1 00:00:08,000 --> 00:00:15,000 Capitolo 1 - Il gruppo delle trecce 2 00:00:23,000 --> 00:00:27,000 Questo film parla di trecce e di matematica 3 00:00:33,000 --> 00:00:36,000 Tutti sappiamo che cos'è una treccia! 4 00:00:36,300 --> 00:00:39,300 Le trecce sono dappertutto: 5 00:00:39,500 --> 00:00:42,500 sono fatte di capelli, 6 00:00:43,000 --> 00:00:46,000 le troviamo nei gioielli, 7 00:00:47,000 --> 00:00:50,000 le usiamo per creare cinture e corde. 8 00:00:51,500 --> 00:00:54,500 con le trecce si decorano torte, si formano mozzarelle... 9 00:00:56,500 --> 00:00:59,500 si fanno dolci squisiti. 10 00:01:01,000 --> 00:01:06,000 Le trecce compaiono in tantissimi oggetti di uso comune. 11 00:01:11,000 --> 00:01:15,000 Che cosa c'entra la matematica con le trecce? 12 00:01:15,000 --> 00:01:20,000 Perché, e come, i matematici studiano le trecce? 13 00:01:21,000 --> 00:01:26,000 Ma, prima di tutto: che cos'è una treccia in matematica? 14 00:01:29,000 --> 00:01:35,000 Prendiamo un disco e fissiamo alcuni punti al suo interno. 15 00:01:36,000 --> 00:01:39,500 Prendiamone una copia parallela 16 00:01:39,800 --> 00:01:43,800 e disegniamo dei fili, da sinistra a destra, che collegano i punti. 17 00:01:44,300 --> 00:01:51,300 I fili non possono mai tornare indietro, ma devono scorrere sempre da un disco all'altro. 18 00:01:59,000 --> 00:02:06,000 I fili possono essere allacciati ma non possono toccarsi, o meglio, non possono intersecarsi. 19 00:02:28,000 --> 00:02:34,000 Ecco una treccia: dei fili collegano i punti a sinistra con gli stessi punti a destra. 20 00:02:41,000 --> 00:02:48,000 Per semplicità, d'ora in poi disegneremo solo i fili, senza dischi e punti. 21 00:02:50,000 --> 00:02:53,000 Possiamo costruire tantissime trecce diverse, anche solo con due fili: 22 00:02:53,300 --> 00:03:00,000 basta tessere lo stesso incrocio più volte. 23 00:03:01,000 --> 00:03:08,000 Con tre fili possiamo inventare trecce più complicate. 24 00:03:08,500 --> 00:03:13,000 E man mano che aumentiamo il numero di fili potremo costruire sempre più trecce. 25 00:03:20,500 --> 00:03:24,500 In che senso possiamo dire che queste due trecce sono uguali? 26 00:03:24,500 --> 00:03:31,500 Una si trasforma nell'altra, senza muovere gli estremi e senza far intersecare i fili. 27 00:03:34,000 --> 00:03:38,000 Quindi ci sono diversi modi di disegnare una treccia, l'importante è che i fili siano intrecciati nello stesso modo. 28 00:03:44,000 --> 00:03:48,000 Ad esempio, queste trecce sono equivalenti, 29 00:03:48,300 --> 00:03:55,000 perché sono ottenute deformando la treccia iniziale senza tagliare i fili e senza muoverne gli estremi. 30 00:03:58,000 --> 00:04:02,000 Naturalmente ci sono anche trecce diverse! 31 00:04:04,000 --> 00:04:11,000 Diciamo allora che ci sono diverse classi di equivalenza, ognuna formata dalle trecce che possono essere deformate una nell'altra. 32 00:04:13,000 --> 00:04:18,000 Per indicare una classe possiamo scegliere uno qualsiasi dei suoi rappresentanti. 33 00:04:18,500 --> 00:04:26,000 Quando disegniamo una treccia non vogliamo indicare solo quel particolare rappresentante, ma tutta la sua classe di equivalenza. 34 00:04:28,000 --> 00:04:31,000 Come si fa a scegliere dei rappresentanti? 35 00:04:31,300 --> 00:04:37,000 E come si fa a capire se due trecce sono nella stessa classe o no? 36 00:04:37,300 --> 00:04:47,000 Per esempio, queste due rappresentano la stessa treccia: basta muovere il filo blu tra quello rosso e quello verde. 37 00:04:56,000 --> 00:05:01,500 Ma queste due saranno la stessa treccia? A prima vista non sembra esserci un modo per trasformare una nell'altra! 38 00:05:04,000 --> 00:05:08,000 E se abbiamo trecce più complicate? L'intuito non basta più. 39 00:05:12,000 --> 00:05:18,000 Per rispondere a queste domande, cerchiamo di capire se l'insieme delle trecce ha una struttura matematica. 40 00:05:19,000 --> 00:05:24,500 Per iniziare, vediamo che possiamo collegare due trecce: mettere una accanto all'altra e saldare i fili. 41 00:05:24,800 --> 00:05:29,000 Questa operazione si chiama composizione. 42 00:05:43,000 --> 00:05:48,000 Mettiamo a sinistra due rappresentanti di una stessa treccia. 43 00:05:56,000 --> 00:06:02,000 Poi disegniamo a destra due rappresentanti di un'altra treccia. 44 00:06:07,000 --> 00:06:11,000 Ora componiamoli nel loro ordine: 45 00:06:11,000 --> 00:06:18,000 otteniamo trecce che a prima vista sembrano diverse. Ma in realtà sono la stessa! 46 00:06:19,000 --> 00:06:25,000 Il risultato non dipende allora dai rappresentanti che scegliamo. 47 00:06:34,000 --> 00:06:40,000 La composizione è un'operazione matematica, un po' come il prodotto di numeri positivi. 48 00:06:48,000 --> 00:06:52,000 Il prodotto ha delle proprietà interessanti: 49 00:06:52,500 --> 00:06:55,500 è associativo 50 00:06:55,800 --> 00:06:58,500 e commutativo. 51 00:06:59,000 --> 00:07:04,000 Queste proprietà valgono anche per la composizione di trecce? 52 00:07:06,000 --> 00:07:11,000 Proviamo a comporre tre trecce nel loro ordine, nei due modi possibili: 53 00:07:20,000 --> 00:07:24,000 naturalmente otteniamo lo stesso risultato! 54 00:07:24,000 --> 00:07:28,000 Questo significa che la proprietà associativa vale 55 00:07:28,500 --> 00:07:35,000 e possiamo scrivere le composizioni senza preoccuparci di mettere delle parentesi. 56 00:07:41,000 --> 00:07:45,000 E la proprietà commutativa? 57 00:07:45,500 --> 00:07:49,500 Vediamo un esempio: componiamo queste due trecce nei due modi possibili. 58 00:07:49,800 --> 00:07:51,800 Il risultato cambia! 59 00:07:52,300 --> 00:08:00,000 Infatti, il filo rosso parte sempre in basso a sinistra, ma arriva a diverse altezze a destra. 60 00:08:01,000 --> 00:08:09,000 Quindi le due trecce sono sicuramente diverse e la proprietà commutativa non vale. 61 00:08:10,500 --> 00:08:14,500 Torniamo al prodotto di numeri: esso ha un elemento neutro, il numero 1. 62 00:08:19,500 --> 00:08:23,500 C'è un elemento analogo per le trecce? 63 00:08:28,000 --> 00:08:32,000 Prendiamo la treccia banale, che ha tutti i fili dritti. 64 00:08:32,300 --> 00:08:37,000 Componendo una treccia qualsiasi con questa treccia banale, riotteniamo la treccia di partenza. 65 00:08:47,000 --> 00:08:55,000 Ogni numero positivo ha un inverso rispetto al prodotto. Esiste un inverso per ogni treccia? 66 00:09:01,000 --> 00:09:04,000 Guardiamo la treccia allo specchio: 67 00:09:09,000 --> 00:09:09,000 possiamo comporre la treccia di partenza e quella specchiata in due modi: prima una e poi l'altra o viceversa. 68 00:09:20,000 --> 00:09:27,000 In entrambi i casi, possiamo semplificare il risultato, partendo dal centro, e otteniamo la treccia banale! 69 00:09:27,500 --> 00:09:31,500 Questo significa che per ogni treccia esiste un'inversa, basta guardarla allo specchio. 70 00:09:37,500 --> 00:09:44,700 Fermiamoci un attimo: finora abbiamo visto che nell'insieme delle trecce possiamo definire la composizione, che è un'operazione associativa 71 00:09:45,000 --> 00:09:47,700 e ha un elemento neutro. 72 00:09:48,000 --> 00:09:51,000 Inoltre, per ogni treccia c'è un'inversa. 73 00:09:51,300 --> 00:09:56,000 Una struttura con queste proprietà è chiamata gruppo. 74 00:09:59,000 --> 00:10:06,000 Per trattare le trecce, può tornare utile associare una parola, cioè una sequenza di simboli, a ogni treccia. 75 00:10:06,300 --> 00:10:12,000 La treccia banale, chiamata anche identità, avrà come corrispondente la parola "1", perché essa è l'elemento neutro per la composizione. 76 00:10:12,500 --> 00:10:16,500 Altre trecce semplici sono quelle in cui due fili vicini sono allacciati tra loro, mentre gli altri sono diritti. 77 00:10:17,000 --> 00:10:24,000 Se a scambiarsi in senso orario sono i primi due fili in basso chiamiamo la treccia "sigma 1". 78 00:10:27,000 --> 00:10:33,000 La treccia "sigma 2" è quella in cui si scambiano il secondo e il terzo filo, sempre in senso orario. 79 00:10:41,000 --> 00:10:46,000 Infine "sigma 3" è la treccia in cui si scambiano il terzo e il quarto filo. 80 00:10:52,000 --> 00:10:59,000 Se i fili si scambiano ruotando nell'altro verso, abbiamo la treccia "sigma 1 inversa". 81 00:10:59,300 --> 00:11:04,000 È chiamata così proprio perché è l'inversa di "sigma 1". 82 00:11:08,000 --> 00:11:13,000 Allo stesso modo avremo "sigma 2 inversa", l'inversa di "sigma 2". 83 00:11:20,000 --> 00:11:25,000 Ed ecco "sigma 3 inversa". 84 00:11:33,000 --> 00:11:39,000 Usando queste trecce elementari come mattoni possiamo costruire molte trecce. 85 00:11:40,000 --> 00:11:47,000 Ecco un esempio: basta mettere un mattone dopo l'altro. 86 00:11:59,000 --> 00:12:02,000 È immediato scrivere una parola corrispondente alla treccia. 87 00:12:03,000 --> 00:12:07,000 Le trecce che possiamo costruire in questo modo sono tutte quelle possibili? 88 00:12:09,000 --> 00:12:14,000 Vediamo un esempio: come possiamo associare una parola a questa treccia? 89 00:12:14,500 --> 00:12:18,000 Dobbiamo dividerla nei mattoni elementari. 90 00:12:21,000 --> 00:12:29,000 Per farlo, la trasformiamo in una treccia equivalente e la tagliamo a fette: ogni fetta è una treccia elementare. 91 00:12:47,000 --> 00:12:52,000 In questo modo possiamo scrivere una parola corrispondente alla treccia di partenza, qualunque essa sia. 92 00:12:54,000 --> 00:13:01,000 Non c'è un unico modo di deformare la treccia prima di tagliarla, quindi ci possono essere parole diverse per la stessa treccia. 93 00:13:10,000 --> 00:13:21,000 Possiamo semplificare una treccia elementare seguita dalla sua inversa: la parola cambia, ma la treccia no. 94 00:13:27,500 --> 00:13:31,500 Possiamo anche cancellare i pezzi di treccia banali. 95 00:13:33,000 --> 00:13:40,000 Possiamo inserire una treccia elementare preceduta o seguita dalla sua inversa, in qualsiasi posizione. 96 00:13:42,000 --> 00:13:50,000 Ma ci sono anche altre mosse consentite: qui il filo blu passa tra due fili che si incrociano. 97 00:13:58,000 --> 00:14:05,000 Qui due incroci scivolano uno verso destra e l'altro verso sinistra, scambiandosi di posizione. 98 00:14:08,000 --> 00:14:14,000 Tutti i movimenti descritti si traducono facilmente in mosse per manipolare la parola. 99 00:14:15,000 --> 00:14:20,000 Sicuramente ci sono anche altri movimenti permessi: 100 00:14:21,000 --> 00:14:26,000 qui il filo giallo passa davanti ad un incrocio. 101 00:14:44,000 --> 00:14:50,000 Ora invece semplifichiamo due incroci anche se sono distanti. 102 00:14:51,000 --> 00:14:59,000 Come possiamo descrivere tutte le mosse possibili che cambiano la parola e la treccia rappresentante, ma non la classe di equivalenza della treccia? 103 00:15:02,000 --> 00:15:09,000 Il primo studioso che ha definito le trecce come oggetti matematici e che ha risolto questo problema è stato Emil Artin. 104 00:15:14,000 --> 00:15:19,500 Artin scrisse il primo articolo sulla matematica delle trecce nel 1928, in tedesco 105 00:15:20,000 --> 00:15:25,500 e il secondo vent'anni dopo, in inglese. 106 00:15:26,000 --> 00:15:34,000 Artin è stato il primo a dimostrare che le trecce formano un gruppo e che esso può venire descritto in questo modo: 107 00:15:35,000 --> 00:15:44,000 tutte le trecce possono essere descritte da una parola nell'alfabeto dei "sigma i" e dei loro inversi; 108 00:15:46,000 --> 00:15:54,000 In ogni gruppo si possono fare queste semplificazioni. Sono delle mosse locali, che cambiano solo una parte della parola, mentre il resto rimane fissato. 109 00:15:56,000 --> 00:16:05,000 Le sole sostituzioni permesse oltre alle semplificazioni sono di questi due tipi, corrispondenti a mosse sulle trecce: 110 00:16:05,500 --> 00:16:10,000 1) il filo blu si sposta tra due fili che formano un incrocio 111 00:16:10,500 --> 00:16:15,000 2) due incroci si scambiano di posto. 112 00:16:16,000 --> 00:16:24,000 Con queste mosse, chiamate relazioni, partendo da una parola possiamo ottenere tutte le parole equivalenti ad essa. 113 00:16:24,500 --> 00:16:28,000 Le trecce sono oggetti matematici a pieno titolo!