Capitolo 1 - Il gruppo delle trecce
Questo film parla di trecce e di matematica
Tutti sappiamo che cos'è una treccia!
Le trecce sono dappertutto:
sono fatte di capelli,
le troviamo nei gioielli,
le usiamo per creare cinture e corde.
con le trecce si decorano torte, si formano mozzarelle...
si fanno dolci squisiti.
Le trecce compaiono in tantissimi oggetti di uso comune.
Che cosa c'entra la matematica con le trecce?
Perché, e come, i matematici studiano le trecce?
Ma, prima di tutto: che cos'è una treccia in matematica?
Prendiamo un disco e fissiamo alcuni punti al suo interno.
Prendiamone una copia parallela
e disegniamo dei fili, da sinistra a destra, che collegano i punti.
I fili non possono mai tornare indietro, ma devono scorrere sempre da un disco all'altro.
I fili possono essere allacciati ma non possono toccarsi, o meglio, non possono intersecarsi.
Ecco una treccia: dei fili collegano i punti a sinistra con gli stessi punti a destra.
Per semplicità, d'ora in poi disegneremo solo i fili, senza dischi e punti.
Possiamo costruire tantissime trecce diverse, anche solo con due fili:
basta tessere lo stesso incrocio più volte.
Con tre fili possiamo inventare trecce più complicate.
E man mano che aumentiamo il numero di fili potremo costruire sempre più trecce.
In che senso possiamo dire che queste due trecce sono uguali?
Una si trasforma nell'altra, senza muovere gli estremi e senza far intersecare i fili.
Quindi ci sono diversi modi di disegnare una treccia, l'importante è che i fili siano intrecciati nello stesso modo.
Ad esempio, queste trecce sono equivalenti,
perché sono ottenute deformando la treccia iniziale senza tagliare i fili e senza muoverne gli estremi.
Naturalmente ci sono anche trecce diverse!
Diciamo allora che ci sono diverse classi di equivalenza, ognuna formata dalle trecce che possono essere deformate una nell'altra.
Per indicare una classe possiamo scegliere uno qualsiasi dei suoi rappresentanti.
Quando disegniamo una treccia non vogliamo indicare solo quel particolare rappresentante, ma tutta la sua classe di equivalenza.
Come si fa a scegliere dei rappresentanti?
E come si fa a capire se due trecce sono nella stessa classe o no?
Per esempio, queste due rappresentano la stessa treccia: basta muovere il filo blu tra quello rosso e quello verde.
Ma queste due saranno la stessa treccia? A prima vista non sembra esserci un modo per trasformare una nell'altra!
E se abbiamo trecce più complicate? L'intuito non basta più.
Per rispondere a queste domande, cerchiamo di capire se l'insieme delle trecce ha una struttura matematica.
Per iniziare, vediamo che possiamo collegare due trecce: mettere una accanto all'altra e saldare i fili.
Questa operazione si chiama composizione.
Mettiamo a sinistra due rappresentanti di una stessa treccia.
Poi disegniamo a destra due rappresentanti di un'altra treccia.
Ora componiamoli nel loro ordine:
otteniamo trecce che a prima vista sembrano diverse. Ma in realtà sono la stessa!
Il risultato non dipende allora dai rappresentanti che scegliamo.
La composizione è un'operazione matematica, un po' come il prodotto di numeri positivi.
Il prodotto ha delle proprietà interessanti:
è associativo
e commutativo.
Queste proprietà valgono anche per la composizione di trecce?
Proviamo a comporre tre trecce nel loro ordine, nei due modi possibili:
naturalmente otteniamo lo stesso risultato!
Questo significa che la proprietà associativa vale
e possiamo scrivere le composizioni senza preoccuparci di mettere delle parentesi.
E la proprietà commutativa?
Vediamo un esempio: componiamo queste due trecce nei due modi possibili.
Il risultato cambia!
Infatti, il filo rosso parte sempre in basso a sinistra, ma arriva a diverse altezze a destra.
Quindi le due trecce sono sicuramente diverse e la proprietà commutativa non vale.
Torniamo al prodotto di numeri: esso ha un elemento neutro, il numero 1.
C'è un elemento analogo per le trecce?
Prendiamo la treccia banale, che ha tutti i fili dritti.
Componendo una treccia qualsiasi con questa treccia banale, riotteniamo la treccia di partenza.
Ogni numero positivo ha un inverso rispetto al prodotto. Esiste un inverso per ogni treccia?
Guardiamo la treccia allo specchio:
possiamo comporre la treccia di partenza e quella specchiata in due modi: prima una e poi l'altra o viceversa.
In entrambi i casi, possiamo semplificare il risultato, partendo dal centro, e otteniamo la treccia banale!
Questo significa che per ogni treccia esiste un'inversa, basta guardarla allo specchio.
Fermiamoci un attimo: finora abbiamo visto che nell'insieme delle trecce possiamo definire la composizione, che è un'operazione associativa
e ha un elemento neutro.
Inoltre, per ogni treccia c'è un'inversa.
Una struttura con queste proprietà è chiamata gruppo.
Per trattare le trecce, può tornare utile associare una parola, cioè una sequenza di simboli, a ogni treccia.
La treccia banale, chiamata anche identità, avrà come corrispondente la parola "1", perché essa è l'elemento neutro per la composizione.
Altre trecce semplici sono quelle in cui due fili vicini sono allacciati tra loro, mentre gli altri sono diritti.
Se a scambiarsi in senso orario sono i primi due fili in basso chiamiamo la treccia "sigma 1".
La treccia "sigma 2" è quella in cui si scambiano il secondo e il terzo filo, sempre in senso orario.
Infine "sigma 3" è la treccia in cui si scambiano il terzo e il quarto filo.
Se i fili si scambiano ruotando nell'altro verso, abbiamo la treccia "sigma 1 inversa".
È chiamata così proprio perché è l'inversa di "sigma 1".
Allo stesso modo avremo "sigma 2 inversa", l'inversa di "sigma 2".
Ed ecco "sigma 3 inversa".
Usando queste trecce elementari come mattoni possiamo costruire molte trecce.
Ecco un esempio: basta mettere un mattone dopo l'altro.
È immediato scrivere una parola corrispondente alla treccia.
Le trecce che possiamo costruire in questo modo sono tutte quelle possibili?
Vediamo un esempio: come possiamo associare una parola a questa treccia?
Dobbiamo dividerla nei mattoni elementari.
Per farlo, la trasformiamo in una treccia equivalente e la tagliamo a fette: ogni fetta è una treccia elementare.
In questo modo possiamo scrivere una parola corrispondente alla treccia di partenza, qualunque essa sia.
Non c'è un unico modo di deformare la treccia prima di tagliarla, quindi ci possono essere parole diverse per la stessa treccia.
Possiamo semplificare una treccia elementare seguita dalla sua inversa: la parola cambia, ma la treccia no.
Possiamo anche cancellare i pezzi di treccia banali.
Possiamo inserire una treccia elementare preceduta o seguita dalla sua inversa, in qualsiasi posizione.
Ma ci sono anche altre mosse consentite: qui il filo blu passa tra due fili che si incrociano.
Qui due incroci scivolano uno verso destra e l'altro verso sinistra, scambiandosi di posizione.
Tutti i movimenti descritti si traducono facilmente in mosse per manipolare la parola.
Sicuramente ci sono anche altri movimenti permessi:
qui il filo giallo passa davanti ad un incrocio.
Ora invece semplifichiamo due incroci anche se sono distanti.
Come possiamo descrivere tutte le mosse possibili che cambiano la parola e la treccia rappresentante, ma non la classe di equivalenza della treccia?
Il primo studioso che ha definito le trecce come oggetti matematici e che ha risolto questo problema è stato Emil Artin.
Artin scrisse il primo articolo sulla matematica delle trecce nel 1928, in tedesco
e il secondo vent'anni dopo, in inglese.
Artin è stato il primo a dimostrare che le trecce formano un gruppo e che esso può venire descritto in questo modo:
tutte le trecce possono essere descritte da una parola nell'alfabeto dei "sigma i" e dei loro inversi;
In ogni gruppo si possono fare queste semplificazioni. Sono delle mosse locali, che cambiano solo una parte della parola, mentre il resto rimane fissato.
Le sole sostituzioni permesse oltre alle semplificazioni sono di questi due tipi, corrispondenti a mosse sulle trecce:
1) il filo blu si sposta tra due fili che formano un incrocio
2) due incroci si scambiano di posto.
Con queste mosse, chiamate relazioni, partendo da una parola possiamo ottenere tutte le parole equivalenti ad essa.
Le trecce sono oggetti matematici a pieno titolo!