. 100 00:12:50,410 --> 00:12:57,400 Choisissons de nouveaux croisements, et continuons ainsi à simplifier les nœuds en appliquant la relation. 101 00:13:03,510 --> 00:13:11,560 Sachant que le polynôme de Jones du nœud trivial vaut 1, on peut résoudre toutes les équations en remontant étapes par étapes... 102 00:13:11,960 --> 00:13:18,550 ...et finalement obtenir le polynôme de Jones des nœuds plus complexes, 103 00:13:18,600 --> 00:13:21,670 comme ici le nœud de trèfle droit. 104 00:13:22,570 --> 00:13:30,500 En fait, on peut montrer que tous ces calculs sont cohérents. 105 00:13:31,300 --> 00:13:37,430 C'est la partie difficile, et intéressante: le polynôme de Jones est un invariant de nœuds. 106 00:13:37,630 --> 00:13:43,140 Quelle que soit la façon dont on le calcule pour deux nœuds équivalents, on obtient le même résultat. 107 00:13:53,800 --> 00:14:01,679 Si l'on calcule le polynôme de Jones du nœud de trèfle gauche, on obtient une expression qui est symétrique au polynôme du nœud de trèfle droit, en un certain sens, 108 00:14:01,679 --> 00:14:04,240 mais pas égale. 109 00:14:04,240 --> 00:14:08,530 Voici donc une preuve que les nœuds de trèfle gauche et droit ne sont pas équivalents!