%
% Needs AMS-TeX 1.1 with italian hyphenation
%
\italiano
\def\HOME{/utenti/luminati}
%
%\documentstyle{amsppt}
%
\catcode`\@=11
\def\spaces@@{}
\def\CR@M{\W@{^^J\spaces@@ **** amspptmf.sty ****\spaces@@^^J^^J%
PACCHETTO DI MACROS BASATE SU AMSPPT.STY, AMSPPT.MOR E PSFIG.TEX^^J}}
%\everyjob{\CR@\CR@M}
\CR@M
\xdef\di{\string#\string#\string#\string#\string#}
\xdef\dii{\di\di\di\di\di\di\di\di}
\def\WRER@#1#2{\scrollmode\errmessage{}\errorstopmode
 \W@{\dii^^J\space #2^^J\dii^^J
 #1:\space ETICHETTA\space NON\space DEFINITA^^J\dii^^J}}
\def\WRERLIBR@{\errmessage{Usa \string\capi, \string\intro, 
 \string\biblio, \string\finecapi, \string\fineintro, 
 \string\finebiblio\space solo con \string\libro}}
\def\writede@#1#2#3{\write#1{%
 \string\expandafter\string\def\string\csname\space#2\string\endcsname
 \string{#3\string}}}
\def\writedef@{\immediate\writede@}
\def\eatd@#1{\expandafter\eat@\eat@#1}  %mangia due caratteri a #1
\def\eatt@#1{\expandafter\eatd@\eat@#1} %mangia tre caratteri a #1
\def\@cs@name#1{\csname #1\endcsname}
\def\l@pa#1#2#3{\expandafter\ifx\csname #1\endcsname\relax$#2$%
 \WRER@{#1}{#3}\else\@cs@name{#1}\fi}
\def\puad{\hskip1ex} \def\nl{\parf\noindent}
\def\oggi{\the\day\ \mese\ \the\year}
\def\mese{\ifcase\month\or Gennaio\or Febbraio\or Marzo\or Aprile\or
 Maggio\or Giugno\or Luglio\or Agosto\or Settembre\or Ottobre\or
 Novembre\or Dicembre\fi}
\def\alfanum#1{\ifcase#1\relax\or a\or b\or c\or d\or e\or f\or g\or
 h\or i\orj \or k\or l \or m\or n\or o\or p\or q\or r\or s\or t\or
 u\or v\or w\or x\or y\or z\else\relax\fi}
\def\document{\def\alloclist@{\empty}\def\fontlist@{\empty}%
 \b@s@=\number\baselineskip\in@hundreds{\b@s@}{\mag}{1000}%
 \b@s@=\@result\@input{biblabel\jobname} \@input{fix\jobname}%
 \relax\immediate\openout\fix=fix\jobname}
\def\@input#1{\immediate\openin1 #1 \ifeof1 
 \W@{^^J\dii^^J Non trovo il file #1.^^J\dii^^J}
 \else\closein1\relax\input #1 \fi}
\tracingstats\@ne 
\def\endtopmatter{\hrule height\z@\vskip-\topskip
 \pretitle\vskip24\p@ plus12\p@ minus12\p@\unvbox\titlebox@
 \preauthor\ifauthor@\vskip12\p@ plus6\p@ minus3\p@\unvbox\authorbox@\fi
 \preaffil\ifaffil@\vskip10\p@ plus5\p@ minus2\p@\unvbox\affilbox@\fi
 \predate
 \ifdate@\vskip6\p@ plus2\p@ minus\p@\hbox to\hsize{\hfil\date@\hfil}\fi
 \preabstract\ifthanks@\makefootnote@{}{\thanks@}\fi
 \ifabstract@\vskip15\p@ plus12\p@ minus12\p@
  {\leftskip24\p@\rightskip24\p@\noindent\theabstract@}\fi
 \prepaper\vskip18\p@ plus12\p@ minus6\p@\tenpoint}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Attivo la nuova famiglia msbmfam e definisco twelvepoint (12 pt)
% e parapoint (14.4 pt)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font@\eighttt=cmtt8
\font@\eightsmc=cmcsc8
\font@\twelverm=cmr12
\font@\twelvebf=cmbx12
\font\twelvesmc=cmcsc10 at 12 pt
\font@\twelvei=cmmi12                    \skewchar\twelvei='177
\font\twelvesy=cmsy10   at 12 pt         \skewchar\twelvesy='60
\font@\twelveit=cmti12
\font@\twelvesl=cmsl12
%
\font\pararm=cmr10    at 14.4pt
\font\parabf=cmbx10   at 14.4pt
\font\parasmc=cmcsc10 at 14.4pt
\font\parai=cmmi10    at 14.4pt           \skewchar\parai='177
\font\parasy=cmsy10   at 14.4pt           \skewchar\parasy='60
\font\parait=cmti10   at 14.4pt
\font\parasl=cmsl10   at 14.4pt
%
\font\paramsb=msbm10    at 14.4 pt
\font\twelvemsb=msbm10  at 12 pt
\font@\tenmsb=msbm10
\font@\ninemsb=msbm9
\font@\eightmsb=msbm8
\font@\sevenmsb=msbm7
\font@\sixmsb=msbm6
\font@\fivemsb=msbm5
\newfam\msbfam
\textfont\msbfam\tenmsb \scriptfont\msbfam\sevenmsb
\scriptscriptfont\msbfam\fivemsb
%
\def\tenpoint{\def\pointsize@{10}%
 \normalbaselineskip12\p@
 \abovedisplayskip12\p@ plus3\p@ minus9\p@
 \belowdisplayskip12\p@ plus3\p@ minus9\p@
 \abovedisplayshortskip\z@ plus3\p@
 \belowdisplayshortskip7\p@ plus3\p@ minus4\p@
 \textfont@\rm\tenrm
 \textfont@\it\tenit
 \textfont@\sl\tensl
 \textfont@\bf\tenbf
 \textfont@\smc\tensmc
 \ifsyntax@\def\big##1{{\hbox{$\left##1\right.$}}}\else
 \let\big\tenbig@
 \textfont\z@\tenrm  \scriptfont\z@\sevenrm  \scriptscriptfont\z@\fiverm
 \textfont\@ne\teni  \scriptfont\@ne\seveni  \scriptscriptfont\@ne\fivei
 \textfont\tw@\tensy \scriptfont\tw@\sevensy \scriptscriptfont\tw@\fivesy
 \textfont\thr@@\tenex \scriptfont\thr@@\tenex \scriptscriptfont\thr@@\tenex
 \textfont\itfam\tenit
 \textfont\slfam\tensl
 \textfont\bffam\tenbf \scriptfont\bffam\sevenbf
  \scriptscriptfont\bffam\fivebf
 \textfont\msbfam\tenmsb \scriptfont\msbfam\sevenmsb
  \scriptscriptfont\msbfam\fivemsb
 %\textfont\msxfam=\tenmsx
 %\scriptfont\msxfam=\sevenmsx
 %\scriptscriptfont\msxfam=\fivemsx
 %\textfont\msyfam=\tenmsy
 %\scriptfont\msyfam=\sevenmsy
 %\scriptscriptfont\msyfam=\fivemsy
 \fi
 \setbox\strutbox\hbox{\vrule height8.5\p@ depth3.5\p@ width\z@}%
 \setbox\strutbox@\hbox{\vrule height8\p@ depth3\p@ width\z@}%
 \normalbaselines\tenrm\ex@=.2326ex}
%
\def\eightpoint{\def\pointsize@{8}%
 \normalbaselineskip10\p@
 \abovedisplayskip10\p@ plus2.4\p@ minus7.2\p@
 \belowdisplayskip10\p@ plus2.4\p@ minus7.2\p@
 \abovedisplayshortskip\z@ plus2.4\p@
 \belowdisplayshortskip5.6\p@ plus2.4\p@ minus3.2\p@
 \textfont@\rm\eightrm
 \textfont@\it\eightit
 \textfont@\sl\eightsl
 \textfont@\bf\eightbf
 \textfont@\smc\eightsmc
 \ifsyntax@\def\big##1{{\hbox{$\left##1\right.$}}}\else
 \let\big\eightbig@
 \textfont\z@\eightrm \scriptfont\z@\sixrm  \scriptscriptfont\z@\fiverm
 \textfont\@ne\eighti \scriptfont\@ne\sixi  \scriptscriptfont\@ne\fivei
 \textfont\tw@\eightsy \scriptfont\tw@\sixsy \scriptscriptfont\tw@\fivesy
 \textfont\thr@@\tenex \scriptfont\thr@@\tenex \scriptscriptfont\thr@@\tenex
 \textfont\itfam\eightit
 \textfont\slfam\eightsl
 \textfont\bffam\eightbf \scriptfont\bffam\sixbf
   \scriptscriptfont\bffam\fivebf
 \textfont\msbfam\eightmsb \scriptfont\msbfam\sixmsb
  \scriptscriptfont\msbfam\fivemsb
 %\textfont\msxfam=\eightmsx
 %\scriptfont\msxfam=\sixmsx
 %\scriptscriptfont\msxfam=\fivemsx
 %\textfont\msyfam=\eightmsy
 %\scriptfont\msyfam=\sixmsy
 %\scriptscriptfont\msyfam=\fivemsy
 \fi
 \setbox\strutbox\hbox{\vrule height7\p@ depth3\p@ width\z@}%
 \setbox\strutbox@\hbox{\vrule height6.5\p@ depth2.5\p@ width\z@}%
 \normalbaselines\eightrm\ex@=.2326ex}
%
\def\twelvepoint{\def\pointsize@{12}%
 \normalbaselineskip15\p@
 \abovedisplayskip15\p@ plus3\p@ minus9\p@
 \belowdisplayskip15\p@ plus3\p@ minus9\p@
 \abovedisplayshortskip\z@ plus3\p@
 \belowdisplayshortskip10\p@ plus3\p@ minus7\p@
 \textfont@\rm\twelverm%
 \textfont@\it\twelveit%
 \textfont@\sl\twelvesl%
 \textfont@\bf\twelvebf%
 \textfont@\smc\twelvesmc%
 \ifsyntax@\def\big##1{{\hbox{$\left##1\right.$}}}\else
 \let\big\twelvebig@
 \textfont\z@\twelverm  \scriptfont\z@\ninerm  \scriptscriptfont\z@\sevenrm
 \textfont\@ne\twelvei  \scriptfont\@ne\ninei  \scriptscriptfont\@ne\seveni
 \textfont\tw@\twelvesy \scriptfont\tw@\ninesy \scriptscriptfont\tw@\sevensy
 \textfont\thr@@\tenex \scriptfont\thr@@\tenex \scriptscriptfont\thr@@\tenex
 \textfont\itfam\twelveit
 \textfont\slfam\twelvesl
 \textfont\bffam\twelvebf \scriptfont\bffam\ninebf
 \scriptscriptfont\bffam\sevenbf
 \textfont\msbfam\twelvemsb \scriptfont\msbfam\ninemsb
 \scriptscriptfont\msbfam\sevenmsb
 \fi
 \setbox\strutbox\hbox{\vrule height10\p@ depth4\p@ width\z@}%
 \setbox\strutbox@\hbox{\vrule height9.5\p@ depth3.5\p@ width\z@}%
 \normalbaselines\twelverm\ex@=.2326ex}
%
\def\parapoint{\def\pointsize@{14.4}%
 \normalbaselineskip20\p@
 \abovedisplayskip20\p@ plus7\p@ minus12\p@
 \belowdisplayskip20\p@ plus7\p@ minus12\p@
 \abovedisplayshortskip\z@ plus7\p@
 \belowdisplayshortskip12\p@ plus5\p@ minus9\p@
 \textfont@\rm\pararm%
 \textfont@\it\parait%
 \textfont@\sl\parasl%
 \textfont@\bf\parabf%
 \textfont@\smc\parasmc%
 \ifsyntax@\def\big##1{{\hbox{$\left##1\right.$}}}\else
 \let\big\parabig@
 \textfont\z@\pararm  \scriptfont\z@\tenrm  \scriptscriptfont\z@\eightrm
 \textfont\@ne\parai  \scriptfont\@ne\teni  \scriptscriptfont\@ne\eighti
 \textfont\tw@\parasy \scriptfont\tw@\tensy \scriptscriptfont\tw@\eightsy
 \textfont\thr@@\tenex \scriptfont\thr@@\tenex \scriptscriptfont\thr@@\tenex
 \textfont\itfam\parait
 \textfont\slfam\parasl
 \textfont\bffam\parabf \scriptfont\bffam\tenbf
 \scriptscriptfont\bffam\eightbf
 \textfont\msbfam\paramsb \scriptfont\msbfam\tenmsb
 \scriptscriptfont\msbfam\eightmsb
 \fi
 \setbox\strutbox\hbox{\vrule height12\p@ depth5\p@ width\z@}%
 \setbox\strutbox@\hbox{\vrule height11.5\p@ depth4.5\p@ width\z@}%
 \normalbaselines\pararm\ex@=.2326ex}
%
\def\twelvebig@#1{{\hbox{$\left#1\vbox to10\p@{}\right.\n@space$}}}
\def\parabig@#1{{\hbox{$\left#1\vbox to12\p@{}\right.\n@space$}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Per il blackboard boldface uso la font msbm anziche` la msym
% ed attivo la font matematica \boldcal=cmbsy10 che si usa come \Cal.
% ATTENZIONE: \boldcal non puo` essere usata in sopra-scritto o
% sotto-scritto!!
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\Bbb\@ldBbb
\let\Bbb@@\@ldBbb@@
\def\Bbb{\relaxnext@\ifmmode\let\next\Bbb@\else
 \def\next{\Err@{Use \string\Bbb\space only in math mode}}\fi\next}
 \def\Bbb@#1{{\Bbb@@{#1}}}
\def\Bbb@@#1{\noaccents@\fam\msbfam#1}
\font\tenmbsy=cmbsy10
%\font\sevenbsy=cmbsy7 \font\fivebsy=cmbsy5
\newfam\bsyfam \textfont\bsyfam\tenmbsy
%\scriptfont\bsyfam\sevenbsy \scriptscriptfont\bsyfam\fivebsy
\def\boldcal{\relaxnext@\ifmmode\let\next\boldcal@\else
 \def\next{\Err@{Use \string\boldcal\space only in math mode}}\fi\next}
 \def\boldcal@#1{{\boldcal@@{#1}}}
\def\boldcal@@#1{\noaccents@\fam\bsyfam#1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Headings
% Definisco \headingfont e \headingscale che assegnano la font
% e la scala usata negli heading ed \headingskip che assegna lo spazio
% lasciato dopo l'heading. Per default \headingf@nt=\smc
% \headingsc@le=ten \headingskip@=\medskipamount.
% Uso: \headingfont\bf   \headingscale{para}
% Definisco inoltre \para#1#2 che e` come \heading #1\endheading ma in
% piu` numera progressivamente  i paragrafi. Inoltre se #2=. non fa
% niente, altrimenti definisce la label \#2 che contiene il numero
% progressivo. 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\@ldheading=\heading
\let\@ldendheading=\endheading
\def\poi@{\ifx\poi [ \def\poi@@[##1]{\unskip\cr\vrule
 height##1 width0pt}\else%
 \def\poi@@{\cr}\fi\poi@@}
\def\heading{\relaxnext@
 \def\nextii@{\headingbreak\bgroup
 \def\\{\futurelet\poi\poi@}
 \global\setbox\headingbox@\vbox\bgroup\tabskip\z@\filhss@
 \halign to\hsize\bgroup\@cs@name{\the\headingsc@le point}%
 \headingf@nt\hfil\ignorespaces####\unskip\hfil\cr}%
 \overlong@
 \futurelet\next\next@}
\def\endheading{\cr\egroup\egroup\egroup\box\headingbox@
 \nobreak\vskip\headingskip@}              %%%% originalmente \medskip
\def\headingfont#1{\gdef\headingf@nt{#1}\let\headingfn#1}
\gdef\headingf@nt{\smc}
\newtoks\headingsc@le
\headingsc@le={ten}
\def\headingscale#1{\headingsc@le={#1}}
\newskip\headingskip@
\def\headingskip#1{\headingskip@=#1}
\headingskip@=\medskipamount
\def\headingbreak{\ifdim\lastskip<2\headingskip@\removelastskip\penalty-200
 \vskip2\headingskip@\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\num@ropr@gressivopara{\number\p@ragrafo}
\def\para#1#2{\global\advance\p@ragrafo1\global\@nunciato=0
 \ifx #2.\def\parl@bel{}\else%
 \expandafter\xdef\csname para#2\endcsname{\num@ropr@gressivopara}%
 \writedef@\fix{para#2}{\num@ropr@gressivopara}%
 \def\parl@bel{\tt\string\ilpara\string{#2\string}}\fi%
 \iflibr@%
 \writ@indice{\string\smc\string\S\num@ropr@gressivopara:}{\string\smc\space%
 #1}{50}{30}\fi%
 \ifb@zza\def\tit@lopara{\llap{\parl@bel\kern 10%
 pt}\ignorespaces\num@ropr@gressivopara.\ #1}%
 \else\def\tit@lopara{\num@ropr@gressivopara.\ #1}\fi%
 \heading\tit@lopara\iflibr@\writ@pag%\write\indice{pag. \folio^^J}
 \fi\endheading}
\def\ilpara#1{\S\l@pa{para#1}{\diamondsuit.\clubsuit}{PARAGRAFO}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Enunciati
% Definisco \enufont e \enuscale che assegnano la font
% e la scala usata negli enunciati (\proclaim).
% Per default \enuf@nt=\smc \enusc@le=ten.
% Uso: \enufont{\bf-it-\sl-\smc} \enuscale{eight-ten-twelve-para}
% Definisco inoltre \enu che agisce come \proclaim ma in piu` numera
% progressivamente gli enunciati. Ed ha un argomento in piu` che puo`
% essere o un punto ( ed in tal caso non succede niente) od una
% control-ward che e` una label per richiamare il numero progressivo.
% Le istruzioni per definire tale label vengono scritte nel file
% fix/jobname, che viene caricato automaticamente da \document.
% Definisco infine lo switch \bozza che se attivato fa scrivere
% accanto ad ogni enunciato (\enu) la sua label (se e` definita).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\ifenglish@ \def\english{\global\english@true}
\def\italiano{\global\english@false}
\italiano
\newwrite\fix
\def\enufont#1{\gdef\enuf@nt{#1}\let\enufn#1}
\gdef\enuf@nt{\smc}\let\enufn=\enuf@nt
\newtoks\enusc@le \enusc@le={ten} \def\enuscale#1{\enusc@le={#1}}
\let\@ldinnerproclaim@=\innerproclaim@
\def\innerproclaim@{\relaxnext@\nofrills@{.\enspace}\proclaim@
 \def\nextii@##1{\medbreak\arf\noindent\def\next{8}%
  \ifx\pointsize@\next\uppercase
  {\usualspace@{{\rm\enspace}}\ignorespaces\rm##1\unskip\proclaim@}\else
  {\usualspace@{{\enuf@nt\enspace}}{\@cs@name{\the\enusc@le point}\enuf@nt\ignorespaces##1}\unskip\proclaim@}\fi
  \sl
  \ifproclaim@\Err@{Previous 
 \string\proclaim\space has no matching
 \string\endproclaim}\else\proclaim@true\fi\ignorespaces}%
 \futurelet\next\next@}
\def\innerendproclaim@{\proclaim@false\parf\rm
 \ifdim\lastskip<\medskipamount\removelastskip\penalty55 \medskip\fi}
\def\demo{\relaxnext@\nofrills@{:\enspace}\demo@
 \def\nextii@##1{\parf\ifdim\lastskip<\smallskipamount\removelastskip
  \smallskip\fi\noindent{\usualspace@{{\smc\enspace}}%
  \smc\ignorespaces##1\unskip\demo@}\rm
  \ifproclaim@\Err@{Previous \expandafter
  \eat@\string\\proclaim had no matching \expandafter
  \eat@\string\\endproclaim}\fi\ignorespaces}%
 \futurelet\next\next@}
\def\enddemo{\parf\smallskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcount\@nunciato \@nunciato=0
\newcount\p@ragrafo \p@ragrafo=0
\def\nomefile{\jobname.tex}
\newif\ifb@zza \b@zzafalse
\def\bozza{%
 \global\b@zzatrue\global\R@nHeadstrue\global\Fondop@ginatrue
 \global\logo@false\global\P@geNumbersfalse
 \gdef\capopaginapari{{\eightbf BOZZA --- {\eighttt\nomefile}}\ ---\ \oggi} 
 \global\let\capopaginadispari\capopaginapari
 \global\def\fondopaginapari{D. Luminati}
 \global\let\fondopaginadispari\fondopaginapari
 \slittamentopari=.7 cm
 \slittamentodispari=.7 cm}
\newif\ifind@x \ind@xfalse \def\index{\global\ind@xtrue}
\def\num@ropr@gressivoenu{\number\p@ragrafo.\number\@nunciato}
\def\enu#1{\global\advance\@nunciato1
 \def\d@po@##1{\ifx\d@po.
 \xdef\tit@loenu{#1 \num@ropr@gressivoenu}
 \else
 \writedef@\fix{\expandafter\eat@\string##1}{\num@ropr@gressivoenu}
 \xdef##1{\num@ropr@gressivoenu}
 \ifb@zza
 \xdef\tit@loenu{\llap{\eighttt\string##1\ }\unskip#1
 \num@ropr@gressivoenu}
 \else
 \def\tit@loenu{#1 \num@ropr@gressivoenu}
 \fi
 \fi
 \innerproclaim@{\tit@loenu}}\futurelet\d@po\d@po@}
\def\Te@{\ifenglish@ Theorem \else Teorema \fi}
\def\Prop@{\ifenglish@ Proposition \else Proposizione \fi}
\def\Def@{\ifenglish@ Definition \else Definizione \fi}
\def\Oss@{\ifenglish@ Remark \else Osservazione \fi}
\def\Es@{\ifenglish@ Example \else Esempio \fi}
\def\teo{\enu{\Te@}}
\def\prop{\enu{\Prop@}}
\def\defi{\enu{\Def@}}
\def\lem{\enu{Lemma}}
\def\rem#1{\enu{\Oss@}#1\rm}
\def\ex#1{\enu{\Es@}#1\rm}
\let\finenu\endproclaim
\def\lapa#1{\l@pa{#1}{\diamondsuit.\clubsuit.\spadesuit}{ENUNCIATO}}
\let\lenu\lapa
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% item
% Definisco la dimensione \itemindent, che e` l'indentazione degli
% item. Default \itemindent=3\parindet (\parindent=10pt)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\let\@ldrosteritem@\rosteritem@
\let\@ldtextindent\textindent
\let\@lditemitem\itemitem
\def\itemitem#1{\par\arf\noindent\leftskip1.5\itemindent\noindent\llap{#1\kern5\p@}\ignorespaces}
\newdimen\itemindent \itemindent=3\parindent
\def\roster{\edef\leftskip@{\leftskip\the\leftskip}\relaxnext@
 \rostercount@\z@\def\item{\futurelet\next\rosteritem@}%
 \def\next@{\ifx\next\runinitem\let\next\nextii@\else
  \let\next\nextiii@\fi\next}%
 \def\nextii@\runinitem{\unskip
  \def\next@{\ifx\next[\let\next\nextii@\else
   \ifx\next"\let\next\nextiii@\else\let\next\nextiv@\fi\fi\next}%
  \def\nextii@[####1]{\rostercount@####1\relax
   \enspace{\rm(\number\rostercount@)}~\ignorespaces}%
  \def\nextiii@"####1"{\enspace{\rm####1}~\ignorespaces}%
  \def\nextiv@{\enspace{\rm(1)}\rostercount@\@ne~}%
  \par@\firstitem@false
  \futurelet\next\next@}%
 \def\nextiii@{\parf\par@\penalty\@m\smallskip\vskip-\parskip
  \firstitem@true}%
 \futurelet\next\next@}
\def\rosteritem@{\iffirstitem@\firstitem@false\else\parf\vskip-\parskip\fi
 \leftskip\itemindent\noindent
 \def\next@[##1]{\rostercount@##1\relax
  \llap{\hbox to2.5\parindent{\hss\rm(\number\rostercount@)}\hskip
  5\p@}\ignorespaces}%
 \def\nextii@"##1"{%
  \llap{\hbox to2.5\parindent{\hss\rm##1}\hskip5\p@}\ignorespaces}%
 \def\nextiii@{\advance\rostercount@\@ne
  \llap{\hbox to2.5\parindent{\hss\rm(\number\rostercount@)}\hskip
  5\p@}}%
 \ifx\next[\let\next\next@\else\ifx\next"\let\next\nextii@\else
 \let\next\nextiii@\fi\fi\next}
\def\endroster{\relaxnext@\parf\leftskip@
 \penalty-50 \vskip-\parskip\smallskip
 \def\next@{\ifx\next\Runinitem\let\next@\relax
  \else\nextRunin@false\let\item\plainitem@\ifx\next\par
  \def\next@\par{\everypar=\expandafter{\the\everypartoks@}}%
  \else\def\next@{\noindent\everypar=\expandafter{\the\everypartoks@}}%
  \fi\fi\next@}%
 \futurelet\next\next@}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Bibliografia
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\if@riginal \global\@riginalfalse \def\original{\global\@riginaltrue}
\let\Refs\relax
\let\ref\relax
\newtoks\bibsc@le \def\bibscale#1{\bibsc@le={#1}} \bibsc@le={eight}
\newcount\bib@ \bib@=\z@
\newwrite\bibl@
\newdimen\bibind@nt \bibind@nt=\parindent
\def\c@label#1{\expandafter\ifx\csname #1\endcsname\relax$\spadesuit$%
 \WRER@{\eatt@#1}{BIBLIOGRAFIA}\else\@cs@name{#1}\fi}%
\def\cite#1{\relaxnext@
 \def\nextiii@##1,##2\end@{{\rm[{\bf\c@label{bib##1}},##2]}}%
 \in@,{#1}\ifin@\def\next{\nextiii@#1\end@}\else
 \def\next{{\rm[{\bf\c@label{bib#1}}]}}\fi\next}
\def\setpunct@{\def\prepunct@{\ifnum\lastpenalty<0
 \edef\penalty@{\penalty\the\lastpenalty}\ifafterbook@''\fi\unpenalty,
  \penalty@\relax\space\else
 \ifdim\lastskip=\@ne sp\unskip\unskip
 \edef\penalty@{\penalty\the\lastpenalty}\ifafterbook@''\fi\unpenalty,
  \penalty@\relax\space
 \else\ifafterbook@''\fi,\space\fi\fi\afterbook@false}}
\let\@ldendref\endref
\def\@ldref{\begingroup%
 \noindent\hangindent20\p@\hangafter\@ne\firstref@true%
 \lastref@false\def\moreref{\egroup\ifnum\bib@=0\else\endref@\fi\global\firstref@false\ref@}\ref@}%
\def\@ldRefs{\immediate\openout\bibl@=biblabel\jobname%
 \relaxnext@\def\refskip@{\hskip\@ne sp\hskip\m@ne sp}%
 \def\next@{\ifx\next\nofrills\def\next@\nofrills{\nextii@}\else%
  \def\next@{\nextii@{References}}\fi\next@}%
 \def\nextii@##1{\headingbreak\hbox to\hsize%
  {\hfil\@cs@name{\the\headingsc@le point}%
  \headingf@nt\ignorespaces##1\unskip\hfil}\nobreak%
  \vskip\headingskip@\@cs@name{\the\bibsc@le point}\sfcode`.=\@m}%
 \futurelet\next\next@}%
\def\@ldendref@{\let\prepunct@\relax%
 \iffirstref@%
  \ifno@\hbox to20\p@{\hss\unhbox\nobox@\unskip. }\else\unskip\hbox to10\p@{}\fi%
  \ifkey@\unhbox\keybox@\ifx\label.\writedef@\bibl@{bib\keystring@}{\keystring@}\else\writedef@\bibl@{bib\label}{\keystring@}\fi\unskip\ \fi%
  \ifmanyby@%
   \ifby@\hbox{\unhcopy\bybox@\unskip}\setpunct@%
  \global\setbox\bysamebox@\hbox{\unhcopy\bybox@\unskip}\else%
  \ifbysame@\ifdim\wd\bysamebox@>\maxbysamerule@%
    \hbox to\maxbysamerule@{\leaders\hrule\hfill}\else%
    \hbox to \wd\bysamebox@{\leaders\hrule\hfill}\fi\setpunct@\fi%
   \fi%
  \else%
  \ifby@\unhcopy\bybox@\unskip\setpunct@\fi\fi%
 \fi%
 \ifpaper@\ppunbox@\paperbox@\setpunct@\fi%
 \ifpaperinfo@\ppunbox@\paperinfobox@\setpunct@\fi%
 \ifjour@\ppunbox@\jourbox@\setpunct@%
   \ifvol@\ \unhbox\volbox@\unskip\setpunct@\fi%
   \ifissue@\ \unhbox\issuebox@\unskip\setpunct@\fi%
   \ifyr@\ (\unhbox\yrbox@\unskip)\setpunct@\fi%
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi%
   \ifpages@\ppunbox@\pagesbox@\setpunct@\fi%
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
 \else%
  \ifprevjour@\unskip\nojourinfo@false%
   \ifvol@\else\ifissue@\else\ifyr@\else\nojourinfo@true\fi\fi\fi%
   \ifnojourinfo@\else,\fi%
   \ifvol@\ \unhbox\volbox@\unskip\setpunct@\fi%
   \ifissue@\ \unhbox\issuebox@\unskip\setpunct@\fi%
   \ifyr@\ (\unhbox\yrbox@\unskip)\setpunct@\fi%
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi%
   \ifpages@\ppunbox@\pagesbox@\setpunct@\fi%
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
  \fi%
 \fi%
 \ifbook@\prepunct@``\unhbox\bookbox@\unskip\afterbook@true\setpunct@\fi%
 \ifinbook@\prepunct@\unskip\ in ``\unhbox\bookbox@\unskip\afterbook@true%
  \setpunct@\global\book@true\fi%
 \ifbookinfo@\ppunbox@\bookinfobox@\setpunct@\fi%
 \ifpubl@\ppunbox@\publbox@\setpunct@\fi%
 \ifpubladdr@\ppunbox@\publaddrbox@\setpunct@\fi%
 \ifbook@%
  \ifyr@\prepunct@\unhbox\yrbox@\unskip\setpunct@\fi%
  \iftoappear@\ifafterbook@''\fi\ (to appear)\afterbook@false%
   \setpunct@\fi%
  \ifpages@\prepunct@ pp.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
  \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
 \else%
  \ifprevinbook@\unskip%
   \ifyr@\prepunct@\unhbox\yrbox@\unskip\setpunct@\fi%
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi%
   \ifpages@\prepunct@ pp.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi%
  \fi%
 \fi%
\iffinalinfo@.\ifafterbook@''\fi\afterbook@false%
\spacefactor3000\relax\space\unhbox\finalinfobox@\else%
 \iflastref@.\ifafterbook@''\fi\afterbook@false\else;\ifafterbook@''\fi%
  \afterbook@false\space\fi%
\fi}
\def\n@wRefs{\immediate\openout\bibl@=biblabel\jobname%
 \relaxnext@\def\refskip@{\hskip\@ne sp\hskip\m@ne sp}%
 \def\next@{\ifx\next\nofrills\def\next@\nofrills{\nextii@}\else
  \def\next@{\nextii@{References}}\fi\next@}%
 \def\nextii@##1##2\endRefs{\headingbreak\hbox to\hsize{\hfil\@cs@name{\the\headingsc@le point}
  \headingf@nt\ignorespaces##1\unskip\hfil}\nobreak
  \vskip\headingskip@\@cs@name{\the\bibsc@le point}\sfcode`.=\@m\loop\ifnum\bib@<2{##2}\advance\bib@1\nl\vskip-\baselineskip\repeat\vskip\baselineskip}%
 \futurelet\next\next@}
\def\n@wkey{\egroup\ignorespaces\futurelet\next\nextk@}
\def\nextk@{\ifx\next[%
 \def\l@key[##1]##2{\gdef\label{##1}\key@true%
  \setbox\keybox@\hbox{[{\bf\ignorespaces##2}]\puad}%
  \def\keystring@{##2}\bgroup}%
 \else%
  \def\l@key##1{\global\let\label.\key@true%
   \setbox\keybox@\hbox{[{\bf\ignorespaces##1}]\puad}%
   \def\keystring@{##1}\bgroup}%
 \fi\l@key}
\def\n@wref{\if@riginal\@ldref\else\begingroup
 \noindent\leftskip\bibind@nt\firstref@true
 \lastref@false\def\moreref{\egroup\ifnum\bib@=0\else\n@wendref@\fi\global\firstref@false\ref@}\ref@\fi}
\def\n@wendref@{\let\prepunct@\relax
 \iffirstref@
  \ifno@\llap{\hbox to\bibind@nt {\hss\unhbox\nobox@. }}\fi
  \ifkey@\unskip\llap{\hbox to\bibind@nt{\hss\unhbox\keybox@ }}
  \ifx\label.\writedef@\bibl@{bib\keystring@}{\keystring@}\else\writedef@\bibl@{bib\label}{\keystring@}\fi\unskip\fi
  \ifmanyby@
   \ifby@\hbox{\unhcopy\bybox@\unskip}\setpunct@
  \global\setbox\bysamebox@\hbox{\unhcopy\bybox@\unskip}\else
  \ifbysame@\ifdim\wd\bysamebox@>\maxbysamerule@
    \hbox to\maxbysamerule@{\leaders\hrule\hfill}\else
    \hbox to \wd\bysamebox@{\leaders\hrule\hfill}\fi\setpunct@\fi
   \fi
  \else
  \ifby@\unhcopy\bybox@\unskip\setpunct@\fi\fi
 \fi
 \ifpaper@\ppunbox@\paperbox@\setpunct@\fi
 \ifpaperinfo@\ppunbox@\paperinfobox@\setpunct@\fi
 \ifjour@\ppunbox@\jourbox@\setpunct@
   \ifvol@\ \unhbox\volbox@\unskip\setpunct@\fi
   \ifissue@\ \unhbox\issuebox@\unskip\setpunct@\fi
   \ifyr@\ (\unhbox\yrbox@\unskip)\setpunct@\fi
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi
   \ifpages@\ppunbox@\pagesbox@\setpunct@\fi
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
 \else
  \ifprevjour@\unskip\nojourinfo@false
   \ifvol@\else\ifissue@\else\ifyr@\else\nojourinfo@true\fi\fi\fi
   \ifnojourinfo@\else,\fi
   \ifvol@\ \unhbox\volbox@\unskip\setpunct@\fi
   \ifissue@\ \unhbox\issuebox@\unskip\setpunct@\fi
   \ifyr@\ (\unhbox\yrbox@\unskip)\setpunct@\fi
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi
   \ifpages@\ppunbox@\pagesbox@\setpunct@\fi
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
  \fi
 \fi
 \ifbook@\prepunct@``\unhbox\bookbox@\unskip\afterbook@true\setpunct@\fi
 \ifinbook@\prepunct@\unskip\ in ``\unhbox\bookbox@\unskip\afterbook@true
  \setpunct@\global\book@true\fi
 \ifbookinfo@\ppunbox@\bookinfobox@\setpunct@\fi
 \ifpubl@\ppunbox@\publbox@\setpunct@\fi
 \ifpubladdr@\ppunbox@\publaddrbox@\setpunct@\fi
 \ifbook@
  \ifyr@\prepunct@\unhbox\yrbox@\unskip\setpunct@\fi
  \iftoappear@\ifafterbook@''\fi\ (to appear)\afterbook@false
   \setpunct@\fi
  \ifpages@\prepunct@ pp.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
  \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
 \else
  \ifprevinbook@\unskip
   \ifyr@\prepunct@\unhbox\yrbox@\unskip\setpunct@\fi
   \iftoappear@\ (to appear)\setpunct@\fi
   \ifpages@\prepunct@ pp.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
   \ifpage@\prepunct@ p.\ \unhbox\pagesbox@\unskip\setpunct@\fi
  \fi
 \fi
\iffinalinfo@.\ifafterbook@''\fi\afterbook@false
\spacefactor3000\relax\space\unhbox\finalinfobox@\else
 \iflastref@.\ifafterbook@''\fi\afterbook@false\else;\ifafterbook@''\fi
  \afterbook@false\space\fi
\fi}
\def\n@wendref{\egroup\global\lastref@true\ifnum\bib@=0%
\global\bibind@nt=\massimo{\bibind@nt}{\wd\keybox@}%
\else\n@wendref@\par\medbreak\fi\global\prevjour@false\global
\previnbook@false\endgroup}
\def\massimo#1#2{\ifdim#1<#2#2\else#1\fi}
%
\def\Refs{\if@riginal
\global\let\key\n@wkey
\global\let\Refs\@ldRefs
\global\let\ref\@ldref
\global\let\endref\@ldendref
\global\let\endRefs\relax
\global\let\endref@\@ldendref@
\else
\global\let\key\n@wkey
\global\let\Refs\n@wRefs
\global\let\ref\n@wref
\global\let\endref\n@wendref
\global\let\endref@\n@wendref@
\fi\Refs}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   FIGURE   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PSFIG modificato
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newwrite\@unused
\def\typeout#1{{\let\protect\string\immediate\write\@unused{#1}}}
\typeout{psfig: version 1.1}
\def\psglobal#1{
\typeout{psfig: including #1 globally}
\immediate\special{ps:plotfile #1 global}}
\def\psfiginit{\typeout{psfiginit}
\immediate\psglobal{/usr/lib/ps/figtex.pro}}
%
% @psdo control structure -- similar to Latex @for.
% I redefined these with different names so that psfig can
% be used with TeX as well as LaTeX, and so that it will not 
% be vunerable to future changes in LaTeX's internal
% control structure,
%
\def\@nnil{\@nil}
\def\@empty{}
\def\@psdonoop#1\@@#2#3{}
\def\@psdo#1:=#2\do#3{\edef\@psdotmp{#2}\ifx\@psdotmp\@empty \else
    \expandafter\@psdoloop#2,\@nil,\@nil\@@#1{#3}\fi}
\def\@psdoloop#1,#2,#3\@@#4#5{\def#4{#1}\ifx #4\@nnil \else
       #5\def#4{#2}\ifx #4\@nnil \else#5\@ipsdoloop #3\@@#4{#5}\fi\fi}
\def\@ipsdoloop#1,#2\@@#3#4{\def#3{#1}\ifx #3\@nnil 
       \let\@nextwhile=\@psdonoop \else
      #4\relax\let\@nextwhile=\@ipsdoloop\fi\@nextwhile#2\@@#3{#4}}
\def\@tpsdo#1:=#2\do#3{\xdef\@psdotmp{#2}\ifx\@psdotmp\@empty \else
    \@tpsdoloop#2\@nil\@nil\@@#1{#3}\fi}
\def\@tpsdoloop#1#2\@@#3#4{\def#3{#1}\ifx #3\@nnil 
       \let\@nextwhile=\@psdonoop \else
      #4\relax\let\@nextwhile=\@tpsdoloop\fi\@nextwhile#2\@@#3{#4}}
% 
%
\def\psdraft{
	\def\@psdraft{0}
	%\typeout{draft level now is \@psdraft \space . }
}
\def\psfull{
	\def\@psdraft{100}
	%\typeout{draft level now is \@psdraft \space . }
}
\psfull
\newif\if@prologfile
\newif\if@postlogfile
%%% These are for the option list.
%%% A specification of the form a = b maps to calling \@p@@sa{b}
\newif\if@bbllx
\newif\if@bblly
\newif\if@bburx
\newif\if@bbury
\newif\if@height
\newif\if@width
\newif\if@rheight
\newif\if@rwidth
\newif\if@clip
\def\@p@@sclip#1{\@cliptrue}
\def\@p@@sfile#1{%\typeout{file is #1}
		   \def\@p@sfile{\figp@th/#1}
\def\@@@p@{#1}
}
\def\@p@@sfigure#1{\def\@p@sfile{\figp@th/#1}\def\@@@p@{#1}}
\def\@p@@sbbllx#1{
		%\typeout{bbllx is #1}
		\@bbllxtrue
		\dimen100=#1
		\edef\@p@sbbllx{\number\dimen100}
}
\def\@p@@sbblly#1{
		%\typeout{bblly is #1}
		\@bbllytrue
		\dimen100=#1
		\edef\@p@sbblly{\number\dimen100}
}
\def\@p@@sbburx#1{
		%\typeout{bburx is #1}
		\@bburxtrue
		\dimen100=#1
		\edef\@p@sbburx{\number\dimen100}
}
\def\@p@@sbbury#1{
		%\typeout{bbury is #1}
		\@bburytrue
		\dimen100=#1
		\edef\@p@sbbury{\number\dimen100}
}
\def\@p@@sheight#1{
		\@heighttrue
		\dimen100=#1
   		\edef\@p@sheight{\number\dimen100}
		%\typeout{Height is \@p@sheight}
}
\def\@p@@swidth#1{
		%\typeout{Width is #1}
		\@widthtrue
		\dimen100=#1
		\edef\@p@swidth{\number\dimen100}
}
\def\@p@@srheight#1{
		%\typeout{Reserved height is #1}
		\@rheighttrue
		\dimen100=#1
		\xdef\@p@srheight{\number\dimen100}
}
\def\@p@@srwidth#1{
		%\typeout{Reserved width is #1}
		\@rwidthtrue
		\dimen100=#1
		\xdef\@p@srwidth{\number\dimen100}
}
\def\@p@@sprolog#1{\@prologfiletrue\def\@prologfileval{#1}}
\def\@p@@spostlog#1{\@postlogfiletrue\def\@postlogfileval{#1}}
\def\@setparms#1=#2,{\@cs@name{@p@@s#1}{#2}}
%
% initialize the defaults (size the size of the figure)
%
\def\ps@init@parms{
		\@bbllxfalse \@bbllyfalse
		\@bburxfalse \@bburyfalse
		\@heightfalse \@widthfalse
		\@rheightfalse \@rwidthfalse
		\def\@p@sbbllx{}\def\@p@sbblly{}
		\def\@p@sbburx{}\def\@p@sbbury{}
		\def\@p@sheight{}\def\@p@swidth{}
		\def\@p@srheight{}\def\@p@srwidth{}
		\def\@p@sfile{}
		\def\@p@scost{10}
		\def\@sc{}
		\@prologfilefalse
		\@postlogfilefalse
		\@clipfalse
}
%
% Go through the options setting things up.
%
\def\parse@ps@parms#1{
	 	\@psdo\@psfiga:=#1\do
		   {\expandafter\@setparms\@psfiga,}}
%
% Compute bb height and width
%
\newif\ifno@bb
\newif\ifnot@eof
\newread\ps@stream
\def\bb@missing{
	\typeout{psfig: searching \@p@sfile \space  for bounding box}
	\openin\ps@stream=\@p@sfile
	\no@bbtrue
	\not@eoftrue
	\catcode`\%=12
	\loop
		\read\ps@stream to \line@in
		\global\toks200=\expandafter{\line@in}
		\ifeof\ps@stream \not@eoffalse \fi
		%\typeout{ looking at :: \the\toks200 }
		\@bbtest{\toks200}
		\if@bbmatch\not@eoffalse\expandafter\bb@cull\the\toks200\fi
	\ifnot@eof \repeat
	\catcode`\%=14
}	
\catcode`\%=12
\newif\if@bbmatch
\def\@bbtest#1{\expandafter\@a@\the#1%%BoundingBox:\@bbtest\@a@}
\long\def\@a@#1%%BoundingBox:#2#3\@a@{\ifx\@bbtest#2\@bbmatchfalse\else\@bbmatchtrue\fi}
\long\def\bb@cull#1 #2 #3 #4 #5 {
	\dimen100=#2 bp\edef\@p@sbbllx{\number\dimen100}
	\dimen100=#3 bp\edef\@p@sbblly{\number\dimen100}
	\dimen100=#4 bp\edef\@p@sbburx{\number\dimen100}
	\dimen100=#5 bp\edef\@p@sbbury{\number\dimen100}
	\no@bbfalse
}
\catcode`\%=14
%
\def\compute@bb{
		\no@bbfalse
		\if@bbllx \else \no@bbtrue \fi
		\if@bblly \else \no@bbtrue \fi
		\if@bburx \else \no@bbtrue \fi
		\if@bbury \else \no@bbtrue \fi
		\ifno@bb \bb@missing \fi
		\ifno@bb \typeout{FATAL ERROR: no bb supplied or found}
			\no-bb-error
		\fi
		%
		\count203=\@p@sbburx
		\count204=\@p@sbbury
		\advance\count203 by -\@p@sbbllx
		\advance\count204 by -\@p@sbblly
		\edef\@bbw{\number\count203}
		\edef\@bbh{\number\count204}
		%\typeout{ bbh = \@bbh, bbw = \@bbw }
}
%
% \in@hundreds performs #1 * (#2 / #3) correct to the hundreds,
%	then leaves the result in @result
%
\def\in@hundreds#1#2#3{\count240=#2 \count241=#3
		     \count100=\count240	% 100 is first digit #2/#3
		     \divide\count100 by \count241
		     \count101=\count100
		     \multiply\count101 by \count241
		     \advance\count240 by -\count101
		     \multiply\count240 by 10
		     \count101=\count240	%101 is second digit of #2/#3
		     \divide\count101 by \count241
		     \count102=\count101
		     \multiply\count102 by \count241
		     \advance\count240 by -\count102
		     \multiply\count240 by 10
		     \count102=\count240	% 102 is the third digit
		     \divide\count102 by \count241
		     \count200=#1\count205=0
		     \count201=\count200
			\multiply\count201 by \count100
		 	\advance\count205 by \count201
		     \count201=\count200
			\divide\count201 by 10
			\multiply\count201 by \count101
			\advance\count205 by \count201
			%
		     \count201=\count200
			\divide\count201 by 100
			\multiply\count201 by \count102
			\advance\count205 by \count201
			%
		     \edef\@result{\number\count205}
}
\def\compute@wfromh{
		% computing : width = height * (bbw / bbh)
		\in@hundreds{\@p@sheight}{\@bbw}{\@bbh}
		%\typeout{ \@p@sheight * \@bbw / \@bbh, = \@result }
		\edef\@p@swidth{\@result}
		%\typeout{w from h: width is \@p@swidth}
}
\def\compute@hfromw{
		% computing : height = width * (bbh / bbw)
		\in@hundreds{\@p@swidth}{\@bbh}{\@bbw}
		%\typeout{ \@p@swidth * \@bbh / \@bbw = \@result }
		\edef\@p@sheight{\@result}
		%\typeout{h from w : height is \@p@sheight}
}
\def\compute@handw{
		\if@height 
			\if@width
			\else
				\compute@wfromh
			\fi
		\else 
			\if@width
				\compute@hfromw
			\else
				\edef\@p@sheight{\@bbh}
				\edef\@p@swidth{\@bbw}
			\fi
		\fi
}
\def\compute@resv{
		\if@rheight \else \xdef\@p@srheight{\@p@sheight} \fi
		\if@rwidth \else \xdef\@p@srwidth{\@p@swidth} \fi
}
%		
% Compute any missing values
\def\compute@sizes{
	\compute@bb
	\compute@handw
	\compute@resv
}
%
% \psfig
% usage : \psfig{file=, height=, width=, bbllx=, bblly=, bburx=, bbury=,
%			rheight=, rwidth=, clip=}
%
% "clip=" is a switch and takes no value, but the = must be preset.
\def\psfig#1{\vbox {
	% do a zero width hard space so that a single
	% \psfig in a centering enviornment will behave nicely
	%{\setbox0=\hbox{\ }\ \hskip-\wd0}
	%
	\ps@init@parms
	\parse@ps@parms{#1}
	\compute@sizes
	%
	\ifnum\@p@scost<\@psdraft{
		\typeout{psfig: including \@p@sfile \space }
		%
		\ifm@cint@sh
		\vbox to \@p@srheight true sp{
		\vfil
			\hbox to \@p@srwidth true sp{
		\special{figure #1 scaled \sc@l@}
				\hfil
			}
		}
		\else
		\special{ps::[begin] 	\@p@swidth \space \@p@sheight \space
				\@p@sbbllx \space \@p@sbblly \space
				\@p@sbburx \space \@p@sbbury \space
				startTexFig \space }
		\if@clip{
			\typeout{(clip)}
			\special{ps:: \@p@sbbllx \space \@p@sbblly \space
				\@p@sbburx \space \@p@sbbury \space
				doclip \space }
		}\fi
		\if@prologfile
		    \special{ps: plotfile \@prologfileval \space } \fi
		\special{ps: plotfile \@p@sfile \space }
		\if@postlogfile
		    \special{ps: plotfile \@postlogfileval \space } \fi
		\special{ps::[end] endTexFig \space }
		% Create the vbox to reserve the space for the figure
		\vbox to \@p@srheight true sp{
			\hbox to \@p@srwidth true sp{
				\hfil
			}
		\vfil
		}
		\fi
	}\else{
		% draft figure, just reserve the space and print the
		% path name.
		\vbox to \@p@srheight true sp{\hrule width\@p@srwidth true sp\vss
\hbox to \@p@srwidth true sp{\vrule height\@p@srheight true sp\hss \vbox to\@p@srheight true sp{\vss\hbox to \@p@srwidth true sp{\hss{\eightpoint\smc\figp@th}\hss}\hbox to \@p@srwidth true sp{\hss{\twelvepoint\smc\@@@p@}\hss}\vss} \hss\vrule height\@p@srheight true sp}
\vss\hrule width\@p@srwidth true sp}
	}\fi
}}
\def\figpath#1{\gdef\figp@th{#1}}
\def\figp@th{.}
\newif\ifm@cint@sh\def\mac{\global\m@cint@shtrue} \global\m@cint@shfalse
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Macro
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcount\figu \figu=1
\newdimen\l@rgh@zz@fig\newdimen\@lt@zz@fig\newdimen\aaa%
\newdimen\alt\newdimen\vertic\newdimen\toll\newdimen\riga%
\newcount\sc@l@\newcount\d@\newcount\elle\newcount\m%
\newbox\retic@l@ \newbox\num@rof
%
\newcount\pin@ \newcount\rig@ \newcount\v@rtic
\newcount\t@ll \newcount\@ltezza \newcount\b@s@
\def\ilfigu#1{\ifnum#1<0%
 {\uppercase\expandafter{\romannumeral-#1}}\else\number#1\fi}
\def\advancefigu{\ifnum\figu>0%
 \global\advance\figu1\else\global\advance\figu-1\fi}
\def\setnum@rof#1{%
 \setbox\num@rof=\hbox to\wd#1{\hss{\rm Fig.~\ilfigu\figu}\hss}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%	\figboxps#1,#2,#3,#4,
%%%%%%	mette nel registro \box0 la figura #1.ps con una larghezza di
%%%%%%	W = #2 * #4 / 1000 truemm ad un'altezza  calcolata a partire
%%%%%%	da W e dalla bounding box se #3 = 0, altrimenti con un'altezza
%%%%%%	data da H = #3 * #4 / 1000.
%%%%%%	Viene definita inoltre la control-ward  \#1 che contiene 
%%%%%%	Fig.~\number\figu, per i riferimenti successivi alla figura
%%%%%%  e le istruzioni per definire tale label, vengono scritte nel
%%%%%%  file fix\jobname che viene caricato automaticamente scrivendo
%%%%%%  \document. Viene inoltre identificata la pagina della figura
%%%%%%  richiamabile mediante l'uso di \lapag{#1}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\figboxps#1,#2,#3,#4,{
        \l@rgh@zz@fig=#2 mm \@lt@zz@fig=#3 mm \sc@l@=#4
        \divide \l@rgh@zz@fig by 1000 \multiply \l@rgh@zz@fig by \sc@l@ 
\ifdim\@lt@zz@fig=0pt
    \setbox0=\hbox{\psfig{file=#1.ps,width=\l@rgh@zz@fig}}
\else
    \divide \@lt@zz@fig by 1000 \multiply \@lt@zz@fig by \sc@l@
    \setbox0=\hbox{\psfig{file=#1.ps,width=\l@rgh@zz@fig,height=\@lt@zz@fig}}
\fi
        \expandafter\xdef\csname #1\endcsname{\ilfigu\figu}
      \writedef@\fix{#1}{\ilfigu\figu}\writede@\fix{pag#1}{\number\pageno}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%	\metti#1#2#3
%%%%%%%	mette #1 in \box0 nel punto di coordinate X = #2 * W / 100
%%%%%%%	ed Y = #3 * H / 100, essendo le coordinate riferite 
%%%%%%%	all'angolo in basso a sinistra di \box0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%	\def\metti#1#2#3{%
%	\s@t {width}{#2}%
%	\s@t {height}{#3}%
%	\setbox1=\hbox{%
%	\rlap{\kern\v@ri@bil@width truesp%
%	\vbox to \@p@srheight truesp{\vss\hbox{#1}\kern\v@ri@bil@height truesp}
%	}%
%	\box0}%
%	\setbox0=\box1%
%	}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\s@t #1#2{%
\in@hundreds{#2}{\@cs@name{@p@sr#1}}{100}%
\expandafter\edef\csname v@ri@bil@#1\endcsname{\@result}}
%
\def\metti{\def\@p@scost{10}\futurelet\n@@xt\m@tti@}
\def\m@tti@{%
\ifx\n@@xt[{%
	%\ifnum\@p@scost<\@psdraft{%
		\gdef\m@tti@@[##1]##2##3##4{\m@tti{##1}{##2}{##3}{##4}}}%
	%\else%
	%	\gdef\m@tti@@[##1]##2##3##4{\relax}%
	%\fi}%%
\else{%
	%\ifnum\@p@scost<\@psdraft{%
		\gdef\m@tti@@##1##2##3{\m@tti{100}{##1}{##2}{##3}}}%
	%\else%
	%	\gdef\m@tti@@##1##2##3{\relax}%
	%\fi}%%
\fi%
\gdef\n@@xt{}\m@tti@@%
}
\def\m@tti#1#2#3#4{%
\s@t {width}{#3}{#1}%
\s@t {height}{#4}{#1}%
\setbox1=\hbox{%
\rlap{\kern\v@ri@bil@width truesp%
\vbox to \@p@srheight truesp{\vss\hbox{#2}\kern\v@ri@bil@height truesp}%%
}%
\box0}%
\setbox0=\box1%
}
\def\s@t #1#2#3{%\number100=#1  
\in@hundreds{#2}{\@cs@name{@p@sr#1}}{#3}
\expandafter\edef\csname v@ri@bil@#1\endcsname{\@result}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% \rete
%%%%%%%	sovrappone a \box0 un reticolo 10x10
%%%%%%%	utile per usare \metti
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\rete{\s@tretic@l@
\setbox1=\hbox{\copy\retic@l@\copy0}
\setbox0=\box1}
\def\s@tretic@l@{\setbox\retic@l@=\rlap{\rlap{%
 \hbox to \@p@srwidth true sp{\loop \ifnum \pin@<10
 \vrule height \@p@srheight true sp width .5 true pt \hss\advance\pin@1
 \repeat\pin@=0
 \vrule height \@p@srheight truesp width .5 truept}}%
 \vbox to\@p@srheight true sp{\loop \ifnum \pin@ <10
 \hrule height .5 true pt width \@p@srwidth true sp \vss\advance\pin@1
 \repeat\pin@=0
 \hrule height .5 truept width \@p@srwidth truesp}\hss}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%	\figura#1
%%%%%%%	mette la scritta Fig. \number\figu sotto \box#1
%%%%%%%	e scrive la box risultante
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\figura#1 {\setnum@rof{#1}\vbox{\box#1\box\num@rof}%
 \advancefigu}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%	\figuraps#1,#2,#3,#4,#5,
%%%%%%%	scrive la figura #1.ps, se #5 e` un numero positivo sotto la figura
%%%%%%%	mette la scritta Fig. \number\figu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\figuraps#1,#2,#3,#4,#5,{
\figboxps#1,#2,#3,#4,
\ifnum#5=0\vbox{\box0}%
\else\setnum@rof0\vbox{\copy0\box\num@rof}\advancefigu
\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%	\parfigura#1
%%%%%%%	lascia lo spazio necessario sulla destra della pagina per inserire
%%%%%%%	\box0 e ce la mette. Se #1 e` un numero positivo, mette sotto box0
%%%%%%%	la scritta Fig. \number\figu.
%%%%%%%	Vista l'elasticita` del TeX, puo` succedere che il numero di righe
%%%%%%%	accorciate, contenuto nel counter \elle sia troppo grande o troppo 
%%%%%%%	piccolo. Si puo` allora intervenire manualmente scrivendo
%%%%%%%	\advance\elle tot immediatamente dopo \parfigura, essendo tot l'eccesso
%%%%%%%	o il difetto di righe (con il segno opportuno.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\parfigura#1{%
\aaa=\@p@srwidth truesp%
\ifnum#1>0%
\setbox1=\box0%
\setnum@rof1\setbox0=\vbox{\box1\box\num@rof}\advancefigu%
\@ltezza=\@p@srheight%
\advance\@ltezza\b@s@%
\else%
\@ltezza=\@p@srheight%
\fi%
\setbox1=\vbox to 0 pt{\kern-0pt\llap{\kern\baselineskip%
\box0\kern\baselineskip}\vss}%
%%%
%trovanumerorighe
%%%%%
\elle=1\rig@=\b@s@%
\loop\ifnum\rig@<\@ltezza\advance\elle1\advance\rig@\b@s@\repeat%
\v@rtic=\rig@%
\t@ll=\b@s@\divide\toll4\multiply\toll3%
\advance\v@rtic-\@ltezza%
\ifnum\v@rtic<\t@ll\advance\elle1\fi%
%%%
\advance\aaa2\baselineskip%
\vadjust{\hfill\box1}\hangindent=-\aaa\hangafter=-\elle\unskip\ignorespaces}%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%% PARAGRAFI SUCCESSIVI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\parf{\par\arf}
\def\setm{\m=\prevgraf}
\def\arf{\setm\rf}
\def\rf{\ifnum\m<\elle
\nobreak\advance\elle-\m\hangindent=-\aaa
\hangafter=-\elle\else\elle=0\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\lafig#1{{\rm Fig.~\l@pa{#1}{\heartsuit}{FIGURA}}}
\def\lapag#1{{\rm pag.~\l@pa{pag#1}{\heartsuit}{FIGURA}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%		amsppt.mor   corretto			%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%  Switches to determine whether or not page numbers are wanted.
%
\newif\ifP@geNumbers	\P@geNumberstrue
\def\nopagenumbers{\global\P@geNumbersfalse}
%
%  Switches to determine if running heads are to be used.
%  To select a style with running heads, include the command
%  \userunningheads  in the input file.
%
\newif\ifR@nHeads	\R@nHeadsfalse
\def\capopagina{\global\R@nHeadstrue}
%
\newif\ifFondop@gina  \Fondop@ginafalse
\def\fondopagina{\global\Fondop@ginatrue}
%
\newif\iffr@nteretro  \fr@nteretrofalse
\def\fronteretro{\global\fr@nteretrotrue}
%
%  Define an appropriate headline, to be read by PLAIN's \makeheadline .
%  This is based on the headline example in the TeXbook, page 252.
%  Center the headline text and put page numbers at the outside corners.
%
\def\foliofont{\eightrm}
\def\headlinefont{\eightpoint}
%
\headline{\ifnum\ausilio=0\hfill\else%
 \vbox to0pt{\vss\hbox{\rlap{\iflin@\raise3pt\fi%
 \line{\headlinefont\ifodd\pageno\capop@ginadispari\else\capop@ginapari\fi}}%
 \iflin@\line{\hrulefill}\fi}\kern.5\baselineskip}\fi}
%
\newif\iflin@\lin@true\def\nolinea{\global\lin@false}
%
\def\capop@ginapari{%
\iffr@nteretro%
 \ifP@geNumbers%
  \capopaginapari\hfill%
 \else%
  \rlap{\tenbf{\folio}}%
  \hfill\capopaginapari%
 \fi%
\else%
 \ifP@geNumbers%
  \hfill\capopaginapari%
 \else%
  \capopaginapari\hfill\llap{\tenbf\folio}%
 \fi%
\fi%
}
%
\def\capop@ginadispari{%
\ifP@geNumbers%
 \hfill\capopaginadispari%
\else%
 \capopaginadispari\hfill%
 {\tenbf\folio}%
\fi%
}
%
\def\capopaginapari{}
\def\capopaginadispari{}
\def\fondopaginapari{}
\def\fondopaginadispari{}
%
\def\Fondop@ginapari{%
\iffr@nteretro%
 \ifP@geNumbers%
  \rlap{\foliofont\fondopaginapari}\hfill\tenpoint\folio\hfill%
 \else%
  \foliofont\fondopaginapari\hfill%
 \fi%
\else%
 \ifP@geNumbers%
  \hfill\tenpoint\folio\hfill \llap{\foliofont\fondopaginadispari}%
 \else%
  \hfill{\foliofont\fondopaginapari}%
 \fi%
\fi}
%
\def\Fondop@ginadispari{%
\ifP@geNumbers%
 \hfill\tenpoint\folio\hfill \llap{\foliofont\fondopaginadispari}%
\else%
 \hfill\foliofont\fondopaginadispari%
\fi}
%
\def\P@riodispari{\ifodd\pageno\Fondop@ginadispari\else\Fondop@ginapari\fi}
%
\def\Numer@no{\hfil\ifP@geNumbers\tenpoint\folio\fi\hfil}
%
\def\ultim@riga{\ifFondop@gina\P@riodispari\else\Numer@no\fi}
%
%  Modify the AMSPPT output routine to include (optional) running heads
%  and (optionally) exclude page numbers at the bottom.
%
\newdimen\slittamentopari    \slittamentopari=0pt
\newdimen\slittamentodispari \slittamentodispari=0pt
%
\def\slitt@mento{%
 \iffr@nteretro %
  \ifodd\pageno%
   \hoffset=\slittamentodispari%
  \else%
   \hoffset=\slittamentopari%
  \fi%
 \else%
  \hoffset=\slittamentodispari%
 \fi}
\def\output@{\slitt@mento%
 \ifnum\pageno=\@ne
\shipout%
  \vbox{\iflogo@\relax\else\ifR@nHeads\makeheadline\fi\fi\vbox to\vsize
      {\boxmaxdepth\maxdepth\pagecontents}\baselineskip2pc
      \iflogo@\hbox to\hsize{\hfil\eightpoint Typeset by \AmSTeX}\else\hbox to\hsize{\ultim@riga}\fi}%
     \else
   \shipout\vbox{\ifR@nHeads\makeheadline\fi \vbox to\vsize
    {\boxmaxdepth\maxdepth\pagecontents}\baselineskip2pc
      \hbox to\hsize{\ultim@riga}}    \fi
     \ifnum\pageno<0
      \global\advance\pageno-\@ne
     \else
      \global\advance\pageno\@ne
     \fi
    \ifnum\outputpenalty>-\@MM\else\dosupereject\fi\global\ausilio=1}
\let\myoutput\output@
\newcount\ausilio
\ausilio=1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%           OUTPUT SELETTIVO           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Definisco le macro \paginepari e \paginedispari che mandano in
% output nel file dvi solo le pagine pari e le pagine dispari.
% Definisco inoltre la macro \pagine{A:B,C:D, ... ,E:F,.} che manda in
% output nel  file dvi soltanto le pagine da A a B, da C a D, ... , da
% E a F. Attenzione deve essere A<=B<=C<=D<= ... <=E<=F.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\paginepari{\salt@dispari\output={\ifodd\pageno\emptyoutput%
 \else\myoutput\fi}}
\def\paginedispari{\salt@pari\output={\ifodd\pageno\myoutput%
 \else\emptyoutput\fi}}
\newtoks\arg@mentodirifai \newtoks\arg@mentodipagine
\newtoks\uscit@ \newtoks\t@sta \newtoks\c@da
\def\vacu@{} \t@sta={}  \c@da={}
\def\pagine#1{\arg@mentodipagine={#1}\expandafter\fai \the\arg@mentodipagine
 \uscit@=\expandafter{\expandafter\the\expandafter\t@sta\the\c@da}
 \output={\the\uscit@}}
\def\rifai#1{\arg@mentodirifai={#1}\expandafter\fai \the\arg@mentodirifai.}
\def\fai#1:#2,#3.{\edef\gin@{#3}%
 \ifx\gin@\vacu@\t@sta=\expandafter{\the\t@sta
  \ifnum\pageno<#1\salt@\emptyoutput\else
   \ifnum\pageno>#2\salt@\emptyoutput}\c@da=\expandafter{\the\c@da
   \else\myoutput\fi\fi}
 \else\t@sta=\expandafter{\the\t@sta
  \ifnum\pageno<#1\salt@\emptyoutput\else
   \ifnum\pageno>#2}\c@da=\expandafter{\the\c@da
   \else\myoutput\fi\fi}\rifai{#3}
 \fi}
\def\myoutput{\output@}
\def\emptyoutput{\setbox0=\box\footins\setbox0=\box255%
 \setbox0=\box\topins\deadcycles=0\global\ausilio=1%
 \ifnum\pageno<0\global\advance\pageno-1\else\global\advance\pageno1\fi}
\def\salt@{\immediate\write\sixt@@n{[SALTO PAGINA\space\the\pageno]}}
\def\salt@pari{\immediate\write\sixt@@n{[SALTO LE PAGINE PARI]}}
\def\salt@dispari{\immediate\write\sixt@@n{[SALTO LE PAGINE DISPARI]}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\articolo{\gdef\num@ropr@gressivopara{\number\p@ragrafo}
 \gdef\num@ropr@gressivoenu{\number\p@ragrafo.\number\@nunciato}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% CAPITOLI ED INDICE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newif\iflibr@ \libr@false
\newwrite\indice
\newcount\c@pitolo \c@pitolo=0
\def\libro{\global\libr@true\@input{indice\jobname}\finecapi
 \immediate\openout\indice=indice\jobname
 \ifb@zza
 \else
 \immediate\write\indice{%
 \string\gdef\string\capopaginapari\string{\string{\string\eightbf%
 \space Indice\string}\string}^^J%
 \string\gdef\string\capopaginadispari\string{\string{\string\eightbf%
 \space Indice\string}\string}^^J\string\ausilio=0}
 \fi
 \immediate\write\indice{%
 \string\vbox\space to.25\string\vsize\string{\string}^^J%
 \string\noindent\string{\string\capifn\space Indice\string}^^J%
 \string\par\string\noindent%
 \string\vskip 2truecm^^J}
 \gdef\num@ropr@gressivocapi{\number\c@pitolo}
 \gdef\num@ropr@gressivopara{\number\c@pitolo.\number\p@ragrafo}
 \gdef\num@ropr@gressivoenu{\number\c@pitolo.\number\p@ragrafo.\number\@nunciato}}
\let\iniziotesi\libro
\def\capifont#1{\font\capif@nt=#1 \let\capifn\capif@nt}
\font\capif@nt=cmbx10 scaled\magstep3 \let\capifn\capif@nt
\def\finecapi{\iflibr@\par\vfill\supereject
 \else\WRERLIBR@\fi}
\let\fineintro\finecapi
\def\capi@#1#2#3{\ifb@zza\else\global\ausilio=0\fi
 \ifodd\pageno\else\hbox{}\vfill\eject\ifb@zza\else\global\ausilio=0\fi\fi
 \ifb@zza\else
 \begingroup\let\\=\space
 \xdef\capopaginadispari{{\eightbf #2}}
 \xdef\capopaginapari{{\eightbf #3}}
 \endgroup\fi
 \bgroup
 \def\\{\hfill\newline}
 \vbox to .25\vsize{}\noindent{\capif@nt #1}
 \egroup
 \par\leftskip=0pt\kern2truecm
 \global\p@ragrafo=0\global\@nunciato=0}
\def\capi#1{\iflibr@\advance\c@pitolo1
 \setbox20=\hbox{\capif@nt Capitolo \@cs@name{num@ropr@gressivocapi}:\ }
 \leftskip=\wd20
 \capi@{\llap{\box20}#1}{#1}{Cap. \@cs@name{num@ropr@gressivocapi}}
 \immediate\write\indice{\string\bigbreak}
 \writ@indice{\string\twelvebf\space Cap.
 \@cs@name{num@ropr@gressivocapi}:}{\string\twelvebf\space #1}{0}{50}
 \iwrit@pag
 \else\WRERLIBR@\fi}
\def\intro{\iflibr@
 \capi@{Introduzione}{Introduzione}{Introduzione}
 \immediate\write\indice{\string\bigbreak}
 \writ@indice{}{\string\twelvebf\space Introduzione}{0}{0}
 \iwrit@pag
 \else\WRERLIBR@\fi\global\figu-1}
\def\biblio#1\finebiblio{\iflibr@\bib@=\z@%
 \immediate\openout\bibl@=biblabel\jobname%
 \capi@{Bibliografia}{Bibliografia}{Bibliografia}
 \immediate\write\indice{\string\bigbreak}
 \writ@indice{}{\string\twelvebf\space Bibliografia}{0}{0}
 \iwrit@pag
 \let\\=\relax
 \global\let\finebiblio\finecapi
 \if@riginal
 \global\let\key\n@wkey \global\let\ref\@ldref
 \global\let\endref\@ldendref \global\let\endref@\@ldendref@
 #1
 \else
 \global\let\key\n@wkey \global\let\ref\n@wref
 \global\let\endref\n@wendref \global\let\endref@\n@wendref@
 \loop\ifnum\bib@<2{#1}\advance\bib@1\nl
 \vskip-\baselineskip\repeat\finebiblio\fi
 \else\WRERLIBR@\fi}
\def\writ@indice#1#2#3#4{\bgroup
 \def\\{^^J\string\par\string\nobreak\string\noindent\string\leavevmode%
  \string\kern#3pt\kern#4pt^^J}
 \immediate\write\indice{%
 \string\noindent\string\leavevmode\string\kern#3pt^^J%
 \string\hbox\space to#4pt\string{#1\string\hss\string}%
 \string\ignorespaces^^J%
 \string{#2\string}\string\ignorespaces^^J%
 \string\indexfill}\egroup}
\def\writ@pag{\write\indice{%
 \string\hbox\space to3.5em\string{pag.\string\hss\space\folio\string}^^J}}
\def\iwrit@pag{\immediate\writ@pag
 \immediate\write\indice{\string\medbreak ^^J}}
\newdimen\pipo
\pipo=.2em
\def\indexfill{\leaders\hbox to
1em{\hss.\hss}\hfill}
\def\ifpipo{\ifdim\pipo<.8em\advance\pipo.2em\else\pipo=.2em\fi}

%\font\capit=cmbx10 scaled \magstep3
\font\tit=cmbx10 scaled\magstep5
\font\tito=msbm10 scaled\magstep5
\font\titino=msbm10 scaled\magstep3
\let\bbff=\twelverm

\def\ite#1{\item"{\it #1)}"}	\def\therosterite#1{{\it #1)}}
\def\ito#1{\item"{(#1)}"}	\def\therosterito#1{(#1)}
\def\ta#1{\tag{\it #1}}
\def\nl{\parf\noindent}
\def\VI{{\vphantom{I}}}

\let\cec\v
\def\v{{\bold v}}
\def\A{{\bold A}}
\def\DD{{\bold D}}
\def\EE{{\bold E}}
\def\ENNE{{\bold N}}
\def\ESSE{{\bold S}}
\def\RR{\text{\rrmm I}\mkern-4mu\text{\rrmm R}}
\def\PI{\text{\rrmm I}\mkern-4mu\text{\rrmm P}}
\def\PP{{\Bbb P}}
\def\ERRE{{\Bbb R}}
\def\UU{{\Bbb U}}
\def\ZZ{{\Bbb Z}}
\def\la{{\frak A}}	\let\lap\la	\let\lapp\la 
\def\lat{{\ttilde{\la}}}
\def\C{{\Cal C}}
\def\CC{{\boldcal C}}
\def\ch{\raise 2pt\hbox{$\chi$}}
\def\ep{\varepsilon}
\def\te{\vartheta}
\def\l{\lambda}
\def\a{\alpha}
\def\G{\Gamma}
\def\kk{{\it k}}

\def\R2mega{\ERRE^2 - \G}
\def\rdmega{\ERRE^2 - \G}
\def\KW{w=\{w_1,\dots,w_k\}}
\def\AAA{A=\{\alpha_i\}}
\def\kcir{\coprod_{h=1}^k \ESSE^1}
\def\kcurva{f:\kcir\ttoo\ERRE^2}
\def\kcurvan{f:\kcir\ttoo\ENNE}
\def\curva{f:\ESSE^1\ttoo\ERRE^2}
\def\curvan{f:\ESSE^1\ttoo\ENNE}

\def\xij{x_{i,j}^e}		\def\xhk{x_{h,k}^e}
\def\xijm{x_{i,j,\mu}^e}	\def\yij{y_{i,j}^e}
\def\yijm{y_{i,j,\mu}^e}	\def\yhk{y_{h,k}^e}
\def\cass{\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}}
\def\casss{\{x_{l,m}^{-1},x_{l,m'}\}}
\def\Ass{\A=\bigl((D,H),\la\bigr)}
\let\de\partial	\def\dep#1,#2,{\frac{\de#1}{\de#2}}
\def\jdeq{\overset{\iota\delta}\to\sim}
\def\jeq{\overset\iota\to\sim}	\def\deq{\overset\delta\to\sim}
\def\class#1{[#1]}
\def\lar#1{\pretend #1\haswidth{\hbox to1.4cm{\hss}}}
\def\zeroh#1{\vbox to0pt{\vss\hbox{$\ssize#1$}}}
\def\ccup{\operatornamewithlimits\cup\limits}


\expandafter\ifx\csname Fmtversion\endcsname\relax
\let\format@@\fmtversion\else\let\format@@\Fmtversion\fi
\def\prim@@#1#2.{#1} \def\primocarattere#1{\prim@@#1.}
\xdef\test@{\expandafter\primocarattere\format@@}
\ifcase\test@\or\mathchardef\vuoto="1\msy@3F
 \or\mathchardef\vuoto="2\hexnumber@\msbfam3F\fi

\let\ttilde\widetilde		\let\hhat\widehat
\let\tto\longrightarrow
\def\ttoo{\ifmmode\ifinner\rightarrow\else\tto\fi\else%
 \errmessage{Usa \string\ttoo\space solo in modo matematico}\fi}

\def\ker{\operatorname{ker}}	\def\coker{\operatorname{coker}}
\def\deg{\operatorname{deg}}	\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\exp{\operatorname{exp}}
\def\spa#1{\operatorname{span}\langle#1\rangle}

\def\({{\rm(}} \def\){{\rm)}} \def\[{{\rm[}} \def\]{{\rm]}}
\def\gcp{grafo circolare pesato}	\def\gcpi{grafi circolari pesati}

\def\indi{Dipartimento di Matematica dell'Universit\`a degli Studi,
 via Filippo Buonarroti n.2, 56127 Pisa, Italy.\hfill\newline
 e--mail: luminati\@ dm.unipi.it}
\def\firma#1{\vbox{\hrule width 5.5 cm height0.2pt
  \vskip 3pt\hbox to 5.5 cm{\hss(#1)\hss}}}
\def\ilrelatore#1{\hbox{\vbox{\hbox to 5.5 cm{\hss\smc
 Il Relatore:\hss}\kern\baselineskip\firma{#1}}}}
\def\ilcandidato#1{\hbox{\vbox{\hbox to 5.5 cm{\hss\smc
 Il Candidato:\hss}\kern\baselineskip\firma{#1}}}}

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Dottorato di Ricerca in Matematica,
$\text{\smc3}^{\text{o}}$ Ciclo, a.a. 1987/88 -- 1990/91\cr
Sede amministrativa:
Universit\`a degli Studi di Pisa\cr
\vrule width0pt height0pt depth 5ptCoordinatore: Chiar.mo Prof. Sergio Campanato\tabskip2pt\cr
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Dottorato di Ricerca in Matematica $\text{3}^{\text{o}}$ ciclo
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Universit\`a degli Studi di Pisa
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\iniziotesi
\write16{[Introduzione]}
%
\intro

Siano $S$ ed $\ENNE$ due superficie compatte, connesse, lisce (ossia
di classe $C^\infty$). Consideriamo il sottoinsieme $\Cal F$,
dell'insieme delle applicazioni differenziabili tra $S$ ed $\ENNE$,
definito dalla seguente propriet\`a locale:
\roster
\ito{W1}
Per ogni punto $p\in S$ esistono germi di diffeomorfismo,
$\varphi:(S,p)\to(\ERRE^2,0)$ e $\psi:(\ENNE,F(p))\to(\ERRE^2,0)$, tali
che la composizione $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ sia uguale ad uno
dei seguenti tre germi:
$$
\kern\itemindent
i)\ (x,y)\mapsto(x,y),
\qquad
ii)\ (x,y)\mapsto(x,y^2),
\qquad
iii)\ (x,y)\mapsto(x,y^3-xy).
$$
\endroster
La condizione locale appena enunciata, garantisce che per ogni
$F\in\Cal F$, l'insieme $\Sigma_F$ dei punti singolari di $F$ \`e una
sottovariet\`a di dimensione $1$ di $S$, ossia una unione disgiunta di
circonferenze. Denotiamo con $\Cal W$ il sottoinsieme di $\Cal F$
definito dalla seguente propriet\`a globale:
\roster
\ito{W2}
il {\it contorno apparente} di $F$, ossia l'insieme $\G_F=F(\Sigma_F)$, \`e
una curva con solo cuspidi e nodi ovvero \`e una curva liscia in
$\ENNE$, fatta eccezione per un numero finito di cuspidi ordinarie ed
un numero finito di incroci normali.
\endroster
Ricordiamo che una applicazione $F\in C^\infty(S,\ENNE)$ si dice
stabile se esiste un intorno $\Cal U$ di $F$ in $C^\infty(S,\ENNE)$,
rispetto alla topologia di Whitney, tale che per ogni $G\in\Cal U$
esistono diffeomorfismi $\Phi:S\to S$ e $\Psi:\ENNE\to\ENNE$ tali che
$\Psi\circ F\circ\Phi=G$. (Per una definizione della topologia di
Whitney si veda ad esempio \cite {Hi}).

\`E  un classico risultato nello studio delle applicazioni tra
superficie, il seguente Teorema dovuto a Whitney \cite W:
\enus{Teorema}
L'insieme $\Cal W$ \`e aperto e denso nell'insieme delle applicazioni
$C^\infty(S,\ENNE)$. In pi\`u $\Cal W$ \`e l'insieme delle
applicazioni stabili tra $S$ ed $\ENNE$.
\finenu
\noindent
L'insieme $\Cal W$ \`e detto l'insieme delle applicazioni generiche tra $S$ ed
$\ENNE$. La motivazione del termine {\it ``generico''} sta nel
teorema appena enunciato, il quale garantisce che ogni applicazione
differenziabile pu\`o essere approssimata con applicazioni in $\Cal
W$, e che ogni applicazione di $\Cal W$ \`e, in un certo senso,
``invariante'' per piccole perturbazioni.

\medbreak
Per definizione di $\Cal W$, il contorno apparente di una applicazione
generica \`e una curva di tipo molto particolare e non troppo
complicato, come si \`e gi\`a detto \`e una curva con solo cuspidi e
nodi. Nasce naturalmente una domanda:
\smallbreak\rlindent\it
Pu\`o una qualunque curva con cuspidi e nodi essere il contorno apparente di
una qualche applicazione generica?
\smallbreak\endrlindent\rm
Non \`e difficile trovare esempi che danno una risposta negativa a
questa domanda. Infatti si trova facilmente (cfr. \ilpara{estloc})
una prima condizione necessaria perch\`e la curva sia un contorno
apparente, e precisamente vale il seguente fatto:
\roster\rightskip\itemindent\it
\ito{C1}
Ogni contorno apparente ha un lato coerente.
\endroster\rightskip0pt\rm
Dove con l'espressione ``avere un lato coerente'' intendiamo che
esiste un campo di vettori lungo la curva, trasversale alla curva
stessa, ovviamente eccetto nei punti di cuspide, e che all'intorno di
ogni cuspide verifichi la ``condizione di compatibilit\`a'' di essere
diretto verso l'interno della cuspide su entrambi i rami della cuspide
stessa (vedi \lafig{figintr1}).
$$
\figuraps figintr1,18,0,1000,1,
\qquad
\figuraps figintr2,70,0,1000,1,
\qquad
\figuraps figintr3,35,0,1000,1,
$$
Evidentemente una curva come quella in \lafig{figintr2} non pu\`o
avere un siffatto campo, e quindi non pu\`o essere il contorno
apparente di una applicazione generica.  Osserviamo incidentalmente
che la condizione appena enunciata, non \`e sufficiente a garantire
che la curva sia un contorno apparente.  Si consideri ad esempio la
curva in $\ERRE^2$ data in \lafig{figintr3}; evidentemente una tale
curva verifica la condizione \therosteritem{C1} ma \`e facile
convincersi che non \`e contorno apparente di nessuna applicazione
generica.  Nasce quindi il seguente problema:
\roster
\ito{P1}\rightskip\itemindent\it
Data una curva con cuspidi e nodi $\G\subset\ENNE$, decidere se $\G$
\`e un contorno apparente oppure no.
\endroster\rm\rightskip0pt
Nel seguito con il termine curva con cuspidi e nodi, intenderemo tanto
l'insieme $\G$ quanto una sua parametrizzazione, $\kcurvan$, ``quasi--regolare'',
ossia con derivata prima sempre diversa da zero salvo in un numero
finito di punti in cui, in un opportuno sistema di coordinate, la $f$
\`e data da $t\mapsto(t^2,t^3)$, definita su una unione
disgiunta di circonferenze. Con questa accezione il problema
\therosteritem{P1} \`e evidentemente riformulabile nel modo seguente:
\roster\rlindent\it
\ito{P1$'$}
Data una curva
con cuspidi e nodi $\kcurvan$ dire se esistono una
superficie $S\supset\kcir$ ed una applicazione generica $F\colon
S\to\ENNE$ tale che $\Sigma_F=\kcir$ ed $\ristr F{\kcir}=f$.
\endroster
\endrlindent\rm

Un primo risultato in questa direzione, \`e stato dato da
G.~K.~Francis e S.~F.~Tro\-yer (cfr. \cite{FT1}, \cite{FT2}) i quali
forniscono un metodo di risoluzione di natura puramente combinatoria
di questo problema, per curve contenute nel piano $\ERRE^2$ o nella
sfera $\ESSE^2$.

Nel secondo capitolo di questa tesi, affronteremo in maniera
sistematica il problema nella sua generalit\`a, dandone dapprima una
soluzione nel caso piano ed affrontando quindi il
caso generale, ossia il caso di una curva con cuspidi e nodi
contenuta in una arbitraria superficie compatta $\ENNE$.

Anche il nostro metodo \`e di natura puramente combinatoria ed \`e
basato, come quello di Francis e Troyer, su una semplice osservazione,
che \`e una ovvia conseguenza della definizione di applicazione
generica:
\nl\it
Se $F:S\to\ENNE$ \`e una applicazione generica ed $U$ \`e un intorno
tubolare del luogo critico di $F$, allora $\ristr F{S-U}$ \`e una
immersione. In pi\`u se l'intorno tubolare \`e scelto in maniera
opportuna, $\ristr F{\de U}$ \`e una curva con solo nodi.
\nl\rm
Quindi, come suggerito anche da Haefliger \cite H, il problema di
vedere se una data curva con cuspidi e nodi \`e un contorno apparente
oppure no, si divide in due sottoproblemi:
\roster\rlindent\it
\ito{P1.1}
trovare, se esiste, una estensione locale della curva con cuspidi e
nodi $f$ ad una applicazione generica $F_1:M\to\ENNE$, dove $M$ \`e
una unione disgiunta di cilindri e nastri di M\"obius;
\ito{P1.2}
in caso affermativo, decidere se $\ristr {F_1}{\de M}$, che \`e una curva con
solo nodi, \`e estendibile ad una immersione di una qualche superficie
compatta con bordo $\ttilde S$ in $\ENNE$.
\endroster\endrlindent\rm
Si vedr\`a in \ilpara{estloc}, che la condizione \therosteritem{C1}
\`e sufficiente a garantire l'esistenza di estensioni locali ad una
qualsiasi unione disgiunta di cilindri e nastri di M\"obius, e ci\`o
risolve il problema \therosteritem{P1.1}. Per quanto riguarda invece
il problema \therosteritem{P1.2} ci baseremo sostanzialmente sul
lavoro di Blank \cite B, \cite P e sulle sue generalizzazioni dovute a
vari autori (cfr. \cite M, \cite{E--M}, \cite E, \cite {F1},
\cite{F2}, \cite C etc.) che risolve l'analogo del problema
\therosteritem{P1$'$} per le immesioni, ovvero il seguente problema:
\smallbreak\rlindent\it
data una curva $\kcurvan$ con solo nodi, trovare se esistono una
superficie compatta $S$ con $k$ componenti di bordo ed una immersione
$F:S\to\ENNE$ tale che $\ristr F{\de S}=f$.
\smallbreak\endrlindent\rm
Il modo di risolvere tale problema si basa sulla definizione di un
oggetto puramente combinatorio, la {\it parola di Blank}, associato ad
una curva con solo nodi $f$, dalla quale con operazioni algoritmiche
si definisce un insieme di oggetti, gli {\it assemblaggi}, che, modulo
una opportuna relazione d'equivalenza, \`e in corrispondenza biunivoca
con l'insieme delle immersioni che estendono $f$ modulo la relazione
di equivalenza destra (cfr. Teorema \lapa{teoimmersione}). Ricordiamo
che due applicazioni differenziabili $F:S\to\ENNE$ ed
$F_1:S_1\to\ENNE$ si dicono equivalenti a destra se esiste un
diffeomorfismo $\Phi:S_1\to S$ tale che $F_1=F\circ\Phi$.

Nel primo capitolo, premettiamo una trattazione completa di questo
argomento, sia allo scopo di raccogliere il materiale sparso in
letteratura in una trattazione unitaria, sia perch\`e 
gli enunciati che saranno usati nel seguito, sono leggermente pi\`u
generali di quelli che si trovano nei lavori originali (sebbene vi
siano sostanzialmente contenuti). Il metodo di dimostrazione che
useremo non si rif\`a tanto al metodo originale di Blank \cite B,
\cite P, quanto piuttosto al metodo usato da Marx \cite M, che,
sebbene meno elegante, a nostro parere, sembra pi\`u vicino
all'intuizione geometrica del problema.

Nel secondo capitolo, per risovere il problema \therosteritem{P1$'$}
definiremo una generalizzazione della parola di Blank per una curva
con cuspidi e nodi $f$ (cfr. \ilpara{parasscc}), dalla quale, sempre
con costruzioni puramente algoritmiche, si determina un insieme di
oggetti, che chiameremo ancora assemblaggi minimali. Si dimostrer\`a,
che, anche in questo caso, tale insieme, modulo una opportuna
relazione d'equivalenza, \`e in corrispondenza biunivoca con l'insieme
delle estensioni generiche della curva $f$, modulo equivalenza destra
(cfr.  Teorema~\lapa{teoprincip}).

\medbreak

Supponiamo ora di avere dati un contorno apparente $\G\subset\ENNE$,
ed un fibrato in rette $\pi:\EE\to\ENNE$. Un altro problema che nasce
naturalmente \`e il seguente:
\roster\rlindent\it
\ito{P2}
Esiste una superficie $\ttilde S$ immersa [risp. ``embedded''] in
$\EE$, in posizione generica rispetto alla proiezione $\pi$, di cui
$\G$ sia il contorno apparente?
\endroster\endrlindent\rm
dove con l'espressione ``$\ttilde S$ \`e in posizione generica rispetto a
$\pi$'' intendiamo che la restrizione $\ristr\pi{\ttilde S}:\ttilde
S\to\ENNE$ \`e una applicazione generica e la richiesta per $\G$ di
essere il contorno apparente di $\ttilde S$ va intesa nel senso di
essere il contorno apparente di $\ristr\pi{\ttilde S}$.
Evidentemente questo problema \`e equivalente al seguente:
\rlindent\it
Data una applicazione generica $F:S\to\ENNE$, \`e possibile
fattorizzare l'applicazione $F$ mediante una immersione [risp. un
``embedding''] $\ttilde F$ in $\EE$ seguita dalla proiezione $\pi$ del
fibrato? (Si vuole che il seguente diagramma sia commutativo).
$$
\CD
S    @>\ttilde F >> \EE
\\
@|                  @VV\pi V
\\
S    @>>F>          \ENNE
\endCD
$$
\endrlindent\rm
La parte di questo problema riguardante la fattorizzazione mediante
una immersione, \`e stata risolta prima da Haefliger \cite H, nel caso
$\ENNE=\ERRE^2$ ed $\EE=\ERRE^3$, che ottenne una condizione
necessaria e sufficiente basata sul numero di cuspidi presenti in ogni
componente del contorno apparente e sulla orientabilit\`a del fibrato
normale della componente connessa di $\Sigma_F$ corrispondente; pi\`u
precisamente detta $C$ una componente connessa di $\Sigma_F$, se
denotiamo con $c(C)$ il numero di punti di cuspide in $C$ e poniamo
$\ep(C)=\pm1$ secondo che il fibrato normale a $C$ in $S$ sia banale o
no, risulta che condizione necessaria e sufficiente affinch\`e
$F:S\to\ERRE^2$ sia fattorizzabile con una immersione in $\ERRE^3$ \`e
che:
\rlindent\it
per ogni componente connessa $C$ di $\Sigma_F$\quad
$(-1)^{c(C)}=\ep(C)$.
\endrlindent\rm
Successivamente \`e stato dimostrato (cfr. \cite{El}, \cite{Mi}) che
tale condizione \`e necessaria e sufficiente anche nel caso in cui
$\ENNE$ sia una superficie arbitraria ed $\EE=\ENNE\times\ERRE$ sia il
fibrato banale. Nel caso generale si trova invece una condizione che
fa intervenire l'orientabilit\`a o meno anche del fibrato
$(\ristr FC)^*\EE$ indotto da $\EE$ su $C$, e precisamente, detto
$\ep(\EE_C)=\pm1$ secondo che il suddetto fibrato sia orientabile
oppure no, si trova la seguente condizione necessaria e sufficiente
(cfr. Teorema~\lapa{fattimm} ed Osservazione~\lapa{reminizio}):
\rlindent\it
per ogni componente connessa $C$ di $\Sigma_F$\quad
$(-1)^{c(C)}=\ep(C)\ep(\EE_C)$;
\endrlindent\rm
condizione questa, che evidentemente si riduce alla condizione di
Haefliger, nel caso in cui $\EE$ sia il fibrato banale.

Per quanto riguarda infine la fattorizzabilit\`a mediante embedding,
la situazione \`e leggermente pi\`u complicata e si vedr\`a in
\ilpara{fceg} che la condizione di fattorizzabilit\`a \`e ``nascosta''
nella parola della curva con cuspidi $\ristr F{\Sigma_F}$, come in un
certo senso ci si aspetta, dato che evidentemente la
fattorizzabilit\`a si mantiene per equivalenza destra, e gli
assemblaggi della parola di $\ristr F{\Sigma_F}$ descrivono tutte le
estensioni di $\ristr F{\Sigma_F}$ a meno di equivalenza destra.

In particolare allora, nell'assemblaggio minimale associato ad $F$ si
trover\`a anche l'informazione che permetter\`a di decidere se $F$
\`e o meno fattorizzabile; pi\`u precisamente si vedr\`a che
l'assemblaggio minimale associato ad $F$ descrive una
cellularizzazione della superficie $S$, tale che la restrizione di $F$
alla parte interna di ciascuna 2--cella \`e un diffeomorfismo con
l'immagine, da questo fatto e da alcune altre propriet\`a di tale
cellularizzazione (cfr. Proposizione~\lapa{propintconndue} e
\lapa{propnoloopg}) se ne dedurr\`a che una condizione necessaria e
sufficiente affinch\`e $F$ sia fattorizzabile con un embedding \`e
data dall'esistenza di una struttura di grafo orientato senza loop (e
quindi di un ordinamento) sull'insieme delle 2--celle di tale
cellularizzazione, che verifichi opportune condizioni di
compatibilit\`a (cfr.  Teorema~\lapa{teofattsuffg}).
\medbreak
In tutta la tesi, le superficie, le applicazioni, le curve ecc.
saranno supposte, anche se non sar\`a esplicitamente detto,
lisce, ossia differenziabili di classe $C^\infty$. Inoltre, spesso
useremo tecniche di ``taglia e cuci'' che funzionano bene lavorando in
categoria $C^0$ o in categoria PL, ma visto che nel caso delle
superficie tali categorie coincidono con la categoria $C^\infty$, non
sempre ci preoccuperemo (ma qualche volta lo faremo) di dare tutti i
dettagli tecnici per operare tali costruzioni nell'ambito
differenziabile.

Un ultimo cenno sulle notazioni che useremo, che sono quelle standard,
ma che richiamiamo ugualmente per maggior chiarezza.  Denoteremo con
$\ERRE$ la retta reale, e quindi con $\ERRE^n$ lo spazio euclideo di
dimensione $n$; denoteremo rispettivamente con $\ESSE^{n-1}$ e $\DD^n$
la sfera ed il disco unitari in $\ERRE^n$; con il simbolo $\amalg$
denoteremo l'unione disgiunta.  Infine la conclusione di una
dimostrazione sar\`a indicata con il simbolo: \cvd

\insert\footins{\noindent\ninerm\baselineskip12 pt
Desidero ringraziare il Prof. Riccardo Benedetti, del
Dipartimento di Matematica dell'Universit\`a degli Studi di Pisa, per
avermi seguito e stimolato durante lo svolgimento del lavoro che ha
portato alla stesura di questa tesi.}

\finecapi
%
\ifodd\pageno\else\ausilio=0\hbox{}\vfill\eject\fi
%
%
%
\global\pageno1
\global\figu1
\write16{[Capitolo 1]}
%
\capi{Immersioni di superficie}
In questo primo capitolo, ci proponiamo di raccogliere vari risultati,
pi\`u o meno gi\`a noti in letteratura, sul problema dell'estensione
di una curva generica in una superficie $\ENNE$, ad una immersione da
una superficie compatta con bordo $\ESSE$ in $\ENNE$.

Nell'esposizione ci rifaremo non tanto al metodo originale di Blank
\cite B, \cite P, quanto ad alcuni suoi raffinamenti dovuti
principalmente a Marx ed Ezell \cite M, \cite E, \cite{E--M}.

Ci occuperemo inizialmente del caso $\ENNE=\ERRE^2$ e passeremo
quindi ad esaminare il caso generale.


%\def\nomefile{par11.tex}
\para{Parola di una curva generica piana}{pcgp}

\defi\defkcurva
Sia $k$ un intero positivo, per $k$--curva generica intenderemo
una applicazione:
$$\kcurvan$$
regolare (ovvero con derivata sempre non nulla) e con soltanto incroci
normali.
\finenu

Denoteremo con $\G$ l'immagine di $f$ e con $\G_h$ l'immagine tramite
$f$ dell'$h$--esima circonferenza. Supporremo inoltre di aver fissato
una orientazione su $\kcir$, e quindi una orientazione su $\G$.

\defi\defsiseg
Sia $\kcurva$ una $k$--curva generica. Diremo che un insieme $\AAA$
\`e un insieme di segmenti per $f$ se:
\roster
\item
ogni $\a_i\subset\ERRE ^2$ \`e un arco orientato, diffeomorfo ad un
intervallo chiuso della retta reale, con il punto di partenza in una
componente connessa di $\R2mega$ ed il punto finale nella componente
connessa illimitata di $\R2mega$;
\item
$\a_i\cap\a_j=\vuoto\qquad  \forall i\ne j$;
\item
$\a_i$ \`e trasversale a $\G \qquad \forall i$;
\item
gli $\a_i$ non contengono alcun incrocio di $\G$.
\endroster
Diremo che $A$ \`e un sistema di segmenti per $f$ se in pi\'u:
\roster
\item[5]
da ogni componente connessa limitata di $\R2mega$ parte almeno un arco
$\a_i$.
\endroster
\finenu

Denoteremo con $A$ sia $\{\alpha_i\}$ che $\bigcup_i\alpha_i$; sar\`a
chiaro dal contesto a quale dei due ci si star\`a riferendo. \`E
chiaro che $A\cap\G$ \`e costituito da un numero finito di punti.

\defi\defpone
Sia $A$ un insieme di segmenti per $f$. Un punto $x\in\alpha_i\cap \G$
sar\`a detto positivo se la curva $f$ attraversa il segmento $\a_h$ in
$x$ da destra a sinistra, sar\`a detto negativo nell'altro caso.
\finenu

Seguendo Marx \cite{M}, assegniamo dei nomi ---~$x_{i,j}^e$ con $i,j$
numeri naturali ed $e=\pm1$~--- ai punti di $A\cap\G$, in modo che:
\roster
\item
$x_{i,j}^e\in\alpha_i$;
\item
$x_{i,j}^e$ \`e positivo se  $e=1$, negativo se $e=-1$;
\item
due punti $x_{i,j}^e$ ed $x_{i,j'}^e$ sono tali che $j<j'$ se e solo
se il punto $x_{i,j}^e$ precede $x_{i,j'}^e$ sul segmento $\alpha_i$
rispetto alla sua orientazione.
\endroster
Ora possiamo associare ad $f$ un insieme di $k$ parole nelle lettere
$x_{i,j}$, procedendo nel modo seguente: scegliamo dei punti base
$p_h$ in ogni componente $\G_h$ in modo che non siano n\'e incroci
n\'e punti di $A$ e, per ogni $h$, percorriamo $\G_h$, seguendo la sua
orientazione, partendo da $p_h$ fino a ritornarvi e scriviamo tutti i
nomi dei punti di $A\cap\G$ che incontriamo durante il percorso,
ottenendo in tal modo la parola $w_h$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f1u,60,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize \a_1$}{18}{0}
\metti{$\ssize \a_2$}{95}{21}
\metti{$\ssize \a_3$}{90}{93}
\metti{$\ssize \a_4$}{15}{100}
\metti{$\ssize \a_5$}{0}{84}
\metti{$\ssize p_1$}{53}{97}
\metti{$\ssize p_2$}{28}{81}
\metti{$\ssize \G_1$}{12}{25}
\metti{$\ssize \G_2$}{19}{48}
\metti{$\ssize x_{4,3}$}{18}{87}
\metti{$\ssize x_{5,2}$}{5}{70}
\metti{$\ssize x_{1,2}$}{34}{8}
\metti{$\ssize x_{2,1}$}{78}{18}
\metti{$\ssize x_{3,2}$}{84}{78}
\metti{$\ssize x_{4,1}$}{45}{69}
\metti{$\ssize x_{1,1}^{-1}$}{39}{21}
\metti{$\ssize x_{3,1}$}{69}{70}
\metti{$\ssize x_{4,2}^{-1}$}{34}{85}
\metti{$\ssize x_{5,1}^{-1}$}{26}{66}
\comment
\setbox100=\vbox{
\hbox to\wd0{\hss
$w_1=x_{4,3}x_{5,2}x_{1,2}x_{2,1}x_{3,2}x_{4,1}x_{1,1}^{-1}x_{3,1}$\hss}
\hbox to \wd0{\hss$w_2=x_{4,2}^{-1}x_{5,1}^{-1}$\hss}\copy0}
\setbox0=\box100
\endcomment
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\defi\defkparola
Chiamiamo $k$--parola del\-la $k$--curva $f$, rispetto all'insieme di
segmenti $A$, l'insieme:
$$
\KW.
$$
\finenu
\rem.
Osserviamo che $w$ dipende sia dalla scelta dei punti base
--- scegliendo un differente punto base su $\G_h$ si altera la parola
$w_h$ per l'azione di una permutazione ciclica --- che dalla scelta
dell'insieme di segmenti $A$; pertanto, quando si parler\`a di
``$k$--parola di $f$'' sottintenderemo ``rispetto ad un fissato
sistema di segmenti ed a meno di permutazioni cicliche''.

Quando \parfigura1\advance\elle3 si vorr\`a evidenziare il fatto che
la parola $w$ \`e definita a partire dall'insieme di segmenti $A$, si
scriver\`a $w_A$.
\finenu
\ex.
Per la curva in \lafig{f1u}~si \negthinspace ot\-tiene, ad esempio, la 2--parola
$w=\{w_1,w_2\}$ data da:
$$
\gather
w_1=x_{4,3}x_{5,2}x_{1,2}x_{2,1}x_{3,2}x_{4,1}x_{1,1}^{-1}x_{3,1}
\\
w_2=x_{4,2}^{-1}x_{5,1}^{-1}
\endgather
$$
\finenu
%\def\nomefile{par12.tex}

\para{Grafi circolari}{gc}
\defi\defgracir
Sia $k$ un intero positivo, per grafo $k$--circolare intenderemo un
grafo $G$ tale che:
\roster
\item
tutti i vertici di $G$ stanno su $k$ circonferenze orientate e
disgiunte $C_1.\dots,C_k$;
\item
le circonferenze $C_h$ sono parte del grafo;
\item
$G$ ha un numero pari di vertici, $2n$, etichettati
$a_1^{\pm1},\dots,a_n^{\pm1}$;
\item
ogni coppia di vertici $\{a_i,a_i^{-1}\}$ \`e collegata da esattamente
un lato non contenuto in alcuna circonferenza; ---tali lati
saranno detti propri---
\item
non ci sono altri lati oltre a quelli gi\`a menzionati ai punti
\therosteritem2, \therosteritem4.
\endroster
\finenu

Un grafo $k$--circolare \`e determinato, a meno di omeomorfismo, da un
insieme di $k$ parole nelle lettere $a_1,\dots,a_n$, ottenute nel modo
seguente: si fissa un punto base $p_h$ in ogni circonferenza $C_h$ e
quindi si percorre ogni circonferenza, a partire dal punto base fino a
ritornarvi, seguendo l'orientazione e scrivendo nell'ordine tutti i
nomi dei vertici che si sono incontrati.  Chiameremo questo insieme di
parole la $k$--parola di $G$. Analogamente a quanto succede per le
parole delle curve, anche la $k$--parola di un grafo \`e determinata a
meno di permutazioni cicliche.

\rem.
Supponiamo che $G$ sia un $k$--grafo, allora l'insieme $\Cal S$ dei
suoi lati \`e diviso nei due sottoinsiemi:
$$
\gather
\Cal S_1=\Cal S_1(G)=\{\text{lati congiungenti vertici della
stessa circonferenza}\};
\\
\Cal S_2=\Cal S_2(G)=\{\text{lati congiungenti vertici di
circonferenze distinte}\}.
\endgather
$$
Se supponiamo che $G$ sia connesso e $k\ge2$, allora chiaramente
deve risultare che $\Cal S_2\not=\vuoto$.
\finenu

Nel seguito denoteremo con $S_{g,k}$ la superficie compatta, connessa,
orientabile di genere $g$ e con $k$ componenti di bordo con una
fissata orientazione.

\defi\defimmgracir
Sia $G$ un grafo $k$--circolare connesso, diremo che $G$ \`e
immergibile in genere $g$ se e solo se esiste un'applicazione
$\varphi\colon G\rightarrow S_{g,k}$ tale che:
\roster
\item
$\varphi$ \`e un omeomorfismo sull'immagine;
\item
$\varphi (\bigcup_h C_h)=\partial S_{g,k}$;
\item
$\ristr\varphi{\bigcup_hC_h}$ conserva l'orientazione dotando $\partial
S_{g,k}$ dell'orientazione indotta da quella di $S_{g,k}$.
\endroster
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f2u,160,0,700,
%\rete
\metti{$a_1$}{22}{58}
\metti{$a_1$}{55}{59}
\metti{$a_1$}{88}{60}
\metti{$a_1^{-1}$}{5}{11}
\metti{$a_1^{-1}$}{39}{11}
\metti{$a_1^{-1}$}{75}{11}
\metti{$a_2$}{-4}{18}
\metti{$a_2$}{67}{15}
\metti{$a_2^{-1}$}{99}{8}
\metti{$a_2^{-1}$}{29}{8}
\centerline{\figura0 }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\rem\remimm
\`E ovvio che ogni grafo $k$--circolare \`e immergibile in genere
$g$, per un opportuno $g$. \`E sufficiente cominciare immergendo le
circonferenze come bordo di una superficie arbitraria immergendo
quindi gli archi fino a quando questo \`e possibile; appena succede
che non si pu\`o immergere pi\'u nessun arco, basta aggiungere alla
superficie un manico che connetta le due componenti connesse della
superficie cui si tolgono gli archi appena immersi, su cui stanno i
vertici dell'arco che non siamo riusciti ad immergere. Si conclude,
quindi, per ricorrenza (vedi \lafig{f2u}).

\`E altres\'\i\ ovvio che se $G$ \`e immergibile in genere $g$, allora
\`e immergibile in genere $g'$ per ogni $g'>g.$
\finenu

\defi\defgegracir
Sia $G$ un grafo $k$--circolare connesso, definiamo genere di $G$ il numero:
$$
g(G)=\min\{\,g\mid G\ \text{\rm \`e immergibile in genere}\ g\}.
$$
Se $G$ non \`e connesso e $G_1,\dots,G_l$ sono le sue componenti 
connesse, definiamo:
$$
g(G)=\sum_{i=1}^lg(G_i).
$$
\finenu

Definiamo ora due operazioni sui grafi $k$--circolari, che ci saranno
utili per dare una procedura induttiva per il calcolo del genere di un
grafo.

Sia $G$ un grafo $k$--circolare con $k\ge2$, e sia $\KW$ la sua
$k$--parola; sia $\ell$ un lato proprio di $G$ appartenente
all'insieme $\Cal S_2$ definito nell'osservazione all'inizio di
questa sezione, supponiamo che i vertici di questo lato siano
$a_i$, $a^{-1}_i$ con $a_i\in w_h$, $a_i^{-1}\in w_j \quad h\not= j$,
e supponiamo $w_h = a_iw_h'$, $w_j =a_i^{-1}w_j'$,
\defi\deftagdue
Definiamo taglio di $G$ lungo $\ell$ il grafo
$(k-1)$--circolare $G^{**}$ determinato dalla $(k-1)$--parola:
$$
\{w^{**}\}\cup\{\,w_i\mid i\not= h,j\}
$$
dove $w^{**}$ \`e data da: 
$$
w^{**} = w_h' w_j'.
$$
\finenu

L'evidente significato geometrico di questa operazione \`e illustrato
in \lafig{f3u}, da cui non \`e difficile vedere che il grafo
$G^{**}$ ha lo stesso numero di componenti connesse del grafo di
partenza $G$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox101=\hbox{tagliando lungo}%
\figboxps f3u,180,0,650,%
%\rete%
\metti{$a_1$}{17}{-3}
\metti{$a_1$}{71}{-3}
\metti{$a_2$}{32}{32}
\metti{$a_2$}{86}{32}
\metti{$a_3$}{27}{33}
\metti{$a_3$}{81}{33}
\metti{$a_4$}{24}{46}
\metti{$a_5$}{43}{36}
\metti{$a_5$}{96}{36}
\metti{$a_1^{-1}$}{0}{31}
\metti{$a_1^{-1}$}{53}{31}
\metti{$a_2^{-1}$}{7}{37}
\metti{$a_2^{-1}$}{61}{37}
\metti{$a_3^{-1}$}{46}{43}
\metti{$a_3^{-1}$}{100}{43}
\metti{$a_4^{-1}$}{17}{36}
\metti{$a_5^{-1}$}{23}{73}
\metti{$a_5^{-1}$}{77}{73}
\metti{$G$}{15}{80}
\metti{$G^{**}$}{70}{80}
\metti{\vbox{\copy101\hbox to \wd101{\hss$\ell=[a_4, a_4^{-1}]$\hss}}}{44}{75}
\setbox100=\vbox{
\copy0
\hbox to\wd0{\hskip10 pt
\vbox{
\hbox{$w_1=a_2^{-1}a_1^{-1}a_1a_4^{-1}$}
\hbox{$w_2=a_3a_2a_5a_3^{-1}a_5^{-1}a_4$}}
\hfill
\vbox to2\baselineskip{\vss
\hbox{$w^{**}=a_5^{-1}a_2^{-1}a_1^{-1}a_1a_3a_2a_5a_3^{-1}$}\vss}}}
$$
\figura100
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\defi\defallacciati
Sia $G$ un grafo 1--circolare, a siano $\ell_1$, $\ell_2$ due lati
propri di $G$. Diremo che $\ell_1$ ed $\ell_2$ sono allacciati se e
solo se $\ell_1=\bigl[a_{h_1} , a_{h_1}^{-1}\bigr]$,
$\ell_2=\bigl[a_{h_2} , a_{h_2}^{-1}\bigr]$ e la parola $w$ di $G$
\`e della forma:
$$
w= a_{h_1}^{\pm 1}\xi a_{h_2}^{\pm 1}\eta
a_{h_1}^{\mp 1}\vartheta a_{h_2}^{\mp 1}\zeta.
$$
\finenu


\defi\deftagdopp
Sia $G$ un grafo 1--circolare e siano $\ell_1$, $\ell_2$ due lati
propri allacciati, sia $w= a_{h_1}^{\pm 1}\xi a_{h_2}^{\pm1}\eta
a_{h_1}^{\mp 1}\vartheta a_{h_2}^{\mp 1}\zeta.$ la parola di $G$,
chiameremo doppio taglio di $G$ lungo $\ell_1$, $\ell_2$, il grafo
1--circolare $G^{***}$ determinato dalla parola:
$$
w^{***} = \zeta\vartheta\eta\xi.
$$
\finenu

Anche questa operazione ha un evidente significato geometrico,
illustrato in \lafig{f4u}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f4u,80,0,1000,
%\rete
\metti{$a_1$}{-4}{41}
\metti{$a_1$}{53}{41}
\metti{$a_2$}{5}{40}
\metti{$a_3$}{28}{69}
\metti{$a_4$}{23}{25}
\metti{$a_4$}{81}{26}
\metti{$a_1^{-1}$}{4}{68}
\metti{$a_1^{-1}$}{60}{68}
\metti{$a_2^{-1}$}{35}{65}
\metti{$a_3^{-1}$}{11}{36}
\metti{$a_4^{-1}$}{17}{72}
\metti{$a_4^{-1}$}{77}{74}
\metti{$G^{***}$}{94}{85}
\metti{$G$}{6}{85}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox100=\hbox{
$w=a_2a_3^{-1}a_4a_2^{-1}a_3a_4^{-1}a_1^{-1}a_1$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox101=\hbox{
\vbox to \ht0{\vss
\hbox to \wd100 {\hss tagliando lungo\hss}
\hbox to \wd100 {\hss $\ell_1=[a_2 , a_2^{-1}]$\hss}
\hbox to \wd100 {\hss $\ell_2=[a_3 , a_3^{-1}]$\hss}
\kern\baselineskip
\copy100
\hbox to \wd100{
\hss$w^{***}= a_4^{-1}a_1^{-1}a_1a_4$\hss}
\vss}
\hss\copy0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura101
$$
\prop\propgezero 
Un grafo 1--circolare $G$ \`e immergibile in genere $0$ se e solo se
$G$ non ha coppie di lati allacciati.
\finenu
\dim
Segue facilmente dal fatto che un arco in $\DD^2$, congiungente due
punti del bordo e contenuto nell'interno di $\DD^2$, salvo per gli
estremi, sconnette il disco.
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f5,56,0,800,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\prop\propgemenouno
Sia $G$ un grafo 1--circolare e siano $\ell_1$, $\ell_2$ una coppia di
lati allacciati. Sia $G^{***}$ il doppio taglio di $G$ lungo questi
due lati. Allora:
$$
g(G^{***})=g(G)-1.
$$
\finenu
\dim
Basta provare che $G$ \`e immergibile in genere $g$ se e solo se
$G^{***}$ \`e immergibile in genere $g-1$.
\parf
Supponiamo $G\hookrightarrow S_{g,1}$, allora la proposizione
precedente implica che $g\ge1$, inoltre, un semplice calcolo della
caratteristica di Eulero mostra che, tagliando $S_{g,1}$ lungo gli
archi $\ell_1$ ed $\ell_2$, si ottiene una superficie $S^{***}\cong
S_{g-1,1}$. Ma gli archi di $G$ non interessati dal taglio insieme a
$\partial S^{***}\cong \ESSE^1$ formano esattamente $G^{***}$, cio\`e
$G^{***}\hookrightarrow S^{***}\cong S_{g-1,1}$.
\parf
Viceversa, \parfigura1 consideriamo il grafo 1--circolare $G'$
definito dalla parola $a_{h_1}^{\pm1} a_{h_2}^{\pm1} a_{h_1}^{\mp1}
a_{h_2}^{\mp1}$. $G'$ \`e ovviamente immergibile in genere 1
(\lafig{f5}), e per, Osservazione \lapa{remimm}, \`e immergibile in
genere $g\ge1$. Sia $G\hookrightarrow S_{g,1}$ una immersione,
tagliando, come in precedenza, $S_{g,1}$ lungo i lati propri di $G'$
otteniamo una superficie $S^{***}$ omeomorfa a $S_{g-1,1}$. A questo
punto immergendo opportunamente $G^{***}$ in $S^{***}$ ed incollando i
lati tagliati in precedenza, si ottiene l'immersione desiderata
$G\hookrightarrow S_{g,1}$.
\finedim

\prop\propgeuguale
Sia $G$ un grafo $k$--circolare connesso con $k\ge2$. Siano
$\ell\in\Cal{S}_2$ e $G^{**}$ il grafo (k-1)--circolare ottenuto
tagliando lungo $\ell$. Allora:
$$
g(G^{**})=g(G).
$$
\finenu
\dim
Come nella precedente proposizione, \`e sufficiente provare che
$G^{**}$ \`e immergibile in genere $g$ se e solo se $G$ lo \`e.

Supponiamo che $G\hookrightarrow S_{g,k}$ sia una
immersione di $G$, come prima un semplice calcolo della caratteristica
di Eulero mostra che, tagliando $S_{g,k}$ lungo $\ell$ si ottiene una
superficie diffeomorfa a $S_{g,k-1}$, e pertanto una immersione di
$G^{**}$ in genere $g$.
\parf
Viceversa, sia $G^{**}\hookrightarrow S_{g,k-1}$, attaccan\-do una
striscia alla componente di bordo corrisponden\-te alla parola
$w^{**}$, lungo i due tratti che separano le lettere della parola
$w_h'$ da quelle della parola $w_j'$, si ottiene la superficie
$S_{g,k}$, e nella striscia attaccata si pu\`o immergere il lato
$\ell$, ottenendo l'immersione desiderata.  (\lafig{f6})
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f6,73.8,0,800,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\rem.\parfigura1 
Le proposizioni appena dimostrate permettono di calcolare ricorsivamente
il genere di un grafo circolare connesso, e quindi di ogni grafo
circolare: si taglia $G$ lungo un lato in $\Cal S_2(G)$, il grafo che
si ottiene ha stesso genere di $G$ ma una circonferenza in meno. Si
pu\`o quindi ripetere l'operazione fino ad ottenere un grafo
1--circolare $G_1$ che ha lo stesso genere di $G$. A questo punto, se
non ci sono coppie di lati allacciati $g(G)=g(G_1)=0$, altrimenti si
taglia $G_1$ lungo una coppia di lati allacciati ottenendo un grafo
1--circolare di genere pari a $g(G_1)-1$. Si pu\`o
iterare il procedimento fino a quando non si ottiene un grafo
1--circolare $G_2$ di genere 0. \`E chiaro che il genere di $G_1$ non
\`e altro che il numero di tagli doppi che sono stati necessari per
passare da $G_1$ a $G_2$.

Notiamo che l'unico dato necessario per portare avanti questo
processo \`e la $k$--parola di $G$.
\finenu

%\def\nomefile{par13.tex}

\para{Assemblaggi}{assemblaggi}
Siano $\kcurva$ una curva generica, $A$ un insieme di segmenti per
$f$, ed infine $\KW$ la $k$--parola di $f$ relativa ad $A$.

\defi\defassuno
Chiamiamo assemblaggio per $w$ un insieme $\la$, i cui elementi sono
coppie non ordinate $\cass$ di lettere di $w$, tali che:
\roster
\item
$j<j'$;
\item
ogni lettera di $w$ con esponente negativo (lettera negativa) compare
in un elemento di $\la$;
\item
ogni lettera di $w$ compare in al pi\'u un elemento di $\la$.
\endroster
Denoteremo con $\Cal A(w)$ l'insieme di tutti gli assemblaggi della
$k$--parola $w$.
\finenu

\defi\defgrassuno
Dato un assemblaggio $\la$, chiameremo grafo associato ad $\la$ il
grafo $k$--circolare $G(\la)$ definito nel modo seguente:
\roster
\item
i vertici di $G(\la)$ sono le lettere di $w$ che compaiono in qualche
elemento di $\la$;
\item
tutti i vertici stanno su $k$ circonferenze orientate, $C_1,\dots,C_k$,
che sono parte del grafo e tali che $x_{i,j}^{\pm1}\in C_h$ se e solo
se la lettera $x_{i,j}^{\pm1}$ compare nella parola $w_h$;
\item
i vertici che stanno su $C_h$ sono ordinati nello stesso modo in cui
sono ordinati in $w_h$;
\item
due vertici sono collegati da un lato non contenuto in nessuna
circonferenza se e solo se le corrispondenti lettere formano un
elemento di $\la$.
\endroster
\finenu

\defi\defgelass
Sia $\la\in\Cal A(w)$, chiameremo genere di $\la$ il numero:
$$
g(\la)=g(G(\la)).
$$
Un assemblaggio $\la\in\Cal A(w)$ sar\`a detto
connesso se e solo se il grafo $G(\la)$ \`e connesso; chiameremo
numero di componenti di $\la$ il numero:
$$
l(\la)=\#\big\{\text{\rm componenti connesse di } G(\la)\big\}.
$$
\finenu

%\def\nomefile{par14.tex}


\para{Il teorema di immersione nel piano}{tip}
\defi\defestendibile
Sia $\kcurva$ una $k$--curva generica, diremo che $f$ \`e estendibile
se e solo se esistono una superficie $S$, con $\de S=\kcir$, ed una
immersione $F\colon S\to\ERRE^2$, che conserva
l'orientazione e tale che $\ristr F{\coprod_{h=1}^k \ESSE^1}=f$. Si
dir\`a anche che $F$ estende $f$.
\finenu
\defi\defrequiv
Due estensioni $F_1:S_1\to\ERRE^2$, $F_2\colon S_2\to\ERRE^2$
saranno dette equivalenti a destra (r--equivalenti) se e
solo se esiste un diffeomorfismo $\Phi\colon S_1\to S_2$ tale che
$F_1=F_2\circ\Phi$. Denoteremo con $E(f)=\Bigl.\{F\mid F \ {\text
estende}\ f\}\Bigr/\vphantom{[}_{\!\text{\rm r--equivalenza}}$.
\finenu

Nel seguito denoteremo con $R(f)$ l'usuale numero di rotazione di
$f$, ovvero il grado dell'applicazione tangente:
$$
T_f\colon\kcir\longrightarrow \ESSE^1;
\kern 2cm T_f\colon\vartheta\longmapsto \frac{f'(\vartheta)}{|f'(\vartheta)|}.
$$

\`E un fatto ben noto (cfr.\cite H) che se $F:S\to\ERRE^2$ estende
$f$ allora:
$$
R(f)=\ch(S)=2l(S)-k-2g(S)\tag H
$$
dove $\ch(S)$, $l(S)$ e $g(S)$ denotano rispettivamente la
caratteristica di Eulero, il numero di componenti connesse e la somma
dei generi delle componenti connesse di $S$.

Dimostreremo il seguente:

\teo\teoprincipaleuno
Sia $\kcurva$ una curva generica e sia $w$ una $k$--parola per $f$,
definita a partire da un sistema di segmenti. Allora l'insieme $E(f)$
\`e in corrispondenza biunivoca con l'insieme:
$$
\Cal A_m(w)=\bigl\{\la\in\Cal A(w)\bigm| R(f)=2l(\la)-k-2g(\la)\bigr\}.
$$
\finenu
\rem.
L'enunciato di questo teorema \`e in qualche modo un po' strano, in
quanto l'insieme $E(f)$ dipende esclusivamente da $f$, mentre
l'insieme $\Cal A_m(w)$ \`e definito a partire da una parola per $f$
e quindi dipende, oltre che da $f$, anche dal sistema di segmenti
usato per definire $w$, e quindi, a priori, potrebbe succedere che
date due diverse parole per $f$, gli insiemi $\Cal A_m(w)$, relativi
alle due parole, abbiano un numero di elementi diverso. A posteriori
ci\`o non \`e possibile.
\finenu

Per dimostrare il teorema abbiamo bisogno di definire alcune
operazioni sulle curve generiche che, seguendo Marx \cite{M},
chiameremo tagli.

%\def\nomefile{par15.tex}

\para{Tagli}{tagli}
Incominciamo introducendo alcune tecniche e notazioni.

Sia $\kcurva$ una curva generica e sia $\AAA$ un insieme di segmenti
per $f$. Scegliamo intorni chiusi $V_i$ di $\a_i$ con
diffeomorfismi $\varphi_i\colon V_i\to [0,t_i]\times [-1,1]$, tali
che:
\roster
\item
$V_i\cap V_j=\vuoto\quad \forall i\ne j$;
\item
$\forall i\quad V_i \text{ non contiene punti doppi di }\G$; 
\item
$\forall i\quad \varphi_i(\a_i)\subseteq[0,t_i]\times\{0\}$; 
\item
$\forall i\quad V_i$ contiene soltanto rami di  $\G$ che intersecano $\a_i$;
\item
se $\G_{i,j}$ denota la componente di $\G\cap V_i$ contenente il punto
$x_{i,j}^e$ allora $\forall\vartheta\in f^{-1}(\G_{i,j})$ $\quad$
$\varphi_i(f(\vartheta))=(j,e\vartheta+c)$ con $c$ una costante
opportuna;
\item
$\forall i\quad \varphi_i \text{ e }
\ristr{\varphi_i}{\a_i}\colon\a_i\to\ERRE$ conservano l'orientazione.
\endroster

Tecniche standard di topologia differenziale mostrano che siffatti
intorni e diffeomorfismi esistono.

Per ogni $j<j'$ fissiamo una curva
$\lambda_{j,j'}\colon[j,j']\to\ERRE^2$
$\lambda_{j,j'}=(\lambda_{j,j',1},\lambda_{j,j',2})$ con le seguenti
propriet\`a:
$$
\alignat 2
&\text{(1)}\puad{\tsize\frac13}\le\lambda_{j,j',2}\le{\tsize\frac23};
&\quad&\text{(4)}\puad\lambda_{j,j',1}^{(n)}(j)=
\lambda_{j,j',1}^{(n)}(j')=0\quad
\forall n\ge 1;
\\
&\text{(2)}\puad\lambda_{j,j'}(j)=\left(j,{\tsize\frac23}\right)\quad
\lambda_{j,j'}(j')=\left(j',{\tsize\frac23}\right);&\quad&\text{(5)}\puad
\lambda_{j,j',2}^{(n)}(j)=\lambda_{j,j',2}^{(n)}(j')=0\quad\forall
n\ge 2;
\\
&\text{(3)}\puad\lambda_{j,j'}(t)=\left(t,{\tsize\frac13}\right)\quad\forall
t\in\left[j+{\tsize\frac13},j'-{\tsize\frac13}\right];&\quad&\text{(6)}\puad
\lambda_{j,j',2}'(j)=-1\quad\lambda_{j,j',2}'(j')=1.
\endalignat
$$
Le ultime tre condizioni garantiscono che le curve $\l_{j,j'}$ si
incollano, in modo $C^\infty$, alle rette verticali passanti per i
punti $(j,0)$ e $(j',0)$.

Considereremo anche la curva
$\ttilde\l_{j,j'}(t)=\left(\l_{j,j',1}(j+j'-t),-\l_{j,j',2}(j+j'-t)
\right)$. Le due curve appaiono come in \lafig{f7u}.

Siano ora $f_i\colon[t_i,s_i]\to\ERRE^2,\quad i=1,\dots,n$, curve tali
che:
$$
f_n(s_n)=f_1(t_1);\qquad\quad f_i(s_i)=f_{i+1}(t_{i+1})\quad\forall
i=1\dots n;
$$ 
denoteremo con $f_nf_{n-1}\dots f_2f_1$ la curva:
$$
f_nf_{n-1}\dots f_2f_1\colon
\ESSE^1=\coprod\limits_{i=1}^n[t_i,s_i]\Big/{\!\ssize\{s_1=t_2,
\dots,s_{n-1}=t_n,s_n=t_1\}}\tto\ERRE^2
$$
tale che $\ristr {(f_nf_{n-1}\dots f_2f_1)}{[t_i,s_i]}=f_i$.
Ricordiamo che esistono un'unica struttura differenziale ed un'unica
orientazione sul quoziente ora definito, che inducono la struttura
differenziale e l'orientazione standard su ciascun intervallo, e che
inoltre la curva $f_nf_{n-1}\dots f_2f_1$ \`e di classe $C^\infty$ se
e solo se tutte le $f_i$ lo sono ed in pi\`u:
$$
f_1^{(h)}(s_1)=f_2^{(h)}(t_2),\dots,
f_{n-1}^{(h)}(s_{n-1})=f_n^{(h)}(t_n),
\quad
f_n^{(h)}(s_n)=f_1^{(h)}(t_1)
\quad\forall h\in\Bbb N.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f7u,72,0,750,
%\rete
\metti{$\ssize \lambda_{j,j'}$}{86}{75}
\metti{$\ssize \ttilde\lambda_{j,j'}$}{86}{10}
\metti{$\frac23$}{0}{82}
\metti{$\frac13$}{0}{61}
\metti{$-\frac13$}{-6}{19}
\metti{$-\frac23$}{-6}{-2}
\metti{$\ssize j$}{12}{36}
\metti{$\ssize j'$}{87}{36}
\setbox101=\box0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f8u,60,0,750,
%\rete
\metti{$\ssize x_{i,l}^{-1}$}{37}{31}
\metti{$\ssize x_{i,l,-1}$}{18}{50}
\metti{$\ssize x_{i,l,+1}$}{56}{15}
\metti{$\ssize x_{i,j}$}{69}{63}
\metti{$\ssize x_{i,j,-1}$}{86}{45}
\metti{$\ssize x_{i,j,+1}$}{50}{82}
\metti{$\ssize \G$}{83}{16}
\setbox100=\box0
\aaa=\ht100\advance\aaa\baselineskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\vbox to\aaa{\vss\figura101 \vss}\qquad\figura100
$$

Dati due punti $\vartheta_0,\vartheta_1\in \ESSE^1$, denoteremo con
$[\te_0,\te_1]$, $(\te_0,\te_1)$, $[\te_0,\te_1)$, $(\te_0,\te_1]$ gli
intervalli, contenuti in $\ESSE^1$, determinati percorrendo $\ESSE^1$,
secondo la sua orientazione, partendo da $\te_0$ fino ad arrivare a
$\te_1$.

Siano $f$ una $k$--curva generica, ed $A$ un insieme di segmenti per
$f$. Sia $x_{i,j}^e\in\G\cap A$ e sia $\varphi_i\colon
V_i\to[0,t_i]\times [-1,1]$ come all'inizio di questa sezione.
Chiamiamo $x_{i,j,e}=\varphi_i^{-1}(j,\frac{2}{3})$,
$x_{i,j,-e}=\varphi_i^{-1}(j,-\frac{2}{3})$ e $\te_{i,j,\pm e}$ il
punto tale che $f(\te_{i,j,\pm e})=x_{i,j,\pm e}$ \advance\figu-1
(vedi Fig.~\number\figu).\advance\figu1

A questo punto abbiamo gli strumenti per definire i tagli.

\defi.
Sia $f\colon \ESSE^1\to \ERRE^2$ a sia $w$ una parola per $f$, siano
$x_{i,j}^{-1}$ e $x_{i,j'}$ lettere in $w$ con $j<j'$. Chiamiamo
taglio di primo tipo di $f$ lungo $\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}$ la
2--curva $f^*\colon \ESSE^1\amalg\ESSE^1\to \ERRE^2$ definita da:
$$
f^*_1=\ristr
{f}{[\te_{i,j',+1},\te_{i,j,-1}]}(\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'})
\kern1cm
f^*_2=\ristr {f}{[\te_{i,j,+1},\te_{i,j',-1}]}(\varphi_i^{-1}\circ
\widetilde\l_{j,j'})
$$
\finenu

La definizione si generalizza in modo ovvio alle $k$--curve $\kcurva$,
nel caso in cui le lettere $x_{i,j}^{-1}$ ed $x_{i,j'}$ siano nella
stessa 1--parola $w_h$. In questo caso il taglio produce una
$(k+1)$--curva $f^{*}\colon\coprod_{i=1}^{k+1}
\ESSE^1\rightarrow\ERRE^2$.

\defi.
Siano $\kcurva$ una $k$--curva generica e $w$ una sua parola; siano
$x_{i,j}^{-1}$, $x_{i,j'}$ lettere appartenenti a due diverse
1--parole $w_h$, $w_l$. Chiamiamo taglio di secondo tipo di $f$ lungo
$\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}$ la curva $f^{**}:\bigl(\coprod_{i\ne
h,l}\ESSE^1\bigr)\amalg\ESSE^1\to\ERRE^2$ definita da:
$$
\gather
f_i^{**}=f_i\qquad \forall i\ne h,j
\\
\ristr{f^{**}}{\ESSE^1}=(\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'})
\ristr{f}{[\te_{i.j,+1}.\te_{i,j,-1}]}
(\varphi_i^{-1}\circ\widetilde\l_{j,j'})
\ristr{f}{[\te_{i.j',+1}.\te_{i,j',-1}]}
\endgather
$$
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f9u,55,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize f$}{32}{76}
\metti{$\ssize f$}{32}{36}
\metti{$\ssize f$}{32}{0}
\metti{$\ssize f^*$}{92}{76}
\metti{$\ssize f^{**}$}{92}{36}
\metti{$\ssize f^{***}$}{92}{0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rem.\parfigura1
Sia $w$ una parola della curva $\curva$. Supponiamo di avere due
coppie, $\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}$ ed $\{x_{h,k}^{-1},x_{h,k'}\}$, di
lettere di $w$ con $j<j'$ e $k<k'$, e supponiamo che siano allacciate
---nel senso della definizione del paragrafo precedente--- allora,
effettuando un taglio di primo tipo lungo una delle due coppie, la
rimanente si trover\`a ad avere i vertici su due differenti componenti
di $\G^*$, possiamo allora effettuare un taglio di secondo tipo lungo
quest'altra coppia, ottenendo cos\`\i\ di nuovo una $1$--curva. Non
\`e difficile vedere che il risultato non dipende dall'ordine con cui
si sono effettuati i due tagli.
\finenu
Si pu\`o, pertanto, dare la seguente:

\defi.
Chiameremo doppio taglio di $\curva$ lungo le due coppie allacciate
$\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}$ e $\{x_{h,k}^{-1},x_{h,k'}\}$ la curva:
$$
f^{***}=\left(f^*\right)^{**}:\ESSE^1\tto\ERRE^2
$$ 
dove i due tagli sono fatti lungo le due coppie in questione.
\finenu
Le scelte fatte per definire i tagli, ga\-ran\-tiscono che,
tagliando una curva generica $C^\infty$, si ottiene ancora una curva
generica $C^\infty$. In \lafig{f9u} sono illustrati i tre tipi di taglio.
\prop\proprotpiano
Sia $f$ una curva generica, allora valgono le seguenti:
$$
\gather
R(f)=R(f^*)-1; \tag1\\
R(f)=R(f^{**})-1; \tag2\\
R(f)=R(f^{***})-2. \tag3
\endgather
$$\advance\elle-2
\finenu
\dim Segue da ragionamenti standard sul
numero di rotazione. 
\finedim
Sia ora $A$ un sistema di segmenti per $f$ e sia $w$ la parola
determinata da $A$. Denotiamo con $f^\#$ uno qualsiasi dei tre tagli
appena definiti e con $\G^\#$ il suo supporto.
\parf
\`E chiaro che ogni segmento di $A$ par\-te da qualche componente
connes\-sa di $\ERRE^2-\G^\#$, termina nella componente connessa
illimitata di  $\ERRE^2-\G^\#$ ed \`e in posizione generica rispetto a
$\G^\#$; ossia $A$ \`e un insieme di segmenti per $f^\#$. Non \`e
per\`o detto che $A$ sia ancora un sistema di segmenti per
$f^\#$ in quanto un taglio, in generale, crea delle nuove
componenti connesse da cui non parte alcun segmento di $A$.

Sia $\{x_{i,j}^{-1},x_{i,j'}\}$ la coppia lungo cui si taglia (nel
caso si stia effettuando un doppio taglio sia
$\{x_{h,k}^{-1},x_{h,k'}\}$ l'altra coppia coinvolta) e
siano $j=j_1<j_2<\dots<j_{p+1}=j'$ gli indici tali che
$x_{i,j_t}^{e}$, con $t=1,\dots,p+1$, siano tutte e sole le lettere di
$\alpha_i\cap\G$ con secondo indice compreso tra $j$ e $j'$ (in caso
di doppio taglio siano $k=k_1<k_2<\dots<k_{q+1}=k'$ gli analoghi per
l'altra coppia).

Un'analisi locale di quanto avviene durante il taglio, mostra che con
il taglio si creano al pi\`u $3p-2$ nuove componenti di cui $p$ alla
destra del segmento $\alpha_i$, $p$ alla sua sinistra e le restanti
$p-2$ a cavallo di tale segmento (analoga situazione si verifica
nell'intorno del segmento $\alpha_h$ in caso di doppio taglio).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f10u,65,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize \a_i$}{51}{100}
\metti{$\ssize \gamma_4$}{16}{100}
\metti{$\ssize \gamma_3$}{21}{100}
\metti{$\ssize \gamma_2$}{26}{100}
\metti{$\ssize \gamma_1$}{30}{100}
\metti{$\ssize \delta_1$}{37}{100}
\metti{$\ssize \delta_2$}{42}{100}
\metti{$\ssize \beta_1$}{58}{100}
\metti{$\ssize \beta_2$}{65}{100}
\metti{$\ssize \beta_3$}{72}{100}
\metti{$\ssize \beta_4$}{78}{100}
\metti{$\ssize x_{i,j}^{-1}$}{54}{3}
\metti{$\ssize x_{i,j'}$}{54}{52}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\`E allora possibile (cfr. \cite M e \lafig{f10u}) aggiungere
segmenti $\beta_1,\dots,\beta_p$ e $\gamma_1,\dots,\gamma_p$ uscenti
rispettivamente dalle componenti a destra e a sinistra di $\alpha_i$
in modo che abbiano una intersezione con la ``parte nuova''
(corrispondente a $\varphi^{-1}\circ\ttilde\lambda_{j,j'}$ ed a
$\varphi^{-1}\circ\lambda_{j,j'}$) di $\G^*$, e quindi proseguano
paralleli ad $\alpha_i$, e segmenti $\delta_1,\dots,\delta_{p-2}$
uscenti dalle rimanenti componenti e paralleli ad $\alpha_i$.
E\-videntemente, in caso di taglio doppio si dovranno aggiungere anche
analoghi segmen\-ti $\ttilde\beta_1,\dots,\ttilde\beta_q$,
$\ttilde\gamma_1,\dots,\ttilde\gamma_q$ e
$\ttilde\delta_1,\dots,\ttilde\delta_{q-2}$ nell'intorno di
$\alpha_h$.


\defi.\parfigura1
L'insieme $A^\#$, ottenuto aggiungendo ad $A$ i segmenti appena
descritti, sar\`a detto il sistema di segmenti indotto dal taglio.
\finenu
Vediamo ora come sono fatte le parole di $f^\#$ definite da
$A^\#$.
\parf
Chiamiamo $y_{s,t}^e$ i punti di $\G^\#\cap\beta_s$,
$z_{s,t}^e$ quelli di $\G^\#\cap\gamma_s$ e $u_{s,t}^e$ quelli di
$\G^\#\cap\delta_s$ ed esaminiamo separatamente i tre casi: $^\#=\,^*$,
$^\#=\,^{**}$, $^\#=\,^{***}$.
\parf
\noindent{\bf Primo caso} Sia $w=x_{i,j}^{-1}\xi x_{i,j'}\eta$,
allora l'insieme di segmenti $A$ determina le parole:
$$
w_1'=\eta\qquad w_2'=\xi\tag1
$$
rispettivamente per le curve $f_1^*$ ed $f_2^*$. 
\parf
Osserviamo innanzitutto che la parte nuova della curva, ossia la parte
corrispondente a $\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'}$ e
$\ttilde\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'}$, non ha intersezioni con i
vecchi segmenti. D'altra parte, per come sono stati presi i nuovi
segmenti, la parte di $\G_1^*$ corrispondente a
$\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'}$ interseca esattamente ogni segmento
$\gamma_s$, ed analogamente la parte di $\G_2^*$ corrispondente a
$\ttilde\varphi_i^{-1}\circ\l_{j,j'}$ interseca esattamente ogni
segmento $\beta_s$, in un punto positivo, ed in pi\'u questo punto \`e
il primo nel rispettivo segmento.  Possiamo pertanto chiamare questo
punto $y_{s,1}$ (risp. $z_{s,1}$) e le parole per $f_1^*$ ed $f^*_2$
determinate dai vecchi segmenti e dalle intersezioni ora menzionate
saranno allora date rispettivamente da:
$$
\ttilde w_1'=z_{1,1}\dots z_{r,1}w_1'\qquad\ttilde w_2'=y_{r,1}\dots
y_{1,1}w_2'\tag2
$$

Infine guardiamo all'intersezione della parte vecchia della curva con
i nuovi segmenti.

\`E evidente che soltanto i rami di $\G^*\cap V_i$ che intersecano
$\a_i$ in punti $x_{i,l}^e$ con $l>j$, intersecano i nuovi segmenti.
Pi\`u precisamente, il ramo di $\G^*\cap V_i$ passante per il punto
$x_{i,l}^e$ interseca i segmenti $\gamma_s$ e
$\beta_s$ se e solo se $l>j_s$ ed in tal caso in un solo punto, ed
analogamente interseca il segmento $\delta_s$ se $l>j_{s+1}$.
Osserviamo ancora che le intersezioni di questo ramo sono tutte
positive o tutte negative secondo che $e=1$ o $e=-1$.
Visto inoltre che i rami di $\G\cap V_i$ non si intersecano tra loro,
il secondo indice della loro intersezione con $\alpha_i$ ordina
sequenzialmente anche le intersezioni di questi rami con ciascuno dei
nuovi segmenti. \`E allora coerente con la definizione di parola di
una curva, chiamare rispettivamente $y_{s,l}^e$, $z_{s,l}^e$ ed $u_{s,l}^e$
l'intersezione, quando esiste, del ramo passante per $x_{s,l}^e$ con
i segmenti $\beta_s$, $\gamma_s$ e $\delta_s$.

Osserviamo infine che se $e=1$ il ramo in questione interseca
successivamente i segmenti $\beta_s$ in ordine decrescente, il
segmento $\alpha_i$, i segmenti $\delta_s$ ancora in ordine
decrescente, ed infine i segmenti $\gamma_s$ in ordine crescente;
mentre, se $e=-1$, interseca prima i segmenti $\gamma_s$ in ordine
decrescente, poi i $\delta_s$ in ordine crescente, quindi $\alpha_i$
ed infine i $\beta_s$ ancora in ordine crescente.

In definitiva, da tutto quanto detto finora, si pu\`o concludere che:
le parole $w_1^*$, $w_2^*$ sono ottenute dalle parole in \thetag2
rimpiazzando ogni lettera $x_{i,l}^e$ con il blocco:
$$
\alignedat2
&y_{p,l}\dots  y_{1,l}x_{i,l}u_{p-2,l}\dots
u_{1,l}z_{1,l}\dots z_{p,l}
&&\qquad\text{se }e=1,
\\
& z_{p,l}^{-1}\dots z_{1,l}^{-1}u_{1,l}^{-1}\dots u_{p-2,l}^{-1}
x_{i,l}^{-1}y_{1,l}^{-1}\dots y_{p,l}^{-1}
&&\qquad\text{se }e=-1,
\endalignedat
\tag3
$$
con la convenzione che le lettere $y_{s,l}$ e $z_{s,l}$ compaiono se e
solo se $l>j_s$ e la lettera $u_{s,l}$ compare se e solo se
$l>j_{s+1}$.

\noindent
{\bf Secondo caso} Sia $\KW$ la $k$--parola di $f$ e $w_h=
x_{i,j}^{-1}\xi$, $w_l=x_{i,j'}\eta$ le due parole coinvolte nel
taglio. Allora la $(k-1)$--parola per $f^{**}$ determinata da $A$ 
\`e data da $w''=\{w''_i\mid i\ne h,l\}\cup\{w_{h,l}''\}$ dove:
$$
w_i''=w_i\quad\forall i\ne h,l\qquad w_{h,l}''=\xi\eta\tag 4
$$

\goodbreak
Il contributo della parte nuova della curva \`e costituito, come nel
caso precedente, da due blocchi di lettere positive $ z_{1,1}\dots
z_{l,1}$ e $y_{l,1}\dots y_{1,1}$.  Con soltanto queste intersezioni
si ottiene quindi la $(k-1)$--parola $\ttilde w''=\{\ttilde w''_i\mid i\ne
h,l\}\cup\{\ttilde w_{h,l}''\}$ dove:
$$
\ttilde w_i''=w_i\quad\forall i\ne h,l\qquad
\ttilde w_{h,l}''=\xi z_{1,1}\dots z_{r,1}\eta  y_{r,1}\dots y_{1,1}
\tag5
$$

Infine la $(k-1)$--parola $w^{**}$ si ottiene da $\ttilde w''$ con la
stessa sostituzione \thetag3 fatta in precedenza.

\noindent
{\bf Terzo caso} Sia 
$w=x_{i,j}^{-1}\xi x_{h,k}^{-1}\eta x_{i,j'}\zeta x_{h,k'}\te$
la parola di $f$. Se chiamiamo, come prima, $y_{s,t}^e$,
$z_{s,t}^e$, $u_{s,t}^e$ le intersezioni con i segmenti $\beta_s$,
$\gamma_s$, $\delta_s$ e ${\ttilde y}_{s,t}^e$, ${\ttilde z}_{s,t}^e$,
${\ttilde u}_{s,t}^e$ quelle con i segmenti $\ttilde\beta_s$,
$\ttilde\gamma_s$, $\ttilde\delta_s$, allora dai precedenti due casi
esaminati segue che la parola $w'''$ determinata da $A$ \`e data da:
$$
w'''=\te\zeta\eta\xi,
$$
mentre la parola
$w^{***}$ determinata da $A^{***}$ \`e ottenuta dalla parola:
$$
\ttilde w'''=\te z_{1,1}\dots z_{r,1}
\zeta \ttilde y_{q,1}\dots\ttilde y_{1,1}
\eta y_{r,1}\dots y_{1,1}
\xi \ttilde z_{1,1}\dots\ttilde z_{q,1},
\tag6
$$
mediante le sostituzioni \thetag3 per le lettere $x_{i,l}^e$ e le
analoghe per le lettere $x_{h,l}^e$.

\defi.
Chiameremo le parole $w^*$, $w^{**}$, $w^{***}$ le parole indotte dal
taglio.
\finenu

Con quanto visto fino ad ora, sembra che i tagli rendano le parole
pi\'u complesse di quanto gi\`a non fossero. Vedremo che, in qualche
senso, ci\`o non \`e vero anzi vengono semplificate.

\defi\letterm
Sia $w$ una parola per una curva $f\colon\ESSE^1\to\ERRE^2$, una
lettera negativa $x_{i,j}^{-1}$ sar\`a detta terminale se e solo se
ogni lettera $x_{i,j'}^e$ di $w$ con $j'>j$ ha esponente $e=1$.
\finenu
\prop\propmenoneg
Sia $f\colon\ESSE^1\to\ERRE^2$ una curva generica e sia $w$ una parola
per $f$. Sia $\cass$ una coppia di lettere di $w$ con $j<j'$ e
$x_{i,j}^{-1}$ terminale. Allora le parole indotte $w^*_1$ e $w^*_2$,
dal taglio di primo tipo di $f$ lungo $\cass$ hanno un numero di
lettere negative strettamente inferiore a quello di $w$.
\finenu
\dim
Le uniche lettere negative introdotte ex--novo in $w^*$ corrispondono
a lettere $x_{i,l}^{-1}$ di $w$ con $l>j$. Dato che
$x_{i,j}^{-1}$ \`e terminale, non esistono di tali lettere. D'altra
parte la lettera negativa $x_{i,j}^{-1}$ non compare in $w^*$ e quindi
si ha la tesi.
\finedim

Vediamo ora come da un assemblaggio $\la\in\Cal A(w)$ si pu\`o
ottenere, in modo canonico, un assemblaggio $\la^\#\in\Cal A(w^\#)$,
quando si effettui un taglio lungo una coppia $\cass\in\la$.

Evidentemente, tutte le coppie di $\la$, eccetto $\cass$, sono coppie
ammissibili per un assemblaggio di $w^\#$. Inoltre nuove lettere
negative vengono introdotte soltanto dalla sostituzione \thetag3;
pertanto, se la lettera $y_{s,l}^{-1}$ compare nella parola
indotta, ci\`o significa che la lettera $x_{i,l}^{-1}$ compare in
$w$, ed essendo $\la$ un assemblaggio, esiste un unico $l'>l$ tale
che $\{x_{i,l}^{-1},x_{i,l'}^{-1}\}\in\la$. Ma questo significa
che anche la lettera $y_{s,l'}$ compare nella parola indotta. Un
analogo ragionamento vale anche per le lettere $z$ e $u$. Abbiamo
quindi un modo canonico di appaiare tutte le nuove lettere negative
della parola indotta, ottenendo cos\`\i\ un assemblaggio $\la^\#$.
\defi.
Chiameremo assemblaggio indotto dal taglio di $f$ l'assemblaggio
$\la^\#\in\Cal A(w^\#)$ appena descritto.
\finenu

Diamo ora alcune propriet\`a dell'assemblaggio indotto.

\prop\propassinduno
Sia $f\colon \ESSE^1\to\ERRE^2$ sia $w$ una parola per $f$ e sia
$\la\in\Cal A(w)$ con $g(\la)=0$. Allora $\la^*$ ha due componenti
connesse ed inoltre:
$$
g(\la^*)=0.
$$
\finenu
\dim
Dato che $g(\la)=0$, allora la coppia $\cass$ lungo cui si sta
tagliando non \`e allacciata con nessun'altra coppia dell'assemblaggio
e quindi, usando le stesse notazioni introdotte per definire la parola
indotta, data una qualsiasi altra coppia $\casss\in\la$ o entrambe le
sue lettere stanno in $\xi$ oppure stanno in $\eta$; ma allora,
per come sono definiti la parola e l'assemblaggio indotti, si ha che
anche le nuove coppie avranno la stessa propriet\`a ---relativamente
alle due parole $w^*_1$ e $w^*_2$. Questo prova che $\la^*$ ha
esattamente due componenti connesse.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f11u,65,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize x_{i,l}^{-1}$}{89}{21}
\metti{$\ssize x_{i,l'}$}{74}{65}
\metti{$\ssize y_{s,l}^{-1}$}{92}{34}
\metti{$\ssize y_{s,l'}$}{79}{74}
\metti{$\ssize u_{s,l}^{-1}$}{85}{8}
\metti{$\ssize u_{s,l'}$}{71}{55}
\metti{$\ssize z_{s,l}^{-1}$}{79}{-2}
\metti{$\ssize z_{s,l'}$}{68}{46}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Denotiamo \parfigura1 con $\la_1^*$, $\la_2^*$ le componenti di
$\la$ e poniamo $\la_i'=\la_i^*\cap\la$. \`E evidente che il grafo
$G(\la_i')$, associato ad $\la_i'$ \`e immergibile in genere 0.  Ma
$G(\la_i^*)$ \`e ottenuto da $G(\la_i')$ aggiungendogli blocchi di lati
paralleli a qualche vecchio lato, il che significa che ognuno di
questi blocchi \`e immergibile in un intorno tubolare di un vecchio
lato (vedi \lafig{f11u}), ovvero $g(\la_i^*)=g(\la_i')=0$, che \`e la
tesi.
\finedim
\prop\propassinddue
Siano $w$ una parola per $\curva$ ed $\la\in\Cal A(w)$. Siano $\cass$,
$\casss$ due coppie allacciate di $\la$. Sia infine $\la^{***}$
l'assemblaggio indotto per la parola indotta $w^{***}$ del taglio
doppio di $f$ lungo queste due coppie. Allora:
$$
g(\la^{***})=g(\la)-1
$$
\finenu
\dim
Come prima, sia $\la'''= \la\cap\la^{***}$, allora, guardando le
definizioni si vede facilmente che il grafo $G(\la''')$ altro non \`e
che il grafo $\big(G(\la)\big)^{***}$ ottenuto effettuando un taglio
doppio di $G(\la)$ lungo i lati determinati dalle due coppie in
questione (vedi \ilpara{gc}). Ma allora, per
Proposizione~\lapa{propgemenouno}, risulta $g(G(\la'''))=g(G(\la))-1$.

Lo stesso ragionamento che conclude la dimostrazione della
proposizione precedente, permette allora di concludere che
$g(\la^{***})=g(G(\la'''))=g(G(\la))-1$.
\finedim

\prop\propassindtre
Siano $w$ una $k$--parola per $\kcurva$ ed $\la\in\Cal
A(w)$ un assemblaggio connesso. Siano $\cass\in\la$ ed $\la^{**}$
l'assemblaggio indotto per la $k$--parola indotta $w^{**}$ di
$f^{**}$, il taglio di secondo tipo di $f$ lungo $\cass$. Allora
$\la^{**}$ \`e connesso ed inoltre:
$$
g(\la^{**})=g(\la)
$$
\finenu
\dim La dimostrazione \`e essenzialmente la stessa della proposizione
precedente, si usi la Proposizione~\lapa{propgeuguale} invece della
\lapa{propgemenouno}.
\finedim

Le tre proposizioni precedenti spiegano in che senso i tagli
semplifichino le curve.

\lem\unouno
Siano $\curva$ una curva generica, $w$ una parola per $f$ definita da
un sistema di segmenti ed
$\la\in\Cal A(w)$ tale che $g(\la)=0$, allora:
$$
R(f)\ge1
$$
\finenu
\dim
Procediamo per induzione sul numero $N$ di lettere negative in $w$.

Sia $N=0$. Risolvendo gli incroci di $\G$ come mostrato in
Fig.~\number\figu, si ottiene una curva $\ttilde\G$ che ha lo stesso
numero di rotazione di $f$ e le cui componenti sono curve semplici. Il
fatto che $w$ non ha lettere negative, implica che anche le
intersezioni di $\ttilde\G$ con i segmenti del sistema $A$ che
definisce $w$ sono tutte positive (le modifiche a $\G$ vengono fatte in
un intorno degli incroci e quindi lontano dai segmenti). Per di pi\'u,
dato che da ogni componente limitata di $\R2mega$ parte almeno un
segmento, dall'interno di ogni componente di $\ttilde\G$ parte almeno
un segmento. Questi due fatti messi insieme bastano a concludere che
ogni componente di $\ttilde\G$ \`e un loop con numero di rotazione $1$
(vedi \lafig{f13u}). Questo prova il lemma per $N=0$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\vcenter{\vbox{\figuraps f12u,40,0,600,1,}}
\hskip1cm
\figboxps f13u,110,0,600,
%\rete
\metti{$\G$}{30}{87}
\metti{$\ttilde\G$}{90}{87}
\vcenter{\figura0 }
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sia $N\ge1$. Sia $x_{i,j}^{-1}$ una lettera negativa terminale di $w$
e sia $x_{i,j'}$ tale che $\cass\in\la$. Ma allora le due curve
$f_1^*$, $f_2^*$, ottenute tagliando lungo questa coppia, hanno parole
$w_1^*$, $w_2^*$ che, per le Proposizioni \lapa{propmenoneg} e
\lapa{propassinduno}, hanno un numero di lettere negative strettamente
inferiore ad $N$ ed hanno assemblaggi $\la_1^*$, $\la_2^*$ di genere
0. Applicando la Proposizione~\lapa{proprotpiano} e l'ipotesi di
induzione si ottiene:
$$
R(f)=R(f^*)=R(f_1^*)+R(f_2^*)-1\ge1+1-1=1,
$$
che \`e la tesi.
\finedim

\prop.
Siano $\curva$ una curva generica e $w$ una parola per $f$ definita da
un sistema di segmenti. Allora per ogni assemblaggio $\la \in\Cal
A(w)$ risulta:
$$
R(f)\ge1-2g(\la).
$$
\finenu
\dim
Procediamo per induzione sul genere $g=g(\la)$ dell'assemblaggio. Sia
$\la\in\Cal A(w)$ tale che $g(\la)=0$ allora il lemma precedente
fornisce la tesi.

Supponiamo $g(\la)\ge1$. Per quanto visto sui grafi circolari,
esistono almeno due coppie allacciate $\cass$, $\casss\in\la$. Sia
$f^{***}$ il doppio taglio di $f$ lungo queste due coppie, allora, per
Proposizione~\lapa{propassinddue}, l'assemblaggio indotto $\la^{***}$
ha esattamente genere $g-1$. Per ipotesi di induzione risulta quindi:
$$
R(f^{***})\ge 1-2(g-1).
$$
Ma usando la Proposizione~\lapa{proprotpiano} si ha:
$$
R(f)=R(f^{***})-2\ge1-2(g-1)-2=1-2g
$$
che \`e la tesi.
\finedim

\prop.
Sia $\kcurva$ una $k$--curva generica, e sia $w$ una parola per $f$
definita da un sistema di segmenti.  Allora per ogni assemblaggio
connesso $\la\in\Cal A(w)$ risulta:
$$
R(f)\ge2-k-2g(\la).
$$
\finenu
\dim
Procediamo per induzione sul numero $k$ di componenti della curva.

Se $k=1$ la proposizione precedente fornisce la tesi. Sia quindi
$k\ge1$. Poich\`e l'assemblaggio $\la$ \`e connesso, esiste almeno
una coppia $\cass\in\la''$; sia $f^{**}$ il taglio di secondo tipo di
$f$ lungo questa coppia. Per Proposizione~\lapa{propassindtre},
l'assemblaggio indotto $\la^{**}$ ha lo stesso numero di componenti
connesse e stesso genere di $\la$, usando l'ipotesi di induzione e la
Proposizione~\lapa{proprotpiano}, si ottiene allora:
$$
\align
R(f)&=R(f^{**})-1\ge2-(k-1)-2g(\la^{**})-1
\\
&\ge 2-(k-1)-2g(\la)-1\ge2-k-2g(\la),
\endalign
$$
che \`e la tesi.
\finedim

\prop\propdisugassrot
Sia $\kcurva$ una curva generica e sia $w$ una parola per $f$ definita
da un sistema di segmenti. Allora per ogni assemblaggio $\la\in\Cal
A(w)$ risulta:
$$
R(f)\ge 2l(\la)-k-2g(\la).
$$
\finenu
\dim
Siano $\la_1,\dots,\la_l$ le componenti connesse di $\la$, e sia
$H_1,\dots,H_l$ la partizione dell'insieme $\{1,\dots,k\}$
determinata da tali componenti connesse ossia:
$$
H_j=\bigl\{h
\bigm|
\text{almeno una lettera di $\la_j$ sta nella parola $w_h$}\bigr\}.
$$
Chiaramente se $A$ \`e il sistema di segmenti per $f$ che definisce la
parola $w$, $A$ \`e a maggior ragione un sistema di segmenti per la
curva $f_{H_j}=\ristr{f}{\left(\coprod_{h\in H_j}\ESSE^1\right)}$; la
parola per $f_{H_j}$ determinata da $A$ non \`e altro che
$w_{H_j}=\{w_h\mid h\in H_j\}$ ed $\la_j$ \`e un assemblaggio connesso
per $w_{H_j}$. Ma allora per la proposizione precedente risulta:
$$
R\left(f_{H_j}\right)=2-\#H_j-2g(\la_j)\qquad \forall j=1,\dots,l.
$$
Sommando fra loro queste relazioni e tenendo presente che
$$
\sum_{j=1}^lR(f_{H_j})=R(f),\qquad
\sum_{j=1}^l\#H_j=k,\qquad
\sum_{j=1}^lg(\la_j)=g(\la),
$$
si ottiene la tesi.
\finedim

\defi.
Sia $\kcurva$ una $k$--curva generica e sia $w$ una $k$--parola per
$f$ definita da un sistema di segmenti. Un assemblaggio $\la\in\Cal
A(w)$ sar\`a detto minimale se e solo se:
$$
R(f)=2l(\la)-k-2g(\la).
$$
Denoteremo con $\Cal A_m(w)$ l'insieme degli assemblaggi minimali di $w$. 
\finenu

\rem\ossassconn
Con le notazioni usate nella dimostrazione della proposizione
precedente, osserviamo che un assemblaggio $\la\in\Cal A(w)$ \`e
minimale se e solo se ogni sua componente connessa $\la_j$ \`e
minimale per la parola $w_{H_j}$ della curva $f_{H_j}$.
\finenu

\rem\ossassminind
Osserviamo ancora che, nelle ipotesi delle
Proposizioni~\lapa{propassinduno}, \lapa{propassinddue} e
\lapa{propassindtre} rispettivamente, se $\la$ \`e un assemblaggio
minimale per $w$ allora l'assemblaggio indotto da un qualsiasi tipo di
taglio lungo coppie dell'assemblaggio \`e minimale per la parola
indotta. Infatti:
$$
\align
R(f^*)&=R(f)+1=1+1=2l(\la^*);\\
R(f^{**})&=R(f)+1=2-k-2g(\la)+1
\\
&=2-(k-1)-2g(\la^{**});
\\
R(f^{***})&=R(f)+2=1-2g(\la)+2
\\
&=1-2(g(\la)-1)=1-2g(\la^{***}).
\endalign
$$
\finenu

%\def\nomefile{par16.tex}

\para{Dimostrazione di Teorema \lapa{teoprincipaleuno}}{dtpu}

Incominciamo definendo un'applicazione 
$$
\la\colon E(f)\longrightarrow \Cal A_m(w)
$$
che dimostreremo mettere in bigezione i due insiemi.

Siano $\kcurva$ una curva generica, $w$ una parola per $f$ definita a
partire dal sistema di segmenti $A$. Sia $F\colon S\to\ERRE^2$ una
estensione di $f$. Poich\`e $F$ \`e una immersione ed $A$ \`e in
posizione generica rispetto ad $f$, $F^{-1}(A)$ \`e costituito da un
numero finito di archi semplici disgiunti, con almeno un estremo su
$\de S$. Dotiamo tali archi dell'orientazione indotta dai segmenti
$\a_i$.

Non \`e difficile vedere che in questo modo la controimmagine di punti
positivi \`e costituita da punti di $\de S$ su cui termina qualche
arco, mentre la controimmagine di punti negativi \`e costituita da
punti, da cui parte qualche arco.

Osserviamo ora che, ognuno di tali archi deve necessariamente
terminare su $\de S$, in quanto, se ci\`o non fosse vero, il segmento
corrispondente dovrebbe terminare in una componente connessa limitata
di $\R2mega$.

Inoltre \`e evidente che per ogni punto $x_{i,j}^e$ in $\G\cap A$
esiste uno ed un solo punto in $\de S$ che \`e mandato su esso da $F$.

Chiamiamo $\ttilde G(F)$ l'insieme costituito dagli archi di
$F^{-1}(A)$ che partono da punti di $\de S$ (e quindi vi terminano).
\`E evidente allora che, accoppiando tra loro le lettere di $w$
corrispondenti agli estremi di archi di $\ttilde G(F)$, si ottiene un
assemblaggio $\la(F)$ per la parola $w$. Per di pi\`u, detto $G(F)$
l'insieme $\ttilde G(F)\cup\de S$, si ha che $G(F)$ \`e una
realizzazione del grafo associato ad $\la(F)$ e quindi si ha una
immersione $G(\la(F))\hookrightarrow S$.

\lem.
Se $F\colon S\to\ERRE^2$ ed $F_1\colon S_1\to\ERRE^2$ sono
r--equivalenti, allora:
$$
\la(F)=\la(F_1).
$$
\finenu
\dim
Immediata dalle definizioni.
\finedim

Perch\`e $\la$ definisca l'applicazione voluta, resta da dimostrare
che $\la(F)$ \`e effettivamente un assemblaggio minimale. Per fare
questo abbiamo bisogno di alcuni lemmi.

\lem\lemCW{\enufn\!\cite{G--T}\puad}
Con le notazioni appena introdotte, $F$ ristretta ad ogni componente
connessa di $S-\ttilde G(F)$ \`e iniettiva.
\finenu
\dim 
Per assurdo siano $p,\,q\in S-G(F)$ tali che $p\ne q$, $F(p)=F(q)=z$ e
sia $\gamma\colon[0,1]\to S-G(F)$ tale che $\gamma(0)=p$ e
$\gamma(1)=q$.

Dato che $F$ \`e una immersione, possiamo supporre che $p,q\notin
F^{-1}(A)$. Infatti se $z\in A$ scegliamo un cammino in un piccolo
intorno di $z$, che parta da $z$ e termini in un punto $z'\notin A$,
che tocchi $A$ soltanto nel punto iniziale e che sia sollevabile via
$F$ a due cammini disgiunti partenti rispettivamente da $p$ e da $q$ e
terminanti in $p'$ e $q'$. Aggiungendo questi due cammini a $\gamma$
si ottiene la prima riduzione.

Dato che gli archi in $F^{-1}(A)-\ttilde G(F)$ non sconnettono le
componenti di $S-\ttilde G(F)$, possiamo assumere che il cammino sia
contenuto in $S-F^{-1}(A)$.

A meno di una piccola perturbazione, possiamo supporre che
$F\circ\gamma$ sia generica. Asseriamo, inoltre, che si pu\`o supporre
che $F\circ\gamma$ sia una curva semplice (senza autointersezioni).
Infatti se $F\circ\gamma$ ha un incrocio, allora esistono
$t_0<t_1\in[0,1]$ tali che
$F\big(\gamma(t_0)\big)=F\big(\gamma(t_1)\big)$ ed
$\ristr{F}{(t_0,t_1)}$ \`e iniettiva. Se $\gamma(t_0)\ne\gamma(t_1)$
prendiamo $\gamma'=\ristr{\gamma}{[t_0,t_1]}$ al posto di $\gamma$,
---questa curva ha le stesse propriet\`a di quella di partenza ed in
pi\`u \`e semplice--- altrimenti, se $\gamma(t_0)=\gamma(t_1)$,
prendiamo la curva
$\gamma''=\ristr{\gamma}{[t_1,1]}\ristr{\gamma}{[0,t_0]}$, che ha le
stesse propriet\`a di $\gamma$ ed un incrocio in meno. Evidentemente
il processo pu\`o essere iterato fino ad ottenere una curva con le
propriet\`a richieste.

In definitiva si hanno due punti $p$,$q\in S-F^{-1}(A)$ tali che
$F(p)=F(q)=z$ ed una curva $\gamma\colon[0,1]\to S-F^{-1}(A)$ che li
unisce e tale che $F\circ\gamma$ \`e semplice.

Sia ora $D$ un disco immerso iniettivamente in $\ERRE^2$ ed il cui
bordo \`e esattamente la curva $F\circ\gamma$; abbiamo due
possibilit\`a: $D\cap\G=\vuoto$, oppure $D\cap\G\ne\vuoto$.

Nella prima eventualit\`a, prendiamo, una omotopia di $F\circ\gamma$
con la curva costante che lasci fisso il punto $z$ e con immagine
tutta contenuta in $D$. Poich\`e $F$ \`e un rivestimento al di sopra
di ogni componente connessa di $\R2mega$, tale omotopia si solleva ad
una omotopia, che lascia fissi gli estremi, di $\gamma$ con la curva
costante ovvero $p=q$, che \`e una contraddizione.

Supponiamo allora che $D\cap\G\ne\vuoto$. Asseriamo che $\de
D\cap\G\ne\vuoto$, infatti se ci\`o non fosse vero, esisterebbe una
componente connessa di $\R2mega$ interamente contenuta nell'interno
di $D$, pertanto almeno un segmento di $A$ partirebbe dall'interno di
$D$ e quindi $\de D\cap A\ne\vuoto$, che \`e assurdo.

Asseriamo ora che si pu\`o supporre $p$, $q\in F^{-1}(\G)$. Infatti,
sia $t_0\in[0,1]$ il primo $t$ tale che
$F\big(\gamma(t_0)\big)=z_0\in\G$ e solleviamo tramite $F$ la curva
$\ristr{F\circ\gamma}{[0,t_0]}$ ad una curva $\gamma_1$ con
$\gamma_1(0)=q$; dato che $p\ne q$, risulta
$\gamma_1(t_0)\ne\gamma(t_0)$, cos\`\i\ che la curva
$\gamma'=\gamma_1\ristr{\gamma}{[t_0,1]}$ ha la propriet\`a richiesta.

Osserviamo che essendo $\de D\cap A=\vuoto$ allora anche $D\cap
A=\vuoto$, pertanto possiamo scegliere dei punti $p_i$, uno da ogni
componente connessa limitata di $\ERRE^2-(\G\cup A)$, abbastanza
vicini ad $A$ in modo da essere al di fuori di $D$, cos\`\i\ che
$F\circ\gamma$ risulti essere omotopicamente banale in
$\ERRE^2-\bigcup\{p_i\}$.

Inoltre, per il modo in cui sono presi i segmenti di $A$, ogni
componente connessa limitata di $\ERRE^2-(\G\cup A)$ risulta essere
diffeomorfa ad un disco aperto e pertanto possiamo trovare una
deformazione di $\ERRE^2-\bigcup\{p_i\}$ su $\G\cup A$, tale che le
traiettorie di tale deformazione non attraversino mai $\G\cup A$.
questo significa che tale deformazione pu\`o essere sollevata tramite
$F$, ad una omotopia $H_s$ di $\gamma$ che lascia fissi tutti i punti
di $F^{-1}(\G\cup A)$, in particolare gli estremi.

Ma ora $H_1(t)$ \`e una curva nel grafo $F^{-1}(\G\cup A)$ e quindi,
a meno di omotopia, possiamo supporre che $H_1(t)$ sia
ridotta ed essendo $F$ una immersione, anche la curva $F\circ H_1$
risulta essere ridotta nel grafo $\G\cup A$.

Infine, dato che $F\circ\gamma$ \`e omotopicamente banale in
$\ERRE^2-\bigcup\{p_i\}$ allora $F\circ H_1$ risulta essere
omotopicamente banale in $\G\cup A$, ma l'unica curva omotopicamente
banale e ridotta in un grafo \`e la curva costante, quindi $F\circ
H_1$ \`e costante e di conseguenza anche $H_1$ \`e costante e quindi
$p=q$, che \`e assurdo.
\finedim

\lem\discoap
Ogni componente connessa di $S-G(F)$ \`e diffeomorfa ad un disco
aperto.
\finenu
\dim
Sia $C$ una componente connessa di $S-G(F)$, per il lemma precedente,
$\ristr{F}{C}$ \`e uno a uno e pertanto $C$ \`e una superficie
planare, in altre parole o \`e diffeomorfa ad un disco aperto oppure
ad un disco aperto con dei buchi. Se fosse vera la seconda
eventualit\`a, allora $\de F(C)$ sarebbe necessariamente sconnesso;
sia $K$ una delle sua componenti interne. Per come sono definiti gli
oggetti in questione $K\subseteq\G\cup A$. Se $K\subseteq\G$ allora
$K$ dovrebbe avere almeno una componente connessa di $\R2mega$ al suo
interno e pertanto, almeno un segmento di $A$ partirebbe dall'interno
di $K$ e quindi taglierebbe interamente $F(C)$, che \`e assurdo.
Nell'altro caso, se $K$ contenesse parte di un segmento $\a$ di $A$,
dato che tutti questi segmenti terminano nella componente connessa
illimitata di $\R2mega$, $\a$ dovrebbe necessariamente tagliare
$F(C)$, che \`e nuovamente assurdo.
\finedim

\lem.
$\la(F)$ ha lo stesso numero di componenti connesse di $S$, ovvero:
$$
l(\la(F))=l(S).
$$
\finenu
\dim
Abbiamo gi\`a visto che $G(F)$ \`e una realizzazione del grafo
$G(\la(F))$, d'altra parte, per il lemma precedente, il grafo $G(F)$
\`e l'1--scheletro di una cellularizzazione di $S$ e pertanto deve
avere lo stesso numero di componenti connesse di $S$.
\finedim

\lem\lemgasmugs
$g(\la(F))\le g(S)$.
\finenu
\dim
$G(F)$ d\`a una immersione del grafo $G(\la(F))$ in $S$ ed il grafo e
la superficie hanno lo stesso numero di componenti connesse, quindi se
la componente $G(\la(F)_i)$ \`e immersa nella componente $S_i$ di $S$,
risulta allora ovviamente $g(\la(F)_i)\le g(S_i)$. Sommando tutte le
relazioni relative ad ogni componente, si ottiene la tesi.
\finedim

\lem.
$\la(F)$ \`e un assemblaggio minimale.
\finenu
\dim
Dalla relazione \thetag{H} di \ilpara{tip} e dai due lemmi precedenti
segue che:
$$
R(f)=\ch(S)=2l(S)-k-2g(S)\le 2l(\la(F))-k-2g(\la(F));
$$
d'altra parte, per Proposizione~\lapa{propdisugassrot}, si ha:
$$
R(f)\ge 2l(\la(F))-k-2g(\la(F));
$$
e quindi la tesi.
\finedim

\rem. 
Osserviamo che allora nel Lemma~\lapa{lemgasmugs} vale l'uguaglianza,
ed inoltre, con le notazioni dalla dimostrazione dello stesso
lemma, per ogni $i$ risulta $g(\la(F)_i)=g(S_i)$. Quindi
l'assemblaggio $\la(F)$ descrive completamente le topologia della
superficie $S$ (numero di componenti connesse e genere di ciascuna di
esse).
\finenu

\rem.
La costruzione dell'applicazione $\la$ mostra, in particolare, che se
$f$ \`e estendibile allora per ogni parola $w$ di $f$ definita da un
sistema di segmenti, necessariamente risulta $\Cal A_m(w)\ne\vuoto$.
\finenu

A questo punto dobbiamo dimostrare che l'applicazione $\la\colon
E(f)\to\Cal A_m(w)$ \`e una bigezione.

\prop.
L'applicazione $\la\colon E(f)\tto\Cal A_m(w)$ \`e iniettiva.
\finenu
\dim
Siano $F_1,\ F_2\colon S\to \ERRE^2$ due estensioni di $f$ tali che
$\la(F_1)=\la(F_2)$. Allora per ogni componente connessa $C_i^{(1)}$
di $S-G(F_1)$ esiste una unica componente connessa $C_{j(i)}^{(2)}$ di
$S-G(F_2)$ tale che $F_1(C_i^{(1)})=F_2(C_{j(i)}^{(2)})$, pertanto si
possono definire le applicazioni:
$$
\gather
h_i\colon C_i^{(1)}\tto C_{j(i)}^{(2)}
\\
h_i=\Bigl(\ristr{F_2}{C_{j(i)}^{(2)}}\Bigr)^{\!-1}
\!\circ
\ristr{F_1}{C_i^{(1)}}. 
\endgather
$$
Analogamente, per ogni arco $\gamma_i^{(1)}\in G(F_1)$,
$F_1|_{\gamma_i^{(1)}}$ \`e uno a uno ed esiste un unico arco
$\gamma_{j(i)}^{(2)}\in G(F_2)$ tale che
$F_1(\gamma_i^{(1)})=F_2(\gamma_{j(i)}^{(2)})$, pertanto possiamo
definire:
$$
\gather k_i\colon\gamma_i^{(1)}\tto\gamma_{j(i)}^{(2)}
\\
k_i=\Bigl(\ristr{F_2}{\gamma_{j(i)}^{(2)}}\Bigr)^{\!-1}
\!\circ \ristr{F_1}{\gamma_i^{(1)}}. 
\endgather
$$

Chiaramente, tutte queste applicazioni si incollano tra loro definendo
un diffeomorfismo $h\colon S\to S$ tale che $F_2\circ h=F_1$.
\finedim

Resta soltanto da mostrare la surgettivit\`a di $\la$.

\lem.
Sia $\curva$ una curva generica e sia $w$ una parola per $f$, definita
da un sistema di segmenti. Se $w$ non ha lettere negative, allora:
$$
R(f)=v+1,
$$
essendo $v$ il numero di incroci di $f$.
\finenu
\dim
Procediamo per induzione su $v$. Se $v=0$, allora $f$ \`e una curva
semplice ed il fatto che $w$ non abbia lettere negative, unito al fatto
che dall'interno della curva parte almeno un segmento, mostra che $f$
\`e un loop percorso in senso antiorario e quindi $R(f)=1$.

Sia $v\ge1$ e sia $p$ un incrocio di $f$. Risolviamo l'incrocio
$p$ come in \lafig{f12u} di \lapag{f12u} ed otteniamo in tal modo due
1--curve $f_1$, $f_2$, le cui parole, definite dagli stessi segmenti
che definiscono $w$ e che sono un sistema di segmenti sia per $f_1$
che per $f_2$, sono ancora senza lettere negative. Inoltre se
denotiamo con $v_i$ il numero di incroci di $f_i$, risulta chiaramente
$v_1+v_2=v-1$. Usando l'ipotesi di induzione ed il fatto, gi\`a
menzionato, che risolvere gli incroci non altera il numero di
rotazione, si ottiene:
$$
R(f)=R(f_1)+R(f_2)=v_1+1+v_2+1=v+1,
$$
ossia la tesi.
\finedim

\teo.{\enufn\!(genere $0$) \cite B\puad} 
Siano $\curva$ una curva generica tale che $R(f)=1$, $w$ una parola
per $f$, definita da un sistema di segmenti ed $\la\in\Cal A_m(w)$
(ovvero $g(\la)=0$). Allora esiste una immersione $F\colon D^2\to
\ERRE^2$ che estende $f$ e tale che $\la(F)=\la$.
\finenu
\dim
Procediamo per induzione sul numero $N$ di lettere negative in $w$. 

Se $N=0$ l'unico assemblaggio di $w$ \`e l'assemblaggio vuoto, che
\`e ovviamente minimale. Il lemma precedente implica che $f$ non ha
incroci e quindi \`e un ``embedding''; la tesi \`e allora una
conseguenza del Teorema di Jordan.

Sia $N\ge1$ e sia $\la\in\Cal A_m(w)$. Scegliamo una coppia
$\cass\in\la$ tale che $x_{i,j}^{-1}$ sia terminale e sia $f_1^*$,
$f_2^*$ il taglio di primo tipo di $F$ lungo questa coppia. Infine
siano $w_1^*$, $w_2^*$, $\la_1^*$, $\la_1^*$ le parole e gli
assemblaggi indotti.

Per le Proposizioni~\lapa{proprotpiano} e \lapa{propassinduno} ed
Osservazione~\lapa{ossassminind}, $R(f_1^*)=R(f_2^*)=1$ e $\la_i^*\in\Cal
A_m(w_i^*)$, e quindi, poich\`e $w_1^*$ e $w_2^*$ hanno un numero di
lettere negative strettamente inferiore a $w$ possiamo applicare
l'ipotesi di induzione per asserire che esistono due immersioni
$F_1^*\colon D^2\to\ERRE^2$, $F_2^*\colon D^2\to\ERRE^2$ che estendono
$f_1^*$, $f_2^*$ e tali che:
$$
\la(F_1^*)=\la_1^*,\qquad\la(F_2^*)=\la_2^*.
$$

Ma ora possiamo attaccare una striscia tra i due dischi, ottenendo una
superficie $S\cong D^2$, ed estendere le due immersioni $F_1^*$,
$F_2^*$ a tale striscia, in modo da ``riempire il taglio'', ottenendo
cos\`\i\ una immersione $F$ che estende $f$ e che, per come sono
definiti gli assemblaggi indotti, \`e tale che $\la(F)=\la$ (vedi
\lafig{f14u}).
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f14u,116,0,800,
%\rete
\metti{$F$}{60}{29}
\metti{$F^*_1$}{27}{76}
\metti{$F^*_2$}{68}{76}
$$
\figura0
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\teo.{\enufn\!(genere arbitrario)\puad}
Siano $\curva$ una curva generica, $w$ una parola per $f$, definita da
un sistema di segmenti, e sia $\la\in\Cal A_m(w)$, ovvero
$R(f)=1-2g(\la)$. Allora esiste una immersione $F\colon S\to\ERRE^2$,
con $g(S)=g(\la)$, che estende $f$ e tale che $\la(F)=\la$.
\finenu
\dim
Procediamo per induzione su $g=g(\la)$. Se $g=0$ il teorema precedente
fornisce la tesi.

Supponiamo $g\ge1$ e siano $\cass$, $\casss\in\la$ due coppie
allacciate (esistono in quanto $g\ge1$). Sia $f^{***}$ il doppio
taglio di $f$ lungo queste due coppie e siano $w^{***}$, $\la^{***}$
la parola e l'assemblaggio indotti.

Per Proposizione \lapa{propassinddue} ed
Osservazione~\lapa{ossassminind}, si ha che $g(\la^{***})=g-1$ e
$\la^{***}\in\Cal A_m(w^{***})$. Pertanto, usando l'ipotesi di
induzione, esiste una immersione $F^{***}\colon S^{***}\to\ERRE^2$,
con $g(S^{***})=g-1$, che estende $f^{***}$ e tale che
$\la(F^{***})=\la^{***}$.

A questo punto si possono incollare due strisce a $\de S^{***}$ ed
estendere $F^{***}$ in modo da ``riempire i tagli'', ottenendo in tal
modo una superficie $S$ di genere $g$ ed una estensione $F\colon
S\to\ERRE^2$ di $f$ tale che $\la(F)=\la$ (vedi \lafig{f15u}).
\finedim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f15u,164,0,600,
%\rete
\metti{$F$}{49}{21}
\metti{$F^{***}$}{45}{74}
$$
\figura0
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\teo\teocasoconn{\bf\!(caso connesso)\puad}
Siano $f\colon\kcir\to\ERRE^2$ una curva generica, $w$ una $k$--parola per $f$,
definita da un sistema di segmenti, ed $\la\in\Cal A_m(w)$ un
assemblaggio minimale connesso, ovvero $R(f)=2-k-2g(\la)$). Allora
esiste una immersione $F\colon S\to\ERRE^2$, con $S$ connessa, $\de
S=\kcir$ e $g(S)=g(\la)$, che estende $f$ e tale che $\la(F)=\la$.
\finenu
\dim
Procediamo per induzione su $k$. Se $k=1$ la tesi \`e data dal teorema
precedente.

Sia $k\ge2$ e sia $\cass\in\la''$ (esiste poich\`e l'assemblaggio \`e
connesso). Sia $f^{**}$ il taglio di secondo tipo di $f$ lungo questa
coppia e siano $w^{**}$, $\la^{**}$ la $(k-1)$--parola e
l'assemblaggio indotti.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f16u,120,0,600,
%\rete
\metti{$F$}{59}{24}
\metti{$F^{**}$}{57}{75}
$$
\figura0
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Per Proposizione~\lapa{propassindtre} ed
Osservazione~\lapa{ossassminind}, si ha che $\la^{**}$ \`e connesso,
minimale e $g(\la^{**})=g(\la)$. Usando l'ipotesi di induzione, si ha
l'esistenza di una immersione $F^{**}\colon S^{**}\to\ERRE^2$, con
$S^{**}$ connessa, $\de S^{**}=\coprod_{h=1}^{k-1}$ e
$g(S^{**})=g(\la^{**})=g(\la)$, che estende $f^{**}$ e tale che
$\la(F^{**})=\la^{**}$.

Si conclude come nei precedenti due teoremi, attaccando una striscia a
$\de S^{**}$ ed estendendo $F^{**}$ in modo da riempire il taglio
(vedi \lafig{f16u}).
\finedim

\teo.{\bf\!(caso generale)\puad}
Siano $f\colon\kcir\to\ERRE^2$ una curva generica, $w$ una $k$--parola
per $f$, definita da un sistema di segmenti, ed $\la\in\Cal A_m(w)$,
ovvero $R(f)=2l(\la)-k-2g(\la)$. Allora esiste una immersione
$F\colon S\to\ERRE^2$, con $l(S)=l(\la)$, $g(S_i)=g(\la_i)$ (essendo
$S_i$ ed $\la_i$ le componenti connesse di $S$ ed $\la$
rispettivamente), che estende $f$ e tale che $\la(F)=\la$.
\finenu
\dim
Con le notazioni di Proposizione~\lapa{propdisugassrot}\ ed usando
l'Osservazione~\lapa{ossassconn}, si ha che ogni $\la_i$ \`e un
assemblaggio minimale connesso per la parola $w_{H_i}$ di $f_{H_i}$.

Si conclude, allora, usando il teorema precedente.
\finedim

Questo conclude la dimostrazione del Teorema~\lapa{teoprincipaleuno}.

\rem.
Mettiamo in evidenza che il teorema appena dimostrato, d\`a una
risposta effettiva e costruttiva al problema dell'esistenza di
estensioni di una curva generica.

Abbiamo detto ``effettiva'', in quanto l'esistenza di tali estensioni
\`e completamente determinata da un oggetto puramente combinatorio, la
$k$--parola, da cui si pu\`o facilmente calcolare l'insieme degli
assemblaggi minimali.

Abbiamo anche detto ``costruttiva'' dato che, guardando attentamente
la dimostrazione del teorema, si vede che l'assemblaggio $\la(F)$
induce una cellularizzazione della superficie $S$ tale che $f$,
ristretta alla parte interna di ogni cella \`e 1--1, mentre ristretta
al bordo di tali celle altro non \`e che il taglio di $f$ lungo tutte
le coppie dell'assemblaggio $\la(F)$.

Pertanto, a posteriori, dato un assemblaggio minimale $\la$, possiamo
costruire un modello per l'estensione corrispondente semplicemente
costruendo la superficie secondo la cellula\-rizzazione suggerita
dall'assemblaggio, dato che all'interno di ogni cella $F$ \`e
univocamente determinata.
\finenu


\bigbreak
Affrontiamo ora il caso in cui la curva sia contenuta in una
superficie arbitraria $\ENNE$. Abbiamo bisogno di introdurre una
nozione non standard di numero di rotazione per una curva in una
superficie (cfr. \cite{E}, \cite Q).

%\def\nomefile{par17.tex}
\para{Numero di rotazione}{nr}

Sia $\ENNE$ una superficie compatta e connessa ed $f\colon \ESSE^1\to
\ENNE$ una curva regolare, ossia $f'(t)\ne0\ \forall t$. Consideriamo
il fibrato vettoriale $f^*T\ENNE$ su $\ESSE^1$, pull--back via $f$ del
fibrato tangente. Le sezioni di tale fibrato saranno dette campi di
vettori lungo $f$.

Dato che $f$ \`e regolare, il fibrato $f^*T\ENNE$ contiene un
sottofibrato banale $\tau f$, di rango uno, generato dalla sezione mai
nulla $f'(t)$. Sia $\nu f=f^*T\ENNE\big/\vphantom{[}_{\!\tsize\tau f}$.
Chiaramente si ha il seguente diagramma:
$$
\CD
\tau f\oplus\nu f  @= f^*T\ENNE  @>\tau^*f>>   T\ENNE   \\
@.               @Vf^*\tau VV        @VV\tau V \\
        @.         \ESSE^1  @>>f>      \ENNE
\endCD
$$
\defi.
Chiameremo i due fibrati $\tau f$ e $\nu f$ rispettivamente il fibrato
tangente di $f$ in $\ENNE$ ed il fibrato normale di $f$ in $\ENNE$.
\finenu

\prop\proplato
Sia $f\colon\ESSE^1\to\ENNE$ una curva regolare. Sono fatti equivalenti:
\roster
\item
$f^*T\ENNE$ \`e banale;
\item
$\nu f$ \`e banale;
\item
$\nu f$ \`e orientabile;
\item
esiste un campo di vettori lungo $f$ trasversale ad $f$;
\item
$\G=f(\ESSE^1)$ possiede un intorno orientabile.
\endroster
\finenu
\dim
\therosteritem1 $\iff$ \therosteritem2 $\iff$ \therosteritem3
\`e ovvia in quanto esistono solo due fibrati vettoriali di rango 1 su
$\ESSE^1$: il fibrato banale ed il nastro di M\oe bious, che non \`e
orientabile. 

\therosteritem2$\iff$\therosteritem4
segue dal fatto che se $\v$ \`e una sezione mai nulla di $\nu f$
allora \`e ovviamente un campo di vettori lungo $f$ trasversale ad $f$
e viceversa se $n$ \`e un campo di vettori lungo $f$ trasversale ad
$f$ allora $\pi_\nu\circ n$ \`e una sezione mai nulla di $\nu f$.

Per quanto riguarda \therosteritem3$\iff$\therosteritem5, questa segue
dal fatto che esiste una immersione $\Phi\colon\nu f\tto\ENNE$
che ristretta alla sezione nulla coincide con $f$.
\finedim
\defi\deflato
Si dir\`a che la curva $f$ ha due lati se verifica una, e quindi
tutte, le condizioni della proposizione precedente.

Si chiamer\`a lato di $f$ la scelta di una orientazione del fibrato
$\nu f$.
\finenu
\rem\osslato
Chiaramente, scegliere una orientazione del fibrato $\nu f$ \`e
equivalente a scegliere una sezione mai nulla $L$ di $\nu f$, ovvero
un campo lungo $f$ trasversale ad $f$, o ancora a scegliere, una volta
fissato un senso di percorrenza per $f$ ossia una orientazione di
$\ESSE^1$, una orientazione del fibrato $f^*T\ENNE$ ovvero
una orientazione di un intorno di $\G$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figuraps figrot1,148,0,700,1,
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Converremo, se $L$ \`e una sezione mai nulla di $\nu f$ di associare a
questa scelta l'orientazione di $f^*T\ENNE$ data da $\bigl(df(t)[\de
t],L(t)\bigr)$, essendo $\de t$ il vettore tangente di $\ESSE^1$ che
d\`a l'orientazione di $\ESSE^1$.

A questo proposito osserviamo ancora che se si inverte il senso di
percorrenza della curva, ossia si inverte l'orientazione di $\ESSE^1$,
lo stesso lato definisce l'orientazione opposta su $f^*T\ENNE$ (vedi
\lafig{figrot1}).
\finenu

Sia $f$ una curva regolare con un lato fissato, e sia $X$ un
campo di vettori mai nullo lungo $f$. Sia $P: f^*T\ENNE\to\ERRE^2$
una proiezione che, fibra per fibra, conserva l'orientazione.
Denotiamo con $\varphi_PX$ l'applicazione:
$$
\align
\varphi_P^\VI X &\colon\ESSE^1\tto\ESSE^1
\\
\varphi_P^\VI X &\colon t\longmapsto\frac{PX_t}{\left|PX_t\right|}.
\endalign
$$
\defi.
Siano $X,Y$ campi mai nulli lungo $f$. Chiameremo numero di rotazione
di $Y$ rispetto ad $X$ il numero:
$$
R_X(Y)=\deg(\varphi_P^\VI Y)-\deg(\varphi_P^\VI X).
$$
Dove, ai fini del calcolo dei gradi, si considerano l'$\ESSE^1$ di
partenza e l'$\ESSE^1$ d'arrivo dotati rispettivamente
dell'orientazione che definisce il senso di percorrenza della curva e
dell'orientazione indotta da $\ERRE^2$.
\finenu
\rem.
\`E immediato verificare che se $P$ e $P'$ sono come richieste dalla
definizione precedente, allora $P$ e $P'$ sono omotope da cui:
$$
\deg(\varphi_P^\VI Y)-\deg(\varphi_P^\VI X)
=
\deg(\varphi_{P'}^\VI Y)-\deg(\varphi_{P'}^\VI X),
$$
ovvero quella appena data \`e una buona definizione.
\finenu
\rem\osslatodue
La definizione precedente \`e indipendente anche dall'orientazione di
$\ESSE^1$, ossia dal senso di percorrenza della curva. Infatti, per
quanto osservato in \lapa{osslato}, invertire l'orientazione di
$\ESSE^1$ vuol dire invertire anche l'orientazione di $f^*T\ENNE$, ma
allora se $P:f^*TN\to\ERRE^2$ \`e una buona proiezione per la prima
orientazione di $\ESSE^1$ e se denotiamo con $\overline{\phantom{P}}:
\ERRE^2\to\ERRE^2$ la coniugazione, \`e evidente che $\overline
P:f^*TN\to\ERRE^2$ \`e una buona proiezione per la seconda
orientazione di $\ESSE^1$. \`E immediato verificare che
$\varphi_{\overline P}^\VI X=\overline{\varphi_P^\VI X}$
e
$\varphi_{\overline P}^\VI Y=\overline{\varphi_P^\VI Y}$, 
da cui per le propriet\`a del grado si deduce:
$$
\deg(\varphi_P^\VI Y)-\deg(\varphi_P^\VI X)
=
-\deg(\varphi_{\overline P}^\VI Y)+
\deg(\varphi_{\overline P}^\VI X)
$$
quando si calcolino i gradi con la stessa orientazione in partenza, ma
visto che per calcolare $R_X(Y)$ nei due casi, dobbiamo usare due diverse
orientazioni, in entrambi i casi si ottiene lo stesso risultato.
\finenu
\rem\osslatotre
Al contrario, se si inverte il lato di $f$ il numero di rotazione di
$Y$ rispetto ad $X$ cambia segno, in quanto si inverte l'orientazione
su $f^*T\ENNE$, ma non quella sull'$\ESSE^1$ di partenza.
\finenu

Diamo ora alcune semplici propriet\`a che ci saranno utili nel seguito.
\prop\propscema
Siano $X,Y,Z$ campi mai nulli lungo la curva con lato $f$, allora:
\roster
\item
$R_X(Z)=R_X(Y)+R_Y(Z)$;
\item
$R_X(Y)=-R_Y(X)$;
\item
$R_X(X)$=0
\endroster
\finenu
\dim
Immediata dalla definizione.
\finedim
\prop\propomotop
Siano $H,K:\ESSE^1\times[0,1]\to f^*T\ENNE$ omotopie rispettivamente tra 
i campi $Y_0,Y_1$ ed $X_0,X_1$. Supponiamo che per ogni $s\in[0,1]$ i
campi $H_s$ e $K_s$ siano mai nulli. Allora:
$$
R_{X_1}(Y_1)=R_{X_0}(Y_0).
$$
\finenu
\dim
Il fatto che $H_s$ e $K_s$ siano mai nulli permette di definire le
applicazioni $\varphi_P^\VI H$ e
$\varphi_P^\VI K:\ESSE^1\times[0,1]\to\ESSE^1$ definite da:
$$
\varphi_P^\VI H(t,s)=\frac{PH_s(t)}{\left|PH_s(t)\right|},
\qquad
\varphi_P^\VI K(t,s)=\frac{PK_s(t)}{\left|PK_s(t)\right|},
$$
che sono evidentemente omotopie tra $\varphi_P^\VI X_1$ e
$\varphi_P^\VI X_0$ e tra $\varphi_P^\VI Y_1$ e
$\varphi_P^\VI Y_0$. Dall'invarianza per omotopia del grado
segue la tesi.
\finedim

Siano ora $f$ una curva con un lato fissato, e sia $X$ un campo su
$\ENNE$ che non abbia zeri su $\G$.

\prop.
Siano $L_1$ ed $L_2$ due campi trasversali ad $f$ che ne definiscono
il lato, e sia $X^*=f^*X$ il campo lungo $f$, pull--back di $X$ via
$f$. Allora:
$$
R_{X^*}(L_1)=R_{X^*}(L_2).
$$
\finenu
\dim
Poich\`e $L_1$ ed $L_2$ definiscono lo stesso lato, per ogni
$t\in\ESSE^1$ e per ogni $s\in[0,1]$ si ha
$H_s(t)=sL_1(t)+(1-s)L_2(t)\ne0$. Ma allora si conclude per
Proposizione~\lapa{propomotop}.
\finedim
La proposizione appena dimostrata permette allora di dare la seguente:
\defi\defrotf
Chiameremo numero di rotazione di $f$ rispetto ad $X$ il numero:
$$
R_X(f)=R_{X^*}(L),
$$
dove $L$ \`e un campo trasversale ad $f$ che ne definisce il lato.
\finenu
\rem.
Per quanto gi\`a osservato in Osservazione~\lapa{osslatodue}, la
definizione di numero di rotazione di una curva con un lato $f$, non
dipende dal senso di percorrenza di $f$.
\finenu
Vale per\`o la seguente:
\prop\invlat
Se si inverte il lato di $f$ il suo numero di rotazione rispetto ad
$X$ cambia segno.
\finenu
\dim
Sia $L$ un campo trasversale ad $L$ che ne definisce il lato, e sia
$P:f^*T\ENNE\to\ERRE^2$ una buona proiezione per questa scelta del
lato.
\`E allora evidente che il campo $-L$ definisce il lato opposto,
mentre una buona proiezione, per questa scelta di lato \`e data da
$\overline P$.

Ma allora, dato che evidentemente
$\varphi_{\overline P}^\VI (-L)
=-\overline{\varphi_P^\VI L}$
e
$\varphi_{\overline P}^\VI X^*
=\overline{\varphi_P^\VI X^*}$,
dalle propriet\`a del grado si deduce immediatamente:
$$
\deg\varphi_{\overline P}^\VI (-L)
-\deg\varphi_{\overline P}^\VI X^*
=
-\deg\varphi_P^\VI L
+\varphi_P^\VI X^*,
$$
e quindi la tesi.
\finedim

\rem.
\`E immediato verificare che la nozione appena introdotta coincide con
la usuale nozione di numero di rotazione per curve piane, quando
una tale curva si consideri munita del lato indotto dall'orientazione
di $\ERRE^2$ e si calcoli il numero di rotazione rispetto ad un campo
costante, ad esempio $X=(1,0)$.
\finenu

\rem.
Le nozioni di lato e di numero di rotazione si generalizzano in modo
ovvio alle $k$--curve regolari $\kcurvan$.
\finenu

\defi.
Sia $S$ una superficie compatta con bordo, sia $F\colon S\to\ENNE$ una
immersione, e sia $f=\ristr F{\de S}$ chiameremo lato indotto
dall'immersione $F$ sulla curva $f$ quello definito dal campo:
$$
L(t)=dF(t)[m(t)]\qquad\forall t\in\de S,
$$
dove $m(t)$ \`e un campo di vettori lungo $\de S$ che punta verso
l'interno di $S$.
\finenu

D'ora in poi supporremo che il campo $X$ rispetto a cui calcoliamo il
numero di rotazione, abbia soltanto zeri isolati.

\prop\proprotdisc
Sia $F\colon\DD^2\to\ENNE$ un embedding, e sia $f=\ristr F{\de S}$
munita del lato indotto. Supponiamo che $f$ non passi per gli zeri di
$X$. Allora:
$$
R_X(f)=1-\mskip-10mu\sum_{p\in F(\DD^2)}\mskip-10mu\iota_X^\VI(p),
$$
dove $\iota_X(p)$ denota l'indice del campo $X$ nel punto $p$. 
\finenu
\dim
Poich\`e $F$ \`e un embedding, ma basterebbe che $F$ fosse una
immersione, possiamo identificare i fibrati $T\DD^2$ ed $F^*T\ENNE$.

Siano $\ttilde X$ il campo su $\DD^2$ tale che $dF[\ttilde X]=X$ ed
$m$ il campo normale diretto verso l'interno del disco su $\ESSE^1$.
Sia infine $P:T\DD^2\to\ERRE^2$ una proiezione sulla fibra che
conserva l'orientazione su ogni fibra, una volta che si doti
$T\DD^2=F^*T\ENNE$ dell'orientazione che su
$\ristr{F^*T\ENNE}{\ESSE^1}=f^*T\ENNE$ coincide con quella indotta dal
lato.

Con l'identificazione fatta all'inizio, \`e allora evidente che:
$$
R_X(f)=
\deg(\varphi_P^\VI m)-
\deg\bigl(\varphi_P^\VI (\ristr{\ttilde X}{\ESSE^1}\bigr).\tag1
$$
D'altra parte un semplice calcolo e la definizione di indice mostrano
che:
$$
\gathered
\deg(\varphi_P^\VI m)=1;
\\
\deg\bigl(\varphi_P^\VI (\ristr{\ttilde X}{\ESSE^1}\bigr)=
\sum_{p\in\DD^2}\iota_{\ttilde X}^\VI (p)=
\mskip-12mu
\sum\limits_{p\in F(\DD^2)}\mskip-10mu\iota_X^\VI (p).
\endgathered
\tag2
$$
Mettendo insieme la \thetag1 e la \thetag2 si ottiene la tesi.
\finedim
Per la definizione dell'indice $\iota$ degli zeri isolati di un campo,
si veda ad esempio \cite{Mil}.

\rem\remrotdisc
In particolare, se $F(\DD^2)$ contiene tutti gli zeri di $X$ allora:
$$
R_X(f)=1-\ch(\ENNE),
$$
in quanto $\sum\limits_{p\in F(\DD^2)}\mskip-8mu\iota_X^\VI (p)=
\sum\limits_{p\in\ENNE}\iota_X^\VI (p)$, ed \`e un fatto ben noto che
la somma degli indici degli zeri di un campo con solo zeri isolati su
una variet\`a \`e uguale alla caratteristica di Eulero della variet\`a
stessa (Teorema dell'indice, cfr. \cite{Mil})>
\finenu

\prop\proprotnozer
Sia $S$ una superficie compatta con bordo, e sia $F\colon S\to\ENNE$
una immersione tale che $F(S)$ non contiene nessuno zero di $X$. Sia
$f=\ristr F{\de S}$ dotata del lato indotto da $F$. Allora:
$$
R_X(f)=\ch(S),
$$
dove $\ch$ denota, come al solito, la caratteristica di Eulero.
\finenu
\dim
Dato che $F$ \`e una immersione, come gi\`a osservato nella
dimostrazione della proposizione precedente, possiamo identificare i
fibrati $F^*T\ENNE$ e $TS$.

Sia $\ttilde X$ il campo su $TS$ tale che $dF[\ttilde X]=X$, e sia $m$
il campo su $\de S$ diretto verso l'interno di $\de S$.

Supponiamo che la superficie $S$ sia orientabile, allora \`e un fatto
ben noto che il fibrato tangente di $S$ \`e banale.  Fissiamo una
orientazione su $S$, ossia una orientazione su $TS$, ed orientiamo
$\de S$ come bordo di $S$. Sul fibrato $\ristr{TS}{\de S}=f^*T\ENNE$
abbiamo allora due orientazioni: quella indotta dalla fissata
orientazione di $TS$ e quella indotta dal lato. \`E immediato
verificare che le due orientazioni coincidono.

Prendiamo $P:TS\to\ERRE^2$ una proiezione sulla fibra che conserva
l'orientazione su ogni fibra. Come nella dimostrazione precedente,
\`E allora evidente che:
$$
R_X(f)=\deg\varphi_P^\VI m
-\deg\varphi_P^\VI (\ristr{\ttilde X}{\de S}),\tag1
$$
e, dato che $F(S)$ non contiene zeri di $X$, il campo $\ttilde X$ \`e
non nullo su tutta $S$; pertanto l'applicazione
$\varphi_P^\VI (\ristr{\ttilde X}{\de S})$ \`e estendibile a
tutta $S$, e quindi $\deg\varphi_P^\VI (\ristr{\ttilde
X}{\de S})=0$. La \thetag1 si riduce a:
$$
R_X(f)=\deg\varphi_P^\VI m\tag2
$$

Sia ora $M$ una estensione a tutta $S$ del campo $m$ con solo zeri
isolati $p_1,\dots,p_n$, e siano $B_1,\dots,B_n$ intorni disgiunti e
diffeomorfi a palle aperte di tali punti. Sia $\ttilde
S=S-\bigcup\limits_{i=1}^nB_i$.  Denotiamo con $C_i=\de B_i$.

L'applicazione $\varphi_P^\VI (\ristr{M}{\de\ttilde S}):\de
\ttilde S\to\ESSE^1$ ha grado nullo in quanto si estende a tutta
$\ttilde S$ (cfr. \cite{Mil}), ma allora:
$$
0=\deg\varphi_P^\VI (\ristr{M}{\de\ttilde S})=
\sum_{i=1}^n\deg\varphi_P^\VI (\ristr{M}{C_i})+
\deg\varphi_P^\VI (\ristr{M}{\de S}).
$$
quando si consideri $\de \ttilde S$ orientato come bordo di $\ttilde
S$. Sostituendo questa relazione nella \thetag2 si ottiene quindi:
$$
R_X(f)=-\sum_{i=1}^n\deg\varphi_P^\VI (\ristr{M}{C_i}).\tag3
$$

Osserviamo ora che, per definizione di indice di un campo, per ogni $i$
risulta:
$$
\deg\varphi_P^\VI (\ristr{M}{C_i})=-\iota_M^\VI (p_i);\tag4
$$
d'altra parte, per il gi\`a citato Teorema dell'indice, applicabile
anche a variet\`a a bordo se il campo ristretto al bordo \`e diretto
verso l'interno della variet\`a,
$$
\ch(S)=\sum_{i=1}^n\iota_M^\VI (p_i).
$$
Sostituendo \thetag4 in \thetag3 ed usando quest'ultima relazione si
ottiene la tesi.

Supponiamo ora che $S$ non sia orientabile. Sia $\hhat
S\overset\pi\to\tto S$ il rivestimento doppio orientabile di $S$.
Allora $F\circ\pi\colon\hhat S\to\ENNE$ \`e una immersione,
$\ch(\hhat S)=2\ch(S)$. Per quanto visto nel caso orientabile,
$$
2\ch(S)=\ch(\hhat S)=
R_X\bigl(\ristr{(F\circ\pi)}{\de\hhat S}\bigr).\tag5
$$
Osserviamo inoltre che fissando una orientazione su $\de S$ e dotando
$\de\hhat S$ dell'orientazione indotta da quella di $\de S$, si ha
ovviamente:
$$
\deg\bigl(\ristr\pi{\de\hhat S}\bigr)=2.\tag6
$$
In pi\`u con tali orientazioni su $\de S$ e $\de\hhat S$ se
$P:f^*T\ENNE\to\ERRE^2$ \`e una buona proiezione sulla fibra, allora anche
$P\circ d\pi:(f\circ\ristr\pi{\de\hhat S})^*T\ENNE\to\ERRE^2$.

Siano
$\hhat m$ ed $\hhat X$ i sollevamenti su $\de\hhat S$ e $\hhat S$
rispettivamente dei campi $m$ ed $\ttilde X$, evidentemente anche
$\hhat m$ \`e diretto verso l'interno di $\hhat S$.
Con semplici calcoli si ottiene allora:
$$
\align
R_X\bigl(\ristr{(F\circ\pi)}{\de\hhat S}\bigr)&=
\deg\varphi_{(P\circ d\pi)}^\VI \hhat m-
\deg\varphi_{(P\circ d\pi)}^\VI \hhat X=
\\
&=
\deg\bigl((\varphi_P^\VI m)\circ\pi\bigr)-
\deg\bigl((\varphi_P^\VI \ttilde X)\circ\pi\bigr)=
\\
&=
\deg(\varphi_P^\VI m)\deg\pi-
\deg(\varphi_P^\VI \ttilde X)\deg\pi=\qquad\text{usando la \thetag6}
\\
&=
2\bigl(\deg(\varphi_P^\VI m)-
\deg(\varphi_P^\VI \ttilde X)\bigr)=2R_X(f).
\endalign
$$
Questa relazione, unita alla \thetag5 prova la tesi anche in questo caso.
\finedim

Sia ora $X$ un campo su $\ENNE$ con un unico zero in un punto che
chiamiamo $\infty$.
\prop\rotcar
Sia $F\colon S\to\ENNE$ una immersione tale che $f=\ristr F{\de S}$
non passi per $\infty$; allora:
$$
R_X(f)=\ch(S)-\beta\ch(\ENNE),
$$
essendo $\beta=\#F^{-1}(\infty)$.
\finenu

\dim
Sia $\{p_1,\dots,p_\beta\}=F^{-1}(\infty)$ e siano $B_1,\dots,B_\beta$
palle intorno ad ogni $p_j$ e tali che $\ristr F{B_j}$ sia un
embedding. Allora, $\ristr F{S-\bigcup B_j}$ \`e una immersione che
non assume il valore $\infty$ e quindi, per \lapa{proprotnozer},
$$
R_X\bigl(\ristr F{\de(S-\bigcup B_j)}\bigr)=\ch(S-\bigcup
B_j)=\ch(S)-\beta.\tag1
$$
D'altra parte,
$$ R_X\bigl(\ristr
F{\de(S-\bigcup B_j)}\bigr)=R_X\bigl(\ristr F{\de
S}\bigr)+\sum_jR_X\bigl(\ristr F{\de_j (S-\bigcup B_j)}\bigr),\tag2
$$
dove con $\de_j(S-\bigcup B_j)$ indichiamo il bordo della palla $B_j$
considerato con il lato indotto come bordo di $S-\bigcup B_j$. Ma
allora, se denotiamo con $\de B_j$ il bordo di $B_j$ con il lato
indotto da $B_j$, si ha:

$$
R_X\bigl(\ristr F{\de_j (S-\bigcup
B_j)}\bigr)=-R_X\bigl(\ristr F{\de B_j}\bigr)
$$
e quindi per \lapa{proprotdisc} ed \lapa{remrotdisc}, risulta che per ogni $j$
$$
R_X\bigl(\ristr F{\de_j(S-\bigcup B_j)}\bigr)=-1+\ch(\ENNE).\tag3
$$
Mettendo insieme le relazioni \thetag1, \thetag2 e \thetag3 si ottiene
allora:
$$
R_X(f)=R_X\bigl(\ristr F{\de S}\bigr)=
\ch(S)-\beta+\beta\bigl(1-\ch(\ENNE)\bigr)=
\ch(S)-\beta\ch(\ENNE)
$$
che \`e la tesi.
\finedim

Per il numero di rotazione, definito in questo modo, valgono tutte le
propriet\`a standard dell'usuale numero di rotazione, ad esempio
valgono le seguenti proposizioni, che useremo nel seguito e di cui
omettiamo la dimostrazione che \`e facile conseguenza di argomenti
standard della teoria del grado (invarianza per omotopia ed invarianza
per cobordismo del grado \cite{Mil}):
\prop\proprotu
Sia $\curvan$ una curva generica con un lato e sia
$F\colon\ESSE^1\times[0,1]\to\ENNE$ una omotopia di $f$ che conserva
il lato \(ossia esiste un campo $N$ lungo $F$ tale che per ogni
$t\in[0,1]$, $N_t=\ristr N{\ESSE^1\times\{t\}}$ definisce un lato per
$F_t$ ed $N_0$ definisce il lato fissato per $f=F_0$\). Allora
$R_X(f)=R_X(F_1)$.
\finenu
\prop\proprotd
Siano $\curvan$ una curva generica con un lato e $p$ un incrocio di
$f$; sia $g\colon\ESSE^1\coprod\ESSE^1\to\ENNE$ la curva con lato
ottenuta modificando $f$ in un intorno di $p$ nel modo suggerito in
Fig.~\number\figu, allora $R_X(f)=R_X(g)$.
\finenu
$$
\figuraps figrot2,135,0,600,2,
$$

\bigbreak
Estendiamo ora la nozione di grafo circolare, in modo di avere una
``buona nozione'' di immersione anche in superficie non orientabili.


%\def\nomefile{par18.tex}
\def\({{\rm(}} \def\){{\rm)}} \def\[{{\rm[}} \def\]{{\rm]}}
\def\gcp{grafo circolare pesato}
\def\gcpi{grafi circolari pesati}

\para{Grafi circolari pesati}{gcpesati}
\nopagebreak
\defi\defgcp
Sia $k$ un intero positivo, per $k$--\gcp\ intenderemo un $k$--grafo
circolare (cfr. Definizione~\lapa{defgracir}) in cui ogni lato proprio
\`e ``pesato'' con un segno $+$ o $-$.
\finenu
Analogamente a quanto visto in \ilpara{gc}, un $k$--grafo circolare pesato
\`e determinato univocamente da un insieme di $k$ parole, $\KW$, nelle
lettere ${a_1}_\pm,\dots,{a_n}_\pm$, dove il sottoindice $+$ indica
che il lato proprio uscente dal vertice ha peso $+$ ed il sottoindice
$-$ che il lato proprio uscente dal vertice ha peso $-$.  Chiameremo
questo insieme di parole la $k$--parola di $G$.

Nel seguito denoteremo con $S_{g,k}^+$ la superficie compatta,
connessa, orientabile di genere $g$, con $k$ componenti di bordo e con
$S_{g,k}^-$ la superficie compatta, connessa, non orientabile di
genere $g$, con $k$ componenti di bordo.

\defi\defsemior
Sia $M$ una variet\`a orientabile, si definisce semiorientazione di
$M$, una classe di equivalenza di orientazioni, modulo la relazione di
inversione.
\finenu

\rem.
Chiaramente se la variet\`a orientabile $M$ \`e connessa, su $M$
c'\`e una unica semiorientazione e quindi la definizione si
banalizza.
\finenu

\defi\defimmgcp
Sia $G$ un $k$--\gcp\ connesso; diremo che $G$ \`e immergibile in
genere $g^+$ {\rm[}risp. $g^-${\rm]} se e solo se esiste
un'applicazione $\varphi\colon G\rightarrow S_{g,k}^+$ {\rm[}risp.
$\varphi\colon G\rightarrow S_{g,k}^-${\rm]} tale che:
\roster 
\item  
$\varphi$ \`e un omeomorfismo sull'immagine;
\item 
$\varphi (\bigcup_h C_h)=\de S_{g,k}^+$ \[risp. $\de S_{g,k}^-$\];
\endroster
inoltre, detto $U_\ell$ un intorno di $\varphi(\ell)$ omeomorfo a
$\ell\times[-1,1]$,
\roster 
\item[3] 
per ogni lato proprio $\ell$ di $G$, le semiorientazioni indotte su
$\de S_{g,k}^\pm\cap U_\ell$ rispettivamente da $U_\ell$ e da
$\bigcup_hC_h$ (via $\varphi$) coincidono se il peso di $\ell$
\`e $+$ e viceversa non coincidono se il peso di $\ell$ \`e $-$.
\endroster 
\finenu

\rem\remimmgcp
\`E chiaro che ogni \gcp\ connesso, \`e immergibile in qualche superficie 
compatta con $k$ componenti di bordo, basta procedere in modo analogo
a quanto fatto in Osservazione~\lapa{remimm}, (vedi \lafig{f2u} di
\lapag{f2u} e \lafig{figgra1}). Osserviamo inoltre
che, se il grafo ha pesi tutti positivi e si inizia il procedimento
con una superficie orientata $S$ immergendo i cerchi in modo che la
loro orientazione coincida con quella indotta da $S$, allora ogni volta
che si deve aggiungere un manico, questo deve essere aggiunto in modo
che la nuova superficie sia ancora orientata.
\finenu

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figgra1,172,0,500,
%\rete
\metti{$a_1$}{4}{25}
\metti{$a_1$}{65}{20}
\metti{$a_1^{-1}$}{33}{65}
\metti{$a_1^{-1}$}{84}{67}
\metti{$a_2$}{-3}{35}
\metti{$a_2$}{56}{28}
\metti{$a_2^{-1}$}{37}{20}
\metti{$a_2^{-1}$}{97}{28}
\metti{$-$}{18}{47}
\metti{$+$}{18}{82}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura0
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\defi\defeqgcp
Due \gcpi, connessi o meno, saranno detti equivalenti se e solo se
coincidono topologicamente e le ``sovrastrutture'' (orientazione dei
cerchi e pesi dei lati) sono ottenute l'una dall'altra con una
sequenza finita delle seguenti mosse elementari:
\roster 
\item"{(E)}"  
si inverte l'orientazione su un cerchio e si invertono tutti i pesi
dei lati propri che hanno uno ed un solo vertice su quel cerchio.
\endroster
\finenu


\rem\remeqgcp
Osserviamo che se $G'$ \`e ottenuto da $G$ con una mossa di tipo
\therosteritem{E} invertendo l'orientazione dell'$h$--esima circonferenza,
allora la parola $w'$ di $G'$ \`e ottenuta dalla parola $w$ di $G$ nel
seguente modo:
\roster 
\item"{(E)}" Si inverte l'ordine delle lettere nella parola $w_h$
e si invertono i sottoindici $+,-$ di tutte le lettere $a_i^{\pm1}$
tali che esattamente una delle due, $a_i$ o $a_i^{-1}$ \`e presente in
$w_h$.
\endroster 
\finenu

\lem\lemeqgcp
Se $G$ \`e immergibile in genere $g^+$ \[risp. $g^-$\] allora anche
ogni grafo $G'$ ad esso equivalente lo \`e.
\finenu

\dim
Basta mostrare la tesi nel caso che $G'$ sia ottenuto da $G$ mediante
una mossa elementare. Ma allora, se $\varphi\colon G\to S$ \`e una
immersione di $G$, essa lo \`e anche per $G'$. Infatti sia $\ell$ un
lato di $G$, se $\ell$ ha i due vertici sul cerchio in cui si cambia
orientazione o se non ha vertici su tale cerchio, la semiorientazione
di $\de S\cap U_\ell$ indotta da $\varphi$ non cambia, e dato che il
peso su tali lati rimane invariato, la condizione \therosteritem3 di
Definizione~\lapa{defimmgcp} \`e verificata da $\ell$ (la
semiorientazione indotta da $U_\ell$ \`e ovviamente la stessa), se
invece $\ell$ ha un solo vertice sul cerchio in questione, la
semiorientazione di $\de S\cap U_\ell$ viene invertita (in quanto su
una delle sue due parti l'orientazione indotta da $\varphi$ rimane la
stessa mentre sull'altra viene invertita), d'altra parte a tale lato
viene invertito il peso e quindi la \therosteritem3 di
Definizione~\lapa{defimmgcp} \`e verificata anche in questo caso.

D'altra parte le condizioni \therosteritem1 e \therosteritem2 di
Definizione~\lapa{defimmgcp} sono ovviamente verificate in quanto
fanno riferimento solo alla topologia di $G$ che rimane la stessa per
passaggio a grafi equivalenti.
\finedim

\defi\defgcppos
Diremo che il \gcp\ $G$ \`e positivo se \`e equivalente ad un \gcp\
con solo lati positivi, altrimenti diremo che \`e negativo.
\finenu

\defi\defgegcp
Chiameremo genere del \gcp\ connesso $G$ il numero:
$$
g(G)=\min\bigl\{g\bigm|
\text{$G$ \`e immergibile in genere $g^+$ o $g^-$}\bigr\};
$$
denoteremo inoltre con $h(G)$ il numero:
$$
h(G)=\cases 2g(G)
&\qquad \text{se $G$ \`e positivo}
\\
g(G) &\qquad \text{se $G$ \`e negativo},
\endcases
$$
che chiameremo genere pesato. Se $G$ non \`e connesso e
$G_1,\dots,G_l$ sono le sue componenti connesse, poniamo:
$$
g(G)=\sum_{i=1}^lg(G_i); \qquad
h(G)=\sum_{i=1}^lh(G_i).
$$
\finenu

\prop\propgegcp
Siano $G$ e $G'$ \gcpi\ connessi, equivalenti; allora $g(G)=g(G')$.
\finenu

\dim
Segue ovviamente dal lemma precedente. \finedim

\prop\propposgcp
Un \gcp\ connesso \`e immergibile in una superficie orientata se e
solo se \`e positivo.
\finenu

\dim
Se $G$ \`e un grafo con lati tutti positivi, per quanto osservato in
\lapa{remimmgcp}, $G$ \`e immergibile in una superficie orientata, e per
tanto da \lapa{lemeqgcp} segue una implicazione.  Viceversa, sia $G$
immergibile in una superficie orientabile $S$, fissiamo una
orientazione su $S$ e dotiamo $\de S$ dell'orientazione indotta.
Tramite l'immersione riportiamo queste orientazioni sui cerchi di $G$
e consideriamo il grafo $G'$ equivalente a $G$ determinato da tali
orientazioni dei cerchi. Sempre per \lapa{lemeqgcp}, l'immersione di $G$ \`e
una immersione anche per $G'$, ma allora, poich\`e le orientazioni di
$\de S\cap U_\ell$ indotte rispettivamente dall'immersione e
dall'orientazione di $S$ coincidono per costruzione, tutti i lati di
$G'$ devono necessariamente avere pesi positivi. Questo conclude la
dimostrazione.
\finedim

\lem.
Sia $G$ un \gcp\ connesso, immerso in modo minimale in una superficie
$S$. 
Allora ogni componente connessa di $S-G$ \`e un disco aperto.
\finenu

\dim
Osserviamo innanzitutto che ogni componente connessa di $S-G$ \`e una
superficie compatta con bordo privata del bordo. Se una di queste
componenti $C$ non fosse un disco, potremmo sostituirla con una unione
disgiunta di dischi (uno per ogni componente di bordo di $C$),
ottenendo in tal modo una nuova superficie $S'$ in cui si pu\`o ancora
immergere $G$. D'altra parte, poich\`e ogni superficie compatta,
connessa, con $k$ componenti di bordo ha caratteristica di Eulero
strettamente inferiore a quella dell'unione disgiunta di $k$ dischi,
la superficie $S$ avr\`a anch'essa caratteristica di Eulero
strettamente inferiore a quella di $S'$ e quindi $g(S')<g(S)$, che \`e
contro l'ipotesi che l'immersione di $G$ in $S$ sia minimale.
\finedim

\prop\propgepogcp
Sia $G$ un \gcp\ connesso, positivo. Se $G$ \`e immerso in modo
minimale in $S$, allora $S$ \`e orientabile.
\finenu

\dim
La condizione \therosteritem3 di \lapa{defimmgcp}, unita al fatto che
$G$ \`e positivo, garantisce che si possono scegliere le orientazioni
sui dischi che costituiscono $S-G$, in modo che esse si incollino a
dare una orientazione globale di $S$.
\finedim

La proposizione appena dimostrata assieme a \lapa{propposgcp}, permette
allora di concludere che il genere di un grafo determina univocamente
la superficie in cui si immerge minimalmente, ossia vale la seguente:
\prop\propminimmgcp
Sia $G$ un $k$--\gcp, connesso e sia $g=g(G)$. Allora $G$ si immerge
minimalmente in $S_{g,k}^+$ se e solo se \`e positivo; invece si
immerge minimalmente in $S_{g,k}^-$ se e solo se \`e negativo.
\finenu

\rem.
Osserviamo che le ultime proposizioni dimostrate, sono state enunciate
per grafi circolari pesati connessi. Non \`e difficile vedere che gli
stessi enunciati valgono, ragionando sulle singole componenti
connesse, anche nel caso di grafi non connessi.
\finenu

Analogamente a quanto fatto in \ilpara{gc}, definiamo alcune
operazioni sui grafi circolari pesati, che permettono il calcolo
algoritmico del genere di tali grafi. Siano $\Cal S_1(G)$ ed $\Cal
S_2(G)$ come in \ilpara{gc}.

Sia $G$ un $k$--\gcp, con $k\ge2$, si $\KW$ la sua $k$--parola e sia
$\ell\in\Cal S_2$ un lato positivo di $G$. Siano $a_i$ e $a_i^{-1}$ i
suoi vertici con $a_i\in w_h$, $a_i^{-1}\in w_j \quad h\not= j$, a
meno di permutazioni cicliche possiamo supporre quindi che
$w_h=a_iw_h'$ e  $w_j =a_i^{-1}w_j'$.
\defi\deftagu
Chiameremo taglio di $G$ lungo $\ell$ il $(k-1)$--\gcp\ $G^{**}$
determinato dalla $(k-1)$--parola:
$$
\{w^{**}\}\cup\{\,w_i\mid i\not= h,j\}
$$
dove $w^{**}$ \`e data da: $$ w^{**} = w_h' w_j' $$
\finenu

\defi\defall
Sia $G$ un 1--\gcp. Due lati propri $\ell_1$ $\ell_2$ di $G$, di
vertici rispettivamente $a_i^{\pm1}$ ed $a_j^{\pm1}$, saranno detti
allacciati se la parola $w$ di $G$ \`e del tipo:
$$
w=a_i^{\pm1}\xi a_j^{\pm1}\eta a_i^{\mp1}\zeta a_j^{\mp1}\te.
$$
\finenu

\defi\deftagd
Sia $G$ un 1--\gcp, e siano $\ell_1$, $\ell_2$ due lati allacciati e
positivi. Sia $w$, come nella precedente definizione, una parola per
$G$.  Chiameremo taglio di $G$ lungo $\ell_1$, $\ell_2$ l'$1$--\gcp\
definito dalla parola:
$$
w^{***}=\te\zeta\eta\xi. 
$$
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figgra2,120,0,1000,
%\rete
\metti{$a_1$}{44}{48}
\metti{$a_2$}{42}{36}
\metti{$a_3$}{22}{102}
\metti{$a_4$}{-3}{45}
\metti{$a_5$}{45}{60}
\metti{$a_1^{-1}$}{-5}{62}
\metti{$a_2^{-1}$}{34}{92}
\metti{$a_3^{-1}$}{11}{31}
\metti{$a_4^{-1}$}{6}{94}
\metti{$a_5^{-1}$}{29}{98}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$+$}{3}{15}
\metti{$+$}{37}{22}
\metti{$-$}{15}{5}
\metti{$-$}{17}{60}
\metti{$-$}{27}{72}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$G$}{26}{10}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$a_2$}{98}{36}
\metti{$a_3$}{79}{102}
\metti{$a_4$}{53}{45}
\metti{$a_5$}{101}{62}
\metti{$a_2^{-1}$}{89}{92}
\metti{$a_3^{-1}$}{67}{31}
\metti{$a_4^{-1}$}{63}{94}
\metti{$a_5^{-1}$}{85}{99}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$+$}{71}{5}
\metti{$-$}{59}{15}
\metti{$-$}{83}{72}
\metti{$-$}{93}{23}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$G^*_-$}{82}{10}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox100=\vbox to 1.5\baselineskip{
\hbox to\wd0{\hss tagliando lungo
${\ell=\{a_1,a_1^{-1}\}}$\hss}
\vss
}
\setbox101=\hbox to\wd0{${
w=
a_{1-}^{\vphantom{-1}}
a_{5-}^{\vphantom{-1}}
a_{2+}^{-1}
a_{5-}^{-1}
a_{3+}^{\vphantom{-1}}
a_{4+}^{-1}
a_{1-}^{-1}
a_{4+}^{\vphantom{-1}}
a_{3-}^{-1}
a_{2+}}^{\vphantom{-1}
}$\hss}
\setbox102=\hbox to\wd0{\hss${
w^*_-=
a_{5-}^{\vphantom{-1}}
a_{2-}^{-1}
a_{5-}^{-1}
a_{3+}^{\vphantom{-1}}
a_{4-}^{-1}
a_{2-}^{\vphantom{-1}}
a_{3+}^{-1}
a_{4-}^{\vphantom{-1}}
}$}
\setbox103=\vbox{
\copy100
\copy0
\vbox to 1.5\baselineskip{\copy101\vss\copy102}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura103
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\defi\deftagt
Sia $G$ un 1--\gcp, sia $\ell$ un lato proprio, negativo di $G$, di
vertici $a_i^{\pm1}$. Sia $w=a_{i-}\xi a_{i-}^{-1}\eta$ una parola per
$G$. Chiameremo taglio di $G$ lungo $\ell$ l'$1$--\gcp\ $G^*_-$
definito dalla parola:
$$
w^*_-=\ttilde\xi\bar\eta
$$
dove $\ttilde\xi$ \`e ottenuta da $\xi$
invertendo i segni in basso di tutte le lettere $a_i$ che sono
presenti una sola volta in $\xi$, mentre $\bar\eta$ \`e ottenuta da
$\eta$ con la stessa operazione seguita da una inversione
dell'ordinamento delle lettere.
\finenu
Le operazioni definite in \lapa{deftagu} e \lapa{deftagd} sono
essenzialmente le stesse definite in \ilpara{gc} (\lapa{deftagdue} e
\lapa{deftagdopp}) ed il loro significato geometrico \`e illustrato
in \lafig{f3u} di \lapag{f3u} e \lafig{f4u} di \lapag{f4u}; per quanto
riguarda l'operazione definita in \lapa{deftagt}, il suo significato
geometrico \`e illustrato \lafig{figgra2}.





\prop\proptagu
Sia $G$ un $k$--\gcp, connesso e con $k\ge2$; sia $\ell\in\Cal S_2$ un
lato positivo. Allora $G$ \`e immergibile in $S_{g,k}^\pm$ se e solo
se il grafo $G^{**}$, ottenuto tagliando $G$ lungo $\ell$, \`e
immergibile in $S_{g,k-1}^\pm$.
\finenu
\dim
Sia $G\subset S=S_{g,k}^\pm$, sia $S'$ la superficie ottenuta
tagliando $S$ lungo $\ell$. Chiaramente risulta:
$$
\ch(S)=\ch(S')-1
$$
e, se denotiamo con $k(S)$ il numero di componenti di bordo della
superficie $S$, si ha:

$$
k(S)=k(S')+1.
$$
Ma ora,
$$
\ch(S)=\cases 2-k(S)-2g(S) &\quad\text{se $S$ \`e orientabile} 
            \\
              2-k(S)-g(S)   &\quad\text{se $S$ non \`e orientabile}
        \endcases
$$
e pertanto:
$$
\ch(S')=\ch(S)+1=
\cases 2-k(S')-2g(S) &\quad\text{se $S$ \`e orientabile}
\\
2-k(S')-g(S) &\quad\text{se $S$ non \`e orientabile}
\endcases
$$
Dato che, evidentemente, $S$ \`e orientabile se e solo se anche $S'$
lo \`e, risulta che $S'=S_{g,k-1}^\pm$.


D'altra parte, ci\`o che rimane di $G$ dopo il taglio di $S$ non \`e
altro che $G^{**}$ e quindi $G^{**}$ \`e immergibile in
$S_{g,k-1}^\pm$.

Viceversa, sia $G^{**}\subset S=S_{g,k-1}^\pm$. Si attacchi una
striscia alla componente di bordo corrispondente alla parola $w^{**}$
in modo che:
\roster
\item
la semiorientazione del bordo della striscia (indotta dalla striscia)
coincida con la semiorientazione della parte di $\de S$ su cui viene
attaccata;
\item
la striscia congiunga le due parti di bordo che separano i vertici
dati da $w_h'$ da quelli dati da $w_j'$.
\endroster
Si ottiene in tal modo una superficie $\ttilde S=S_{g,k}^\pm$ in cui
\`e immerso il grafo $G$ privato del lato $\ell$. Non \`e difficile
vedere che le condizioni \therosteritem1 e \therosteritem2
garantiscono che si pu\`o immergere nella striscia anche il lato
$\ell$, ottenendo l'immersione desiderata per $G$. (cfr.
Proposizione \lapa{propgeuguale} e \lafig
{f6} di \lapag{f6})
\finedim
\prop\proptagt
Sia $G$ un $1$--\gcp\ e sia $\ell$ un lato negativo. Allora, $G^*_-$ \`e
immergibile in $S_{g,1}^-$ \[risp. $S_{g,1}^+$\] se e solo se $G$ \`e
immergibile in $S_{g+1,1}^-$ \[risp. $S_{2g+1,1}^-$\].
\finenu
\dim
La dimostrazione \`e analoga alla precedente. Dato che $G$ ha un lato
negativo, per \lapa{propposgcp}, $G$ \`e immergibile soltanto in
superficie non orientabili. Sia quindi $G\subset S^-_{g,1}$.
Tagliando $S$ lungo $\ell$, si ottiene allora una superficie $S'$ con
una sola componente di bordo (dato che, se $U$ \`e un intorno di
$\ell$, le semiorientazioni indotte su $U\cap\de S$, rispettivamente
da $U$ e da $\de S$, non coincidono), e con caratteristica di Eulero
$\ch(S')=\ch(S)+1=1-g+1$.

Ma allora, o $S'$ non \`e orientabile, e quindi $S'=S^-_{g-1,1}$ oppure
$S'$ \`e orientabile (in particolare $g$ \`e dispari) ed
$S'=S^-_{(g-1)/2,1}$.

D'altra parte,ci\`o che resta di $G$ dopo il taglio \`e esattamente
$G^*_-$, e quindi si ha una implicazione.

Viceversa, sia $G^*_-\subset S$, attacchiamo una striscia a $\de S$ in
modo che:
\roster
\item
la semiorientazione del bordo della striscia, indotta dalla striscia,
non coincida con quella indotta da $\de S$;
\item
la striscia congiunga le due parti di $\de S$ che separano i vertici
determinati da $\ttilde\xi$ da quelli determinati da $\bar\eta$.
\endroster

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figgra3,78.6,0,600,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Chiaramente \parfigura1 la superficie $\ttilde S$ cos\`\i\ ottenuta, ha
caratteristica di Eulero $\ch(\ttilde S)=\ch(S)-1$, ha una sola
componente di bordo, non \`e orientabile e quindi
$$
\ttilde S=\cases
                S^-_{2g+1,1}       &\qquad\text{se $S$ \`e orientabile;}
                \\
                S^-_{g+1,1}    &\qquad\text{se $S$ non \`e orientabile;}
\endcases
$$
in pi\`u in $\ttilde S$ vi \`e immerso il grafo $G$ privato del
lato $\ell$ e non \`e difficile vedere che nella striscia appena
attaccata si pu\`o immergere il lato $\ell$ (vedi \lafig{figgra3}).
\finedim
\prop\proptagd
Sia $G$ un 1--\gcp\ positivo, e siano $\ell_1$ ed $\ell_2$ due lati
allacciati. Allora $G$ \`e immergibile in $S_{g,1}^+$ se e solo se
$G^{***}$ \`e immergibile in $S_{g-1,1}^+$.
\finenu
\dim
La stessa di \lapa{propgemenouno}
\finedim
\prop\propdidu
Sia $G$ un 1--\gcp\ positivo, $G$ \`e immergibile in $\DD^2$ se e solo
se non ha lati allacciati.
\finenu
\dim
La stessa di \lapa{propgezero}
\finedim

Le proposizioni appena dimostrate, ci permettono di calcolare il
genere di un $k$--\gcp\ connesso, procedendo con tagli successivi nel
modo seguente:
\newline
se $k>1$ prendiamo un lato $\ell\in\Cal S_2$ (esiste perch\`e $G$ \`e
connesso), a meno di equivalenza, possiamo supporre che tale lato sia
positivo, tagliamo lungo $\ell$ ed otteniamo un $(k-1)$--\gcp\ che,
per \lapa{proptagu}, ha lo stesso genere di $G$. Con tagli successivi
ci riconduciamo quindi a dover calcolare il genere di un 1--\gcp.

Sia ora $\ell$ un lato negativo di $G$, tagliamo lungo $\ell$ ed
otteniamo il grafo $G^*_-$ che, per \lapa{proptagt}, ha genere
$$
g(G^*_-)=\cases \frac{g(G)-1}2       &\qquad\text{se $G^*_-$ \`e positivo;}
                   \\
                      g(G)-1         &\qquad\text{se $G^*_-$ \`e negativo.}
\endcases
$$
Quindi si itera tale procedimento, e dopo un numero finito di passi
$p_1$ si ottiene sicuramente un grafo positivo $G'$ (eventualmente
senza lati propri). Si ha quindi:
$$
g(G')=\frac{g(G)-p_1}2\quad\iff\quad g(G)=2g(G')+p_1.
$$
In questo modo ci siamo ricondotti a calcolare il genere di un 1--\gcp,
positivo $G'$.

Siano allora $\ell_1$ ed $\ell_2$ due lati allacciati, tagliamo lungo
questi due lati ed otteniamo un grafo $G'^{***}$ positivo che, per
\lapa{proptagd}, ha genere:
$$
g(G'^{***})=g(G')-1.
$$
Si itera il procedimento fino ad ottenere, dopo $p_2$ passi, un \gcp,
$G''$, senza lati allacciati che, per \lapa{propdidu}, ha  genere
zero. Allora:
$$
g(G')=g(G'')+p_2=p_2.
$$
In definitiva si ha:
$$
g(G)=\cases 2p_2+p_1     &\qquad\text{se $G$ \`e negativo;}
           \\
            p_2          &\qquad\text{se $G$ \`e positivo.}
\endcases
$$

%\def\nomefile{par19.tex}

\para{Parole ed assemblaggi}{pass}

Siano $\kcurvan$ una curva generica (cfr. Definizione
\lapa{defkcurva}), $\G$ il supporto di $f$ e sia $\infty\in\ENNE$ un
punto fissato.

\defi\defsisseg
Chiameremo insieme di segmenti per $f$ un insieme $R=\{r_i\}=A\cup \Omega$,
con $A=\{\a_i\}$ e $\Omega=\{\omega_j\}$, i cui elementi saranno chiamati
segmenti, tale che:
\roster
\item
ogni $\a_i$ \`e un arco orientato liscio diffeomorfo ad un segmento
della retta reale, con il punto iniziale in una componente connessa di
$\ENNE-\G$, ed il punto finale in $\infty$;
\item
gli $\omega_j$ sono dei rappresentanti lisci (diffeomorfi ad $\ESSE^1$)
di un sistema di generatori minimale di $\pi_1(\ENNE,\infty)$;
\item
gli $\a_i$ e gli $\omega_j$ sono in posizione generica rispetto a $\G$,
ovvero non passano per gli incroci e sono trasversali a $\G$;
\item
due segmenti si intersecano soltanto in $\infty$;
\endroster
Diremo che $R$ \`e un sistema di segmenti per $f$ se in pi\`u:
\roster
\item[5]
da ogni componente connessa non contenente $\infty$, parte almeno uno
dei segmenti $\a_i$.
\endroster
\finenu

Sia $\kcurvan$ una curva generica con un lato (cfr. Definizione
\lapa{deflato}) e sia $R$ un insieme di segmenti per $f$. Fissiamo un
intorno $U_\infty$ di $\infty$ tale che $U_\infty\cap\G=\vuoto$, per
ogni $r\in R$ fissiamo un intorno orientabile $U_r$ di $r-U_\infty$ in
$\ENNE-U_\infty$ sul quale scegliamo una orientazione. Assegniamo dei
nomi --- $x_{i,j,\mu}^e$ con $i$ e $j$ numeri naturali ed $e,\mu=\pm1$
--- alle intersezioni di $\G\cap R$, con le seguenti regole:
\roster
\item
$x_{i,j,\mu}^e\in r_i$;
\item
$e=+1$ oppure $e=-1$ secondo che il segmento $r_i$
attraversi la curva dalla parte contrassegnata dal lato all'altra o
viceversa (vedi Fig.~\number\figu);
\item
$\mu=+1$ oppure $\mu=-1$ secondo che l'orientazione di $\G$ seguita da
quella del segmento $r_i$ si compongano o meno, nel punto
$x_{i,j,\mu}^e$, a dare l'orientazione di $U_{r_i}$ oppure no (vedi
Fig.~\number\figu);
\item
due punti $x_{i,j,\mu}^e, x_{i,j',\mu'}^e\in r_i$ sono tali che $j<j'$
se e solo se il punto $x_{i,j,\mu}^e$ precede $x_{i,j',\mu'}^e$
rispetto all'orientazione di $r_i$.
\endroster
\defi\defpar
Chiameremo $k$--parola della $k$--curva $\kcurvan$ l'insieme:
$$
\KW,
$$
di parole determinate con lo stesso procedimento usato
in Definizione~\lapa{defkparola}.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figpar1,102,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize e=-1$}{14}{42}
\metti{$\ssize \mu=-$}{22}{33}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize e=1$}{33}{80}
\metti{$\ssize \mu=+$}{41}{72}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize e=1$}{64}{46}
\metti{$\ssize \mu=-$}{71}{37}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize e=-1$}{73}{70}
\metti{$\ssize \mu=+$}{81}{62}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\infty$}{51}{95}
\metti{$\infty$}{95}{95}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura0
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\defi\defassz
Chiameremo $0$--assemblaggio per $w$ un insieme $\la$ i cui elementi
sono coppie non ordinate $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu'}\}$ di
lettere di $w$, tali che:
\roster
\item
se $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu'}\}\in\la$ allora $j<j'$;
\item
ogni lettera di $w$ data da una intersezione di $\Omega\cap\G$ compare in
un elemento di $\la$;
\item
ogni lettera di $w$ con esponente negativo ($e=-1$) compare in un
elemento di $\la$;
\item
ogni lettera di $w$ compare in al pi\`u un elemento di $\la$.
\endroster
\finenu

Data $f$ ed un insieme di segmenti $R$ per $f$, fissiamo $V_\infty$ un
intorno di $\infty$, con un diffeomorfismo $\Phi_\infty\colon
V_\infty\to \bold B^2$ (essendo $\bold B^2$ la palla unitaria di
$\ERRE^2$) tale che:
\roster
\item
$\G\cap V_\infty=\vuoto$;
\item
l'immagine di $R\cap V_\infty$ tramite $\Phi$ sia un insieme di
semirette uscenti dall'origine;
\endroster
e per ogni numero naturale $l\ge1$ consideriamo la curva:
$$
\align
g_l&\colon\ESSE^1\tto\ENNE
\\
g_l&\colon t\longmapsto
\Phi_\infty^{-1}\bigl(({\tsize \frac13+\frac1{3l}})e^{it}\bigr)
\endalign
$$
sulla quale considereremo fissato il lato diretto verso l'esterno di
$V_\infty$.

\defi\defbesp
Chiameremo $\beta$--espansione della $k$--curva con lato $f$, la
$(k+\beta)$--curva con lato:
$$
f^\beta\colon\coprod_{h=1}^{k+\beta}\ESSE^1\tto\ENNE
$$
ottenuta aggiungendo ad $f$ le curve $g_1,\dots,g_\beta$.
\finenu

\defi\defbespw
Se $w$ \`e una $k$--parola di $f$, chiameremo $\beta$--espansione di
$w$ la $(k+\beta)$--parola $w^\beta$ determinata dalla
$\beta$--espansione di $f$ e dallo stesso insieme di segmenti che
determina $w$.
\finenu

\rem\osscema
\`E evidente che $w^\beta=w'\cup\{u_1,\dots,u_\beta\}$ dove
$w'$ \`e ottenuta da $w$ aumentando di $\beta$ il secondo indice di
ogni lettera ed $u_1,\dots,u_\beta$ sono le parole per le curve
$g_1,\dots,g_\beta$; \`e anche chiaro, per come sono state definite
le curve $g_l$, che per ogni $l<l'$ si ha:
$$
\gather
x_{i,j,\mu}\text{ compare in }u_l\iff x_{i,j+l'-l,\mu}
\text{ compare in }u_{l'}
\\
x_{i,j,\mu}^{-1}\text{ compare in }u_l\iff x_{i,j+l-l',\mu}^{-1}
\text{ compare in }u_{l'}
\endgather
$$
\finenu




\defi\defassb
Chiameremo $\beta$--assemblaggio per $w$, uno $0$--assemblaggio per la
$\beta$--espansione di $w$.
\finenu

\defi\defgrass
Se $\la$ \`e un $\beta$--assemblaggio per la parola $w$, chiameremo
grafo associato ad $\la$, il $(k+\beta)$--\gcp\ $G(\la)$ definito nel
modo seguente:
\roster
\item
i vertici di $G(\la)$ sono le lettere della parola $w^\beta$ che
compaiono in qualche elemento di $\la$;
\item
i vertici stanno su $k+\beta$ circonferenze orientate e
disgiunte $C_1,\dots,C_{k+\beta}$ che sono parte del grafo; ed il
vertice $x_{i,j,\mu}^e$ sta su $C_h$ se e solo se la lettera
$x_{i,j,\mu}^e$ compare nella parola $w_h^\beta$;
\item
due vertici sono congiunti da un lato proprio se e solo se le
corrispondenti lettere formano un elemento di $\la$;
\item
un lato proprio ha peso $+$ \[risp. $-$\] se e solo se i suoi vertici
hanno segno $\mu$ discorde \[risp. concorde\].
\endroster
\finenu

Denoteremo con $\Cal A^\beta(w)$ l'insieme dei $\beta$--assemblaggi
di $w$.

\defi\defgeass
Diremo che un assemblaggio \`e positivo se e solo se il suo grafo associato \`e positivo. Chiameremo inoltre genere e genere pesato del
$\beta$--assemblaggio $\la$ di $w$ rispettivamente i numeri:
$$
g(\la)=g\bigl(G(\la)\bigr);\qquad h(\la)=h\bigl(G(\la)\bigr).
$$
Chiameremo, inoltre numero di componenti connesse di $\la$ il numero,
$l(\la)$, di componenti connesse di $G(\la)$.
\finenu


Denotiamo con $\frak S_\beta$ il gruppo delle permutazioni di $\beta$
elementi. Per quanto visto in Osservazione~\lapa{osscema}, \`e
possibile definire un'azione del gruppo $\frak S_\beta$ sull'insieme
delle lettere di $w^\beta$ e precisamente se $\sigma\in\frak S_\beta$
poniamo:
$$
\sigma x_{i,j,\mu}^e=
\cases
x_{i,j,\mu}^e
&\qquad\text{se }x_{i,j,\mu}^e\text{ compare in } w'
\\
x_{i,j+e(\sigma_l-l),\mu}^e
&\qquad\text{se }x_{i,j,\mu}^e\text{ compare in } u_l
\endcases
$$
In altre parole questa azione lascia fisse le lettere di $w'$ e manda
ogni lettera della parola $u_l$ nella corrispondente, secondo la
corrispondenza data in Osservazione~\lapa{osscema}, lettera della
parola $u_{\sigma_l}$.

\prop\propazione
Sia $\la\in\Cal A^\beta(w)$ allora l'insieme:
$$
\sigma\la=\bigl\{\{\sigma x_{i,j,\mu}^{-1},\sigma x_{i,j',\mu'}\}
\bigm|
\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu'}\}\in\la\bigr\}
$$
\`e ancora un $\beta$--assemblaggio per $w$.
\finenu
\dim
Chiaramente l'insieme $\sigma\la$ verifica le condizioni
\therosteritem2 e \therosteritem3 di Definizione~\lapa{defassz}.
Mostriamo che vale anche la \therosteritem1.
Abbiamo quattro casi possibili:
\roster
\ite{i}
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ ed $x_{i,j',\mu'}$ sono entrambe in $w'$;
\ite{ii}
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ \`e in $w'$ ed $x_{i,j',\mu'}$ \`e in $u_l$;
\ite{iii}
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ \`e in $u_l$ ed $x_{i,j',\mu'}$ \`e in $w'$;
\ite{iv}
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ ed $x_{i,j',\mu'}$ sono entrambe in $w'$.
\endroster
Nel primo caso, visto che $\sigma x_{i,j,\mu}^{-1}=x_{i,j,\mu}^{-1}$ e
$\sigma x_{i,j'},\mu'=x_{i,j',\mu'}$, non c'\`e nulla da dimostrare.
Negli altri tre casi la tesi segue dal fatto che le lettere di un
segmento sono distribuite in tre blocchi: un primo, eventuale,
costituito dalle lettere negative che stanno sulle parole $u_l$, un
secondo dalle lettere della parola $w'$ ed infine un ultimo gruppo
costituito dalle lettere positive delle parole $u_l$. Pertanto se
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ sta in $u_l$ allora per ogni lettera positiva
$x_{i,j',\mu'}$ risulta $j<j'$, ed analogamente se $x_{i,j,\mu}$ sta
in $u_l$ allora per ogni lettera negativa $x_{i,j',\mu'}^{-1}$ risulta
$j'<j$.
\finedim

La precedente proposizione definisce una azione di $\frak S_\beta$
sull'insieme $\Cal A^\beta(w)$. \`E immediato dimostrare la seguente:

\prop\propgesigma
Per ogni $\la\in\Cal A^\beta(w)$ e per ogni $\sigma\in\frak S_\beta$
risulta $l(\sigma\la)=l(\la)$, $g(\sigma\la)=g(\la)$ ed $h(\sigma\la)=h(\la)$.
\finenu

Nella prossima sezione si dimostrer\`a la seguente:
\prop.
Siano $\kcurvan$ una curva generica, $w$ una parola definita da un
sistema di segmenti per $f$; allora per ogni $\la\in\Cal A^\beta(w)$
risulta:
$$
R_X(f)\ge2l(\la)-k-h(\la)-\beta\ch(\ENNE).
$$
Dove $X$ \`e un fissato campo con un unico zero nel punto $\infty$.
\finenu

Si pone allora la seguente:
\defi\defbeasmin
Sia $w$ una $k$--parola definita a partire da un sistema di segmenti
per la $k$--curva $\kcurvan$. Un $\beta$--assemblaggio
$\la\in\Cal A^\beta(w)$ sar\`a detto minimale se e solo se:
$$
R_X(f)=2l(\la)-k-h(\la)-\beta\ch(\ENNE).
$$
Si denoter\`a con $\Cal A^\beta_m(w)$ l'insieme dei
$\beta$--assemblaggi minimali di $w$.
\finenu

Da Proposizione~\lapa{propgesigma} segue che il gruppo $\frak S_\beta$ agisce
su $\Cal A^\beta_m(w)$. Denotiamo con $E^\beta(f)=\{F\mid F \text{
estende }f,\ \#F^{-1}(\infty)=\beta\text{ ed }F\text{ induce il lato di }f\}$.
In \ilpara{dti} si dimostrer\`a il seguente:
\teo\teoimmersione
Siano $\kcurvan$ una curva con un lato fissato, $R$ un sistema di
segmenti per $f$ e $w$ la parola per $f$ determinata da $R$.
Allora l'insieme
$\bigl.E^\beta(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}$ \`e in
corrispondenza biunivoca con l'insieme $\bigl.\Cal
A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak S_\beta}$.
\finenu

%\def\nomefile{par110.tex}

\para{Tagli non orientati}{taglidue}

Sia $\kcurvan$ una curva generica, e sia $R=A\cup C$ un sistema di
segmenti per $f$. Per ogni segmento $r\in R$ sia $U_r$ l'intorno di
$r-U_\infty$ usato per definire la parola di $f$, quindi con una
fissata orientazione. Evidentemente si pu\`o supporre che gli $U_r$
siano tali che:
\roster
\item 
$U_r\cap U_{r'}=\vuoto\quad \forall\quad r\ne r'$;
\item 
$\forall r\quad U_r \text{ non contiene punti doppi di\ }\G$; 
\item 
$\forall r\quad U_r$ contiene soltanto rami di $\G$ che intersecano
$r$;
\endroster
e di avere
diffeomorfismi $\varphi_r\colon U_r\tto [0,t_r]\times[-1,1]$, che
conservano l'orientazione e tali che:
\roster
\item[4]
$\forall r\quad \varphi_r(r)\subseteq[0,t_r]\times\{0\}$; 
\item 
se $\G_{i,j}$ denota la componente di $\G\cap U_r$ contenente il punto
$x_{i,j,\mu}^e$ allora per ogni $\vartheta\in f^{-1}(\G_{i,j})$ $\quad$
$\varphi_r(f(\vartheta))=(j,\mu\vartheta+c)$ con $c$ una costante
opportuna;
\item 
$\forall r\quad \varphi_r \text{ e }
\ristr{\varphi_r}{r}\colon r\to\ERRE$ conservano l'orientazione.
\endroster


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f8uu,47,0,1000,
%\rete
\metti{$\ssize x_{i,l,\mu}^{-1}$}{37}{31}
\metti{$\ssize \tilde x_{i,l,-}$}{18}{50}
\metti{$\ssize \tilde x_{i,l,+}$}{56}{15}
\metti{$\ssize x_{i,j,_\mu}$}{69}{63}
\metti{$\ssize \tilde x_{i,j,-}$}{86}{45}
\metti{$\ssize \tilde x_{i,j,+}$}{50}{82}
\metti{$\G$}{82}{14}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sia \parfigura1 $x_{i,j,\mu}^e$ una lettera di $w$
corrispondente ad un punto di $r\cap\G$, chiamiamo:
$$
\gather
\tilde x_{i,j,+}=\varphi_r^{-1}(j,\mu{\tsize\frac{2}{3}}),
\\
\tilde x_{i,j,-}=\varphi_r^{-1}(j,-\mu{\tsize\frac{2}{3}})
\endgather
$$
e $\te_{i,j,\pm}$ il punto tale che $f(\te_{i,j,\pm})=\tilde
x_{i,j,\pm}$. Quindi il punto $\tilde x_{i,j,+}$ \`e
percorso dopo $x_{i,j,\mu}^e$ mentre $\tilde x_{i,j,-}$ \`e percorso
prima (vedi \lafig{f8uu}).
\parf
Infine, data una curva $\curvan$ [rispettivamente $f\colon[a,b]\to\ENNE$]
denotiamo con $-f\colon\ESSE^1\to\ENNE$ [risp.
$-f\colon[a,b]\to\ENNE$] la curva tale che
$-f(\vartheta)=f(-\vartheta)$ [risp. $-f(t)=f(b+a-t)$], e per ogni
$j>j'$ siano $\lambda_{j,j'}$ e $\ttilde\lambda_{j,j'}$ curve come in
\ilpara{tagli}.

Con le notazioni introdotte in \ilpara{tagli}, si danno le seguenti
definizioni:

\defi\deftagupo
Siano $f\colon \ESSE^1\to \ENNE$ una 1--curva generica, $w$ una parola
per $f$, $x_{i,j,\mu}^{-1}$ e $x_{i,j',-\mu}$ lettere in $w$ con
$j<j'$, appartenenti al segmento $r$. Chiamiamo taglio di primo tipo
positivo di $f$ lungo $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',-\mu}\}$ la curva
$f^*_+=\{f^*_{+1},f^*_{+2}\}$, $f^*_+\colon\ESSE^1\coprod\ESSE^1\ttoo\ENNE$
definita da:
$$
\gather
f^*_{+,1}=\cases
	\ristr
		f{[\te_{i,j',+},\te_{i,j,-}]}
		\bigl(\varphi_r^{-1}\circ(-\ttilde\lambda_{j,j'})\bigr)
		&\qquad\text{se } \mu=+
	\\
		\ristr
		f{[\te_{i,j',+},\te_{i,j,-}]}
		(\varphi_r^{-1}\circ\lambda_{j,j'})
		&\qquad\text{se } \mu=-
	\endcases
\\
f^*_{+,2}=\cases
		\ristr {f}{[\te_{i,j,+},\te_{i,j',-}]}\bigl(\varphi_r^{-1}\circ
		(-\lambda_{j,j'})\bigr)&\qquad\text{se } \mu=+
	\\
		\ristr {f}{[\te_{i,j,+},\te_{i,j',-}]}(\varphi_r^{-1}\circ
		\widetilde\lambda_{j,j'})&\qquad\text{se } \mu=-
	\endcases
\endgather
$$
\finenu

\defi\deftagune
Siano $f\colon \ESSE^1\to \ENNE$ una 1--curva generica, $w$ una parola
per $f$, $x_{i,j,\mu}^{-1}$ ed $x_{i,j',\mu}$ lettere in $w$ con
$j<j'$, appartenenti al segmento $r$. Chiamiamo taglio di primo tipo
negativo di $f$ lungo $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu}\}$ la 1--curva
$f^*_-\colon \ESSE^1\to \ENNE$ definita da:
$$
f^*_-=\cases
(\varphi_r^{-1}\circ\lambda_{j,j'})
\left[-\bigl(\ristr f{[\vartheta_{i,j,+},\vartheta_{i,j',-}]}\bigr)\right]
\bigl(\varphi_r^{-1}\circ(-\ttilde\lambda_{j,j'})\bigr)
\ristr f{[\vartheta_{i,j',+},\vartheta_{i,j,-}]}
&\puad\text{se } \mu=+
\\
\bigl(\varphi_r^{-1}\circ(-\ttilde\lambda_{j,j'})\bigr)
\left[-\bigl(\ristr f{[\vartheta_{i,j,+},\vartheta_{i,j',-}]}\bigr)\right]
(\varphi_r^{-1}\circ\lambda_{j,j'})
\ristr f{[\vartheta_{i,j',+},\vartheta_{i,j,-}]}
&\puad\text{se } \mu=-
\endcases
$$
\finenu

\defi\deftagd
Siano $\kcurvan$ una $k$--curva generica e $w$ una sua parola; siano
$x_{i,j,\mu}^{-1}$, $x_{i,j',{-\mu}}$ lettere in $w$ con $j<j'$,
appartenenti a due diverse 1--parole $w_h$, $w_l$ ed al segmento $r$.
Chiamiamo taglio di secondo tipo di $f$ lungo
$\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',{-\mu}}\}$ la curva
$f^{**}\colon\bigl(\coprod\limits_{i\ne h,l}\ESSE^1\bigr)\amalg
\ESSE^1\to \ENNE$ definita da:
$$
\align
f_i^{**}&=f_i\qquad \forall i\ne h,l
\\
f^{**}|_{\ESSE^1}&=
\cases
\bigl(\varphi_r^{-1}\circ(-\ttilde\lambda_{j,j'})\bigr)
f|_{[\te_{i.j,+}.\te_{i,j,-}]}
\bigl(\varphi_r^{-1}\circ(-\lambda_{j,j'})\bigr)
f|_{[\te_{i.j',+}.\te_{i,j',-}]}
&\puad\text{se } \mu=+
\\
(\varphi_r^{-1}\circ\lambda_{j,j'})
f|_{[\te_{i.j,+}.\te_{i,j,-}]}
(\varphi_r^{-1}\circ\ttilde\lambda_{j,j'})
f|_{[\te_{i.j',+}.\te_{i,j',-}]}
&\puad\text{se } \mu=-
\endcases
\endalign
$$
\finenu

\rem\osstagdop
Sia $\curvan$ una curva generica e sia $w$ una 1--parola per $f$.
Supponiamo che $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',-\mu}\}$ e
$\{x_{h,k,\mu'}^{-1},x_{h,k',-\mu'}\}$ siano due coppie positive di
lettere di $w$ con $j<j'$ e $k<k'$, e supponiamo che siano allacciate
---nel senso della definizione del paragrafo precedente--- allora,
effettuando un taglio di primo tipo positivo lungo una delle due
coppie, la rimanente coppia, sar\`a ancora positiva, ma si trover\`a
ad avere i vertici su due differenti componenti di $\G^*_+$, possiamo
allora effettuare un taglio di secondo tipo lungo quest'altra coppia,
ottenendo in tal modo una 1--curva (come quella di partenza). Non \`e
difficile vedere che il risultato non dipende dall'ordine con cui si
sono effettuati i due tagli.
\finenu
Poniamo pertanto la seguente:

\defi\deftagdop
Sia $\curvan$ una 1--curva generica e siano:
$$
\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',-\mu}\}
\qquad
\{x_{h,k,\mu'}^{-1},x_{h,k',-\mu'}\}
$$
due coppie allacciate e positive. Chiameremo doppio taglio di $f$ 
lungo queste due coppie la 1--curva:
$$
f^{***}=\left(f^*_+\right)^{**}\colon\ESSE^1\to\ENNE,
$$
dove i due tagli sono fatti lungo le due coppie in questione.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figtag31,150,0,390,
%\rete
\metti{$f$}{4}{55}
\metti{$f$}{10}{5}
\metti{$f^*_+$}{58}{54}
\metti{$f^*_-$}{65}{4}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox100=\box0
\figboxps figtag32,174,0,390,
%\rete
\metti{$f$}{5}{50}
\metti{$f$}{12}{5}
\metti{$f^{**}$}{56}{50}
\metti{$f^{***}$}{61}{5}
\setbox101=\line {\hss\copy100\hss\copy0\hss}
$$
\figura101
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Una breve riflessione mostra che, le scelte fatte per definire i
tagli, ga\-ran\-tiscono che tagliando una curva generica di classe
$C^\infty$, in uno dei modi sopra descritti, si ottiene ancora una
curva generica di classe $C^\infty$. In \lafig{figtag31} sono
illustrati i vari tipi di taglio.

\prop\proptaglat
Se la curva $\curvan$ ha due lati, allora anche ogni curva ottenuta
tagliando $f$, in uno dei modi descritti, ha due lati.
\finenu
\dim
Se $n$ \'e un lato per $f$, ossia un campo trasverale ad $f$ questo
continua a definire un lato sulla parte ``vecchia'' della curva
tagliata. Il fatto che si tagli sempre lungo una coppia di lettere con
esponenti ($e$) opposti, garantisce che tale campo pu\`o essere
prolungato in modo sostanzialmente unico lungo le parti del tipo
$\varphi_r^{-1}\circ\l_{j,j'}$ (vedi \lafig{figtag31}).
\finedim

\defi\deftaglat
Sia $\curvan$ una curva generica con un lato fissato, e sia $f^\#$
ottenuta da $f$ con uno dei tagli sopra definiti, chiameremo lato
indotto su $f^\#$ da $f$ il lato che coincide con il lato fissato di
$f$ sulla parte di curva non modificata dal taglio stesso.
\finenu

D'ora in poi, quando parleremo di taglio di una curva munita di un
lato, considereremo sempre la curva ottenuta munita del taglio
indotto. Supporremo inoltre di avere fissato, una volta per tutte, un
campo $X$ sulla superficie $S$ con un unico zero nel fissato punto
$\infty$.

\prop\proptagrotaz
Con le notazioni sopra introdotte, risulta:
$$
\alignat 2
i&)\quad R_X(f^*_+)=R_X(f)+1; &\quad\qquad iii&)\quad R_X(f^{**})=R_X(f)+1;
\\
ii&)\quad R_X(f^*_-)=R_X(f)+1; &\quad\qquad iv&)\quad R_X(f^{***})=R_X(f)+2.
\endalignat
$$
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figuraps figtag4,198,0,500,1,
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\dim
Si modifichi la curva tagliata nel modo suggerito da Fig.~\number\figu\
e si applichino le Proposizioni \lapa{proprotu}, \lapa{proprotd} e
\lapa{proprotdisc}.
\finedim

Enunciamo ora delle proposizioni che si dimostrano in modo del tutto
simile alle loro analoghe di \ilpara{tagli} e che mettono in relazione
tagli ed assemblaggi.

Sia $R$ un sistema di segmenti per $f$ che definisce la parola $w$, e
sia $f^\#$ uno qualsiasi dei tagli appena definiti. Analogamente a
quanto visto in \ilpara{tagli}, anche in questo caso $R$ \`e un
insieme di segmenti per $f^\#$ che, in generale, non \`e pi\`u un
sistema di segmenti per $f^\#$. 

Sia $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu'}^{-1}\}$ la coppia lungo cui si
taglia (in caso di taglio doppio, denotiamo con
$\{x_{h,k,\mu}^{-1},x_{h,k',\mu'}^{-1}\}$ l'altra coppia coinvolta nel
taglio) e siano $j=j_1<\dots<j_{p+1}=j'$ gli indici tali che i punti
$x_{i,j_t,\mu}^e$ siano tutte e sole le intersezioni di $r_i\cap\G$
comprese tra $x_{i,j,\mu}^{-1}$ ed $x_{i,j',\mu'}^{-1}$ (in caso di
taglio doppio siano $k=k_1<\dots<k_{q+1}=k'$ gli analoghi per l'altra
coppia).

Con la stessa tecnica usata in \ilpara{tagli}, si possono aggiungere
segmenti $\beta_1,\dots\beta_p$, $\gamma_1,\dots,\gamma_p$ e
$\delta_1,\dots,\delta_{p-2}$ nell'intorno $U_{r_i}$ di $r_i$ (in caso
di taglio doppio anche segmenti $\ttilde\beta_1,\dots\ttilde\beta_q$,
$\ttilde\gamma_1,\dots,\ttilde\gamma_q$ e
$\ttilde\delta_1,\dots,\ttilde\delta_{q-2}$ nell'intorno $U_{r_h}$ di
$r_h$), ottenendo in tal modo un sistema di segmenti $R^\#$ per $f^\#$, che
chiameremo il sistema di segmenti indotto dal taglio (cfr.
\lafig{f10u} di \lapag{f10u}).

Conveniamo di chiamare $y_{s,t,\mu}^e$, $z_{s,t,\mu}^e$ ed
$u_{s,t,\mu}^e$ le intersezioni di $f^\#$ con i segmenti $\beta_s$,
$\gamma_s$ e $\delta_s$ rispettivamente ed in caso di taglio dopio
$\ttilde y_{s,t,\mu}^e$, $\ttilde z_{s,t,\mu}^e$ ed $\ttilde
u_{s,t,\mu}^e$ quelle con i segmenti $\ttilde\beta_s$,
$\ttilde\gamma_s$ e $\ttilde\delta_s$.

Denotiamo infine con $w'_+$, $w'_-$, $w''$ e $w'''$ le parole
determinate da $R$ rispettivamente per $f^*_+$, $f^*_-$, $f^{**}$ ed
$f^{***}$ e con $w^*_+$, $w^*_-$, $w^{**}$ ed $w^{***}$ quelle
determinate dal sistema di segmenti indotto.

\prop\partupo
Per un taglio di primo tipo positivo, se $w=x_{i,j,\mu}^{-1}\xi
x_{i,j',-\mu}\eta$ \`e, come si pu\`o supporre, la parola di $f$, allora:
$w'_+=\{w'_{+,1},w'_{+,2}\}$ con
$$
w'_{+,1}=\eta, \qquad w'_{+,2}=\xi;
$$
e $w^*_+=\{w^*_{+,1},w^*_{+,2}\}$, dove $w^*_{+,1}$ e $w^*_{+,2}$ sono
ottenute rispettivamente dalle parole:
$$
\align
\ttilde w'_{+,1}&=\cases
z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\eta &\qquad\text{se }\mu=-1,
\\
y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\eta &\qquad\text{se }\mu=1,
\endcases
\\\allowdisplaybreak
\ttilde w'_{+,2}&=\cases
y_{p,1,+1}\dots y_{1,1,+1}\xi &\qquad\text{se }\mu=-1,
\\
z_{p,1,-1}\dots z_{1,1,-1}\xi &\qquad\text{se }\mu=1,
\endcases
\endalign
$$
sostituendo ogni lettera $x_{i,l,\nu}^e$ con il blocco di lettere:
$$
\align
y_{p,l,+1}^e \dots y_{1,l,+1}^e x_{i,l,+1}^e u_{p-2,l,+1}^e \dots
u_{1,l,+1}^e z_{1,l,+1}^e \dots z_{p,l,+1}^e&\qquad\text{se }\nu=1,
\\
z_{p,l,-1}^e \dots z_{1,l,-1}^e u_{1,l,-1}^e \dots u_{p-2,l,-1}^e
x_{i,l,-1}^e y_{1,l,-1}^e \dots y_{p,l,-1}^e&\qquad\text{se }\nu=-1,
\endalign
$$
con la convenzione che le lettere $y_{s,l,\nu}^e$ e $z_{s,l,\nu}^e$
compaiono se e solo se $j_s<l$, mentre la lettera $u_{s,l,\nu}^e$
compare se e solo se $j_{s+1}>l$.
\finenu
 
\prop.
Per un taglio di primo tipo negativo, se $w=x_{i,j,\mu}^{-1}\xi
x_{i,j',\mu}\eta$ \`e, come si pu\`o supporre, la parola di $f$, allora:
$$
w'_-=\overline\xi\eta,
$$
dove $\overline\xi$ \`e ottenuta da $\xi$ invertendo l'ordine
delle lettere ed invertendo i segni $\mu$; invece, $w^*_-$ \`e
ottenuta dalla parola:
$$
\ttilde w'_-=\cases
y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\eta z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\overline\xi
&\qquad\text{se }\mu=-1,
\\
z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\eta y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\overline\xi
&\qquad\text{se }\mu=+1,
\endcases
$$
con le stesse sostituzioni della proposizione precedente.
\finenu

\prop.
Per un taglio di secondo tipo, se $w=x_{i,j,\mu}^{-1}\xi$ e
$w_l=x_{i,j',-\mu}\eta$ sono, come si pu\`o supporre, le due parole
delle due componenti di $f$ coinvolte nel taglio, allora
$w''=\{w_i\}_{i\ne h,l}\cup\{w''_{h,l}\}$ dove:
$$
w''_{h,l}=\xi\eta;
$$
e $w^{**}=\{w_i^{**}\}_{i\ne h,l}\cup\{w^{**}_{h,l}\}$ \`e ottenuta dalla
parola $\ttilde w''=\{w_i\}_{i\ne h,l}\cup\{w''_{h,l}\}$, essendo:
$$
\ttilde w''_{h,l}=\cases
y_{p,1,+1}\dots y_{1,1,+1}\xi z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\eta
&\qquad\text{se }\mu=-1,
\\
z_{p,1,-1}\dots z_{1,1,-1}\xi y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\eta
&\qquad\text{se }\mu=+1,
\endcases
$$
con le stesse sostituzioni delle proposizioni precedenti.
\finenu

\prop.
Per un taglio doppio, se:
$$
w=x_{i,j,\mu}^{-1}\xi x_{h,k,\mu'}^{-1}\eta
x_{i,j',-\mu}\zeta x_{h,k',-\mu'}\te
$$
\`e, come si pu\`o supporre, la
parola di $f$, allora:
$$
w'''=\te\zeta\eta\xi,
$$
e $w^{***}$ \`e ottenuta dalla parola:
$$
\aligned
\ttilde w'''=\cases
\ttilde y_{1,1,-1}\dots\ttilde y_{q,1,-1}\te
y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\zeta
\ttilde z_{q,1,-1}\dots\ttilde z_{1,1,-1}\eta
z_{p,1,-1}\dots z_{1,1,-1}\xi
\\
\mkern410mu
\text{se }\mu=+1\text{ e }\mu'=+1,
\\
\ttilde z_{1,1,+1}\dots\ttilde z_{p,1,+1}\te
y_{1,1,-1}\dots y_{p,1,-1}\zeta
\ttilde y_{q,1,+1}\dots\ttilde y_{1,1,+1}\eta
z_{p,1,-1}\dots z_{1,1,-1}\xi
\\
\mkern410mu
\text{se }\mu=+1\text{ e }\mu'=-1,
\\
\ttilde y_{1,1,-1}\dots\ttilde y_{q,1,-1}\te
z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\zeta
\ttilde z_{q,1,-1}\dots\ttilde z_{1,1,-1}\eta
y_{p,1,+1}\dots y_{1,1,+1}\xi
\\
\mkern410mu
\text{se }\mu=-1\text{ e }\mu'=+1,
\\
\ttilde z_{1,1,+1}\dots\ttilde z_{p,1,+1}\te
z_{1,1,+1}\dots z_{p,1,+1}\zeta
\ttilde y_{q,1,+1}\dots\ttilde y_{1,1,+1}\eta 
y_{p,1,+1}\dots y_{1,1,+1}\xi
\endcases&
\\
\left.\text{se }\mu=-1\text{ e }\mu'=-1,\right.&
\endaligned
$$
con le stesse sostituzioni delle proposizioni precedenti e le
analoghe per le lettere $x_{h,l,\nu}^e$.
\finenu

Da Proposizione \lapa{partupo} segue allora immediatamente:
\prop\menoneg
Siano $\curvan$ una curva generica, $R$ un sistema di segmenti per $f$
e $w$ la parola determinata da $R$. Sia
$\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',-\mu}\}$ una coppia di lettere con $j<j'$
ed $x_{i,j,\mu}^{-1}$ terminale (cfr. Definizione~\lapa{letterm}).
Allora le parole $w^*_{+,1}$ e $w^*_{+,2}$, indotte dal taglio di
primo tipo positivo di $f$, hanno entrambe un numero di lettere
negative strettamente inferiore a quello di $w$.
\finenu

Supponiamo ora di avere uno 0--assemblaggio $\la\in\Cal A^0(w)$ e di
effettuare un taglio lungo una o due coppie di $\la$. In modo del
tutto analogo a quanto fatto in \ilpara{tagli}, si possono definire
gli assemblaggi
$\la^*_{+,1}\in\Cal A^0(w^*_{+,1})$,
$\la^*_{+,2}\in\Cal A^0(w^*_{+,2})$,
$\la^*_-\in\Cal A^0(w^*_-)$,
$\la^{**}\in\Cal A^0(w^{**})$
ed
$\la^{***}\in\Cal A^0(w^{***})$
indotti dal taglio, per i quali valgono le seguenti proposizioni:

\prop\proptagupo
Se $\la\in\Cal A^0(w)$ \`e un assemblaggio connesso di genere zero,
allora $\la^*_{+,1}\in\Cal A^0(w^*_{+,1})$ e $\la^*_{+,2}\in\Cal
A^0(w^*_{+,2})$ sono assemblaggi connessi di genere zero.
\finenu

\prop\proptagune
Se $\la\in\Cal A^0(w)$ \`e un assemblaggio connesso di genere pesato
$h$ allora $\la^*_-\in\Cal A^0(w^*_-)$ \`e un assemblaggio connesso di
genere pesato $h-1$.
\finenu

\prop\proptagdu
Se $\la\in\Cal A^0(w)$ \`e un assemblaggio connesso di genere $g$,
allora $\la^{**}\in\Cal A^0(w^{**})$ \`e un assemblaggio connesso di
genere $g$.
\finenu

\prop\proptagtr
Se $\la\in\Cal A^0(w)$ \`e un assemblaggio connesso e positivo di
genere $g$ allora $\la^{***}\in\Cal A^0(w^{***})$ \`e un assemblaggio
connesso e positivo di genere $g-1$.
\finenu

La dimostrazione di queste proposizioni \`e identica alla
dimostrazione delle Proposizioni \lapa{propassinduno},
\lapa{propassinddue} e \lapa{propassindtre} di \ilpara{tagli}, e si
basa sull'osservazione che in ognuno dei quattro casi, detto $\la'$
l'assemblaggio della parola per $f^\#$ determinata da $R$ indotto dal
taglio, il grafo $G(\la')$, associato ad $\la'$, non \`e altro che il
grafo ottenuto tagliando $G(\la)$ nel modo corrispondente al taglio
effettuato su $f$, e $G(\la^\#)$ \`e ottenuto da $G(\la')$
aggiungendogli dei lati paralleli a lati gi\`a esistenti. La tesi
segue allora usando le Proposizioni \lapa{proptagu}, \lapa{proptagt},
\lapa{proptagd} e
\lapa{propdidu}. 

Analogamente a quanto fatto in \ilpara{tagli}, da queste proposizioni
segue allora:

\prop\disugassrotz
Siano $\kcurvan$ una curva con un lato, $R$ un sistema di segmenti per
$f$, $w$ la parola determinata da $R$ ed $\la\in\Cal A^0(w)$. Allora:
$$
R_X(f)\ge2\la-k-h(\la).
$$
\finenu
\dim
La dimostrazione \`e completamente analoga a quella di Proposizione
\lapa{propdisugassrot}, ossia si procede per induzione dimostrando
successivamente:
\roster
\ite i
data $\curvan$ ed $\la\in\Cal A^0(w)$ tale che $g(\la)=0$ allora
$R_x(f)\ge1$;
\ite{ii}
data $\curvan$ ed $\la\in\Cal A^0(w)$ positivo allora
$R_x(f)\ge1-2g(\la)$;
\ite{iii}
data $\curvan$ ed $\la\in\Cal A^0(w)$ negativo allora
$R_x(f)\ge1-h(\la)$;
\ite{iv}
data $\kcurvan$ ed $\la\in\Cal A^0(w)$ connesso allora
$R_x(f)\ge2-k-h(\la)$;
\endroster
ed infine il caso generale. L'unica sostanziale differenza \`e nella
dimostrazione del primo passo (cfr. Lemma~\lapa{unouno}). Anche in
questo caso si procede per induzione sul numero $N$ di lettere
negative di $w$. Se $N=0$, allora la curva non interseca i segmenti di
$\Omega$, in quanto, se cos\`\i\ fosse $w$ conterrebbe almeno una
lettera positiva che sta su un segmento di $\Omega$. Ma allora, per la
condizione \therosteritem3 della definizione di assemblaggio
(Definizione~\lapa{defassz}), necessariamente $w$ dovrebbe contenere
anche una lettera negativa che sta sullo stesso segmento.

Osservando allora che $\ENNE-\Omega$ \`e diffeomorfo ad un disco
aperto, la dimostrazione si conclude esattamente con le stesse
argomentazioni della dimostrazione di Lemma~\lapa{unouno}.
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figtag5,50,0,1000,
%\rete
\metti{$\infty$}{51}{51}
\metti{$g_1^{\vphantom{I}}$}{85}{17}
\metti{$g_2^{\vphantom{I}}$}{74}{26}
\metti{$g_3^{\vphantom{I}}$}{63}{35}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\rem\bastaR
Sia $\kcurvan$ una $k$--curva generica, e sia $R$ un sistema di
segmenti per $f$ che definisce la $k$--parola $w$. Osserviamo che se
$\beta$ \`e un intero maggiore o uguale ad $1$, allora $R$ \`e un
insieme di segmenti per $f^\beta$, ma non \`e un sistema di segmenti,
dato che nell'intorno di $\infty$ si generano esattamente $\beta$
nuove componenti connesse.

Ma,  \parfigura1 per come \`e stato scelto il lato
sulle $g_l$ (cfr. Definizione~\lapa{defbesp}), si possono scegliere
nuovi segmenti uscenti da tali componenti che intersecano soltanto le
curve $g_l$ e che abbiano soltanto intersezioni positive (vedi
\lafig{figtag5}).  Per come sono definiti gli assemblaggi, \`e allora
evidente che gli $0$--assemblaggi della parola definita dal sistema di
segmenti ottenuto aggiungendo dei siffatti segmenti, sono tutti e soli
gli $0$--assemblaggi della $\beta$--espansio\-ne $w^\beta$ di $w$.
\finenu

Saldiamo ora il debito con  \ilpara{pass} dimostrando la seguente:
\prop\disugassrotb
Siano $\kcurvan$ una curva generica, $R$ un sistema di segmenti per
$f$ e $w$ la parola per $f$ definita da $R$. Allora per ogni
$\beta$--assemblaggio $\la\in\Cal A^\beta(w)$ risulta:
$$
R_X(f)\ge2l(\la)-k-h(\la)-\beta\ch(\ENNE).
$$
\finenu
\dim
Da Proposizione \lapa{invlat} ed Osservazione \lapa{remrotdisc} segue
oviamente che:
$$
R_X(f^\beta)=R_X(f)-\beta+\beta\ch(\ENNE).
$$
D'altra parte, per l'osservazione precedente, allo $0$--assemblaggio
$\la$ per la parola $w^\beta$ della $(k+\beta)$--curva $f^\beta$ si
pu\`o applicare la Proposizione~\lapa{disugassrotz}, e pertanto si ha:
$$
R_X(f)-\beta+\beta\ch(\ENNE)=R_X(f^\beta)\ge2l(\la)-(k+\beta)-h(\la),
$$
da cui si ottiene immediatamente la tesi.
\finedim

%\def\nomefile{par111.tex}

\para{Dimostrazione di Teorema \lapa{teoimmersione}}{dti}

Dimostriamo innanzitutto il teorema nel caso degli $0$--assemblaggi,
ovvero dimostriamo il seguente:
\teo\immzero
L'insieme $\bigl.E^0(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}$
\`e in corrispondenza biunivoca con l'insieme $A^0_m(w)$.
\finenu
\dim
Incominciamo definendo un'applicazione:
$$
\la:\bigl.E^0(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}\tto\Cal
A_m^0(w).\tag A
$$
Siano $S$ una superficie compatta con bordo $\de S=\kcir$ ed
$F:S\to\ENNE$ una immersione che estende $\kcurvan$. Analogamente a
quanto visto in \ilpara{dtpu}, $F^{-1}(R)$ \`e costituito da una
unione di archi lisci disgiunti. Dotando tali archi dell'orientazione
indotta dai segmenti $r_i$, \`e immediato verificare che la
controimmagine di punti positivi di $R\cap\G$ \`e costituita di punti
su cui termina qualche arco, mentre la controimmagine di punti
negativi \`e costituita di punti da cui esce qualche arco. Infine,
dalla condizione che $F^{-1}(\infty)=\vuoto$, segue che ogni arco
termina necessariamente su $\de S$.

Chiamato $\ttilde G_R(F)$ l'insieme di questi archi che partono da
$\de S$; accoppiando le lettere corrispondenti agli estremi degli
archi di $\ttilde G_R(F)$, si ottiene un insieme di coppie di lettere
di $w$ che chiamiamo $\la(F)$. Denoteremo inoltre con $G_R(F)=\de
S\cup\ttilde G_R(F)$. In entrambi i casi ometteremo il sottoindice
$R$, quando non ci sar\`a ambiguit\`a sull'insieme di segmenti che si
sta usando.
\lem.
L'insieme $\la(F)$ \`e un assemblaggio di $w$.
\finenu
\dim
Evidentemente ogni lettera negativa \`e accoppiata ad una positiva,
con indice $j$ maggiore. L'unica cosa non immediatamente evidente \`e
il fatto che ogni lettera corrispondente a punti di $\Omega$ sia
accoppiata con una qualche altra lettera. Questo per\`o segue con un
ragionamento di simmetria. Nel senso che invertendo l'orientazione
del segmento $\omega_i$, i punti positivi diventano punti negativi e
viceversa. Si pu\`o usare il fatto che ogni lettera negativa
\`e accoppiata ad una positiva per concludere.
\finedim

\lem\lemCWd
$F$ ristretta ad ogni componente connessa di $\ENNE-\ttilde G(F)$ \`e
iniettiva.
\finenu
\dim
Osserviamo che nella dimostrazione dell'analogo lemma nel caso piano
(cfr. Lem\-ma~\lapa{lemCW}), si \`e usato il fatto che l'immagine di
$F$ fosse in $\ERRE^2$ soltanto per dire che ogni componente connessa
di $\ERRE^2-(\G\cup A)$ \`e diffeomorfa ad un disco aperto, ma dato
che $\Omega$ \`e un insieme di generatori per $\pi_1(\ENNE)$ questo
\`e evidentemente vero anche per $\ENNE-(\G\cup R)$; in altre parole
si pu\`o ripetere la stessa dimostrazione di Lemma~\lapa{lemCW} anche
in questo caso.
\finedim
\lem.
Ogni componente connessa di $S-G(F)$ \`e diffeomorfa ad un disco
aperto.
\finenu
\dim
Dato che $\ENNE-\Omega$ \`e diffeomorfo ad un disco aperto, dal lemma
precedente segue che ogni componente connessa di $S-G(F)$ \`e una
superficie planare. La tesi segue allora con lo stesso ragionamento
usato nella dimostrazione del Lemma~\lapa{discoap}.
\finedim
\lem.
L'assemblaggio indotto da $F$ \`e minimale.
\finenu
\dim
Evidentemente $G(F)$
\`e una realizzazione del grafo associato ad $\la(F)$ e l'inclusione
di $G(F)$ in $S$ \`e una immersione di tale grafo nel senso di
Definizione~\lapa{defimmgcp}. Ragionando come in \ilpara{dtpu} e
tenendo presente Proposizione~\lapa{rotcar}, si ha:
$$
R_X(f)=\ch(S)\le2l(\la)-k-h(\la).
$$
D'altra parte, dato che $\la(F)$ \`e un assemblaggio, da
Proposizione~\lapa{disugassrotb} segue la disuguaglianza inversa e
quindi la tesi.
\finedim

Evidentemente vale anche il seguente:
\lem.
Se $F,F'\in E^0(f)$ sono r--equivalenti, allora $\la(F)=\la(F')$.
\finenu

Fino a questo punto, abbiamo definito un'applicazione come in \thetag
A. Dimostriamo che tale applicazione \`e biunivoca.

L'iniettivit\`a segue dal Lemma~\lapa{lemCWd} esattamente come in
\ilpara{dtpu}, ed anche per quanto riguarda la surgettivit\`a, il modo
di procedere non \`e dissimile da quello usato nella dimostrazione del
Teorema~\lapa{teoprincipaleuno}, ossia si dimostrano induttivamente le
seguenti:
\roster\sl
\ite i
sia $\curvan$ tale che $R_X(f)=1$ e sia $\la\in\Cal A^0_m(w)$. Allora
esiste $F\in E^0(f)$ tale che $\la(F)=\la$;
\ite{ii}
sia $\curvan$ e sia $\la\in\Cal A^0_m(w)$ un assemblaggio positivo.
Allora esiste $F\in E^0(f)$ tale che $\la(F)=\la$;
\ite{iii}
sia $\curvan$ e sia $\la\in\Cal A^0_m(w)$.  Allora esiste $F\in
E^0(f)$ tale che $\la(F)=\la$;
\ite{iv}
sia $\kcurvan$ e sia $\la\in\Cal A^0_m(w)$ un assemblaggio connesso.
Allora esiste $F\in E^0(f)$ tale che $\la(F)=\la$;
\endroster\rm
e quindi il caso generale. L'unico punto la cui dimostrazione presenta
delle variazioni degne di nota \`e il {\it iv)} di cui ora vediamo la
dimostrazione.

Premettiamo una importante osservazione:

\rem.
Se si inverte l'orientazione della componente $h$--esima della $k$--curva
$\kcurvan$, la $k$--parola di $f$ cambia nel seguente modo:
\roster
\item""
Si inverte l'ordine della parola $w_h$ e si invertono
tutti i segni ausiliari $\mu$, delle lettere di $w_h$.
\endroster

Evidentemente, detta $w'$ la $k$--parola cos\`\i\ ottenuta, c'e una
corrispondenza biunivoca tra $\Cal A^0(w)$ e $\Cal A^0(w')$, definita
associando all'assemblaggio $\la$ l'assemblaggio $\la'$ ottenuto da
$\la$ semplicemente cambiando il segno ausiliario $\mu$ alle lettere
che provengono da $w_h$.

Non \`e difficile vedere che allora i grafi $G(\la)$ e $G(\la')$
associati ad $\la$ ed $\la'$ sono ottenuti l'uno dall'altro con una
mossa di tipo \therosteritem{E} (cfr. \ilpara{gcpesati}) e quindi
hanno stessi numeri caratteristici (genere, genere pesato e numero di
componenti).

Osserviamo infine che se $F\in E^0(f)$ ed $\la$, $\la_1$ sono gli
assemblaggi indotti rispettivamente per la parola $w$ e per la parola
$w'$, con la notazione introdotta sopra, risulta evidentemente
$\la_1=\la'$.
\finenu

Dimostriamo ora il punto {\it iv)}. Si procede per induzione sul
numero $k$ di componenti della curva. Se $k=1$ la tesi \`e data da
{\it iii)}. Sia $k>1$ e sia $\la\in\Cal A^0_m(w)$ un assemblaggio
connesso, allora esiste una coppia
$\bigl\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j,\nu}\bigr\}\in\la$ con
$x_{i,j,\mu}^{-1}$ nella 1--parola $w_1$ ed $x_{i,j,\nu}$ in $w_2$
($\la$ \`e connesso).

A meno di cambiare l'orientazione di una delle due componenti, cosa
che, in virt\`u dell'osservazione precedente, non inficia la
dimostrazione, possiamo supporre che $\mu=\nu$. Ma a questo punto, con
un taglio di secondo tipo di $f$ ci si riconduce ad una curva con
$k-1$ componenti, e si conclude la dimostrazione, come in
Teorema~\lapa{teocasoconn}, usando la Proposizione~\lapa{proptagdu}.

Con questo concludiamo la dimostrazione di Teorema~\lapa{immzero}
\finedim

Affrontiamo ora il caso generale. Definiamo innanzitutto
un'applicazione:
$$
\la^\beta:\bigl.E^\beta(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}\tto
\bigl.\Cal A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\frak S_\beta}
$$

Sia $F\in E^\beta(f)$, $F:S\to\ENNE$ e siano
$\{p_1,\dots,p_\beta\}=F^{-1}(\infty)$. Siano
$D_1,\dots,D_\beta\subset\ENNE$ i dischi che contengono il punto
$\infty$ e che bordano le curve $g_1,\dots,g_\beta$ che danno la
$\beta$-espansione di $f$ (cfr. Definizione~\lapa{defbesp}). Dato che
i $D_i$ sono contenuti interamente nella componente connessa di
$\ENNE-\G$ contenente $\infty$, l'immagine inversa di ciascuno di essi
\`e costituita da una unione disgiunta di $\beta$ dischi. Denotiamo
con $D_i^j$ la componente di $F^{-1}(D_i)$ che contiene il punto
$p_j$ e con $U_i^j$ la sua parte interna.

Data una permutazione $\sigma\in\frak S_\beta$ consideriamo la
superficie $S_\sigma$ ottenuta da $S$ rimuovendo i dischi aperti
$U_i^{\sigma i}$. Evidentemente $S_\sigma$ \`e una superficie
con $k+\beta$ componenti di bordo ed $F_\sigma=\ristr F{S_\sigma}$ \`e
evidentemente una estensione di $f^\beta$ tale che
$F_\sigma^{-1}(\infty)=\vuoto$. 

In vir\`u dell'Osservazione~\lapa{bastaR} possiamo allora applicare il
Teorema~\lapa{immzero} e trovare un unico assemblaggio
$\la(F_\sigma)\in\Cal A_m(w^\beta)$ indotto da $F_\sigma$, che
classifica $F_\sigma$ a meno di equivalenza destra. Visto che
dalle definizione segue evidentemente che $\Cal A_m(w^\beta)=\Cal
A^\beta_m(w)$, abbiamo definito una applicazione:
$$
\aligned
\la^\beta_1&: E^\beta(f)\times\frak S_\beta\tto\Cal A^\beta_m(w)
\\
\la^\beta_1&:(F,\sigma)\longmapsto\la(F_\sigma).
\endaligned\tag1
$$
\prop.
Per ogni $\sigma,\sigma'\in\frak S_\beta$ risulta:
$$
\la^\beta_1(F,\sigma')=(\sigma'\sigma^{-1})\la^\beta_1(F,\sigma).
$$
\finenu
\dim
Segue immediatamente da come si \`e costruito l'assemblaggio indotto
da una immersione che non ha $\infty$ nella sua immagine a dalla
definizione dell'azione di $\frak S_\beta$ sull'insieme degli
assemblaggi (cfr \ilpara{pass}).
\finedim
Dalla proposizione appena vista segue allora che $\la^\beta_1$
definisce una applicazione:
$$
\la^\beta_2:E^\beta(f)\tto
\bigr.\Cal A^\beta_m(w)\bigl/\vphantom{I}_{\!\dsize\frak S_\beta}.\tag2
$$

\rem.
Osserviamo che l'applicazione in \thetag1 \`e in realt\`a definita
soltanto dopo aver scelto un ordinamento dei punti che costituiscono
$F^{-1}(\infty)$, per ogni $F\in E^\beta(f)$. Evidentemente questa
indeterminazione non si ha pi\`u nell'applicazione data in \thetag2.
\finenu

\prop.
Siano $F:S\to\ENNE$ ed $F':S'\to\ENNE$ due estensioni r--equivalenti
di $f$. Allora:
$$
\la^\beta_2(F)=\la^\beta_2(F').
$$
\finenu
\dim
Sia $\Phi:S\to S'$ un diffeomorfismo tale che $F=f'\circ\Phi$ e sia
$\{p_1,\dots,p_\beta\}=F^{-1}(\infty)$. Detti $q_i=\Phi(p_i)$
evidentemente risulta: 
$\{q_1,\dots,q_\beta\}={F'}^{-1}(\infty)$. Rispetto a queste scelte
degli ordinamenti dei punti di $F^{-1}(\infty)$ e ${F'}^{-1}(\infty)$,
per ogni $\sigma\in\frak S_\beta$ risulta che $F_\sigma$ ed
$F'_\sigma$ sono due estensioni r--equivalenti di $f^\beta$ la cui
immagine non contiene $\infty$. Ma allora, per il
Teorema~\lapa{immzero},
$$
\la(F_\sigma)=\la(F'_\sigma),
$$
da cui evidentemente segue la tesi.
\finedim
Da questa proposizione segue allora che l'applicazione $\la^\beta_2$,
in \thetag2, passa a quoziente definendo un'applicazione:
$$
\la^\beta:\bigl.E^\beta(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}\tto\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/_{\!\dsize\frak S_\beta}.\tag3
$$

Dimostriamo ora che tale applicazione \`e biunivoca. 

\noindent{\bf Iniettivit\`a:\quad}
Siano $F:S\to\ENNE$ ed $F':S'\to\ENNE$ due estensioni di $f$ tali che
$\la^\beta(F)=\la^\beta(F')$. In altri termini, detti
$\{p_1,\dots,p_\beta\} =F^{-1}(\infty)$ e
$\{q_1,\dots,q_\beta\}={F'}^{-1}(\infty)$, esistono permutazioni
$\sigma,\sigma'\in\frak S_\beta$ tali che:
$$
\la^\beta_1(F,\sigma)=\la^\beta_1(F',\sigma'),\tag4
$$
essendo $\la_1$ definita a partire dagli ordinamenti scelti per
$F^{-1}(\infty)$ ed ${F'}^{-1}(\infty)$.
Ma allora, per come \`e definita $\la^\beta_1$, ci\`o significa che
$\la(F_\sigma)=\la(F'_{\sigma'})$ e quindi, per Teorema~\lapa{immzero},
$F_\sigma$ ed $F'_{\sigma'}$ sono r--equivalenti ossia esiste un
diffeomorfismo $\Phi_\sigma^{\sigma'}:S_\sigma\to S'_{\sigma'}$ tale
che $F_\sigma=F'_{\sigma'}\circ\Phi_\sigma^{\sigma'}$.

D'altra parte, detta $D_i^j$ la componente connessa di $F^{-1}(D_i)$
contenente il punto $p_j$ e $D_i^{\prime j}$ la componente di
${F'}^{-1}(D_i)$ contenente $q_j$, si ha evidentemente che $\ristr
F{D_i^{\sigma i}}$ ed $\ristr {F'}{D_i^{\prime\sigma'i}}$, essendo
embeddings con la stessa immagine, sono senz'altro r--equivalenti,
ossia esistono $\beta$ diffeomorfismi $\Phi_i:D_i^{\sigma i}\to
D_i^{\prime {\sigma'i}}$ tali che $\ristr F{D_i^{\sigma i}}=\ristr
{F'}{D_i^{\prime\sigma'i}}\circ\Phi_i$.

Dato che $S=S_\sigma\cup\bigcup\limits_{i=1}^\beta D_i^{\sigma i}$
ed $S'=S'_{\sigma'}\cup\bigcup\limits_{i=1}^\beta D_i^{\sigma'i}$ e che
evidentemente i diffeomorfismi $\Phi_\sigma^{\sigma'}$ e $\Phi_i$ si
incollano, si ha la tesi.

\noindent{\bf Surgettivit\`a:\quad}
Sia $\la\in\Cal A_m^\beta(w)$. Per il Teorema~\lapa{immzero}, esistono
una superficie $S$ con $k+\beta$ componenti di bordo ed una immersione
$F:S\to\ENNE$, $F\in E^0(f^\beta)$, tali che $\la(F)=\la$.

\`E immediato verificare che si possono attaccare dei dischi alle
$\beta$ componenti di bordo di $S$ corrispondenti alle curve
$g_1,\dots,g_\beta$ ed estendere $F$ a questi dischi per ottenere una
immersione da una superficie con $k$ componenti di bordo, che estende
$f$ e che induce l'assemblaggio $\la$.

Con questo si conclude la dimostrazione del
Teorema~\lapa{teoimmersione}.
\finedim

%\def\nomefile{par112.tex}

\para{Due utili Lemmi}{plemmi}

Concludiamo questo capitolo con la dimostrazione di alcuni lemmi che
ci saranno utili nel seguito (cfr. Cap. 2), e che rafforzano
l'enunciato del Teorema~\lapa{teoimmersione}.
\smallbreak

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps filemma1,58,0,1000,%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$x_{i,1,\mu}$}{33}{17}
\metti{$r_i$}{31}{80}
\metti{$\ttilde r_i$}{62}{80}
\metti{$r_h$}{85}{80}
\metti{$x_{h,l,\nu}^e$}{80}{38}
\metti{$x_{i,l+1,\nu}^e$}{44}{40}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sia $R$ un sistema di segmenti per la curva $f$ e sia
$R'=R-Q$ dove $Q\subseteq A$ \`e costituito di segmenti la cui prima
intersezione con $\G$ \`e positiva.
\defi\sisegrid
Chiameremo sistema di segmenti ridotto, un siffatto insieme di
segmenti.
\finenu
Siano $w=w_R$ e $w'=w_{R'}$, le parole
per $f$ determinate rispettivamente da $R$ e da $R'$.  Si consideri
l'applicazione:
$$
\hhat{\hphantom{\la}} \colon \Cal A^\beta(w)\tto\Cal A^\beta(w')\tag1
$$
che ad $\la\in\Cal A^\beta(w)$ associa l'assemblaggio $\hhat{\la}$
ottenuto da $\la$ eliminando tutte le coppie del tipo $\{x_{i,j,\mu}^{-1},x_{i,j',\mu'}$\} tali che
$r_i\in Q$. Dimostreremo il seguente:

\lem\lemgino
L'applicazione $\hhat{\hphantom{\la}}$ \`e una bigezione tra  $\Cal
A_m^\beta(w)$ e $\Cal A_m^\beta(w')$.
\finenu
Cominciamo \parfigura1con il caso in cui l'insieme $Q$ sia costituito
da un solo segmento $r_i$. Sia $\ttilde r_i$ un segmento costruito nel
modo seguente: $\ttilde r_i$ coincide con $r_i$ sino immediatamente
dopo il punto $x_{i,1,\mu}$, quindi procede all'interno della
componen\-te connessa di $\ENNE-\G$ finch\`e non incontra un altro
segmento $r_h$ e procede poi parallelamente a questo in un suo piccolo
intorno $V_h$ che non contiene incroci di $\G$ (cfr. \lafig{filemma1}).
\parf
Siano $\ttilde R$ il sistema di segmenti ottenuto da $R$ sostituendo
$r_i$ con $\ttilde r_i$ e $\ttilde w=w_{\ttilde R}$ la parola per $f$
definita da $\ttilde R$. Chiaramente, oltre all'applicazione \thetag1,
abbiamo anche l'analoga per $\ttilde w$, ossia:
$$
\hhat{\hphantom{\la}} \colon \Cal A^\beta(\ttilde w)\tto\Cal A^\beta(w')
\tag2
$$
ottenuta eliminando le coppie di lettere in $\ttilde r_i$.

\lem\lemmauno
Per ogni $\la\in\Cal A^\beta(w)$ \[risp. $\Cal A^\beta(\ttilde w)$\]
risulta:
$$l(\hhat{\la})\ge l(\la)\quad\text{e}\quad h(\hhat{\la})\le h(\la).
$$
\finenu
\dim
La prima delle due \`e evidente, dato che, togliendo dei lati propri,
il numero di componenti non pu\`o che aumentare. Per quanto riguarda
la seconda, siano $G$ e $\hhat G$ i grafi associati rispettivamente ad
$\la$ ed $\hhat{\la}$. Consideriamo due casi, secondo che i due grafi
abbiano o meno lo stesso numero di componenti.


\noindent {\bf Caso (I):} $l(G)=l(\hhat G)$. In questo caso la tesi \`e 
evidente in quanto un'immersione per $G$ fornisce un'immersione anche
per $\hhat G$.

\noindent {\bf Caso (II):} $l(G)<l(\hhat G)$ e per semplicit\`a, ma lo
stesso ragionamento funziona in generale, supponiamo $l(G)=1$ ed
$l(\hhat G=2)$. Siano $G_1$ e $G_2$ le componenti di $\hhat G$;
chiaramente $G_1$ e $G_2$ sono immersi disgiuntamente nella superficie
$S$ in cui $G$ \`e immerso in modo minimale. Sia $C$ una curva liscia
che sconnette $S$ e lascia da parti opposte $G_1$ e $G_2$.

Tagliando $S$ lungo $C$, si ottengono superficie $S_1,\dots,S_n$,
denotiamo con $S_i'$ la superficie ottenuta da $S_i$ attaccando dei
dischi alle componenti di bordo generate dal taglio. Si ottengono
allora due superficie con bordo $S_1$ ed $S_2$, che contengono ciascuna
una componente di $\hhat G$, e superficie chiuse $S_3,\dots,S_n$.

Siano $s$ il numero di componenti connesse di $C$, e $k$, $k_1$,
$k_2$ il numero di componenti di bordo di $S$, $S_1'$, $S_2'$
rispettivamente. Dal fatto che $\ch(S)=\sum_{i=1}^n\ch(S_i')-2s$,
ne segue:
$$
\gather
2-k-h(S)=
2-k_1-h(S_1')+2-k_1-h(S_2')+\sum_{i=3}^n\bigl(2-h(S_i')\bigr)-2s,
\\ \intertext{da cui:}
h(S)=\sum_{h=1}^nh(S_i')+2(s-n+1).
\endgather
$$
Poich\`e tagliando lungo $s$ circonferenze disgiunte si ottengono
al pi\`u $s+1$ componenti connesse, $s-n+1\ge0$ e quindi
$h(S)\ge\sum\limits_{i=1}^nh(S_i')\ge h(S_1')+h(S_2')$, da cui la tesi.
\finedim

\rem\fattacosi
Sia $x_{h,l,\nu}^e$ il primo punto sul segmento $r_h$ dopo che
$\ttilde r_i$ entra in $V_h$, allora la parola $\ttilde w$ \`e
ottenuta da $w'$ con le seguenti operazioni: $\forall\,j\ge l$ 
$$
\alignat5
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&\text{si metta}&\quad
&\left\{
	\aligned
	&x_{i,j+1,+1}^ex_{h,j,+1}^e 
	\\
	&x_{h,j,-1}^ex_{i,j+1,-1}^e
	\endaligned
\right\}
&\quad&\text{al posto di}&\quad
&\left\{
	\aligned
	&x_{h,j,+1}^e
	\\
	&x_{h,j,-1}^e
	\endaligned
\right\}
&\quad&\text{se $\ttilde r_i$ \`e sulla sinistra di $r_h$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
&\text{si metta}&\quad
&\left\{
	\aligned
	&x_{h,j,+1}^ex_{i,j+1,+1}^e 
	\\
	&x_{i,j+1,-1}^ex_{h,j,-1}^e
	\endaligned
\right\}
&\quad&\text{al posto di}&\quad
&\left\{
	\aligned
	&x_{h,j,+1}^e
	\\
	&x_{h,j,-1}^e
	\endaligned
\right\}
&\quad&\text{se $\ttilde r_i$ \`e sulla destra di $r_h$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\endalignat
$$
In particolare la lettera $x_{i,j,\mu}^e$ compare in $\ttilde w$ se e solo se
$x_{h,j-1,\mu}^e$ compare in $w'$ e $j\ge l$.

Si pu\`o quindi definire l'applicazione
$\ttilde{\hphantom{\la}}\colon\Cal A(w')\tto \Cal A(\ttilde w)$
che ad $\la\in\Cal A(w')$ associa l'assemblaggio:
$$
\ttilde{\la}=\la\cup\bigl\{
\{x_{i,j-1,\mu}^{-1},x_{i,j'-1,\mu'}\}
\bigm |
\{x_{h,j,\mu}^{-1},x_{h,j',\mu'}\}\in\la,\text{ e } j\ge l
\bigr\}.
$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps filemma2,68,0,1000,%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize x_{i,j'\!-1,\mu'}$}{83}{80}
\metti{$\ssize x_{h,j'\!,\mu'}$}{83}{56}
\metti{$\ssize x_{h,j,\mu}^{-1}$}{80}{43}
\metti{$\ssize x_{i,j-1,\mu}^{-1}$}{78}{30}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Evidentemente $\ttilde{\hphantom{\la}}$ \`e iniettiva ed in pi\`u:
$$
\hhat{\ttilde{\la}}=\la\qquad\forall\puad\la\in\Cal A(w')\tag3
$$
ovvero l'applicazione in \thetag2 \`e surgettiva.
\finenu
\lem\lemmadue
Per ogni $\la\in\Cal A^\beta(w')$ risulta: $h(\ttilde{\la})=h(\la)$ ed
$l(\ttilde{\la})=l(\la)$.
\finenu
\dim
Siano $G(\la)\hookrightarrow S$ una immersione minimale ed
$\{x_{i,j-1,\mu}^{-1},x_{i,j'-1,\mu'}\}\in\ttilde{\la}$; per
definizione di grafo associato ad un assemblaggio, il lato determinato
da questa coppia ha lo stesso peso di quello determinato dalla coppia
$\{x_{h,j,\mu}^{-1},x_{h,j',\mu'}\}\in\la$.

D'altra \parfigura1 parte, le lettere $x_{i,j-1,\mu}^{-1}$ ed
$x_{i,j'-1,\mu'}$ entrambe precedono [risp.  seguono, cfr.
Osservazione \lapa{fattacosi}] rispettivamente le lettere
$x_{h,j,\mu}^{-1}$ ed $x_{h,j',\mu'}$, se i segni $\mu$ e $\mu'$ sono
concordi, mentre una precede e l'altra segue la propria corrispettiva
se $\mu$ e $\mu'$ sono discordi; da ci\`o \`e immediato dedurre che il
lato di $G(\ttilde{\la})$ determinato dalla coppia
$\{x_{i,j-1,\mu}^{-1},x_{i,j'-1,\mu'}\}$ si pu\`o immergere in $S$ in
un piccolo intorno del lato determinato dalla coppia
$\{x_{h,j,\mu}^{-1},x_{h,j',\mu'}\}$ (vedi
\lafig{filemma2}).
\finedim
%Da questo lemma segue allora
\prop\propodue
Se $\la\in\Cal A_m^\beta(w)$ \[risp. $\Cal A_m^\beta(\ttilde w)$\], allora
$\hhat{\la}\in\Cal A_m^\beta(w')$
\finenu
\dim
Per il Lemma~\lapa{lemmauno} si ha:
$$
R_X(f)=2l(\la)-k-h(\la)-\beta\ch(\ENNE)
\le2l(\hhat{\la})-k-h(\hhat{\la})-\beta\ch(\ENNE).
$$
D'altra parte da Lemma~\lapa{lemmadue} e
Proposizione~\lapa{disugassrotb} segue:
$$
R_X(f)\ge2l(\ttilde{\hhat{\la}})-k-h(\ttilde{\hhat{\la}})-\beta\ch(\ENNE)
=2l(\hhat{\la})-k-h(\hhat{\la})-\beta\ch(\ENNE),
$$
e quindi la tesi.
\finedim

Dalla proposizione precedente segue allora che sono definite le
applicazioni:
$$
\gather
\hhat{\hphantom{\la}} \colon \Cal A_m^\beta(w)\tto\Cal A_m^\beta(w')
\tag4
\\
\hhat{\hphantom{\la}} \colon \Cal A_m^\beta(\ttilde w)\tto\Cal A_m^\beta(w')
\tag5
\endgather
$$
restrizioni delle applicazioni in \thetag1 e \thetag2.  Per
dimostrare il Lemma~\lapa{lemgino}\ (nel caso che $Q$ sia costituito
da un solo segmento), dobbiamo mostrare che l'applicazione in \thetag4
\`e iniettiva, dato che la \thetag3 e Lemma~\lapa{lemmadue}\
garantiscono la surgettivit\`a.

Definiamo ora l'applicazione $\Phi\colon\Cal A_m^\beta(w)\to\Cal
A_m^\beta(\ttilde w)$ nel modo seguente: dato $\la\in\Cal A_m^\beta(w)$ sia
$F_{\la}\in E^0(f^\beta)$ tale che $G_R(F_{\la})$ sia uguale a
$G(\la)$.  Poniamo allora $\Phi(\la)$ l'assemblaggio tale che
$G_{\ttilde R}(F_{\la})=G\bigl(\Phi(\la)\bigr)$. Evidentemente questa \`e una
buona definizione ed in pi\`u \`e di immediata dimostrazione la
seguente:
\prop\propotre
$\Phi$ \`e biunivoca e per ogni $\la\in\Cal A_m^\beta(w)$
\quad $\hhat{\Phi(\la)}=\hhat{\la}$.
\finenu
\rem.
Dalla proposizione precedente segue immediatamente che, dimostrando che
la \thetag5 \`e iniettiva, dimostriamo che anche la \thetag4 lo \`e.
\finenu
La tesi di Lemma~\lapa{lemgino}, nel caso $R$ costituito da un solo
segmento, segue allora dalla seguente:
\prop\proplemma
Sia $\la\in\Cal A_m^\beta(w')$ e sia $\la_1\in\Cal A_m^\beta(\ttilde w)$
tale che $\hhat{\la}_1=\la$, allora $\la_1=\ttilde{\la}$.
\finenu
\dim
Sia $\{x_{h,j,\mu}^{-1},x_{h,j',\mu'}\}\in\la$ con $j\ge l$ e sia
$F\in E^0(f^\beta)$ tale che $G_{\ttilde R}(F)=G(\la_1)$ e sia
$\ttilde V$ la componente connessa di $F^{-1}(V_h)$ contenente il lato
di $G_{\ttilde R}(F)$ che appaia $x_{h,j,\mu}^{-1}$ con
$x_{h,j',\mu'}$. Poich\`e $F$, ristretta ad ogni componente connessa
di $F^{-1}(V_h)$, \`e biunivoca, \`e immediato verificare che la
componente di $F^{-1}(\ttilde r_i)$ contenuta in $\ttilde V$ appaia
$x_{i,j+1}^{-1}$ con $x_{i,j'+1}$.  Ovvero $\la_1=\ttilde{\la}$.
\finedim

\rem\ossgener
I ragionamenti usati per dimostrare il caso in cui $R$ sia costituito
da un solo segmento, si possono ripetere induttivamente per dimostrare
tutte le proposizioni ed i lemmi usati nel caso in cui $R$ non sia
costituito da un solo segmento, dimostrando in tal modo il
Lemma~\lapa{lemgino}.
\finenu

\rem\capcomsig
Osserviamo ancora che evidentemente l'applicazione
$\hhat{\phantom{\la}}$ commuta con l'azione del gruppo simmetrico
sull'insieme degli assemblaggi, quindi passa a quoziente definendo una
applicazione biunivoca:
$$
\hhat{\phantom{\la}}:
\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{\}}_{\!\tsize\frak S_\beta}
\tto
\bigl.\Cal A_m^\beta(w')\bigr/\vphantom{\}}_{\!\tsize\frak S_\beta}.
$$
\finenu
Grazie al Lemma \lapa{lemgino} ed all'osservazione precedente, il
teorema \lapa{teoimmersione} pu\`o allora essere rafforzato
nel seguente:
\teo\teoimmersioneforte
Sia $\kcurvan$ una curva generica e sia $w$ una $k$--parola per $f$
definita a partire da un sistema di segmenti ridotto, allora l'insieme
$\bigl.E^\beta(f)\bigr/\vphantom{\}}_{\!\!\ssize\text{\rm
r--equivalenza}}$ \`e in corrispondenza biunivoca con l'insieme
$\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{\}}_{\!\tsize\frak S_\beta}$
dei $\beta$--assemblaggi minimali di $w$ modulo l'azione del gruppo
simmetrico.
\finenu
\bigbreak
Concludiamo la sezione dimostrando un altro Lemma che ci sar\`a utile
nel prossimo capitolo.
\defi\defocchiello
Sia $\kcurvan$ una curva generica. Diremo che $f$ ha un occhiello se
esistono  $t_0,t_1\in\ESSE^1$ tali che $f(t_0)=f(t_1)$ ed
$\ristr f{[t_0,t_1]}$ borda un disco $D\subset\ENNE$, che non contiene
rami di $\G$ (eccetto, ovviamente, il suo bordo). Chiameremo occhiello
la curva $\ristr f{[t_0,t_1]}:\ESSE^1\to\ENNE$, avendo identificato
$\ESSE^1=[t_0,t_1]/_{\!t_0=t_1}$.
\finenu
Se $f$ ha un lato, la sua restrizione ne induce ovviamente uno anche su
$\ristr f{[t_0,t_1]}$.
\defi.
Diremo che un occhiello \`e positivo se il lato indotto dal lato di
$f$ punta verso l'interno del disco. Diremo che \`e negativo, se punta
verso l'esterno.
\finenu
\lem\lemocchielli
Sia $f$ una $k$--curva generica con un occhiello
positivo e sia $w$ una parola per $f$ definita a partire de un
sistema, eventualmente ridotto, di segmenti. Supponiamo che
l'occhiello in questione non contenga il punto $\infty$; allora:
$$
\Cal A^\beta_m(w)=\vuoto.
$$
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps filemma3u,40,0,1000,
%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$f$}{14}{50}
\metti{$f^*$}{44}{5}
\metti{$D$}{41}{65}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\dim
Evidentemente, \parfigura1 basta dimostrare la tesi per un sistema di
segmenti ridotto particolare. Costruiamo allora un sistema di segmenti
ridotto, come segue.
\parf
Sia $D$ il disco bordato dall'occhiello. Dato che l'occhiello \`e
positivo, ogni segmento uscente da $D$ ha la sua prima intersezione
con $\G$ positiva. Quindi possiamo supporre che da $D$ non parta
nessun segmento. Inoltre, dato che $\infty\not\in D$, possiamo
supporre che ogni altro segmento non intersechi $D$.
\parf
Sia $w$ la parola determinata da un siffatto sistema
ridotto, e sia $\la\in\Cal A^\beta(w)$. Sia $f^*$ la curva ottenuta da
$f$ eliminando l'occhiello in questione come suggerito in
\lafig{filemma3u}. Osserviamo ora che $R$ \`e un sistema di segmenti,
eventualmente ridotto per $f^*$ e che $w$ \`e la parola determinata da
$R$ anche per $f^*$. Ma allora, per Proposizione~\lapa{disugassrotb},
che in virt\`u di Osservazione~\lapa{ossgener} vale anche per parole
determinate da sistemi ridotti, per ogni $\la\in\Cal A^\beta(w)$
risulta:
$$
R_X(f^*)\ge2l(\la)-k-h(\la)-\beta\ch(\ENNE).
$$
Ma da Proposizione \lapa{proprotd} e da Osservazione \lapa{remrotdisc}
si deduce che:
$$
R_X(f^*)=R_X(f)-1,
$$
da cui la tesi.
\finedim

\finecapi
%
\write16{[Capitolo 2]}
%
\capi{Estensioni di curve con cuspidi e nodi}

Siano $S$ ed $\ENNE$ superficie compatte, senza bordo. \`E un fatto ben noto
(cfr. \cite W, \cite{B--J}) che l'insieme delle applicazioni generiche
$S\to\ENNE$, \`e caratterizzato da due propriet\`a: una
prima di natura locale, ed un'altra di natura globale. La prima, che
caratterizza i germi generici, \`e la seguente:
\roster
\item
in ogni punto il germe dell'applicazione $F:S\to\ENNE$ \`e equivalente
ad uno dei seguenti tre germi $(\ERRE^2,0)\to(\ERRE^2,0)$:
$$
\kern\itemindent
(x,y)\mapsto(x,y),
\qquad
(x,y)\mapsto(x,y^2),
\qquad
(x,y)\mapsto(x,y^3-xy).
$$
\endroster
\`E immediato verificare che se $F$ verifica la precedente
propriet\`a, allora l'insieme $\Sigma$ dei punti critici
di $F$ \`e una sottovariet\`a di $S$, liscia e di dimensione 1;
ha quindi senso richiedere che $F$ verifichi la seguente:
\roster
\item[2]
$\ristr F\Sigma$ \`e una curva con soltanto cuspidi e nodi (cfr.
Definizione~\lapa{kccn}).
\endroster

In questo capitolo ci proponiamo di studiare il problema suscitato
naturalmente da questo enunciato, ovvero:
\roster
\item
data una curva con cuspidi e
nodi $\kcurvan$, esistono una superficie $S$ ed una applicazione
generica $F:S\to\ENNE$ tale che $\Sigma=\kcir$ ed $\ristr F\Sigma=f$\,?
\item
in caso di risposta affermativa alla domanda precedente, quante sono
tali estensioni a meno di equivalenza destra?
\endroster
Daremo una risposta a questi quesiti usando un'estensione, per curve
con cuspidi e nodi, della parola di Blank vista nel capitolo
precedente.

%\def\nomefile{par21.tex}

\para{Curve con cuspidi e nodi}{cucn}

\defi\defcusp  
Siano $\ENNE$ una superficie, $I$ un intervallo della retta reale. Sia
$f\colon I\to \ENNE$ una curva differenziabile, diremo che $t_0\in I$
\`e un punto di cuspide per $f$, se esistono germi di diffeomorfismo
$\gamma\colon \bigl(I,t_0\bigr)\to\bigl(\ERRE,0\bigr)$ e
$\varphi\colon \bigl(\ENNE,f(t_0)\bigr)\to\bigl(\ERRE^2,0\bigr)$ tali che:
$$
\bigl(\varphi\circ f\circ\gamma\bigr)(s)=(s^2,s^3).
$$
Il punto $f(t_0)$ sar\`a detto una cuspide.
\finenu
\goodbreak
Non \`e difficile vedere che il diffeomorfismo $\gamma$ pu\`o essere
supposto della forma $\gamma(s)=t_0+s$, cosa che d'ora in avanti
faremo.

\defi\kccn
Una applicazione $f\colon\coprod\limits_{h=1}^k\!\ESSE^1\to\ENNE$,
sar\`a chiamata una $k$--curva con cuspidi e nodi, se:
\roster
\item
$f$ \`e regolare, ovvero $f'\ne0$, salvo per un numero finito di punti
di cuspide;
\item
$f$ \`e iniettiva salvo per un numero finito di incroci normali.
\endroster
Denoteremo con $\G=\G_f$ il supporto di $f$ \($\G_f=f(\kcir)$\).
\finenu

Sia $\C$ l'insieme dei punti di cuspide di $\kcurvan$; per
definizione, la curva $\ristr f{(\kcir)-\C}$ \`e una curva regolare,
ha quindi senso porre la seguente definizione:

\defi\defilatocon
Diremo che $f$ ha due lati se e solo se $\ristr f{(\kcir)-\C}$ ha un
lato (cfr. Definizione \lapa{deflato}) che all'intorno di ogni cuspide
\`e diretto verso l'interno o verso l'esterno della cuspide stessa,
concordemente su entrambi i rami della cuspide.

Una cuspide sar\`a
detta positiva se il lato \`e diretto verso l'esterno della cuspide,
negativa nell'altro caso {\rm (cfr. \lafig{fi201})}.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi201,50.4,0,500,
\setbox10=%
\hbox{$\vcenter{\copy0}\kern\wd0\vcenter{\figuraps fi202,50.4,0,500,0,}$}
%
\setbox11=\hbox to\wd10{%
\hss\hbox to\wd0{\hss negativa\hss}\kern\wd0\hbox to\wd0{\hss positiva\hss}}
\setbox12=\vbox{%
\box10%
\box11}
$$
\figura12
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\rem\proplatocon
Evidentemente la curva $f$ ha un lato se e solo se esiste un campo di
vettori lungo $\ristr f{(\kcir)-\C}$, che sia trasversale ad $\ristr
f{(\kcir)-\C}$ e tale che all'intorno di ogni cuspide sia diretto o
verso l'interno o verso l'esterno della cuspide, concordemente su
entrambi i rami della cuspide. Chiameremo indifferentemente lato per
$f$ tanto un'orientazione del fibrato normale ad $\ristr
f{(\kcir)-\C}$, come in Definizione~\lapa{deflato}, quanto un campo di
vettori come quello appena descritto.
\finenu
\defi.
Un lato per una curva con cuspidi sar\`a detto coerente se e solo se
tutte le cuspidi sono negative.
\finenu

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi3,82,0,400,
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\prop\proplatcoer\parfigura1\advance\elle-1
Se $F\colon S\to\ENNE$ \`e un'applicazione generica, allora la
curva $\ristr f\Sigma$ ha un lato coerente.
\finenu
\dim
Intuitivamente basta prendere un campo diretto nella direzione verso
cui l'ap\-pli\-ca\-zio\-ne piega la superficie (cfr. \lafig{fi3}). Per
formalizzare questo discorso euristico, basta prendere un campo $n(p)$
in $\ker\big(dF(p)\big)$, non nullo e continuo, eventualmente a meno di
cambiamenti di segno, e considerare il campo lungo $\ristr
F{\Sigma-\C}$ definito da $m(p)=d^2_0F(p)\big[n(p)\big]^2$, dove con
$d^2_0F\colon\ker dF\to
\coker dF$ denotiamo il differenziale quadratico (cfr. \cite{B--J}).
Non \`e difficile, sfruttando le propriet\`a locali di $F$ nei punti
di piega, dimostrare che il campo $m$ \`e diretto verso l'interno di
ciascuna cuspide.
\finedim
\defi.
Chiameremo lato indotto da $F$ su $\ristr F\Sigma$ il lato fornito
dalla dimostrazione della proposizione precedente.
\finenu
\rem.
La Proposizione precedente fornisce una ben nota condizione necessaria
affinch\`e una curva con cuspidi e nodi possa essere il contorno
apparente di una applicazione generica (cfr. \cite{Pi3}).
\finenu

%\def\nomefile{par22.tex}

\para{Estensioni locali}{estloc}
Sia $\curvan$ una curva con cuspidi e nodi munita di un lato, non necessariamente
coerente, e sia $D\subseteq\C$ un sottoinsieme dell'insieme delle
cuspidi di $f$.
\defi.
Chiameremo $D$--deformazione del primo tipo di $f$ la 2--curva:
$$
f_D^*=f^*_{D,1}{\tsize\coprod}f^*_{D,2}
\colon\ESSE^1{\tsize\coprod}\ESSE^1\tto\ENNE
$$
ottenuta raddoppiando $f$ in un suo intorno, e deformando le cuspidi
nel modo suggerito in Fig.~\number\figu.
Fissato un punto base $p\in\G$, chiameremo deformazione del secondo
tipo di $f$ la curva:
$$
f^{**}_D\colon\ESSE^1\tto\ENNE
$$
\advance\figu1
ottenuta modificando $f^*_D$, in un intorno di $p$, nel modo suggerito in
Fig.~\number\figu.\advance\figu-1
\finenu
\rem.
\`E evidente che se $D\subseteq\C$ allora $f_D^*=f_{(\C-D)}^*$
ed $f_D^{**}=f_{(\C-D)}^{**}$.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi41uu,55,0,600,%\rete
\metti{$f^*_{D,1}$}{39}{3}
\metti{$f^*_{D,2}$}{67}{70}
\metti{$q$}{42}{75}
\metti{se $q\in D$}{26}{103}
\setbox100=\box0
%
\figboxps fi41uu,55,0,600,%\rete
\metti{$f^*_{D,2}$}{39}{3}
\metti{$f^*_{D,1}$}{67}{70}
\metti{$q$}{42}{75}
\metti{se $q\notin D$}{26}{103}
\setbox101=\box0
%
\figboxps fi51u,72,0,600,%\rete
\metti{$p$}{48}{83}\metti{$p$}{48}{25}
\metti{$f^*_{D,2}$}{-9}{47}
\metti{$f^*_{D,1}$}{-10}{64}
\metti{$f^{**}_D$}{90}{13}
%
\setbox102=\box0
%
\setbox103=\hbox{\box100\quad\box101}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura103 \kern2truecm\figura102
$$

Non \`e difficile vedere che se $F\colon\ESSE^1\times[-1,1]\to \ENNE$
\`e una estensione generica di $f$ con luogo critico
$\ESSE^1=\ESSE^1\times\{0\}$, allora esiste un intorno tubolare $U$ di
$\ESSE^1$ tale che $\ristr f{\de U}=f_D^*$, per una scelta opportuna
di $D$, ed analogamente se denotiamo con
$M=\bigl.\ERRE\times[-1,1]\bigl/\vphantom{I}_{\!(x,t)=(x+1,-t)}$ il
nastro di M\oe bious, ed $F\colon M\to\ENNE$ \`e una estensione
generica di $f$ con luogo critico
$\ESSE^1=\ERRE\bigr/\vphantom{I}_{\!x=x+1}$, allora esiste un intorno
tubolare $U$ di $\ESSE^1$ in $M$ tale che $\ristr f{\de U}=f_D^{**}$,
per una opportuna scelta di $D$. Inoltre tale $D$ \`e unico a meno di
complementazione.

Chiameremo questo insieme $D$ (a meno di complementazione) l'insieme
di deformazione indotto dalla estensione di $f$.

\defi\defdhdefcurva
Siano $\kcurvan$ una $k$--curva con cuspidi e nodi, $D\subseteq\C$ ed
$H=\{H_1,H_2\}$ una partizione dell'insieme $\{1,2,\dots,k\}$.

Chiameremo $(D,H)$--deformazione di $f$ la $k_H$--curva:
$$
\gather
f_{(D,H)}\colon\coprod_{h=1}^{k_H}\ESSE^1\to\ENNE
\\
f_{(D,H)}=\bigl\{(f_h)^*_D\bigm|h\in H_1\bigr\} {\tsize\coprod}
\bigl\{(f_h)^{**}_D\bigm|h\in H_2\bigr\}
\endgather
$$
essendo $k_H=2\#H_1+\#H_2$.
\finenu
\rem\remstescopdef
\`E evidente che $f_{(D,H)}=f_{(\C-D,H)}$, anzi, denotato con
$\C_h$ l'insieme delle cuspidi nella componente $h$--esima della curva
e posto $D_h=D\cap\C_h$, \`e immediato verificare che
$f_{(D,H)}=f_{(D',H)}$ per ogni $D'$ tale che $D'_h=D_h$ oppure
$D'_h=\C_h-D_h$.
\finenu
Chiaramente, se $F$ \`e una estensione generica ad una unione
disgiunta di $k$ cilindri e nastri di M\oe bious della $k$--curva $f$,
allora esiste un intorno tubolare $U$ di $\kcir$ tale che $\ristr
F{\de U}=f_{(D,H)}$ per una opportuna scelta di $(D,H)$. Chiameremo
questa coppia la coppia di deformazione indotta dall'estensione di
$f$.
\rem\remlatind
Osserviamo che se $F$ \`e una estensione generica di $f$ e $t_0$ \`e
un punto di cuspide, allora se $v\in T_{t_0}(S)-\ker(dF(t_0))$ risulta
che $dF(t_0)[v]$ \`e un vettore tangente alla cuspide. Identifichiamo:
$$
\gather
\ESSE^1\times[0,1]=\ERRE\times[0,1]\Big/\vphantom{]}_{\!(x,y)=(x+1,y)}
\\
M=\ERRE\times[0,1]\Big/\vphantom{]}_{\!(x,y)=(x+1,-y)}
\endgather
$$
ed $\ESSE^1$ con $\ERRE\big/_{\!x=x+1}$ in modo che nessun punto di
cuspide abbia coordinata intera. Denotiamo con $\ttilde
F:\ERRE\times[0,1]\to\ENNE$ il sollevamento di $F$ al rivestimento
universale.

Osserviamo allora che, con tali identificazioni, l'insieme di
deformazione indotto da $F$ \`e definito (sempre a meno di
complementazione) da:
$$
D=\{t\in(0,1)\mid t \text{ \`e di cuspide e }d\ttilde F(t)\bigl[(0,1)\bigr]
\text{ punta verso l'interno della cuspide}\}.
$$
\finenu
Nel seguito, per semplicit\`a di notazione, indicheremo sia $F$ che
$\ttilde F$ con lo stesso simbolo $F$. Sar\`a chiaro dal contesto a
quale delle due applicazioni ci si star\`a riferendo.

\lem\lemdefun
Sia $\curvan$ una curva con cuspidi e con un lato coerente, sia
$D\subseteq\C$; allora esiste una estensione
$F\colon\ESSE^1\times[0,1]\to\ENNE$ di $f$ che induce $D$ come
insieme di deformazione.
\finenu
\dim
Usiamo le identificazioni dell'osservazione precedente. Siano
$t_1,\dots,t_c\in (0,1)$ i punti di cuspide di $f$, per ogni cuspide
$q_i=f(t_i)$ prendiamo un piccolo intorno $U_i$ con un diffeomorfismo
$\varphi_i\colon(U_i,q_i)\to(\ERRE^2,0)$ tale che:
$$
\varphi_i\circ f(t)=\big(3(t-t_i)^2,-2(t-t_i)^3\big).
$$
Definiamo allora
$$
\ttilde F_i(t,y)=\cases \big(y+3(t-t_i)^2,-2(t-t_i)^3-(t-t_i)y\big)
&\qquad\text{se $t_i\in D$;}
\\
\big(-y+3(t-t_i)^2,-2(t-t_i)^3+(t-t_i)y\big)&\qquad\text{se $t_i\not\in D$.}
\endcases
$$
Per ogni $i$ l'applicazione $\ttilde F_i$ appena definita \`e
evidentemente una
estensione generica, locale di $\varphi_i\circ f$ con luogo critico
in $\{y=0\}$, e pertanto possiamo asserire che esiste $\sigma>0$ tale
che:
$$
\varphi_i^{-1}\circ \ttilde F_i
\colon(t_i-\sigma,t_i+\sigma)\times(-\sigma,\sigma)\tto\ENNE
$$
\`e definita ed \`e una estensione generica di $f$, localmente
attorno le cuspidi, con luogo critico in $\{y=0\}$. Non \`e
altres\`\i\ difficile vedere che $dF_i(t_i)\bigl[(0,1)\bigr]$ \`e
diretto verso l'interno della cuspide corrispondente, se e solo se
$t_i\in D$.

In definitiva, abbiamo una applicazione:
$$
F_*\colon\bigcup_{i=1}^c(t_i-\sigma,t_i+\sigma)\times(-\sigma,\sigma)\tto\ENNE
$$
che estende $\ristr f{\bigcup_{i=1}^c(t_i-\sigma,t_i+\sigma)}$,
generica e con piega su $\{y=0\}$, e dobbiamo mostrare che tra due
punti di cuspide successivi si pu\`o trovare una estensione generica
$F$ di $f$, con luogo critico $\{y=0\}$ e che coincide con $F_*$ in un
intorno dei punti di cuspide in questione.

Sia $\v(t)$ un campo di vettori che definisce il lato di $f$ e siano
$t_i<t_{i+1}$ due punti di cupide successivi; prendiamo punti
$a<a'\in(t_i,t_i+\sigma)$ e $b'<b\in(t_{i+1}-\sigma,t_{i+1})$; un
semplice calcolo dello Jacobiano mostra che l'applicazione:
$$
\gather
G\colon [a,b]\times\ERRE\tto\ENNE
\\
G\colon(t,s)\tto\exp_{f(t)}\bigl(s\v(t)\bigr)
\endgather
$$
\`e, per $|s|$ abbastanza piccolo, una immersione, essendo $\exp$
l'applicazione esponenziale rispetto ad una qualche metrica
riemanniana su $\ENNE$.

Sia, infine, $\sigma'>0$ tale che:
$$
\ristr{F_*}{\bigl((a'-\sigma',a'+\sigma')
\cup(b'-\sigma',b'+\sigma')\bigr)\times(-\sigma',\sigma')}
$$
sia sollevabile mediante $G$ ad una applicazione $\ttilde F_*$ tale
che $\ttilde F_*(a')=a'$, $\ttilde F_*(b')=b'$ e $G\circ\ttilde
F_*=F_*$ (vedi \lafig{fi6u}). \`E evidente che la tesi segue se mostriamo
che si possono raccordare i due pezzi di $\ttilde F_*$ con una
$\ttilde F$, generica, con luogo critico $\{y=0\}$ e tale che
$\ttilde F(t,0)=(t,0)$ per ogni $t\in [a,b]$.

Sia $\ttilde F_{*,1}$ la prima coordinata di $\ttilde F_*$, allora
$\ttilde F_{*,1}(t,0)=t$ per ogni $t$, prendiamo allora una funzione
$\widehat F_{*,1}$ definita su un insieme del tipo
$(a'-\delta,b'+\delta)\times(-\delta,\delta)$ (con $\delta<\sigma'$)
tale che:
$$
\widehat F_{*,1}(t,0)=t\quad\forall t;
\qquad \widehat F_{*,1}(t,y)=\ttilde F_{*,1}(t,y)\quad\forall t\not\in[a',b'].
$$
Chiaramente una tale funzione si pu\`o costruire usando
le usuali tecniche di partizione dell'unit\`a.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi6u,182.2,106.7,500,
%\rete
\metti{$\ttilde F_*$}{51}{76}
\metti{$F_*$}{51}{35}
\metti{$G$}{82}{63}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize t_i$}{2}{60}
\metti{$\ssize a$}{7}{53}
\metti{$\ssize a'$}{13}{53}
\metti{$\ssize t_i+\sigma$}{20}{53}
\metti{$\ssize t_{i+1}-\sigma$}{23}{60}
\metti{$\ssize b'$}{39}{53}
\metti{$\ssize b$}{46}{53}
\metti{$\ssize t_{i+1}$}{47}{60}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize a$}{55}{89}
\metti{$\ssize a'$}{62}{85}
\metti{$\ssize t_i+\sigma$}{68}{85}
\metti{$\ssize t_{i+1}-\sigma$}{72}{92}
\metti{$\ssize b'$}{89}{85}
\metti{$\ssize b$}{96}{89}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\tsize q_i$}{60}{32}
\metti{$\tsize q_{i+1}$}{86}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura0
$$
L'applicazione $\Phi\colon(t,y)\to(\widehat F_{*,1}(t,y),y)$ ha nei
punti $(t,0)$ matrice jacobiana del tipo
$J\Phi(t,0)=\left(\smallmatrix 1 & \bigstar\\0 &
1\endsmallmatrix\right)$ e quindi \`e un diffeomorfismo all'intorno
di $[a',b']\times\{0\}$, che lascia fisso $\{y=0\}$ ed inoltre:
$$
\ttilde F_*\circ\Phi^{-1}(t,y)=\bigl(t,g(t,y)\bigr).
$$
Pertanto, il fatto che $\ttilde F_*$ sia generica si traduce
nelle condizioni:
$$
\frac{\de g}{\de y}(t,0)=0;\qquad\frac{\de^2g}{\de y^2}(t,0)\ne0;
$$
da cui se ne deduce che, in un intorno di $\{y=0\}$,
la funzione $g$ \`e del tipo:
$$
g(t,y)=y^2h(t,y).
$$

Osserviamo ora che, poich\`e sia il campo $\v$ (che definisce il lato
di $f$) che il vettore $d^2_0F_*(t,0)[n(t,0)]^2$ (essendo $n$ un campo
di vettori del nucleo di $dF$) sono diretti verso l'interno delle
cuspidi, risulta che ${\de^2g}/{\de y^2}(t,0)>0$ e pertanto,
nella precedente espressione per $g$, la funzione $h$ \`e tale che
$h(t,0)>0$. Si pu\`o quindi trovare una funzione
$$
\widehat h\colon(a'-\delta,b'+\delta)\times(-\delta,\delta)\tto\ERRE
$$
tale che $h(t,0)>0$ per ogni $t$ e che coincida con $h$ al di fuori
di $(a',b')$. Ponendo infine:
$$
\gather
\widehat g(t,y)=y^2\widehat h(t,y);\qquad \bar F(t,y)=
\bigl(t,\widehat g(t,y)\bigr)
\\
F(t,y)=G\Bigl(\bar F\bigl(\Phi(t,y)\bigr)\Bigr)
\endgather
$$
si ottiene una applicazione $F$ che ha i requisiti richiesti.
Ripetendo tale costruzione in tutti gli intervalli tra due cuspidi si
ottiene l'estensione cercata.
\finedim

\lem\lemdefdu
Sia $\curvan$ una curva con cuspidi e con un lato coerente, sia
$D\subseteq\C$; allora esiste una estensione $F\colon M\to\ENNE$ di
$f$ che induce $D$ come insieme di deformazione.
\finenu
\dim
La stessa del Lemma precedente.
\finedim

\lem\lemunidefloc
Siano $F,G\colon(\ERRE^2,0)\to(\ERRE^2,0)$, due germi generici,
singolari, con luogo critico rispettivamente $\Sigma_F$ e $\Sigma_G$.
Supponiamo che:
\roster
\item
$F(\Sigma_F)=G(\Sigma_G)=\G$;
\item
$d^2_0F(p)[n(p)]^2$ e $d^2_0G(p)[m(p)]^2$ siano diretti verso lo stesso
lato di $F(\Sigma_F)=G(\Sigma_G)$ (essendo $n$ ed $m$ i campi dei
nuclei di $\ker dF$ e $\ker dG$ rispettivamente, ossia $F$ e $G$
inducono lo stesso lato su $\G$).
\endroster
Allora i due germi sono equivalenti a destra, ovvero esiste un germe
di diffeomorfismo $\Phi\colon(\ERRE^2,0)\to(\ERRE^2,0)$ tale che
$G\circ\Phi=F$.
\finenu
\dim
\`E chiaro che la prima delle due condizioni implica che i due germi
sono equivalenti (destra--sinistra), quindi dobbiamo analizzare i due
casi  corrispondenti alle due possibili forme canoniche. \`E
altres\`\i\ evidente che, senza perdere in generalit\`a, si pu\`o
sostituire la \therosteritem1 con
\roster
\ito{$1'$}
$\Sigma_F=\Sigma_G=\Sigma$ ed $\ristr F\Sigma=\ristr G\Sigma$.
\endroster
\nl
{\bf Caso (I):} (Forma canonica $(x,y)\mapsto(x,y^2)$) Siano
$\Psi,\Phi\colon(\ERRE^2,0)\to(\ERRE^2,0)$ germi di diffeomorfismo
tali che:
$$
\ttilde G=\Psi\circ G\circ\Phi(x,y)=(x,y^2)
$$
e poniamo $\ttilde F=(\ttilde F_1,\ttilde F_2)=\Psi\circ F\circ\Phi$.
Chiaramente i due germi $\ttilde F$ e $\ttilde G$ verificano ancora le
ipotesi di partenza e sono equivalenti a destra se e solo se $F$ e $G$
lo sono. Per \therosteritem{$1'$} $\ttilde F_1(x,0)=x$ e quindi
${{\de\ttilde F_1}/{\de x}}(x,0)=1$. Ma allora il germe
$\Phi_1(x,y)=\bigl(\ttilde F_1(x,y),y\bigr)$
\`e un germe di diffeomorfismo ed in pi\`u:
$$
\ttilde F\circ\Phi_1^{-1}(x,y)=\bigl(x,f(x,y)\bigr).
$$

Per il fatto che il diffeomorfismo $\Phi_1$ lascia fisso l'asse
$\{y=0\}$ e per le propriet\`a del germe $\ttilde F$, si ha:
$$
f(x,0)=0;
\qquad
\frac{\de f}{\de y}(x,0)=0;
\qquad
\frac{\de^2f}{\de y^2}(x,0)\ne0;
$$
esistono quindi germi di
funzioni $a$ ed $h$ tali che $f(x,y)=y^2a(x)+y^3h(x,y)$ e l'ipotesi
\therosteritem2, garantisce che $a(x)>0$. Si pu\`o quindi definire il germe:
$$
\Phi_2(x,y)=\left(x,y\sqrt{a(x)+yh(x,y)}\right)
$$
che \`e un germe di diffeomorfismo tale che
$\ttilde F\circ\Phi_1^{-1}\circ\Phi_2^{-1}=\ttilde G$.
\nl
{\bf Caso (II):} (Forma canonica $(x,y^3-xy)\mapsto(x,y)$) Come nel
caso precedente, possiamo supporre che $G(x,y)=(x,y^3-xy)$. Dalla
condizione \therosteritem{$1'$} si ha:
$$
\bigl(g_1(t),g_2(t)\bigr)=F(3t^2,t)=(3t^2,-2t^3),
$$
da cui, derivando $g_1$, si ottiene:
$$
6t=\frac{dg_1}{dt}(t)=6t\frac{\de F_1}{\de x}(3t^2,t)+
\frac{\de F_1}{\de y}(3t^2,t)
$$
che calcolata per $t=0$ d\`a ${\de F_1}/{\de y}(0,0)=0$. Ma allora, dato
che $F$ \`e un germe generico, necessariamente ${\de F_1}/{\de x}(0,0)\ne0$.
Pertanto il germe $\Phi(x,y)=\bigl(F_1(x,y),y\bigr)$
\`e un germe di diffeomorfismo ed inoltre:
$$
\gathered
\Phi(3t^2,t)=(3t^2,t);\qquad F\circ\Phi^{-1}(x,y)=\bigl(x,f(x,y)\bigr);
\\
f(3t^2,t)=-2t^3.
\endgathered\tag1
$$

Osserviamo ora che, la matrice jacobiana di $F\circ\Phi^{-1}$ ha la
forma:
$$
J(F\circ\Phi^{-1})(x,y)=
\pmatrix 
1      & &            0
\\ & & \\
\star  & & \dfrac{\de f}{\de y}(x,y)
\endpmatrix
$$
e quindi, poich\`e $d(F\circ\Phi^{-1})(3t^2,t)$ \`e singolare,
risulta anche:
$$
\frac{\de f}{\de y}(3t^2,t)=0.\tag2
$$
Ma allora dalle \thetag1 segue che per $f$ si pu\`o trovare una
scrittura del tipo:
$$
\aligned
f(x,y)&=f(x-3y^2+3y^2,y)=f(3y^2,y)+(x-3y^2)g(x,y)=
\\
&=-2y^3+(x-3y^2)g(x,y);
\endaligned\tag3
$$
e quindi:
$$
\frac{\de f}{\de y}(x,y)=-6y^2-6yg(x,y)+(x-3y^2)\frac{\de g}{\de y};
$$
da cui, utilizzando la \thetag2, si ottiene:
$$
0=-6t^2-6tg(3t^2,t);
$$
ovvero $g(3t^2,t)=-t$.

Con lo stesso procedimento usato poco fa
per $f$, si ottiene allora per $g$ una scrittura del tipo:
$$
g(x,y)=-y+(x-3y^2)h(x,y)
$$
che sostituita nella \thetag3 produce, l'espressione:
$$
f(x,y)=y^3-xy+(x-3y^2)^2h(x,y).\tag4
$$

Quello che dobbiamo trovare, \`e quindi un germe di diffeomorfismo
$\Psi=(\Psi_1,\Psi_2)$ tale che $G\circ\Psi=F\circ\Phi^{-1}$ ovvero tale
che risolva il sistema:
$$
\cases
\Psi_1(x,y)=x
\\
\bigl(\Psi_2(x,y)\bigr)^3-\Psi_1(x,y)\Psi_2(x,y)=y^3-xy+(x-3y^2)^2h(x,y);
\endcases
$$
che si riduce immediatamente all'equazione:
$$
\bigl(\Psi_2(x,y)\bigr)^3-x\Psi_2(x,y)=y^3-xy+(x-3y^2)^2h(x,y).\tag4
$$

Osserviamo ora che se un tale germe esiste, necessariamente deve
essere l'identit\`a sul luogo critico, da cui si deduce che
$\Psi_2(3t^2,t)=t$, quindi esiste un germe $k(x,y)$ tale che:
$$
\Psi_2(x,y)=y+(x-3y^2)k(x,y).
$$
Sostituendo questa espressione nell'equazione \thetag4, quest'ultima
si riduce a:
$$
(x-3y^2)^2\bigl[(x-3y^2)k^3+3yk^2-k\bigr]=(x-3y^2)^2h(x,y)
$$
ovvero:
$$
Z(x,y,k)=(x-3y^2)k^3+3yk^2-k-h(x,y)=0.
$$

Dato che ${\de Z}/{\de k}\bigl(0,0,h(0,0)\bigr)=-1$, si pu\`o applicare il
teorema della funzione implicita alla funzione $Z$, deducendone che
esiste un unico germe $k(x,y)$ tale che:
$$
Z\bigl(x,y,k(x,y)\bigr)=0,
$$
da cui la tesi.
\finedim

Prima di procedere, facciamo alcune osservazioni sul lemma appena
dimostrato.
\rem.
Innanzitutto osserviamo che la seconda delle ipotesi \`e stata usata
soltanto nella dimostrazione del primo caso; ci\`o segue dal fatto
che nel caso delle cuspidi, il lato indotto da un'applicazione
generica \`e diretto verso l'interno della cuspide e quindi i lati
indotti dai due germi devono forzatamente coincidere.
\finenu
\rem\remequnic
Osserviamo ancora che, sempre nel caso delle cuspidi, si ottiene,
oltre all'esistenza di un germe di diffeomorfismo tale che
$F\circ\Phi=G$, anche l'unicit\`a di un tale germe. Invece, nel caso
della piega semplice, tale unicit\`a non vale, in quanto anche il
germe:
$$
\Phi_2(x,y)=\left(x,-y\sqrt{a(x)+yh(x,y)}\right)
$$
fa concludere la dimostrazione. Quindi, per le pieghe semplici, non
abbiamo unicit\`a, tuttavia non \`e difficile vedere che esistono
esattamente due germi (e precisamente i due menzionati
rispettivamente nella dimostrazione e qui sopra) che realizzano
l'equivalenza destra, distinti dal fatto di conservare o meno
l'orientazione.
\finenu

\prop\proplocequiv
Sia $\curvan$ una curva con cuspidi e nodi e siano date
$F,G\colon\ESSE^1\times[-1,1]\to\ENNE$ [risp. $F,G\colon M\to\ENNE$]
due estensioni generiche di $f$. Allora $F$ e $G$ sono localmente
equivalenti a destra, in un intorno di $\ESSE^1$, se e solo se inducono
lo stesso insieme di deformazione e lo stesso lato.
\finenu
\dim
Siano $\{U_i\}_{i=1,\dots,n}$ e $\{V_i\}_{i=1,\dots,n}$ due
ricoprimenti finiti di $\ESSE^1$ con dei diffeomorfismi $\Phi_i\colon
U_i\to V_i$ tali che $\ristr F{U_i}=\ristr G{U_i}\circ\Phi_i$; tali
intorni e diffeomorfismi esistono per il lemma precedente. Possiamo
supporre anche che:
$$
\forall\puad i\ne j\qquad
\left\{\gathered
U_i\cap U_j\ne\vuoto
\\
V_i\cap V_j\ne\vuoto
\endgathered\right.
\iff \left|i-j\right|\equiv1\quad\mod n
$$
e che per ogni punto di cuspide $p_\ell$ esistano unici $U_{i_\ell}$ e
$V_{i_\ell}$ tali che $p_\ell\in U_{i_\ell}$ e $p_\ell\in V_{i_\ell}$.

Ricordiamo che per gli intorni delle cuspidi, il diffeomorfismo
$\Phi_{i_\ell}\colon U_{i_\ell}\to V_{i_\ell}$
\`e univocamente determinato, mentre per i rimanenti si hanno
esattamente due possibilit\`a (Osservazione~\lapa{remequnic}).

Sar\`a sufficiente provare che \`e possibile scegliere i
diffeomorfismi, che non sono univocamente determinati, in modo che:
$$
\forall\puad i\qquad \ristr{\Phi_i}{U_i\cap U_{i+1}}=
\ristr{\Phi_{i+1}}{U_i\cap U_{i+1}}.
$$

Se consideriamo questi intorni e diffeomorfismi, definiti su
$\ERRE\times[-1,1]$ (il rivestimento universale di
$\ESSE^1\times[-1,1]$ [risp. $M$]) osserviamo che la condizione che le
due estensioni inducano lo stesso insieme di deformazione a meno di
complementazione, implica, alla luce di Osservazione~\lapa{remlatind},
che i diffeomorfismi attorno ai punti di cuspide o conservano tutti
l'orientazione o tutti la rovesciano. \`E allora sufficiente prendere
i diffeomorfismi indeterminati in modo da conservare o rovesciare
l'orientazione concordemente a quanto succede attorno alle cuspidi.
La ``quasi unicit\`a'' locale di tali germi (cfr.
Osservazione~\lapa{remequnic}), garantisce allora che tutti i
diffeomorfismi si incollano per dare il diffeomorfismo cercato.
\finedim

\rem.
Osserviamo che l'ipotesi che $F$ e $G$ inducano lo stesso lato serve
soltanto se tali applicazioni non hanno cuspidi, in quanto se hanno
almeno una cuspide, necessariamente i lati indotti sono diretti verso
l'interno delle cuspidi (cfr. Proposizione~\lapa{proplatcoer}) e
quindi coincidono.
\finenu

Dai Lemmi~\lapa{lemdefun}, \lapa{lemdefdu} e
Proposizione~\lapa{proplocequiv} segue immediatamente:

\prop.
Sia $\kcurvan$ una $k$--curva con un lato coerente. Le classi di
locale (attorno $\amalg\ESSE^1$) equivalenza destra di estensioni
$F\colon\coprod_{h=1}^kM_h\to\ENNE$ che inducono il lato di $f$ (dove
gli $M_h$ sono cilindri o nastri di M\oe bious) sono in corrispondenza
biunivoca con le coppie di deformazione $(D,H)$ a meno della relazione
di equivalenza $(D,H)\sim(D',H)$, dove $D'$ \`e come in
Osservazione~\lapa{remstescopdef}.
\finenu

%\def\nomefile{par23.tex}

\para{Numero di rotazione\\di curve con cuspidi}{rotcc}

In questa sezione $\kcurvan$ sar\`a una $k$--curva con cuspidi e nodi
munita di un lato, non necessariamente coerente, ed $X$ un campo su
$\ENNE$ con un unico zero in un fissato punto $\infty\notin\G$.

Denotiamo con $f_*$ la curva generica ottenuta deformando $f$
all'intorno di ogni cuspide, nel modo suggerito in \lafig{fi8}. Con
la notazione introdotta in \ilpara{estloc}, evidentemente risulta
$f_*=\coprod_{h=1}^k(f_h)^*_{\Cal C,1}$. Dato che, se
$f$ ha un lato, anche le curve ottenute deformando $f$ ne hanno uno
canonicamente definito (vedi \lafig{fi13}) ha senso porre la seguente
definizione:
\defi.
Chiameremo numero di rotazione di $f$ rispetto ad $X$ il numero:
$$
R_X(f)=R_X(f_*),
$$
dove $f_*$ si considera munita del lato indotto da $f$
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\vcenter{\figuraps fi8,40,0,600,1,}
\qquad\qquad
\vcenter{\figuraps fi13,60,0,1000,1,}
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\lem.
Sia $\curvan$ una curva con cuspidi ed un lato fissato, e sia
$D\subseteq\C$. Allora:
$$
R_X(f^{**}_D)=R_X(f^*_D)=2R_X(f)-c^-+c^+;
$$
dove $c^+$ e $c^-$ denotano rispettivamente il numero di cuspidi
positive e negative.
\finenu
\dim
L'uguaglianza a sinistra segue da Proposizione~\lapa{proprotd}.
D'altra parte, poich\`e $f^*_{D,1}$ [risp. $f^*_{D,2}$] \`e ottenuta
da $f_*$ aggiungendo degli occhielli nell'in\-tor\-no delle cuspidi in
$\C-D$ [risp. $D$], negativi nell'intorno delle cuspidi negative
positivi nell'intorno delle cuspidi positive, denotando con
$c_{\C-D}^\pm$ [risp. $c_{D}^\pm$] il numero di cuspidi positive e
negative presenti in $\C-D$ [risp. $D$], ed usando
Proposizione~\lapa{proprotd} ed Osservazione~\lapa{remrotdisc} , come
nella dimostrazione di Lemma \lapa{lemocchielli}, si ha:
$$
\gather
R_X(f^*_{D,1})=R_X(f_*)+c_{\C-D}^+-c_{\C-D}^-,
\quad
R_X(f^*_{D,2})=R_X(f_*)+c_{D}^+-c_{D}^-.
\endgather
$$
Tali relazioni, sommate, danno evidentemente la tesi.
\finedim

\lem\lemrotdef
Sia $\kcurva$ una curva con cuspidi, e sia $(D,H)$ una coppia di
deformazione.
Allora:
$$
R_X\bigl(f_{(D,H)}\bigr)=2R_X(f)-c^-+c^+.
$$
\finenu
\dim
Segue in modo ovvio dal lemma precedente.
\finedim

\prop\proprot
Siano $F\colon S\to\ERRE^2$ una applicazione generica, $\Sigma$ il
suo luogo critico. Dotando $\ristr F\Sigma$ del lato indotto da $F$,
risulta:
$$
2R_X\bigl(\ristr F\Sigma\bigr)-c=\ch(S)-\beta\ch(\ENNE);
$$
dove $\ch$ denota la caratteristica di Eulero, $c$ il numero di
cuspidi e $\beta$ il numero di elementi di $F^{-1}(\infty)$.
\finenu
\dim
Chiamiamo $f=\ristr F\Sigma$. Osserviamo innanzitutto che per
Proposizione~\lapa{proplatcoer}, tutte le cuspidi sono negative,
quindi, se $(D,H)$ \`e la coppia di deformazione indotta da $F$, per
il lemma precedente si ha:
$$
R_X\bigl(f_{(D,H)}\bigr)=2R(f)-c.\tag1
$$

Ma ora, sia $U$ un intorno tubolare di $\Sigma$ tale che $\ristr F{\de
U}=f_{(D,H)}$, per come \`e definito il lato indotto da $F$ su $\ristr
F\Sigma$, e come da questo se ne induce un lato su $f_{(D,H)}$, risulta
evidentemente che tale lato su $f_{(D,H)}$ coincide con quello
indotto dall'immersione $\ristr F{S-U}$. Dato che
$F^{-1}(\infty)=\bigl(\ristr F{S-U}\bigr)^{-1}(\infty)$, da
Proposizione~\lapa{rotcar} segue allora che:
$$
R_X\bigl(f_{(D,H)}\bigr)=\ch(S-U)-\beta\ch(\ENNE).\tag2
$$
Ma la superficie $S$ \`e ottenuta attaccando un numero finito di
cilindri e nastri di Moebious al bordo di $S-U$, e pertanto
$\ch(S)=\ch(S-U)$.  Da questo fatto e dalle \thetag1 e \thetag2 segue
allora la tesi.
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi14,40,20,1000,
%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\rem.\parfigura1
La proposizione precedente fornisce un'altra condizione necessaria,
oltre a quella gi\`a fornita da Proposizione~\lapa{proplatcoer},
affinch\`e una $k$--curva sia estendibile ad una applicazione generica
$F\colon S\to\ENNE$.  Non \`e per\`o difficile costruire esempi di
curve che verificano entrambe queste condizioni, ma che non sono
estendibili ad applicazioni generiche. Si consideri ad esempio la
curva piana in \lafig{fi14}, con il lato rivolto verso l'interno della
cuspide. Identifichiamo la sfera $\ESSE^2$ con
$\ERRE^2\cup\{\infty\}$, la compattificazione di Alexandroff del piano. Non \`e
difficile vedere che se $X$ \`e un campo con un unico zero in
$\infty$, allora $R_X(f)=1$ e quindi $2R_X(f)-c=1$.  D'altra parte \`e
facile vedere che non esiste alcuna applicazione di $\ERRE\PP^2$
(l'unica superficie con caratteristica di Eulero 1) in $\ESSE^2$, che
abbia tale curva come contorno apparente e tale che
$F^{-1}(\infty)=\vuoto$.
\finenu
\rem.
Dalla Proposizione~\lapa{proprot} si ritrova immediatamente un
classico teorema di Ren\'e Thom \cite T, che asserisce che la parit\`a
del numero delle cuspidi del contorno apparente di una applicazione
generica $F:S\to\ERRE^2$ \`e uguale alla parit\`a della caratteristica
di Eulero della superficie $S$, ossia, con le notazioni da noi
introdotte:
$$
\ch(S)\equiv c\qquad(\text{mod. }2).
$$
Questo segue dal fatto che una applicazione a valori in $\ERRE^2$
pu\`o essere letta a valori nella sfera $\ESSE^2$, tale che
$F^{-1}(\infty)=\vuoto$ e per una tale applicazione si ha:
$2R_X(f)-c=\ch(S)-\beta\ch(\ESSE^2)=\ch(S)$;
da cui segue ovviamente la tesi.
\finenu
Sempre da Proposizione~\lapa{proprot} \`e immediato dedurne un
rafforzamento del gi\`a citato teorema di Thom:
\teo.
Sia $F:S\to\ENNE$ un'applicazione generica, allora:
$\ch(S)\equiv c\ (\text{mod. }2)$
se e solo se o $\ch(\ENNE)$ \`e pari, oppure $\deg_2(F)=0$; dove
$\deg_2$, indica il grado modulo due.
\finenu
\dim
Sia $\infty$ un fissato punto in $\ENNE-\G$.
Dalla relazione in Proposizione~\lapa{proprot} segue immediatamente
che $\ch(S)\equiv c\qquad(\text{mod. }2)$ se e solo se
$\beta\ch(\ENNE)$ \`e pari; ossia se e solo se $\ch(\ENNE)$ o
$\beta$ \`e pari. D'altra parte, visto che $\infty$ \`e un valore
regolare per $F$, per definizione di grado modulo due si ha che
$\beta=\#F^{-1}(\infty)$ \`e pari se e solo se $\deg_2(F)=0$; ossia
la tesi.
\finedim
Per una definizione di grado modulo due si veda ad esempio \cite{Mil}.

%\def\nomefile{par24.tex}

\para{Parola di una curva con cuspidi}{parasscc}
\defi\defsisegcc
Sia $\kcurvan$ una $k$--curva con cuspidi e sia $\infty\in\ENNE$ un
punto fissato, non appartenente al supporto $\G$ di $f$; chiameremo
insieme di segmenti per $f$ un insieme di archi lisci $R=A\cup
B\cup\Omega$, con $A=\{\a_i\}_{i\in I}$, $B=\{\beta_i\}_{i\in I'}$ e
$\Omega=\{\omega_i\}_{i\in I''}$ tali che:
\roster
\item
ogni $\a_i\in A$ \`e un arco orientato in $\ENNE$, diffeomorfo ad un
intervallo chiuso della retta reale con il punto iniziale in una
componente connessa di $\ENNE-\G$, ed il punto finale in $\infty$;
\item
ogni $\beta_i\in B$ \`e un arco orientato in $\ENNE$, diffeomorfo ad un
intervallo chiuso della retta reale con il punto iniziale in una
cuspide di $\G$, ed il punto finale in $\infty$;
\item
gli $\omega_j$ sono dei rappresentanti lisci (diffeomorfi ad $\ESSE^1$)
di un sistema minimale di generatori di $\pi_1(\ENNE,\infty)$;
\item
due archi diversi si intersecano soltanto in $\infty$;
\item
gli archi $r\in R$ sono in posizione generica rispetto a $\G$, ovvero:
\itemitem{\it i)}
ogni arco $\a_i$ ed $\omega_i$ \`e trasversale a $\G$ ed ogni
$\beta_i$ \`e trasversale a $\G$ tranne, ovviamente, nel punto di
partenza;
\itemitem{\it ii)}
i $\beta_i$ sono diretti verso l'esterno della cuspide da cui partono;
\itemitem{\it iii)}
nessun arco di $R$ contiene incroci di $\G$.
\endroster
Diremo che $R$ \`e un sistema di segmenti per $f$ se in pi\`u:
\roster
\item[6]
da ogni componente connessa limitata di $\ENNE-\G$ parte almeno un arco
$\a_i$ e da ogni cuspide parte almeno un arco $\beta_i$.
\endroster
\finenu
Denoteremo indifferentemente con $R$, $A$, $B$ ed $\Omega$ sia gli
insiemi di archi appena definiti sia gli insiemi definiti dei punti
che costituiscono tali archi.
\bigbreak
Supponiamo ora che la curva $f$ abbia un lato, non necessariamente
coerente, conveniamo di chiamare sinistra della curva la parte
marcata dal lato.
\defi.
Sia $r\in R$, un punto di $r\cap\G$, che non sia una cuspide, sar\`a
detto positivo se il segmento $r$ attraversa la curva da sinistra verso
destra; sar\`a invece detto negativo nell'altro ca\-so. I punti di
cuspide saranno detti positivi o  negativi concordemente a
Definizione~\lapa{defilatocon}.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figpar2,70,0,1000,
%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\metti{$\ssize e=-1$}{19}{85}
\metti{$\ssize e=1$}{67}{85}
\metti{$\ssize e=-1$}{19}{32}
\metti{$\ssize e=1$}{67}{32}
\metti{$\ssize \mu=-1$}{33}{78}
\metti{$\ssize \mu=-1$}{80}{78}
\metti{$\ssize \mu=1$}{33}{23}
\metti{$\ssize \mu=1$}{80}{23}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Analogamente\parfigura1\ a quanto fatto in \ilpara{pass}, fissiamo un
intorno, $U_\infty$, di $\infty$ che non contenga punti di $\G$, per
ogni $r\in R$ fissiamo un intorno orientabile, $U_r$, di $r-U_\infty$ in
$\ENNE-U_\infty$ sul quale scegliamo una orientazione ed assegniamo
dei nomi $\xijm$ ai punti di $(A\cup\Omega)\cap\G$, $\yijm$ ai punti
di $B\cap\G$ con le stesse regole usate in \ilpara{pass}.
eccetto per il primo punto di $\beta_i\cap\G$, per il quale conveniamo che:
\roster\arf
\item""
il segno ausiliario $\mu$ sia positivo o negativo, secondo che la curva
attraversi il segmento da sinistra a destra o da destra a sinistra,
\endroster
ovvero per i punti di cuspide la convenzione per l'assegnazione del
segno $\mu$ \`e l'opposto di quella per tutti gli altri punti. (cfr
\lafig{figpar1} di \ilpara{pass} e \lafig{figpar2})

Alla $k$--curva con cuspidi $f$ si associa quindi un insieme di $k$
parole, nelle lettere $\xijm$, $\yijm$, con lo stesso procedimento
usato per le curve con solo nodi (cfr. \ilpara{pass}).
\elle=0
\defi.
Chiameremo $k$--parola della $k$--curva con cuspidi $f$,
rispetto all'insieme di segmenti $R$, l'insieme 
$\KW$
ottenuto con tale procedimento.
\finenu
\rem.
Chiaramente, la $k$--parola di una $k$--curva con cuspidi dipende
dalla scelta dei punti base (la scelta di un diverso punto base sulla
componente $\G_h$ altera la parola $w_h$ per l'azione di una
permutazione ciclica) ed ancor pi\`u dalla scelta dell'insieme di
segmenti; quindi, quando si parler\`a di ``parola di una curva'' si
sottintender\`a ``rispetto ad un fissato insieme di segmenti ed a meno
di permutazioni cicliche''.
\finenu

Siano $\curvan$ una curva con cuspidi e $w$ una sua parola. Sia
$D\subseteq\C$ un sottoinsieme dell'insieme delle
cuspidi.
\defi.
Chiameremo $D$--deformazioni di primo e secondo tipo di
$w$ rispettivamente le parole $w^*_D=\{w^*_{D,1},w^*_{D,2}\}$ e $w_D^{**}=w^*_{D,1}w^*_{D,2}$, dove $w^*_{D,1}$ \`e
ottenuta da $w$ cancellando tutte le lettere $y_{i,1,\mu}^e$
corrispondenti ai segmenti $\beta_i$ uscenti dalle cuspidi in $D$, e
$w^*_{D,2}$ \`e ottenuta da $w$ cancellando tutte le altre lettere
$y_{i,1,\mu}^e$.
\finenu
Siano $\kcurvan$ una $k$--curva con cuspidi, $\KW$ una
$k$--parola per $f$, $D\subseteq\C$ un sottoinsieme
dell'insieme delle cuspidi ed infine $H=\{H_1,H_2\}$ una
partizione dell'insieme $\{1,2,\dots,k\}$.
\defi.
Chiameremo $(D,H)$--deformazione di $w$ la
$k_H$--parola 
$$
w_{(D,H)}=\bigl\{(w_h)^*_D\bigm|h\in
H_1\bigr\}{\tsize\coprod}\bigl\{(w_h)^{**}_D\bigm|h\in
H_2\bigr\},
$$
essendo $k_H=2\#H_1+\#H_2$, come in Definizione~\lapa{defdhdefcurva}.
\finenu

\rem\remsisseg
Dato un sistema di segmenti $R$, osserviamo che, per ogni coppia di
deformazione $(D,H)$ come sopra, i segmenti di $R$ verificano le
condizioni \therosteritem1 -- \therosteritem4 di
Definizione~\lapa{defsisseg} relativamente alla $(D,H)$--deformazione
$f_{(D,H)}$ della $k$--curva con cuspidi $f$, o meglio, la
deformazione pu\`o essere effettuata in modo che $R$ verifichi tali
propriet\`a, cosa questa che d'ora in poi supporremo sempre di fare, e
quindi $R$ \`e un insieme di segmenti per $f_{(D,H)}$. L'unica cosa
che impedisce ad $R$ di essere un sistema di segmenti per $f_{(D,H)}$,
\`e che da qualche componente connessa limitata di $\ENNE-\G_{(D,H)}$
non parte alcunun segmento di $R$. Vedremo nella prossima sezione che,
in ogni caso, $R$ risulta essere un sistema di segmenti ridotto per
$f_{(D,H)}$ (cfr.  Definizione~\lapa{sisegrid} e
Proposizione~\lapa{propassass}).
\finenu

%\def\nomefile{par25.tex}

\para{Assemblaggi ed enunciato\\del Teorema di estensione}{asstecc}

\defi\defass
Siano $\kcurvan$ una $k$--curva con cuspidi, $R$ un insieme di
segmenti per $f$ e $\KW$ una $k$--parola per $f$. Chiameremo
$\beta$--assemblaggio per $w$ una coppia $\bold
A=\bigl((D,H),\la\bigr)$ dove $(D,H)$ \`e una coppia di deformazione
ed $\la$ \`e un $\beta$--assemblaggio per $w_{(D,H)}$ nel senso dato
dalla Definizione~\lapa{defassb} del capitolo precedente.
Denoteremo con $\Cal A^\beta(w)$ l'insieme dei $\beta$--assemblaggi
di $w$.
\finenu

Notiamo che nella parola deformata $w_{(D,H)}$ tutte le lettere $\xijm$ ed
$\yijm$, tranne le lettere $y_{i,1,\mu}^e$, compaiono esattamente due
volte. Nella definizione precedente ed in quanto segue, queste due
copie della stessa lettera devono essere considerate come due lettere
distinte.

\defi.
Dato un $\beta$--assemblaggio $\A=\bigl((D,H),\la\bigr)$ chiameremo
grafo associato ad $\A$ il $(k_H+\beta)$--\gcp\ $G(\A)=G(\la)$ (cfr.
Definizione~\lapa{defgrass}).

Chiameremo rispettivamente numero di componenti, genere e genere
pesato di $\A$ i numeri:
$$
l(\A)=l\bigl(G(\A)\bigr)=l(\la),\quad g(\A)=g\bigl(G(\A)\bigr)=g(\la),\quad h(\A)=h\bigl(G(\A)\bigr)=h(\la).
$$
(Cfr. Definizione \lapa{defgeass} e \ilpara{gcpesati}).
\finenu

Vediamo ora in che modo gli assemblaggi appena definiti sono legati
agli assemblaggi definiti per parole di curve generiche.

\prop\propassass
$R$ \`e un sistema ridotto di segmenti per $f_{(D,H)}$ {\rm (cfr.
\ilpara{plemmi} e \ilpara{estloc})}.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi9nu,73,0,1000,%\rete
\metti{$\ssize+$}{68}{69}
\metti[1000]{$\ssize+$}{907}{573}
\metti[1000]{$\ssize+$}{455}{560}
\metti[1000]{$\ssize+$}{725}{105}
\metti{$\ssize+$}{76}{78}
\metti[1000]{$\ssize+$}{745}{910}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\dim \parfigura1
Abbiamo gi\`a visto in Osservazione~\lapa{remsisseg}, che i segmenti
di $R$ sono in posizione generica rispetto a $f_{(D,H)}$ e quindi $R$
\`e un insieme di segmenti per $f_{(D,H)}$ (cfr. Definizione
\lapa{defsisseg}).  Osserviamo ora che le componenti connesse di
$\ENNE-\G_{(D,H)}$ sono essenzialmente quelle di $\ENNE-\G$, da cui
parte sicuramente un segmento di $R$, pi\`u quelle generate dalla
deformazione che sono di tre tipi:
\roster
\item
comprese tra due rami paralleli;
\item
comprese tra due coppie trasversali di rami paralleli;
\item
delimitate dall'occhiello attorno alle cuspidi.
\endroster
%\par
%\noindent
Osserviamo che dalle componenti del terzo tipo parte il segmento
uscente dalla cuspide corrispondente, dalle altre, invece, non parte
nessun segmen\-to; tuttavia, dato che tali componenti sono delimitate da
rami paralleli di $f_{(D,H)}$ aventi il lato rivolto dalla stes\-sa
parte, \`e possibile uscirne con una prima intersezione positiva (vedi
\lafig{fi9nu}).
\finedim

\rem\ossparole
Sia $\ttilde w_{(D,H)}$ la parola per $f_{(D,H)}$ determinata dal
sistema ridotto di segmenti $R$. \`E immediato verificare che $\ttilde
w_{(D,H)}$ \`e ottenuta da $w_{(D,H)}$ rinumerando i secondi indici
delle lettere in modo che le due lettere uguali in $w_{(D,H)}$,
abbiano i secondi indici consecutivi e che venga mantenuto l'ordine
preesistente, nel senso che due lettere con primo indice
uguale e secondi indici uno minore dell'altro, avranno ancora lo
stesso primo indice e secondi indici uno minore dell'altro.

Osserviamo allora che se $\Ass$ \`e un $\beta$--assemblaggio per la
parola $w$, l'insieme $\la$ definisce in modo ovvio un
$\beta$--assemblaggio $\ttilde{\la}_{\A}$ per la parola $\ttilde
w_{(D,H)}$ che ha stesso genere e stesso numero di componenti di $\A$,
d'altra parte, visto che le lettere, che in $w_{(D,H)}$ hanno stessi
indici, hanno ovviamente anche lo stesso esponente, le corrispondenti
lettere di $\ttilde w_{(D,H)}$ non possono essere appaiate da nessun
$\beta$--assemblaggio. In altre parole vale la seguente:
\finenu
\prop\propbigeass
L'applicazione $\A\mapsto\ttilde{\la}_{\A}$ mette in bigezione i
$\beta$--assemblaggi di $w$ della forma $\bigl((D,H),\la\bigr)$ con gli
assemblaggi di $\ttilde w_{(D,H)}$, ed in pi\`u $\A$ ed
$\ttilde{\la}_{\A}$ hanno stesso genere e stesso numero di componenti.
\finenu

Come corollario si ha la seguente proposizione:
\prop\proprotasscusp
Sia $\kcurva$ una curva con cuspidi, siano $w$ una
parola per $f$ ed $\Ass$ un $\beta$--assemblaggio per $w$. Allora:
$$
2R(f)-c_-+c_+\ge2l(\A)-k_H-h(\A)-\beta\ch(\ENNE).
$$
\finenu
\dim
Dall'osservazione precedente e da Proposizione~\lapa{disugassrotb},
che, in virt\`u di Osservazione~\lapa{ossgener}, si applica ai
$\beta$--assemblaggi di $\ttilde w$, si ha:
$$
R(f_{(D,H)})\ge2l(\lat_{\A})-k_H-h(\lat_{\A})-\beta\ch(\ENNE).
$$
Si conclude quindi, usando Lemma~\lapa{lemrotdef}.
\finedim

\defi.
Un $\beta$--assemblaggio per $w$ sar\`a detto minimale, se e solo se:
$$
2R(f)-c_-+c_+=2l(\A)-k_H-h(\A)-\beta\ch(\ENNE).
$$
Denoteremo con $\Cal A_m^\beta(w)$ l'insieme dei $\beta$--assemblaggi
minimali di $w$.
\finenu

Da Osservazione~\lapa{ossparole} e Proposizione~\lapa{propbigeass}
seguono evidentemente le proposizioni:
\prop.
Un $\beta$--assemblaggio $\A$ \`e minimale se e solo se $\lat_{\A}$
\`e minimale.
\finenu

\prop\propbigeassmin
L'applicazione $\A\mapsto\lat_{\A}$ mette in corrispondenza biunivoca
i $\beta$--assemblaggi minimali di $w$ del tipo $\Ass$ con i
$\beta$--assemblaggi minimali della parola $\ttilde w_{(D,H)}$.
\finenu
\bigbreak

Sia $w$ una $k$--parola per $\kcurvan$, e supponiamo che la componente
$h$--esima di $f$ non contenga cuspidi (che sulla parola $w$ si legge
dal fatto che $w_h$ non contiene nessuna lettera $y_{i,1}^{e}$). Sia
$(D,H)$ una coppia di deformazione e sia $w_{(D,H)}$ la parola
deformata. Osserviamo allora che
$(w_h)^*_{D,1}=(w_h)^*_{D,2}=w_h$, possiamo pertanto considerare
l'involuzione:
$$
\iota_h\colon\{\text{lettere di $w_{(D,H)}$}\}\tto\{\text{lettere di
$w_{(D,H)}$}\}
$$
che scambia tutte le lettere di $(w_h)^*_{D,1}$ con quelle di
$(w_h)^*_{D,2}$ e lascia ferme tutte le altre.

Se $\Ass$ \`e un $\beta$--assemblaggio per $w$, indicheremo con
$\iota_h\A$ il $\beta$--assemblag\-gio definito dalla coppia
$\bigl((D,H),\iota_h\la\bigr)$ dove
$$
\iota_h\la=\bigl\{\{\iota_h(z_{i,j,\mu}^{-1}),\iota_h(z_{i,j',\mu'})\}
\bigm|\{z_{i,j,\mu}^{-1},z_{i,j',\mu'}\}\in\la\bigr\}.
$$

\defi.
Due $\beta$--assemblaggi $\A$, $\A'\in\Cal A^\beta(w)$ saranno
detti $\iota$--equivalenti se e solo se esistono involuzioni
$\iota_{h_1},\dots,\iota_{h_n}$ tali che:
$$
\A'=\iota_{h_n}\dots\iota_{h_1}\A.
$$
Denoteremo con il simbolo $\A\jeq\A'$ la relazione di $\iota$--equivalenza.
\finenu

\defi.
Due $\beta$--assemblaggi $\Ass$ ed $\A'=\bigl((D',H'),\la'\bigr)$
saranno detti $\delta$--equivalenti se e solo se $D'$ \`e ottenuto da
$D$ come in Osservazione~\lapa{remstescopdef} ed $\la=\la'$.
Denoteremo con il simbolo $\A\deq\A'$ la relazione di
$\delta$--equivalenza. Denotermo, inoltre, con il simbolo $\jdeq$ la
relazione generata dalla $\delta$ e dalla $\iota$ equivalenza.
\finenu

Evidentemente, analogamente a quanto visto in \ilpara{pass}, anche
sull'insieme $\Cal A^\beta(w)$ dei $\beta$--assemblaggi di $w$ si ha
un'azione del gruppo simmetrico $\frak S_\beta$, e precisamente ponendo
$\sigma\A=\bigl((D,H),\sigma\la\bigr)$, per ogni $\beta$--assemblaggio
$\Ass$ di $w$ (cfr. \ilpara{pass}).

\rem.
\`E evidente che dati due assemblaggi $\A\jdeq\A'$, allora $\A$ \`e minimale,
se e solo se $\A'$ \`e minimale, e che un assemblaggio $\A$ \`e
minimale se e solo se anche $\sigma\A$ lo \`e, per ogni
$\sigma\in\frak S_\beta$ (cfr. \lapa{propgesigma}). Quindi la
relazione $\jdeq$ e l'azione di $\frak S_\beta$ possono essere
considerate ristrette a $\Cal A^\beta_m(w)$.
\finenu

\defi.
Chiamiamo equivalenza, e la denoteremo con $\sim$, la
relazione d'equivalenza sull'insiame $\Cal A_m^\beta(w)$ generata
dall'azione di $\frak S_\beta$ e dalla relazione $\jdeq$.
\finenu

Detto $E^\beta(f)$ l'insieme delle estensioni generiche $F$ di $f$
tali che $F^{-1}(\infty)$ \`e costituito da $\beta$ punti,
dimostreremo il seguente teorema:

\enu{Teorema (di estensione)}\teoprincip
Sia $\kcurvan$ una $k$--curva con cuspidi e nodi e sia $w$ una parola
definita a partire da un sistema di segmenti per $f$. Allora l'insieme
$\bigl.E^\beta(f)\bigr/\vphantom{I}_{\!\text{r--equivalenza}}$ \`e in
bigezione con l'insieme $\bigl.\Cal
A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\sim}$ dei $\beta$--assemblaggi
minimali di $w$, modulo equivalenza.
\finenu

Prima di dimostrare il teorema, premettiamo alcune considerazioni del
tutto elementari.

\prop.
Siano $\A$, $\A'\in\Cal A^\beta(w)$, tali che $\A\jeq\A'$ e
$\sigma\in\frak S_\beta$. Allora:
$$
\sigma\A\jeq\sigma\A'.
$$
\finenu
\dim
Siano $\iota_{h_1},\dots,\iota_{h_n}$ tali che
$\iota_{h_n}\dots\iota_{h_1}\A=\A'$, allora, dato che le involuzioni
$\iota_h$ agiscono in modo non banale soltanto su lettere della parola
$w_{(D,H)}$ mentre la permutazione $\sigma$ agisce in modo non banale
soltanto su lettere delle parole $u_1,\dots,u_\beta$ che formano la
$\beta$--espansione di $w_{(D,H)}$ (cfr. \ilpara{pass}), risulta
evidentemente che:
$$
\sigma\A'
=\sigma\iota_{h_n}\dots\iota_{h_1}\A=\iota_{h_n}\dots\iota_{h_1}\sigma\A.
$$
Da cui la tesi.
\finedim

\prop.
Siano $\A$, $\A'\in\Cal A^\beta(w)$, tali che $\A\deq\A'$ e
$\sigma\in\frak S_\beta$. Allora:
$$
\sigma\A\deq\sigma\A'.
$$
\finenu
\dim
Evidente dalle definizioni.
\finedim
\rem\penultima
Dalle due Proposizioni precedenti, segue che se
$\A\jdeq\A'$ allora anche $\sigma\A\jdeq\sigma\A'$ per ogni
$\sigma\in\frak S_\beta$ e che:
$$
\A\sim\A'\iff\exists\puad\sigma\in\frak S_\beta:\sigma\A\jdeq\A'.\tag1
$$
Nel seguito denoteremo con lo stesso simbolo $\jdeq$ anche la relazione
d'equivalenza su $\bigl.\Cal
A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak S_\beta}$, quoziente
della relazione d'equivalenza $\sim$, che, per quanto appena osservato,
\`e tale che:
$$
\class\A\jdeq\class{\A'}\iff\exists\puad\sigma\in\frak
S_\beta:\sigma\A\jdeq\A',\tag2
$$
dove con $\class\A$ indichiamo la classe di $\A$ in $\bigl.\Cal
A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak S_\beta}$.

Evidentemente risulta:
$$
\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\sim}
=
\left.\Big(\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize \frak S_\beta}\Big)\right/
%\vphantom{\Big)}
_{\!\tsize\jdeq}.
$$
\finenu

\rem\ultima
Sia $w_{(D,H)}$ una deformazione di $w$ e sia $\ttilde w_{(D,H)}$ la
parola per $f_{(D,H)}$ determinata dal sistema di segmenti ridotto per
$f_{(D,H)}$, $R$. Sia $\A\in\Cal A^\beta_m(w)$ un assemblaggio della
forma $\bigl((D,H),\la\bigr)$ e sia $\lat_\A\in\Cal A^\beta_m(\ttilde
w_{(D,H)})$ l'assemblaggio corrispondente (cfr. \lapa{ossparole}).
Dalle definizioni segue immediatamente che per ogni $\sigma\in\frak
S_\beta$ e per ogni $\A\in\Cal A^\beta(w)$ risulta
$\sigma\lat_A=\lat_{\sigma\A}$.

Da questo fatto si deduce allora che l'applicazione $\lat$ passa a
quoziente definendo una applicazione:
$$
\gather
\class\lat:
\bigl.\Cal A_m^\beta(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize \frak S_\beta}
\tto
\bigcup_{(D,H)}\Bigl(\bigl.\Cal A_m^\beta(\ttilde w_{(D,H)})\bigr/
\vphantom{I}_{\!\tsize \frak S_\beta}\Bigr)
\\
\class\lat:\class\A\longmapsto\class\lat_{\class\A}=\class{\lat_\A}
\endgather
$$
essendo l'unione estesa a tutte le coppie di deformazione, e tale
applicazione risulta ovviamente essere una bigezione.
\finenu

%\def\nomefile{par26.tex}

\para{Dimostrazione del Teorema di estensione}{dtecc}

Definiamo innanzitutto un'applicazione:
$$
\A_1^\beta:E^\beta(f)
\tto
\bigl.\Cal A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\frak S_\beta}.
$$
Sia $F:S\to\ENNE$ una estensione generica di $\kcurvan$; fissiamo un
intorno tubolare $U$ del luogo critico di $F$, $\kcir\subset S$, tale
che $\ristr f{\de(S-U)}=f_{(D,H)}$ per una opportuna scelta (non
unica) di $D$ ed $H$. $\ristr F{(S-U)}$ \`e una immersione che estende
$f_{(D,H)}$ e che assume il valore $\infty$ esattamente $\beta$ volte.
Con le notazioni usate in \ilpara{dti}, sia $\la_2^\beta(F)\in\bigl.\Cal
A^\beta_m(\ttilde w_{(D,H)})\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak
S_\beta}$ la classe di assemblaggi associata ad $\ristr F{(S-U)}$.

Poniamo $\A_1^\beta(F)\in\bigl.\Cal
A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\frak S_\beta}$ l'unica classe
tale che:
$$
\class\lat_{\A_1^\beta(F)}=\la_2^\beta(F),
$$
(cfr. Osservazione \lapa{ultima}).

Osserviamo che tale costruzione non \`e univoca ma dipende da alcune
scelte:
\roster
\item
la scelta dell'intorno tubolare;
\item
la scelta dell'insieme di deformazione;
\item
se $f_h$ \`e una componente di $f$ senza cuspidi, detta $U_h$ la
componente di $U$ contenente la $h$--esima circonferenza, da quale dei
due rami di $\de U_h$ si sceglie per giocare il ruolo di dominio di
$f_{h,D,1}^*$.
\endroster
Vedremo tra breve che in ogni caso, questa costruzione effettuata con
scelte diverse, produce classi equivalenti rispetto alla relazione
$\jdeq$, definendo in tal modo, per quanto osservato in
Osservazione~\lapa{penultima}, un'applicazione:
$$
\A_2^\beta:E^\beta(f)
\tto
\bigl.\Cal A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\sim}.
$$
Per fare questo descriviamo pi\`u esplicitamente la costruzione
precedente.

Sia $\{p_1,\dots,p_\beta\}=F^{-1}(\infty)$, e siano
$D_1,\dots,D_\beta\subset S$ dei dischi tali che per ogni $i$ $p_i\in
D_i$ ed $F(\de D_i)=g_i(\ESSE_1)$, essendo $g_1,\dots,g_\beta$ le
curve che danno la $\beta$--espansione (cfr. \ilpara{pass}). Indichiamo
con $\Sigma^\beta$ l'insieme $\Sigma\cup\bigcup\limits_{i=1}^\beta\de
D_i$, essendo $\Sigma=\kcir$ il luogo critico dell'applicazione $F$.

Dato che i segmenti di $R$ sono in posizione generica rispetto a $\G$
(cfr. condizione \therosteritem5 di Definizione \lapa{defsisegcc}),
$\bigl(\ristr F{(S-\bigcup \overset\circ\to D_i)}\bigr)^{-1}(R)$ \`e
costituito da archi lisci che hanno almeno un estremo su
$\Sigma^\beta$. Diamo agli estremi di tali archi lo stesso nome
($\xijm$ o $\yijm$) della sua immagine tramite $F$.

Sia $U$ l'intorno tubolare di $\Sigma$ usato nella costruzione
precedente, e sia $\gamma$ un arco di $\bigl(\ristr F{(S-\bigcup
\overset\circ\to D_i)}\bigr)^{-1}(R)$. Chiaramente $\gamma$ interseca
$\de U$ in tanti punti quanti sono i suoi estremi su $\Sigma$.
Diamo a tali punti lo stesso nome del corrispondente estremo di
$\gamma$. Leggendo consecutivamente i nomi dei punti su $\de U$ si
ottiene esattamente la parola $w_{(D,H)}$, mentre leggendo i nomi di
quelli sui $\de D_i$ si ottengono le parole $u_1,\dots,u_\beta$ che
danno la $\beta$--espansione di  $w_{(D,H)}$ (cfr. \ilpara{pass}).

Accoppiando tra loro le lettere corrispondenti agli estremi di uno
stesso arco, si ottiene allora un $\beta$--assemblaggio per la parola
$w_{(D,H)}$.

Dal modo come si era definito l'assemblaggio indotto da una immersione
(cfr. \ilpara{dti}) \`e evidente che l'assemblaggio cos\`\i\ costruito
\`e un rappresentante della classe in $\A_1^\beta(F)\in\bigl.\Cal
A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak S_\beta}$ costruita
all'inizio di questa sezione.

Da questa esplicitazione della costruzione di $\A_1(F)$ appare
evidente che, fissati $U$ e l'insieme di deformazione $D$, ma
scambiando i ruoli dei due rami di $\de U_h$, essendo $U_h$ come in
\therosteritem3, l'assemblaggio costruito nel secondo modo, cambia per
una involuzione di tipo $\iota$.

\`E altrettanto chiaro che con la stessa scelta di $U$ e la stessa
scelta di ruoli per i due rami di $\de U_h$, ma variando l'insieme di
deformazione, si ottengono assemblaggi $\delta$--equivalenti.

Siano invece $U$ e $U'$ due diversi intorni di $\Sigma$, possiamo
definire una applicazione $J$ dall'insieme delle lettere di
$w_{(D,H)}$ in s\'e, semplicemente associando ad ogni lettera
rappresentata dall'intersezione di un arco $\gamma$ con $\de U$ la
lettera rappresentata dalla corrispondente intersezione di $\gamma$
con $\de U'$. Osserviamo che allora gli assemblaggi costruiti a
partire dai due diversi intorni sono ottenuti l'uno dall'altro per
l'azione di questa applicazione $J$; pi\`u precisamente, se
$\A=\bigl((D,H),\la\bigr)$ ed $\A'=\bigl((D,H),\la'\bigr)$ sono gli
assemblaggi costruiti a partire da $U$ e da $U'$, si ha che:
$$
\la'=\bigl\{(J(z_{i,j,\mu}^{-1}),J(z_{i,j',\mu'})\}
\bigm|\{z_{i,j,\mu}^{-1},z_{i,j',\mu'}\}\in\la\bigr\}.
$$
Non \`e difficile vedere che su tutte le componenti della parola
$w_{(D,H)}$ che contengono delle cuspidi, o meglio che sono
deformazione di componenti contenenti delle cuspidi, tale applicazione
$J$ \`e necessariamente l'identit\`a mentre sulle componenti che sono
deformazione di parole che non contengono cuspidi $J$ o \`e
l'identit\`a o \`e una involuzione del tipo $\iota$; quindi
gli assemblaggi costruiti a partire da $U$ e da $U'$ sono
$\delta$--equivalenti.

Da quanto detto fino ad ora, e per quanto osservato in fine alla
precedente sezione, possiamo asserire che, scelte differenti nella
costruzione iniziale producono classi, in $\bigl.\Cal
A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\frak S_\beta}$,
equivalenti rispetto a $\jdeq$. Ovvero la costruzione illustrata
definisce un'applicazione:
$$
\A_2^\beta;E^\beta(f)
\tto
\bigl.\Cal A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\sim}.
$$

\prop.
Se $F,F'\in E(f)$ sono due estensioni r--equivalenti allora:
$$
\A_2^\beta(F)=\A_2^\beta(F').
$$
\finenu
\dim
Evidente dalle definizioni.
\finedim

Ma allora l'applicazione $\A_2^\beta$ passa a quoziente e definisce
una applicazione:
$$
\A:E(f)\Big/\vphantom{)}_{\!\!\text{r--equivalenza}}
\tto
\bigl.\Cal A^\beta_m(w)\bigr/\vphantom{I}_{\!\dsize\sim}.
$$
\teo.
L'applicazione $\A$, qui sopra definita, \`e biunivoca.
\finenu
\dim
Dimostriamo che $\A$ \`e iniettiva. Siano $F:S\to\ENNE$ ed
$F':S'\to\ENNE$ tali che $\A(F)=\A(F')$.  Allora, in particolare, $F$
ed $F'$ inducono la stessa coppia di deformazione $(D,H)$ e quindi per
Proposizione~\lapa{proplocequiv}, esistono due intorni tubolari $U$ di
$\kcir$ in $S$ ed $U'$ di $\kcir$ in $S'$ ed un diffeomorfismo
$\varphi_1:U'\to U$ tali che $\ristr {F'}{U'}=(\ristr
FU)\circ\varphi_1$.

Ma ora, per come abbiamo costruito l'applicazione $\A$, $\ristr
F{(S-U)}$ e $\ristr {F'}{(S'-U')}$ sono due estensioni della stessa
curva $f_{(D,H)}$ che inducono la stessa classe di
$\beta$--assemblaggi in $\bigl.\Cal A^\beta_m(\ttilde
w_{(D,H)})\bigr/\vphantom{I}_{\!\tsize\frak S_\beta}$ e pertanto,
dato che $\ttilde w_{(D,H)}$ \`e una parola per $f_{(D,H)}$ definita
da un sistema di segmenti ridotto (cfr. Proposizione
\lapa{propassass}), per il Teorema \lapa{teoimmersioneforte}, sono
equivalenti a destra, ovvero esiste un diffeomorfismo
$\varphi_2:(S'-U')\to(S-U)$ tale che $\ristr {F'}{(S'-U')}=\ristr
F{(S-U)}\circ\varphi_2$.

Da una analisi locale si vede facilmente che i due diffeomorfismi si
incollano per definire un diffeomorfismo $\varphi\colon S'\to S$ tale
che $F'=F\circ\varphi$.

Dimostriamo ora che $\A$ \`e surgettiva. Per prima cosa dimostriamo la
seguente proposizione:
\prop.
Se $w$ ha $\beta$--assemblaggi minimali allora le cuspidi di $f$ sono
tutte negative.
\finenu
\dim
Supponiamo per assurdo che $f$ abbia una cuspide positiva, allora ogni
deformazione $f_{(D,H)}$ di $f$ avr\`a un occhiello positivo (cfr.
Definizione \lapa{defocchiello}). Ma allora dal Lemma
\lapa{lemocchielli} ne segue che $\Cal A_m^\beta(\ttilde w_{(D,H)})=\vuoto$.

Dato che, coma si \`e visto nella sezione precedente, quest'ultimo
insieme \`e in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei
$\beta$--assemblaggi di $w$ della forma $\bigl((D,H),\la\bigr)$, per
l'arbitrariet\`a della coppia di deformazione $(D,H)$ in questo
ragionamento si deduce che allora $\Cal A_m^\beta(w)=\vuoto$ per ogni
$\beta$, che \`e contro l'ipotesi.
\finedim

Sia allora $\Ass$ un assemblaggio minimale per $w$, per la
proposizione appena dimostrata, $f$ ha un lato coerente, quindi da
Lemma~\lapa{lemdefun} e Lemma~\lapa{lemdefdu} segue che esiste
un'estensione generica $F_1$ di $f$, definita su una unione disgiunta
di $k$ cilindri e nastri di Moebious, che induce la coppia di
deformazione $(D,H)$ e tale che $F_1$ ristretta al bordo di tale
unione disgiunta \`e del tipo $f_{(D,H)}$.

Ma allora, per Proposizione~\lapa{propbigeassmin}, $\lat_{\A}$ \`e un
$\beta$--assemblaggio minimale per la parola $\ttilde w_{(D,H)}$ e per
tanto, sempre per il Teorema~\lapa{teoimmersioneforte}, esistono una
superficie compatta con $k_H$ componenti di bordo $\ttilde S$ ed una
immersione $F_2\colon\ttilde S\to\ENNE$ che estende $f_{(D,H)}$ ed
induce esattamente la classe del $\beta$--assemblaggio $\lat_{\A}$.
Non \`e allora difficile vedere che incollando per il bordo questa
superficie con l'unione disgiunta di cilindri e nastri di Moebious, si
ottengono una superficie compatta $S$ ed una applicazione generica
$F\colon S\to\ENNE$ che induce esattamente l'assemblaggio $\A$.

Con questo si conclude la dimostrazione del Teorema di estensione.
\finedim

\finecapi
%
\write16{[Capitolo 3]}
%
\capi{Fattorizzazione di applicazioni\\ generiche tra superficie}

Siano date due superficie compatte $S$ ed $\ENNE$ ed un fibrato
vettoriale $\EE\overset\pi\to\tto\ENNE$ di rango $1$ su $\ENNE$; sia
$F:S\to\ENNE$ una applicazione generica.  In questo capitolo ci
occuperemo del problema di fattorizzare una tale applicazione
mediante una applicazione $\ttilde F:S\to\EE$ seguita
dalla proiezione $\pi$, ovvero si cerca una $\ttilde F$ che faccia
commutare il seguente diagramma:
$$
\minCDarrowwidth{1.5cm}
\CD
S	@>\ttilde F>>	\EE
\\
@|			@VV\pi V
\\
S	@>>F>		\ENNE
\endCD
\tag D1
$$

Chiaramente, posto in questi termini, il problema ha sempre una
soluzione banale, basta considerare l'inclusione $\ENNE\overset
i_0\to\hookrightarrow\EE$ data dalla sezione nulla del fibrato e
quindi prendere $\ttilde F=i_0\circ F$.

Si cercher\`a allora $\ttilde F$ in modo che abbia delle propriet\`a
aggiuntive. In particolare ci preoccuperemo di trovare una tale
$\ttilde F$ che sia o una immersione (cfr. \ilpara{fci} e
\ilpara{appl}) oppure un embedding (cfr. \ilpara{fceb} e
\ilpara{fceg}).

Osserviamo che tale problema nasce in modo molto naturale nel caso che
il fibrato $\EE$ sia banale e la superficie $\ENNE$ sia il piano
(visto come la sfera $\ESSE^2$ meno il punto all'infinito), in quanto
descrive matematicamente il problema di decidere se una data immagine
piana possa essere o meno realizzata mediante la proiezione di una
superficie immersa (risp.{\it embedded}) in $\ERRE^3$. Vedremo in
\ilpara{appl} che, oltre a questa, c'\`e un'altra situazione che si
presenta naturalmente ed in cui il fibrato non \`e banale,

%\def\nomefile{par31.tex}

\para{Fattorizzazione con immersioni}{fci}

Siano $S$ ed $\ENNE$ due superficie compatte, senza bordo e sia
$F:S\to\ENNE$ una applicazione generica. Supponiamo di avere un
fibrato vettoriale, differenziabile, $\EE\overset\pi\to\tto\ENNE$ di
rango 1 su $\ENNE$.

Come preannunciato, in questa sezione ci preoccuperemo di trovare
condizioni necessarie e sufficienti affinch\`e l'applicazione $F$ sia
fattorizzabile mediante una immersione in $\EE$ seguita dalla
proiezione $\pi$ su $\ENNE$.

Denotiamo come al solito con $\Sigma$ il luogo dei punti critici di
$F$ e siano $C$ una componente connessa di $\Sigma$ ed $f_C=\ristr
FC$. 

Si possono definire i seguenti due fibrati vettoriali di rango $1$
su $C$:
\roster
\ite i
$\kappa_C\colon K_C\to C$ il fibrato dei nuclei di $dF$ ($\kappa_C^{-1}(p)=\ker\bigl(dF(p)\bigr)\quad
\forall\, p\in C$);
\ite{ii}
$f_C^*\pi\colon f^*E\to
C$ il fibrato indotto da $f_C$.
\endroster

Dimostreremo il seguente:
\teo\fattimm
Esiste una immersione $\ttilde F\colon\ESSE\to\EE$ tale che
$F=\pi\circ\ttilde F$, se e solo se per ogni componente connessa $C$
di $\Sigma$ la somma di Whitney:
$$
\kappa_C\oplus f_C^*\pi:K_C\oplus f^*E \tto C
$$
\`e il fibrato banale.
\finenu

\rem\reminizio
Sia $\zeta\colon Z\to C$ un fibrato in rette su $C$, si definisca:
$$
\varepsilon(\zeta)=\cases 
1&\text{se $\zeta$ \`e orientabile};\\
-1&\text{se $\zeta$ non \`e orientabile}.
\endcases
$$
Il numero appena definito non \`e altro che la  prima classe di
Stiefel--Witney del fibrato $\zeta$, quando si identifichi
$\bigl.\ZZ\bigr/_{\!\dsize2\ZZ}$ con il gruppo moltiplicativo $\{1,-1\}$.

\`E immediato verificare che la condizione data nel
Teorema~\lapa{fattimm} \`e equivalente alla seguente condizione:
$$
\varepsilon(\kappa_C)\varepsilon(f^*_C\pi)=1;
\tag1
$$
ossia, o entrambi i due fibrati sono orientabili, oppure entrambi non
lo sono.

Inoltre, se $c(C)$ denota il numero di punti di cuspide in $C$, e
$$
\nu_C\colon N_C\tto C
$$
denota il fibrato normale di $C$ in $S$, per Lemma~1 in \cite{H}, si
ha:
$$
\varepsilon(\kappa_C)=(-1)^{c(C)}\ep(\nu_C);
$$
e quindi la condizione \thetag1 si pu\`o rienunciare:
$$
(-1)^{c(C)}\varepsilon(\nu_C)
\varepsilon(f^*_C\pi)=1.
\tag2
$$
\finenu
Infine, osserviamo che, se $\pi\colon\EE\to\ENNE$ \`e il fibrato
banale, allora $\varepsilon(f^*_C\pi)=1$, e quindi la condizione
\thetag2 si riduce a:
$$
(-1)^{c(C)}\varepsilon(\nu_C)=1,
$$
e quindi in questo caso il nostro teorema \`e evidentemente
equivalente al seguente teorema, dovuto ad Haefliger \cite H nel caso
$\ENNE=\ERRE^2$ ed esteso al caso di $\ENNE$ arbitraria da Millet \cite
{Mi} (vedi anche \`Elia\cec sberg \cite{El}):
\teo.
Esite una fattorizzazione $F=\ttilde F\circ\pi$, con $\ttilde
F:S\to\ENNE\times\ERRE$ una immersione, se e solo se per ogni componente $C$ di
$\Sigma$ vale una delle seguenti due condizioni:
\roster
\ite{i}
il fibrato $\nu_C$ \`e orientabile e $c(C)$ \`e pari,
\ite{ii}
il fibrato $\nu_C$ non \`e orientabile e $c(C)$ \`e dispari.
\endroster
\finenu



\rem\remindotto
Osserviamo innanzitutto che, per definizione di fibrato indotto,
trovare una applicazione $\ttilde F:S\to\ENNE$ tale che
$\pi\circ\ttilde F=F$ \`e equivalente a trovare una sezione del
fibrato $F^*\pi\colon F^*\EE\to\ESSE$, indotto, via $F$, dal fibrato
$\pi\colon\EE\to\ENNE$, si veda il seguente diagramma:
$$
\CD
F^*\EE	@=	F^*\EE		@>\lar{\pi^*F}>>		\EE
\\
@V F^*\pi VV	@A \sigma AA 					@|
\\
S	@=   	S        	@>\lar{\zeroh{\ttilde F}}>>	\EE
\\
@. 		@|						@VV\pi V
\\
{} 	@.	S		@>>\lar{F}>			\ENNE
\endCD
\tag D2
$$
e dato che una sezione di un fibrato \`e sempre una immersione, e
l'insieme dei punti critici di $\pi^*F$ \`e l'insieme
$(F^*\pi)^{-1}(\Sigma)$, \`e evidente che se $\sigma$ \`e una sezione
del fibrato $F^*\pi:F^*\EE\to\ESSE$, allora:
$$
\forall\, p\in\ESSE-\Sigma\qquad
d\bigl(\pi^*F\circ\sigma\bigr)(p)\qquad\text{\`e iniettivo.} 
$$
Detto alla buona, questo significa che ``l'ostruzione'' a far si che
$\pi^*F\circ\sigma$ sia una immersione, \`e ``concentrata'' in un
intorno di $\Sigma$.

Pi\`u precisamente, quanto osservato fino ad ora significa che per
risolvere il nostro problema \`e sufficiente trovare una sezione
$\sigma_1$ del fibrato $\ristr{F^*\EE}V$ ---restrizione di $F^*\EE$ ad
un intorno tubolare $V$ di $\Sigma$--- tale che $\pi^*F\circ\sigma_1$
sia una immersione; una estensione arbitraria, che evidentemente
esiste sempre, di $\sigma_1$, ad una sezione $\sigma$ del fibrato
$F^*\EE$, fornisce allora l'immersione desiderata.
\finenu

Sia allora $V$ un intorno tubolare di $\Sigma$, evidentemente $V$ ha
lo stesso numero di componenti connesse di $\Sigma$; sia $U$ la
componente di $V$ contenente $C$. Chiaramente $U$ \`e diffeomorfo al
quoziente:
$$
\alignedat2
&\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,y)} &&\qquad
\text{se } \varepsilon(\nu_C)=1;\\
&\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,-y)} &&\qquad
\text{se } \varepsilon(\nu_C)=-1;
\endalignedat
$$
mediante un diffeomorfismo che applica la curva $C$ sul quoziente
della retta $\{y=0\}$.
\lem\lemovvio
Il fibrato $F^*\pi:\ristr{\bigl(F^*\EE\bigr)}U\to U$ \`e
isomorfo ad uno dei seguenti quattro fibrati:
$$
\alignat 3
&\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,y,z)}{@>\pi_1>>}
\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,y)}&\quad&\text{se }
\varepsilon(\nu_C)=1&&\text{ ed }\varepsilon(f^*_C\pi)=1;\tag I
\\
&\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,-y,z)}{@>\pi_2>>}
\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,-y)}&\quad&\text{se }
\varepsilon(\nu_C)=-1&&\text{ ed }\varepsilon(f^*_C\pi)=1;\tag II
\\
&\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,y,-z)}{@>\pi_3>>}
\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,y)}&\quad&\text{se }
\varepsilon(\nu_C)=1&&\text{ ed }\varepsilon(f^*_C\pi)=-1;\tag III
\\
&\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,-y,-z)}{@>\pi_4>>}
\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,-y)}&\quad&\text{se } 
\varepsilon(\nu_C)=-1&&\text{ ed }\varepsilon(f^*_C\pi)=-1;\tag IV
\endalignat 
$$
dove ogni $\pi_i$ denota l'applicazione indotta a quoziente dalla
proiezione canonica:
$$
p:\ERRE^3\tto\ERRE^2\qquad p:(x,y,z)\longmapsto(x,y).
$$
\finenu
\dim
Segue in modo ovvio dal fatto che $U$ si deforma su $C$ e dal Teorema
di sollevamento delle omotopie per i fibrati (cfr. \cite S, Lifting
Homotopy Theorem).
\finedim
\lem.
Ogni sezione del fibrato \thetag I [risp. \thetag{II}, \thetag{III},
\thetag{IV}] definisce una funzione $h\colon \ERRE^2\to\ERRE$ che
verifica la seguente condizione \thetag I [risp. \thetag{II},
\thetag{III}, \thetag{IV}]:
$$
\alignat6
&\text{\rm(I)}&\quad&h(x+1,y)=h(x,y)&\quad&\forall\, x,y;&\qquad
&\text{\rm(II)}&\quad&h(x+1,-y)=h(x,y)&\qquad&\forall\, x,y;
\\
&\text{\rm(III)}&\quad&h(x+1,y)=-h(x,y)&\qquad&\forall\, x,y;&\qquad
&\text{\rm(IV)}&\quad&h(x+1,-y)=-h(x,y)&\qquad&\forall\, x,y.
\endalignat
$$

Viceversa ogni siffatta funzione definisce una ed una sola sezione del
corrispondente fibrato.
\finenu
\dim
Vediamo la dimostrazione nel primo caso.
Siano
$P_1:\ERRE^3\to\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,y,z)}$ e
$p_1:\ERRE^2\to\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,y)}$ le
proiezioni a quoziente.

Sia $\sigma:\ERRE^2\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y)\sim(x+1,y)}
\to\ERRE^3\!\big/\!\vphantom{I}_{(x,y,z)\sim(x+1,y,z)}$ una
sezione del fibrato \thetag I, allora, dato che $p_1$ \`e un
rivestimento, e dato che $\ERRE^2$ \`e semplicemente connesso, esiste
una applicazione $\ttilde\sigma:\ERRE^2\to\ERRE^3$ tale che
$\ttilde\sigma\circ P_1=p_1\circ\sigma$. Dal fatto che
$\sigma$ \`e una sezione, segue che si pu\`o
scegliere $\ttilde\sigma$ del tipo:
$$
\ttilde\sigma(x,y)=\bigl(x,y,h(x,y)\bigr).
$$
Evidentemente, dovendo $h$ far commutare il seguente diagramma
\thetag{D3}, deve avere la propriet\`a \thetag I.
$$
\CD
\ERRE^2		@>\pretend\ttilde\sigma\haswidth{\hbox to 3cm{\hss}}>>	\ERRE^3
\\
@V p_1VV				@VV P_1V
\\
\hbox to0pt{\hss\kern4pt$\ERRE^2\!\big/\!\VI_{(x,y)\sim(x+1,y)}$\hss}
@>>\sigma>
\hbox to0pt{\hss\kern4pt$\ERRE^3\!\big/\!\VI_{(x,y,z)\sim(x+1,y,z)}$\hss}
\endCD
\tag D3
$$
Viceversa, sia $h$ come in \thetag I, non \`e difficile vedere che
l'applicazione
$$
\align
\sigma'&:\ERRE^2\tto\ERRE^3
\\
\sigma'&:(x,y)\tto\bigl(x,y,h(x,y)\bigr)
\endalign
$$
passa a quoziente definendo una sezione del fibrato \thetag I. La
stessa dimostrazione, {\it mutatis mutandis}, vale anche negli altri
tre casi.
\finedim

Denotiamo con
$\bigl.\ERRE^3\!\bigr/\!\vphantom{I}_{\sim_i}\overset\pi_i\to\tto
\bigl.\ERRE^2\!\bigr/\!\vphantom{I}_{\sim_i}$
i quattro fibrati sopra definiti. Abbiamo allora il seguente diagramma
commutativo:
$$
\CD
\ERRE^3	@>P_i>>	\bigl.\ERRE^3\!\bigr/\!\VI_{\sim_i}	@>\Phi>\cong>
\ristr{F^*\EE}U	@>\pi^*F>>	\EE
\\
@VpVV		@V\pi_iVV
@VF^*\pi VV			@VV\pi V
\\
\ERRE^2	@>>p_i>	\bigl.\ERRE^2\!\bigr/\!\VI_{\sim_i}	@>\cong>\varphi>
U		@>>F>		\ENNE
\endCD
$$
dove $\Phi$ \`e l'isomorfismo dato da Lemma \lapa{lemovvio}.

Chiamiamo $\bar F$ l'applicazione $\bar F=F\circ\varphi\circ p_i$, e
sia $K'$ il fibrato, sulla retta $\{y=0\}\subset\ERRE^2$, dei nuclei
di $d\bar F$, denotiamo con $K'_x$ la fibra di $K'$
sul punto $(x,0)$, ossia $K'_x=\ker d\bar F(x,0)$.
\lem\lembanale
Sia $h$ una funzione come nel lemma precedente, allora $h$ definisce
una sezione $\sigma_1$ tale che $\pi^*F\circ\sigma_1$ \`e una
immersione se e solo se:
$$
\forall\, x\in\ERRE,\ \forall\,(u,v)\in
K'_x-\bigl\{(0,0)\bigr\}\qquad \dep h,x,(x,0)u+\dep h,y,(x,0)v\ne0. \tag3
$$
\finenu
\dim
L'applicazione $\pi^*\circ\sigma_1$ \`e una immersione se e solo se:
$$
\forall\,q\in C\quad
d\sigma_1(q)\bigl[K_q\bigr]\not\subseteq
\ker\Bigl(d\bigl(\pi^*\!F\bigr)\bigl(\sigma_1(q)\bigr)\Bigr).
$$
Evidentemente, se $\ttilde\sigma:\ERRE^2\to\ERRE^3$,
$\ttilde\sigma(x,y)=\bigl(x,y,h(x,y)\bigr)$ \`e come nella
dimostrazione del lemma precedente, allora questa condizione si
traduce nella seguente:
$$
\forall\puad x\in\ERRE \quad
d\ttilde\sigma(x,0)\bigl[K'_x\bigr]\not\subseteq
\ker\Bigl(d\bigl(P_i\circ\Phi\circ\pi^*\!F\bigr)\bigl(x,0,h(x,y)\bigr)\Bigr).
$$
Ma con le nostre notazioni:
$$
\gather
d\ttilde\sigma(x,0)\bigl[K'_x\bigr]=\biggl\{\Bigl(u,v,\dep
h,x,(x,0)u+\dep h,y,(x,0)v\Bigr)\biggm|(u,v)\in
K'_x\biggr\};
\\
\ker\Bigl(d\bigl(P_i\circ\Phi\circ\pi^*\!F\bigr)(x,0,z)\Bigr)
=\bigl\{(u,v,w)\bigm|(u,v)\in K'_x,\ w=0\bigr\}; 
\endgather
$$
da cui segue immediatamente la tesi.
\finedim
\lem\lemker
Il fibrato $K$ \`e orientabile, ossia $\varepsilon(\kappa_C)=1$ se e
e solo se esiste una funzione mai nulla $k:\ERRE\to\ERRE^2$,
$k(x)=\bigl(k_1(x),k_2(x)\bigr)$ tale che:
$$
\gathered
\forall\, x\in\ERRE\qquad d\bar F(x,0)[k(x)]=0;
\\
\forall\, x\in\ERRE\qquad
k_1(x+1)=k_1(x)\quad\text{e}\quad
k_2(x+1)=\cases k_2(x)&\text{se }\varepsilon(\nu_C)=1;
\\
-k_2(x)&\text{se }\varepsilon(\nu_C)=-1. 
\endcases 
\endgathered
\tag4
$$

Viceversa, $K$ \`e non orientabile, ossia  $\varepsilon(\kappa_C)=-1$,
se e solo se esiste una funzione mai nulla $k:\ERRE\to\ERRE^2$,
$k(x)=\bigl(k_1(x),k_2(x)\bigr)$ tale che:
$$
\gathered
\forall\, x\in\ERRE\qquad d\bar F(x,0)[k(x)]=0;
\\
\forall\, x\in\ERRE\qquad
k_1(x+1)=k_1(x)\quad\text{e}\quad
k_2(x+1)=\cases-k_2(x)&\text{se }\varepsilon(\nu_C)=1;
\\
 k_2(x)&\text{se }\varepsilon(\nu_C)=-1. 
\endcases 
\endgathered
\tag5
$$
\finenu
\dim 
Un fibrato vettoriale in rette su $C$ \`e orientabile se e solo se
possiede una sezione mai nulla, ed una tale sezione per il fibrato $K$
\`e data da una funzione $d(\varphi\circ p_i)[k]$ con $k$ come in \thetag4.
Un analogo ragionamento d\`a anche la seconda parte dell'enunciato.
\finedim

Dai Lemmi \lapa{lemovvio}, \lapa{lembanale}, e da Osservazione \lapa{remindotto}, segue banalmente che provare il Teorema \lapa{fattimm} \`e equivalente a dimostrare il seguente:
\teo\fattimmprimo
Esite una funzione $h$ che soddisfi le condizioni \thetag I [risp.
\thetag{II}, \thetag{III}, \thetag{IV}] di Lemma \lapa{lemovvio} e
\thetag3 di Lemma \lapa{lembanale} se e solo se vale la condizione
\thetag1 di Osservazione \lapa{reminizio}.
\finenu
\dim
{\bf (\thetag1 \`e sufficiente).}
Abbiamo quattro casi possibili, corrispondenti ai quattro fibrati (I),
(II), (III), (IV).

\noindent
{\bf Caso  (I), (II):}
Dato che $\varepsilon(f^*_C\pi)=1$, la condizione \thetag1 implica che
$\ep(\kappa)=1$, pertanto le ipotesi e la tesi sono esattamente le
stesse di Lemma 2 in \cite H, non c'\`e nulla da dimostrare che non
sia gi\`a dimostrato.

\noindent 
{\bf Caso  (III):} Dato che  $\ep(f^*_C)=-1$, la codizione \thetag1 implica
che $\ep(\kappa)=-1$, e quindi per il Lemma \lapa{lemker} esiste una
funzione mai nulla $k:\ERRE^2\to\ERRE^3$ tale che:
$$
\forall\, x\in\ERRE\qquad
k_1(x+1)=-k_1(x)\quad\text{e}\quad
k_2(x+1)=-k_2(x).\tag6
$$

Definiamo:
$$
h(x,y)=r(x)+yk_2(x)
$$
essendo:
$$
r(x)=\int_0^x\hskip-0.7emk_1(t)dt-\frac{1}{2}\int_0^1\hskip-0.7emk_1(t)dt.
$$

Si osservi che:
$$
\alignat2
r(x+1)+r(x)&=\int_0^{x+1}\hskip-1.7em k_1(t)dt+\int_0^x\hskip-0.7em
k_1(t)dt-\int_0^1\hskip-0.7em k_1(t)dt= &&
\\
&=\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t)dt+\int_1^{x+1}\hskip-1.7em k_1(t)dt= &&
\\
&=\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t)dt=+\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t+1)dt=
&&\quad\text{per \thetag6}
\\
&=\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t)dt-\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t)dt=0; &&
\endalignat
$$
e quindi, usando di nuovo \thetag6, si ottiene:
$$
h(x+1,y)=-h(x,y)\qquad\forall\, x,y.
$$
Pertanto, la funzione $h$ verifica la condizione \thetag{III}. D'altra
parte:
$$
\nabla h(x,0)=k(x)
$$
e quindi vale ovviamente anche la condizione \thetag3.

\noindent
{\bf Caso  (IV):}
Anche in questo caso, la condizione \thetag1 implica che
$\ep(\kappa_C)=-1$, e quindi per il Lemma \lapa{lemker} esiste una
funzione $k:\ERRE^2\to\ERRE^3$ tale che:
$$
\forall\, x\in\ERRE\qquad
k_1(x+1)=-k_1(x)\quad\text{e}\quad
k_2(x+1)=k_2(x).\tag7
$$

Come prima si definisca:
$$
h(x,y)=r(x)+yk_2(x)
$$
essendo:
$$
r(x)=\int_0^x\hskip-0.7em k_1(t)dt-\frac{1}{2}\int_0^1\hskip-0.7em k_1(t)dt;
$$
e si usi \thetag7 per ottenere:
$$
h(x+1,-y)=-h(x,y);\qquad\nabla h(x,0)=k(x);
$$
che \`e la tesi.

\noindent
{\bf (\thetag1 \`e necessaria).}
Supponiamo che esista una tale funzione $h$, allora la proiezione
ortogonale di $\nabla h(x,0)$ su $K'_x$ fornisce una funzione mai
nulla con la propriet\`a \thetag4, nel caso \thetag I e nel caso
\thetag{II}, o con la propriet\`a \thetag5, nel caso \thetag {III}
e nel caso \thetag{IV}. Questo conclude la dimostrazione del
Teorema \lapa{fattimmprimo}.
\finedim
\goodbreak
Prima di affrontare il problema della fattorizzazione per mezzo di
{\it embedding}, diamo una applicazione del risultato appena
dimostrato (Teorema~\lapa{fattimm}) al problema della fattorizzazione
di un'applicazione generica in $\ERRE\PP^2$ per mezzo di una immersione
in $\ERRE\PP^3$ seguita da una proiezione centrale (proiezione da un punto).

%\def\nomefile{par32.tex}
\newtoks\errepidue
\errepidue={$\ERRE\PP^2$}
\para{Applicazioni generiche in \the\errepidue}{appl}

Denotiamo con $\ERRE\PP^3$ lo spazio proiettivo reale, e sia
$p\in\ERRE\PP^3$ un punto fissato. Si identifichi il piano proiettivo
reale $\ERRE\PP^2$ con l'insieme delle rette in $\ERRE\PP^3$ passanti
per il punto $p$.  Mediante tale identificazione, resta definita in
modo ovvio una proiezione:
$$
\pi:\ERRE\PP^3-\{p\}\tto\ERRE\PP^2.
$$

Sia $F:S\to\ERRE\PP^2$ una applicazione generica, ci si pu\`o chiedere
se esiste una immersione $\ttilde F\colon\ESSE\to\ERRE\PP^3-\{p\}$
tale che $F=\pi\circ\ttilde F$.

Dimostreremo la seguente:
\prop\fattimmpdue
Con le notazioni appena introdotte, una tale applicazione $\ttilde F$
esiste se e soltanto se, per ogni componente $C$ del luogo critico
$\Sigma$ di $F$, si ha:
$$
(-1)^{c(C)}\ep(\nu_C)=1.
$$
\finenu
\rem.
Osserviamo che la condizione \`e esattamente la stessa data da
Haefliger \cite H, per la fattorizzabilit\`a di una applicazione
generica a valori in $\ERRE^2$ mediante una immersione in $\ERRE^3$
seguita da una proiezione lineare.
\finenu
\dim
Osserviamo innanzitutto che la proiezione
$\pi:\ERRE\PP^3-\{p\}\to\ERRE\PP^2$ non \`e altro che il fibrato
tautologico su $\ERRE\PP^2$, pertanto possiamo usare il Teorema
\lapa{fattimm} e quindi la tesi sar\`a provata, se dimostriamo che:
$$
\forall\puad C,\qquad f^*_C\pi:f^*_C\EE\tto C\quad\text{\`e il fibrato banale}.
$$

Ricordiamo che $f_C$ \`e una curva con un lato (coerente), (cfr.
Proposizione~\lapa{proplatcoer}), per concludere basta allora usare il
seguente lemma (cfr. \cite{Pi3}):
\lem.
Una curva con cuspidi e nodi $f:\ESSE^1\to\ERRE\PP^2$ ha un lato se e
solo se $f$ \`e omotopicamente banale.
\finenu
\dim
\`E immediato verificare che la curva $f$ ha un lato se e solo se la
curva regolare $f_\C$ ne ha uno, dove $f_\C$ \`e ottenuta deformando
$f$, in un intorno di ciascuna cuspide, nel modo suggerito in
\lafig{fi8} di \lapag{fi8}. In pi\`u le curve $f$ ed $f_\C$ sono
evidentemente omotope.  La tesi segue allora dall'ulteriore lemma:
\lem.
Una curva chiusa, regolare in $\ERRE\PP^2$ ha un lato se e solo se \`e
omotopicamente banale.
\finenu
\dim
Sia $f\colon[0,1]\to\ERRE\PP^2$ una curva chiusa, regolare, cio\`e:
$$
f(1)=f(0),\qquad f'(1)=f'(0),
$$
e sia $n(t)$ una campo di vettori lungo $f$ trasversale ad $f$.

Sia $\tilde f$ un sollevamento di $f$ ad $\ESSE^2$, allora \`e un
fatto ben noto che la curva $f$ \`e omotopicamente banale se e
soltanto se $\tilde f$ \`e una curva chiusa.
Supponiamo per assurdo che $\tilde f(0)\ne\tilde f(1)$ e denotiamo
con $\tilde n(t)$ il sollevamento del campo di vettori $n$.
Dato che l'applicazione quoziente dalla sfera al piano proiettivo
identifica punti opposti e vettori opposti tangenti a punti opposti,
si ha:
$$
%\gathered
\tilde f(1)=-\tilde f(0);\quad\tilde f'(1)=-\tilde
f'(0);\quad\tilde n(1)=-\tilde
n(0).
\tag$\star$
$$
Per ipotesi, i tre vettori $\tilde f(t)$, $\tilde f'(t)$ ed $\tilde
n(t)$ sono linearmente indipendenti, per ogni $t\in[0,1]$ e quindi:
$$
det\bigl(\tilde f(t)\mid\tilde f'(t)\mid\tilde
n(t)\bigr)\ne0\qquad\forall\, t\in[0,1];
$$
d'altra parte, usando \thetag{$\star$} si ha:
$$
\align
det\bigl(\tilde f(1)\mid\tilde f'(1)\mid\tilde n(1)\bigr)
&=
det\bigl(-\tilde f(0)\mid-\tilde f'(0)\mid-\tilde n(0)\bigr)
=
\\
&=
-det\bigl(\tilde f(0)\mid\tilde f'(0)\mid\tilde n(0)\bigr),
\endalign
$$
che \`e una palese contraddizione. Viceversa, se $f$ \`e
omotopicamente banale, sia $\ttilde f$ il suo sollevamento ad
$\ESSE^2$, dato che $\ESSE^2$ \`e orientabile, $\ttilde F$ ha un lato.
Sia quindi $\ttilde n$ un campo di vettori trasversale ad $\ttilde f$,
evidentemente allora, detta $\pi:\ESSE^2\to\ERRE\PP^2$ la proiezione a
quoziente, $d\pi(t)[n(t)]$ risulta essere un campo trasversale ad $f$.

Ci\`o conclude la dimostrazione dei due lemmi e quindi di
Proposizione~\lapa{fattimmpdue}.
\finedim

%\def\nomefile{par33.tex}

\para{Fattorizzazioni con embeddings:\\il caso del fibrato banale}{fceb}

Siano $S$ ed $\ENNE$ due superficie compatte, connesse e sia
$\pi:\EE\to\ENNE$ un fibrato vettoriale, differenziabile di rango $1$,
su $\ENNE$.

\defi\deffact
Diremo che $F$ \`e fattorizzabile in $\EE$ se e solo se esiste un {\it
embedding} (immersione iniettiva) $\ttilde F:S\to\EE$ tale che
$F=\ttilde F\circ\pi$.
\finenu

\rem\sezalt
Sia $F^*\pi:F^*\EE\to S$  il fibrato su  $S$ indotto da $\EE$  via $F$.
Analogamente a quanto visto in \ilpara{fci}  possiamo asserire che $F$
\`e  fattorizzabile in $\EE$  se e   soltanto  se  esiste  una sezione
$\sigma:S\to F^*\EE$ del fibrato indotto tale che $\pi^*F\circ\sigma$
sia un embedding (si veda il diagramma \thetag{D2} di
\ilpara{fci}).

Nel caso che il fibrato su $\ENNE$ sia banale, ossia
$\EE=\ENNE\times\ERRE$, la condizione di fattorizzabilit\`a
si esprime in maniera ancora pi\`u semplice e pi\`u precisamente $F$ \`e
fattorizzabile se e soltanto se esiste una funzione $h:S\to\ERRE$ tale
che l'applicazione $(F,h):S\to\ENNE\times\ERRE$ \`e un embedding.  In
questo caso chiameremo la funzione $h$ un'altezza per $F$.
\finenu

Osserviamo allora che la condizione che $F$ sia fattorizzabile si
conserva per equivalenza a destra, ossia vale la seguente:
\prop.
Se $F:S\to\ENNE$ ed $F':S'\to\ENNE$ sono equivalenti a destra
(r--equivalenti), allora $F$ \`e fattorizzabile se e soltanto se anche
$F'$ lo \`e.
\finenu
\dim
Sia  $\varphi:S'\to  S$ tale  che $F'=F\circ\varphi$. \`E un fatto ben
noto  dalla teoria  dei fibrati  (cfr. \cite  S) che allora  esiste un
diffeomorfismo $\Phi:(F')^*\EE\to   F^*\EE$   tale  che   il  seguente
diagramma sia commutativo:
$$
\CD
N	@<F'<<	S'	@<(F')^*\pi<<	(F')^*\EE	@>\pi^*F'>>	\EE
\\
@|		@V\varphi VV		@VV\Phi V			@|
\\
N	@<<F<	S	@<<F^*\pi<	F^*\EE		@>>\pi^*F>	\EE
\endCD
$$
\`E allora chiaro che se $\sigma':S'\to(F')^*\EE$ \`e una sezione tale
che      $\pi^*F'\circ\sigma'$     \`e  un     embedding,       allora
$\sigma=\Phi\circ\sigma'\circ\varphi^{-1}$ \`e una sezione del fibrato
$F^*\EE$ tale che $\pi^*F\circ\sigma$ \`e un embedding. Chiaramente si
possono scambiare i ruoli di $F$ ed $F'$, ottenendo cos\`\i\ la tesi.
\finedim

Nel capitolo 2, abbiamo visto che un'applicazione generica
$F:S\to\ENNE$ \`e completamente determinata a meno di equivalenza
destra da un $\beta$--assemblaggio per una parola di $\ristr F{\de
S}$, quindi ci si aspetta che, in qualche senso da precisare,
``l'informazione'' relativa alla fattorizzabilit\`a di $F$ sia
implicitamente contenuta in questo dato. In questa sezione e nella
successiva, cercheremo di esplicitare questa ``informazione''.

Cominciamo dimostrando alcuni lemmi di carattere generale.

\lem\lemdisco
Siano $F:S\to\ENNE$ una applicazione generica, $\Sigma$ il suo luogo
critico e $\G$ il suo contorno apparente. Sia $D\subset\ENNE$ un disco
tale che:
\roster
\item
$\de D$ \`e in posizione generica rispetto a $\G$;
\item
$D$ non contiene cuspidi di $\G$;
\item
$D\cap\G$ \`e unione di archi semplici (ossia all'interno di $D$ non ci sono
occhielli di $\G$).
\endroster
Allora $F$ ristretta ad ogni componente connessa di $F^{-1}(D)-\Sigma$
\`e iniettiva.
\finenu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figdisco,50,0,1000,
%\rete
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\dim\parfigura1
Sia $\infty\notin D$ un punto fissato in $\ENNE$ e sia $X$ un campo su
$\ENNE$ con un unico zero in $\infty$.
\parf
Sia $C$ una componente di $F^{-1}(D)-\Sigma$ e sia $C_\ep$ ottenuta da
$C$ rimuovendo un piccolo intorno di $\Sigma$.  Evidentemente $\de
C_\ep$ \`e costituito da rami di $F^{-1}(\de D)$ e da archi paralleli
a $\Sigma$.  Inoltre $\ristr F{C_\ep}$ \`e una immersione e, detto $k$
il numero di componenti di $\de C_\ep$, $F(\de C_\ep)$ \`e costituita
da $k$ {\it loop} ottenuti da archi di $\de D$ e da archi paralleli a
rami di $\G$ (vedi \lafig{figdisco}).
\parf
Osserviamo  allora  che, munendo questi   loop  del lato indotto dalla
immersione,  dalle  assunzioni   fatte    su $D$  e    dal  fatto  che
$\infty\notin D$, il numero  di rotazione di  ciascuno di  questi loop
\`e   maggiore    o uguale   ad $1$      (si    usino le  Proposizioni
\lapa{proprotdisc} ed \lapa{proprotd}); ovvero:
$$
R_X\bigl(\ristr F{\de C_\ep}\bigr)\ge k.
$$

Ma poich\`e $\infty\notin F(C_\ep)$, per Proposizione
\lapa{proprotnozer} si ha:
$$
R_X\bigl(\ristr F{\de C_\ep}\bigr)=\ch(C_\ep)\le1;
$$
quindi $\de C_\ep$ ha una sola componente di bordo ed $R_X\bigl(\ristr
F{\de C_\ep}\bigr)=1$. In altri termini, deve necessariamente aversi
che $C_\ep\cong D^2$, $\ristr F{\de C_\ep}$ \`e una curva semplice, e
quindi $\ristr F{C_\ep}$ \`e un embedding. Per l'arbitrariet\`a della
scelta dell'intorno di $\Sigma$ si ha la tesi.
\finedim
 
Sia ora $R$ un sistema di segmenti per $\ristr F\Sigma$ (cfr.
Definizione~\lapa{defsisegcc}), per quanto gi\`a osservato in
\ilpara{dtecc}, $F^{-1}(R)$ \`e costituito da un insieme di archi
lisci che hanno almeno un estremo su $\Sigma\cup F^{-1}(\infty)$.
Indichiamo con $H(F)$ l'insieme ottenuto da $\Sigma\cup F^{-1}(R)$
rimuovendo tutti i lati con un solo estremo su $\Sigma\cup
F^{-1}(\infty)$.

\rem\remOmega
$F^{-1}(\Omega)$ \`e interamente contenuto in $H(F)$, in quanto ogni
segmento $\omega\in\Omega$ \`e una curva chiusa e, pertanto, ogni
arco che costituisce $F^{-1}(\omega)$ deve necessariamente avere
entrambi gli estremi su $\Sigma\cup F^{-1}(\infty)$.
\finenu

\lem\leminiett
Con le notazioni appena  introdotte,  $F$ ristretta ad ogni componente
connessa di $S-H(F)$ \`e iniettiva.
\finenu
\dim
Siano  $p,q\in S-H(F)$, e  sia $\gamma\colon[0,1]\to S-H(F)$ una curva
tale   che $\gamma(0)=p$    e  $\gamma(1)=q$.   Dimostriamo che allora
$F(p)\ne F(q)$.

Con le  stesse   tecniche   usate   nella    dimostrazione   di  Lemma
\lapa{lemCWd}, ci  si riconduce al caso  in cui $p,q\in  S-F^{-1}(R)$,
$\gamma$  prenda valori  in   $S-F^{-1}(R)$ ed $F\circ\gamma$  sia una
curva semplice in posizione generica rispetto a $\G$.

Sia allora $D$ un disco in $\ENNE$ che borda $F\circ\gamma$.  Dato che
$\de D\cap R=\vuoto$, necessariamente $D\cap R=\vuoto$, ma poich\`e
$R$ \`e un sistema di segmenti per $\G$, $D$ non pu\`o contenere n\`e
cuspidi di $\G$ n\`e componenti connesse di $\ENNE-\G$, in particolare
non pu\`o contenere occhielli di $\G$. Da Lemma~\lapa{lemdisco} segue
che allora $F(p)\ne F(q)$.
\finedim

Abbiamo bisogno di due lemmi di carattere puramente topologico:

\lem\lemtopuno
Sia $X$ uno spazio topologico connesso per archi e siano $U,V\subseteq
X$ due aperti, connessi per archi e tali che $X=U\cup V$ ed $U\cap V$
non sia connesso per archi. Allora $H_1(X)\ne0$, dove $H_1$ denota il
primo gruppo di omologia singolare.
\finenu
\dim
Consideriamo il seguente tratto della successione esatta di
Mayer--Vietoris:
$$
H_1(X)\tto H_0(U\cap V)\tto H_0(U)\oplus H_0(V)\tto H_0(X)\tto 0.
$$
Dato che $X$, $U$ e $V$ sono per ipotesi connessi per archi, $H_0(X)$
\`e un gruppo libero di rango 1 ed $H_0(U)\oplus H_0(V)$ \`e un gruppo
libero di rango 2. D'altra parte dato che $U\cap V$ ha almeno due
componenti connesse per archi, $H_0(U\cap V)$ \`e un gruppo libero di
rango $r\ge2$. Ma allora se fosse $H_1(X)=0$.  Per una ben nota
relazione sui ranghi, si avrebbe $2-1=r$, che \`e palesemente assurdo.
\finedim

\lem\lemtopdue
Siano $U_1,\dots,U_n$,   con $n\ge3$, aperti   connessi  di uno spazio
topologico $X$, tali che:
$$
\forall i\ne j\qquad U_i\cap U_j\ne\vuoto\iff\left|i-j\right|\equiv1\quad
(\text{ mod }n);
$$
allora vale una delle seguenti due:
\roster
\item
$\bigcap\limits_{i=1}^nU_i\ne\vuoto$, ed in tal caso $n=3$;
\item
$\forall i \qquad U_i\cap\bigl(\bigcup\limits_{i\ne j}U_j\bigr)$
\`e sconnesso.
\endroster
\finenu
\dim
\`E evidente che se $\bigcap\limits_{i=1}^nU_i\ne\vuoto$
necessariamente $n=3$.
Supponiamo che la prima non sia vera allora:
$$
U_i\cap\bigl(\bigcup_{i\ne j}U_j\bigr)=(U_i\cap U_{i+1})\cup(U_i\cap U_{i-1}),
$$
dove gli indici sono considerati modulo $n$.

I due aperti sul lato destro della precedente relazione sono non vuoti
per ipotesi, d'altra parte  sono  anche disgiunti in quanto, se  $n>3$
allora $U_{i-1}\cap     U_{i+1}=\vuoto$, se  $n=3$   allora  $(U_i\cap
U_{i+1})\cap(U_i\cap U_{i-1})=\bigcap_iU_i=\vuoto$,  in  quanto si \`e
supposto che non valga la \therosteritem1.
\finedim

Da Lemma~\lapa{lemtopuno} e Lemma~\lapa{lemtopdue} segue
immediatamente:
\prop\proptop
Siano $U_1,\dots,U_n$  ($n\ge3$)   aperti  connessi per archi  di  uno
spazio  topologico   $X$  che      soddisfano  l'ipotesi  del    Lemma
\lapa{lemtopdue}; allora vale una delle seguenti due:
\roster
\item
$n=3$ \puad ed \puad $\bigcap_iU_i\ne\vuoto$;
\item
$H_1\bigl(\bigcup_iU_i\bigr)\ne0$.
\endroster
\finenu

Nel  seguito denoteremo con  $\CC$ l'insieme delle componenti connesse
di $S-H(F)$.

\prop\propdiscoap
Ogni $C\in \CC$ \`e diffeomorfa ad un disco aperto.
\finenu
\dim
Sia $C\in \CC$ allora, per quanto osservato in
Osservazione~\lapa{remOmega}, $F(C)\subset\ENNE-\Omega$, e per quanto
visto in Lemma~\lapa{leminiett}, $\ristr FC$ \`e 1--1. Dato che
$\Omega$ \`e un insieme di generatori del gruppo fondamentale di
$\ENNE$, si ha che $\ENNE-\Omega$ \`e diffeomorfa ad un disco aperto.
Da ci\`o ne consegue allora che $F(C)$ \`e una superficie planare,
ossia \`e un disco aperto con dei buchi (eventualmente nessun buco).

Supponiamo per assurdo che $F(C)$ non sia un disco aperto.
Necessariamente $C$ e quindi $F(C)$ ha almeno due componenti di bordo.
Per come \`e costruita $C$, il bordo di $F(C)$ \`e costituito da rami
di $\G$ e da tratti di segmenti di $R$; sia $\gamma$ una componente
interna del bordo di $F(C)$. Si han\-no due casi: $\gamma$ contiene
tratti di segmenti, oppure $\gamma$ \`e interamente costituito di rami
di $\G$.

Nel primo   caso se  $\gamma$  contiene un tratto   del  segmento $r$,
necessariamente   $r$ sconnette $F(C)$  ed  analogamente,  nel secondo
caso, $\gamma$ determina almeno una  componente connessa di $\ENNE-\G$
da cui  quindi  parte un segmento  $r$  che necessariamente  sconnette
$F(C)$.

Ma ci\`o \`e in  contraddizione  con il  fatto che,  essendo $C$   una
componente  connessa di $S-H(F)$, $F(C)$ non   \`e sconnesso da nessun
segmento di $R$.
\finedim
\rem\cellul
La proposizione  appena  dimostrata, permette di  concludere che
$H(F)$ \`e l'1--scheletro di una cellularizzazione di $S$.
\finenu
\prop\propintconn
Siano $C_1$, $C_2\in\CC$, allora $F(C_1)\cap F(C_2)$ \`e connesso.
\finenu
\dim
Se  $F(C_1)\cap    F(C_2)$  fosse  sconnesso,    allora      per Lemma
\lapa{lemtopuno}, $F(C_1)\cup F(C_2)$ avrebbe almeno due componenti di
bordo, ma allora la stessa argomentazione usata nella dimostrazione di
Proposizione~\lapa{propdiscoap} garantirebbe l'esistenza di un
segmento che sconnetterebbe $F(C_1)\cup F(C_2)$ e quindi
sconnetterebbe almeno uno tra $F(C_1)$ ed $F(C_2)$.  Ma ci\`o \`e
assurdo.
\finedim

Supponiamo   ora che  $F^{-1}(\infty)=\{p_1,\dots,p_\beta\}$   e siano
$D_1,\dots,D_\beta$ dischi in $S$ tali che per ogni  $i$, $p_i\in D_i$
ed  $\ristr F{\de D_i}=g_i$,   dove le curve  $g_1,\dots,g_\beta$ sono
quelle   che  danno  la $\beta$--espansione   (cfr.  \ilpara{pass}  ed
\ilpara{dtecc}). Denotiamo con $\overset\circ\to D_i$ la parte interna
di  $D_i$  e   sia $\ttilde   S$  la  superficie con   bordo  $\ttilde
S=S-\bigcup\limits_{i=1}^\beta\overset\circ\to D_i$.
\prop\propmenodischi
L'applicazione $F$ \`e    fattorizzabile  se e  soltanto  se   $\ristr
F{\ttilde S}$ \`e fattorizzabile.
\finenu
\dim
Una implicazione \`e banale. Viceversa, supponiamo che esista un {\it
embedding} $\ttilde F_1:\ttilde S\to\EE$ tale che $\pi\circ\ttilde
F_1=\ristr F{\ttilde S}$.

Sia $U_\infty\subset\ENNE$ un  intorno di  $\infty$ diffeomorfo ad  un
disco  aperto, che non interseca  $\G$ e contenente  i  supporti delle
curve $g_i$.  Evidentemente, dato che  $U_\infty$ \`e contrattile,  il
fibrato  $\ristr\EE{U_\infty}$  \`e   banale   (cfr.   \cite S);   sia
$\Phi  :  \ristr   \EE {U_\infty}  \to  U_\infty\times\ERRE$   una sua
banalizzazione.

Siano $U_1,\dots,U_\beta$ le componenti di $F^{-1}(U_\infty)$ tali che
per ogni $i$, $p_i\in U_i$. Per costruzione  gli $U_i$ sono disgiunti,
$F$ applica  ogni $U_i$ biunivocamente su $U_\infty$  e per  ogni $i$,
$D_i\subset U_i$.

Consideriamo  l'applicazione   $\ttilde    F_2=\Phi\circ\ristr{\ttilde
F_1}{\bigcup_i(U_i-D_i)}$. Chiaramente, tale funzione sar\`a del tipo:
$$
\ttilde F_2(p)=\bigl(F(p),h(p)\bigr).
$$
Non \`e  difficile vedere che dal  fatto che   $\ttilde F_1$, e quindi
$\ttilde F_2$, \`e iniettiva segue che si pu\`o supporre di aver preso
$\Phi$ in  modo che la  funzione $h$ sia costante  su ogni  componente
connessa    del suo dominio,   ossia possiamo   supporre che  esistano
costanti $c_i\in\ERRE$ tali che:
$$
h(p)=c_i \qquad \forall\puad p\in (U_i-D_i).
$$
Evidentemente si pu\`o allora estendere $\ttilde F_1$ ponendo:
$$
\ttilde F(p)=\cases
\ttilde F_1(p)\qquad&\text{ se } p\in\ttilde S
\\
\Phi^{-1}\bigl(F(p), c_i)\qquad&\text{ se } p\in D_i.
\endcases
$$
Chiaramente $\ttilde F$ \`e di classe $C^\infty$ ed \`e un embedding.
\finedim

Supponiamo ora  che il   fibrato $\pi:\EE\to\ENNE$ sia  banale,  ossia
$\EE=\ENNE\times\ERRE$  e $\pi$ la proiezione sulla  prima coordinata.
Supponiamo  che $F:S\to\ENNE$   sia  fattorizzabile   in $\EE$ e   sia
$h:S\to\ERRE$ una altezza per $F$ (cfr. Osservazione \lapa{sezalt}).

\prop\propcompgraf
Sia $h$ un'altezza per $F$. Allora per ogni $C_1$, $C_2\in\CC$ tali
che $F(C_1)\cap F(C_2)\ne\vuoto$, vale una (e solo una) delle seguenti
due:
\roster
\item
$\forall x\in C_1,\ y\in C_2\quad\text{t. c.}\quad
F(x)=F(y)\quad\text{risulta}\quad h(x)<h(y)$;
\item
$\forall x\in C_1,\ y\in C_2\quad\text{t. c.}\quad
F(x)=F(y)\quad\text{risulta}\quad h(x)>h(y)$.
\endroster
\finenu
\dim
Chiaramente  le due affermazioni si  escludono  a vicenda.  Supponiamo
per assurdo che  entrambe siano false,  ovvero che esistano due coppie
di punti $x_1,x_2\in C_1$, $y_1,y_2\in C_2$  tali che $F(x_1)=F(y_1) =
z_1$,  $F(x_2) = F(y_2) = z_2$  ma $h(x_1)<h(y_1)$ ed $h(x_2)>h(y_2)$.
Sia $\gamma$ un cammino  da $z_1$ a $z_2$  contenuto in  $F(C_1)  \cap
F(C_2)$,  che per Proposizione~\lapa{propintconn}\  \`e connesso,  e siano $\gamma_1   =
\left(\ristr{F}{C_1}\right)^{-1}     \circ  \gamma$  e  $\gamma_2    =
\left(\ristr{F}{C_2}\right)^{-1} \circ \gamma$.  Dette  $h_1 = h \circ
\gamma_1$ ed $h_2 = h \circ \gamma_2$, allora:
$$
h_1(0)=h(x_1)<h(y_1)=h_2(0), \quad\text{ed}\quad
h_1(1)=h(x_2)>h(y_2)=h_2(1),
$$
quindi esiste $t_0\in(0,1)$ tale che $h_1(t_0)=h_2(t_0)$. Ma allora si
sono  trovati    due   punti  distinti di  $S$,     $\gamma_1(t_0)$  e
$\gamma_2(t_0)$, tali che:
$$
h(\gamma_1(t_0))=h(\gamma_2(t_0)),
\quad\text{ed}\quad
F(\gamma_1(t_0))=F(\gamma_2(t_0))=\gamma(t_0).
$$
Ci\`o contraddice l'iniettivit\`a di $\ttilde F=(F,h)$.
\finedim

\defi\grafeb
Chiamiamo  grafo  indotto da   $\ttilde   F=(F,h)$ il  grafo orientato
$L(\ttilde   F)$ che ha   per vertici   l'insieme  $\CC$  e  per  lati
l'insieme:
$$
\boldcal E=\bigl\{(C_1,C_2)\in\CC\times\CC\bigm|C_1,C_2\ 
\text{soddisfano \therosteritem1 di
Proposizione~\lapa{propcompgraf}}\bigr\}.
$$
Scriveremo $C_1\to C_2$ per indicare $(C_1,C_2)\in\boldcal E$.
\finenu

\prop\propnoloop
Il grafo $L(\ttilde F)$ non ha loop.
\finenu
\dim
Supponiamo per assurdo di avere un  loop $C_1\to C_2\to\dots\to C_n\to
C_1$, che supponiamo di lunghezza minima. Prima di tutto proviamo che:
$$
\forall i\ne j\qquad F(C_i)\cap F(C_j)\ne\vuoto
\iff|i-j|\equiv1\quad\text{mod }n.\tag$\star$
$$
Infatti se $C_i,C_j$ sono tali che $j-i>1$ e $F(C_i)\cap
F(C_j)\ne\vuoto$, allora, per Proposizione~\lapa{propcompgraf}, o
$C_i\to C_j$ o $C_j\to C_i$.  Ma allora, il loop:
$$
\gathered
C_1\to\dots\to C_i\to C_j\to\dots\to C_n\to C_1,
\\
C_i\to C_{i+1}\to\dots\to C_j\to C_i,
\endgathered
\qquad
\gathered
\text{(nel primo caso)}
\\
\text{(nel secondo caso)}
\endgathered
$$
risulta essere strettamente pi\'u corto di quello di partenza,
e ci\`o \`e assurdo.

Da \thetag{$\star$} e Proposizione~\lapa{proptop}\ segue quindi che o
$n=3$ ed $\bigcap_iF(C_i)\ne\vuoto$ oppure $H_1(\bigcup_iF(C_i))\ne0$.
Nel primo caso, presi $x_i\in C_i$ tali che $F(x_1)=F(x_2)=F(x_3)$,
per definizione di $\to$, si ha:
$$
\gather
C_1\to C_2\implies h(x_1)<h(x_2),
\qquad
C_2\to C_3\implies h(x_2)<h(x_3),
\\
C_3\to C_1\implies h(x_3)<h(x_1),
\endgather
$$
che \`e palesemente assurdo; nel secondo caso $\bigcup_iF(C_i)$
risulta essere diffeomorfo ad un disco aperto con dei buchi;
ragionando come nella dimostrazione di
Proposizione~\lapa{propdiscoap}, si ottiene anche in questo caso un
assurdo.
\finedim

Come quando si \`e definita la parola di una curva, per ogni segmento
$r\in R$, fissiamo una orientazione di un intorno tubolare di
$r-{\infty}$, in modo da dare un senso all'espressione di ``sinistra''
e ``destra'' di un segmento.

\prop\propcompatibile
Sia $F$ fattorizzabile e siano $C_1,C_2,C_3,C_4\in\CC$,
$\ell$, $\ell_1$, $\ell_2$, lati del grafo $H(F)$,
%  $\ell_1$, $\ell_2$ propri;
valgono le seguenti
propriet\`a:
\roster
\ito A
se $C_1$, $C_2$ sono adiacenti lungo $\ell$
\(ovvero $\bar C_1\cap\bar C_2\supseteq\ell$\) ed
$F(C_3)\cap F(\ell)\ne\vuoto$ allora :
$$
C_1\to C_3 \text{ e }C_2\to C_3,
\qquad\text{oppure}\qquad
C_3\to C_1 \text{ e }C_3\to C_2;
$$
\ito{B}
se $C_1$, $C_2$ sono adiacenti lungo $\ell_1$ e $C_3$,
$C_4$ lungo $\ell_2$ con $F(\ell_1)\cap
F(\ell_2)\ne\vuoto$, essendo $F(C_1)$, $F(C_3)$ sul lato
sinistro del segmento $r$ ed $F(C_2)$, $F(C_4)$ sul suo
lato destro, dove $r\in R$ denota il segmento tale che
$F(\ell_i)\subset r$, allora:
$$
C_1\to C_3 \text{ e }C_2\to C_4;
\qquad\text{oppure}\qquad
C_3\to C_1 \text{ e }C_4\to C_2.
$$
\endroster
\finenu
\dim
Se $C_1$, $C_2$, $C_3$, sono come in \therosteritem{A}, allora sia
$F(C_1)\cap F(C_3)$ che $F(C_2)\cap F(C_3)$ sono non vuoti, quindi,
tra $C_1$ e $C_3$ e tra $C_2$ e $C_3$ c'\`e sicuramente una qualche freccia.

Supponiamo per assurdo che $C_1\to C_3$ e $C_3\to C_2$. Sia $z\in
F(C_3)\cap F(\ell)$ e sia $p\in\ell$ tale che $F(p)=z$.  Preso $U$ un
intorno connesso di $p$ tale che $U\cap C_3=\vuoto$ ed $F(U)\subset
F(C_3)$ (esiste per continuit\`a). Scegliamo punti $p_1\in U\cap C_1$,
$p_2\in U\cap C_2$ ed un cammino $\gamma$ in $U$, che li congiunga.
Posto $\gamma_3=\left(\ristr F{C_3}\right)^{-1}\circ F\circ\gamma$,
evidentemente risulta
$F\bigr(\gamma_3(t)\bigl)=F\bigr(\gamma(t)\bigl)$ $\forall t\in[0,1]$. Ma:
$$
C_1\to C_3\implies
h\bigl(\gamma(0)\bigr)<h\bigl(\gamma_3(0)\bigr),
\qquad
C_3\to C_2\implies
h\bigl(\gamma(1)\bigr)>h\bigl(\gamma_3(1)\bigr),
$$
quindi       $\exists\puad          t_0\in(0,1)$          tale     che
$h\bigl(\gamma(t_0)\bigr)=h\bigl(\gamma_3(t_0)\bigr)$, che contraddice
l'iniettivit\`a di $(F,h)$.
Un'argomentazione del tutto simile, prova anche la \therosteritem{B}.
\finedim
Il significato geometrico delle condizioni \therosteritem{A} e
\therosteritem{B}, enunciate nella proposizione ora dimostrata, \`e
illustrato in \lafig{fi11}.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps fi11,181.9,0,700,%\rete
\metti{\parabf NO}{0}{86}
\metti{\parabf SI}{1}{58}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figura0
$$

Le Proposizioni \lapa{propcompgraf}, \lapa{propnoloop} e
\lapa{propcompatibile}, dimostrano allora il seguente:

\teo\teofattnecess
Sia $F:S\to\ENNE$ un'applicazione generica
fattorizzabile in $\ENNE\times\ERRE$; allora si pu\`o dotare
l'insieme $\CC$ di una struttura di grafo orientato senza loop che
verifica le \therosteritem{A} e \therosteritem{B} di Proposizione
\lapa{propcompatibile}.
\finenu

\teo\teofattsuff
La condizione del teorema precedente \`e anche sufficiente.
\finenu
\dim
Articoleremo la dimostrazione in due passi:
\roster
\item
definizione di una altezza su $\ttilde S$ meno un intorno tubolare del
luogo critico;
\item
estensione di tale funzione a tutta $\ttilde S$.
\endroster
Per Proposizione~\lapa{propmenodischi} seguir\`a allora la tesi. 

Sia $L$ il grafo nell'ipotesi, non \`e difficile vedere che la
condizione di essere senza loop \`e equivalente a dire che la
relazione $\to$ \`e estendibile ad un ordinamento totale $\prec$ su
$\CC$ e, chiaramente, questo ordinamento continua a verificare le
condizioni \therosteritem{A} e \therosteritem{B}.  Pertanto possiamo
supporre $\CC=\bigl\{C_1,\dots,C_n\bigr\}$ con $C_s\prec C_{s+1}$ per
ogni $s$.

\smallbreak
\noindent
{\bf Primo passo.}\quad Sia $U$ un intorno tubolare di $\Sigma$ tale
che $\ristr F{\de U}$ sia generica (senza cuspidi e solo con incroci
normali), denotiamo $S' = \ttilde S-U$, $\ttilde\G = F(\de S')$ e se
$C \in \CC$ indichiamo $C'=C\cap S'$.  Fissiamo un intorno contrattile
$V_\infty$ di $\infty$ in $\ENNE$, che sia contenuto nella parte
interna (ossia indicata dal suo lato) di ciascuna delle curve $g_i$,
ovvero in modo tale che $F(\ttilde S)\subset (\ENNE-V_\infty)$.  Per
ogni $r\in R$ prendiamo un intorno orientato $V_r$ di $r-V_\infty$ in
$\ENNE-V_\infty$ ed un diffeomorfismo $\varphi_r : V_r \to [0,t_r]
\times [-1,1]$, tali che:
\roster
\item
$V_r\cap V_{r'}=\emptyset\quad \forall r\ne r'$;
\item
$\forall r\in  R\quad  V_r  \text{  non  contiene  punti  doppi  di  }
\ttilde\G$;
\item
$\forall r\in R\quad \varphi_r(r)\subseteq[0,t_r]\times\{0\}$;
\item
$\forall r\in R\quad (r\cup\G)\cap V_r$ \'e connesso (questa
condizione, insieme alla \therosteritem2 vuol dire che $V_r$ contiene
soltanto rami di $\ttilde\G$ che intersecano $r$);
\item
se  $\G_{r,j}$  denota    la  componente  di   $\ttilde\G\cap V_r$ che
interseca $r$ nel $j$--esimo punto contando secondo l'orientazione di
$r$,    allora      $\forall\vartheta\in    f^{-1}(\G_{r,j})$  $\quad$
$\varphi_r(f(\vartheta))=(j,e\vartheta+c)$ con   $c$      una costante
opportuna;
\item
$\forall r\in R\quad  \varphi_r \text{ e  } \ristr{\varphi_r}{r}\colon
r\to\ERRE$ conservano l'orientazione.
\endroster
Tecniche standard  di  topologia differenziale  mostrano  che siffatti
intorni e diffeomorfismi esistono.


Detto $V=\bigcup_{r\in R}V_r$, per ogni lato proprio $\ell$  di $H(F)$
denotiamo con $U_\ell$  la  componente  connessa di $F^{-1}(V)\cap S'$
che contiene    $\ell\cap S'$.   Denotiamo ancora   con  $r(\ell)$  il
segmento tale che $F(\ell)\subset  r(\ell)$ ed infine  con $s(\ell)$ e
$t(\ell)$ i due indici  tali  che $C_{s(\ell)}$,  $C_{t(\ell)}\in \CC$
siano  le  due componenti  (eventualmente uguali)  che sono  adiacenti
lungo $\ell$, la  prima  sulla sinistra e la  seconda  sulla destra di
$\ell$  (sinistra e destra  intese rispetto  alle orientazioni indotte
tramite $F$).


Infine, sia $\psi\colon\ERRE\times[-1,1]\tto\ERRE$ una
funzione di classe $C^\infty$ tale che:
$$
\allowdisplaybreaks
\alignat2
&\psi(x,y)=0 
&&\qquad\forall y\in{\tsize \left[-1,-\frac{2}{3}\right]};
\\
&\psi(x,y)=1 
&&\qquad\forall y\in{\tsize\left[\frac{2}{3},1\right]};
\\
&\psi(x,y)\in[0,1] 
&&\qquad \forall x,y\in\ERRE\times[-1,1].
\endalignat
$$

Per ogni $C\in\CC$  denotiamo con $C^*=(C\cap S')-\bigcup_\ell U_\ell$
e definiamo la funzione:
$$
\align
h_1&:S'\tto\ERRE
\\
h_1&:x\longmapsto\cases
s &\text{se}\ x\in C_s^*
\\
s(\ell)+\bigl(t(\ell)-s(\ell)\bigr)
\psi\Bigl(\varphi_{r(\ell)}\bigl(F(x)\bigr)\Bigr)
&\text{se}\ x\in U_\ell.
\endcases
\endalign
$$
Per come \`e stata costruita, tale funzione risulta essere di classe
$C^\infty$. Mostriamo che l'applicazione $(\ristr
F{S'},h_1):S'\to\ENNE\times\ERRE$ \`e iniettiva. Siano $x\ne y\in S'$,
abbiamo tre casi possibili:
\roster
\item"{\bf(I)}" 
$x\in C^*_s$ ed $y\in C^*_{s'}$;
\item"{\bf(II)}" 
$x\in C^*_s$ ed $y\in U_\ell$:
\item"{\bf(III)}" 
$x\in U_\ell$ ed $y\in U_{\ell'}$.
\endroster

\noindent
{\bf Caso (I):}\puad Se $s=s'$, dato che (cfr. Lemma \lapa{leminiett})
$\ristr F{C_s}$ \`e iniettiva, allora $F(x)\ne F(y)$; se $s\ne s'$
allora, per come \`e definita $h_1$, $h_1(x)\ne h_1(y)$.

\noindent
{\bf Caso (II):}\puad Se $F(x)\ne F(y)$ non c'\`e niente da
dimostrare; se $F(x)=F(y)$ allora $F(C_s^*)\cap F(U_\ell)\ne\vuoto$, e
quindi, per come sono stati presi gli intorni $V_i$, risulta
$F(C_s)\cap r(\ell)\ne\vuoto$; ma la condizione \therosteritem{A} su
$\prec$, implica che:
$$
\alignedat3
C_s\prec C_{s(\ell)}\quad &\text{e}\quad C_s\prec C_{t(\ell)}
&\qquad&\text{o}&\qquad
C_{s(\ell)}\prec C_s\quad&\text{e}\quad C_{t(\ell)}\prec C_s;
\\
s<s(\ell)\quad&\text{e}\quad s<t(\ell)&\qquad&\text{o}&\qquad
s(\ell)<s\quad&\text{e}\quad t(\ell)<s.
\endalignedat\tag"\text{cio\`e:}"
$$

Ma, per  come \`e stata definita  $h_1$, $h_1(x)$ \`e un valore
compreso tra $s(\ell)$ e $t(\ell)$,
mentre $h_1(y)=s$. Ne segue allora che $h_1(x)\ne h_1(y)$.

\noindent
{\bf Caso (III):}\puad Supponiamo che $F(x)=F(y)=p$; visto che gli
intorni $V_r$ sono a due a due disgiunti, deve
necessariamente aversi: $r(\ell)=r(\ell')$. Ma allora dal fatto che
$F(U_\ell)\cap F(U_{\ell'})\ne\vuoto$, e dalle propriet\`a
\therosteritem2 e \therosteritem4 degli intorni $V_r$, segue allora
che necessariamente $F(\ell)\cap F(\ell')\ne\vuoto$. Ma allora per la
condizione \therosteritem A, si ha:
$$
C_{s(\ell)}\prec C_{s(\ell')}
\quad\text{e}\quad
C_{t(\ell)}\prec C_{t(\ell')}
\qquad\text{o}\qquad
C_{s(\ell')}\prec C_{s(\ell)}
\quad\text{e}\quad
C_{t(\ell')}\prec C_{t(\ell)}
$$
ovvero:
$$
s(\ell)<s(\ell')\quad\text{e}\quad t(\ell)<t(\ell')
\qquad\text{o}\qquad
s(\ell')<s(\ell)\quad\text{e}\quad t(\ell')<t(\ell).
\tag$\star$
$$
Ma allora, per come \`e definita $h_1$, si ha che:
$$
\gather
h_1(x)=s(\ell)+\bigl(t(\ell)-s(\ell)\bigr)\psi\bigl(\varphi_{r(\ell)}(p)\bigr);
\\
h_1(y)=s(\ell')+\bigl(t(\ell')-s(\ell')\bigr)\psi\bigl(\varphi_{r(\ell')}(p)\bigr).
\endgather
$$
Dalla \thetag{$\star$}, unita al fatto gi\`a menzionato che
$r(\ell)=r(\ell')$, segue allora immediatamente che:
$$
h_1(x)<h_2(y)
\qquad\text{o}\qquad
h_2(y)<h_1(x).
$$
Questo conclude la dimostrazione del primo passo.

\medbreak

\noindent{\bf Secondo passo.}\quad
Per non appesantire troppo le notazioni, supporremo che $\Sigma$ sia
costituito da un'unica componente connessa; come si vedr\`a
chiaramente, la stessa dimostrazione pu\`o essere portata avanti nel
caso generale senza sostanziali differenze se non una maggiore
complicazione formale.

Sia $U$ un intorno tubolare di $\Sigma$, poniamo:
$$
M=\cases
\ERRE\times[-1,1]\Big/\vphantom{]}_{\!(x,y)=(x+1,y)}
\quad&\text{se $\ttilde U$ \`e orientabile,}
\\
\ERRE\times[-1,1]\Big/\vphantom{]}_{\!(x,y)=(x+1,-y)}
\quad&\text{se $\ttilde U$ non \`e orientabile.}
\endcases
$$
Sia $\varphi\colon M\to\ttilde  U$ un diffeomorfismo.   Si
pu\`o supporre di aver preso $U$ e $\ttilde\varphi$ in modo che
$\varphi\bigl(\{y=0\}\bigr)=\Sigma$ e  che   l'immagine inversa
tramite $\varphi$ degli archi costituenti $H(F)$ siano segmenti
verticali, ossia  del tipo  $\{t\}\times[-1,1]$, $\{t\}\times  [0,1]$,
oppure      $\{t\}\times[-1,0]$.

Denotiamo con $p:\ERRE\times[-1,1]\to M$ la proiezione a
quoziente e siano $t_i$, $s_j$, $z_l\in[0,1)$ i punti tali che
l'insieme:
$$
\bigcup\nolimits_i\bigl(\{t_i\}\times[0,1]\bigr)
\cup\bigcup\nolimits_j\bigl(\{s_j\}\times[-1,0]\bigr)
\cup\bigcup\nolimits_l\bigl(\{z_l\}\times[-1,1]\bigr)
$$
costituisca l'immagine inversa, tramite $\varphi\circ p$, degli archi
di $H(F)$.

Denotiamo  con   $D_j$  sia    la  generica componente  connessa    di
$M-\varphi^{-1}\bigl(H(F)\bigr)$ sia  la corrispondente componente  di
$U-H(F)$ (quando ci sar\`a ambiguit\`a  diremo  esplicitamente a quale
delle due accezioni ci riferiamo); inoltre, per ogni $j$ denotiamo con
$C_{i(j)}\in\CC$  la   componente   di   $\ttilde S-H(F)$  contenente
$D_j$.

\lem\lemuno
Sia $\bar t\in[0,1)$ un punto di cuspide \(ossia, con le notazioni
appena introdotte, $\bar t=t_i$ oppure
$\bar t=s_j$\) e siano $D_{j_1(\bar t)},D_{j_2(\bar t)},D_{j_3(\bar t)}$ le tre
componenti che han\-no il punto $(\bar t,0)$ nella loro chiusura.
Sia $D_{j_1}(\bar t)$ la componente che non \`e adiacente al
segmento verticale uscente da $(\bar t,0)$ (ossia
$\{t_i\}\times[0,1]$ oppure $\{s_j\}\times[-1,0]$, cfr. \lafig{figemme});
allora:
$$
C_{i(j_2(\bar t))}\prec C_{i(j_1(\bar t))}\prec C_{i(j_3(\bar t))}
\quad\text{\sl oppure}\quad
C_{i(j_3(\bar t))}\prec C_{i(j_1(\bar t))}\prec C_{i(j_2(\bar t))}.
$$
\finenu
\dim
Dato che $F(D_{j_1(\bar t)})\cap F(D_{j_2(\bar t)})\cap F(D_{j_3(\bar
t)})\ne\vuoto$, la tesi segue dalla condizione \therosteritem A
verificata da $\prec$.
\finedim
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figboxps figemme,40,0,1000,
%\rete
\metti{$D_{j_1(\bar t)}$}{38}{10}
\metti{$D_{j_2(\bar t)}$}{0}{70}
\metti{$D_{j_3(\bar t)}$}{75}{70}
\metti{$t_i$}{52}{55}
\setbox101=\box0
\figura101
\qquad
\figboxps figemme2,40,0,1000,
%\rete
\metti{$D_{j_1(z_l)}$}{0}{70}
\metti{$D_{j_2(z_l)}$}{71}{70}
\metti{$D_{j_3(z_l)}$}{0}{10}
\metti{$D_{j_4(z_l)}$}{71}{10}
\metti{$z_l$}{52}{55}
\setbox100=\box0
\qquad
\figura100
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vskip-\belowdisplayskip
\lem\lemdue
Siano $D_{j_1(z_l)},D_{j_2(z_l)},D_{j_3(z_l)},D_{j_4(z_l)}$ le quattro
componenti che han\-no il punto $(z_l,0)$ nella loro chiusura;
supponiamo che $D_{j_1(z_l)}\subseteq\{y>0,t<z_l\}$,
$D_{j_2(z_l)}\subseteq\{y>0,t>z_l\}$,
$D_{j_3(z_l)}\subseteq\{y<0,t<z_l\}$,
$D_{j_4(z_l)}\subseteq\{y<0,t>z_l\}$ (cfr. \lafig{figemme2}); allora:
$$
\gather
C_{i(j_1(z_l))}\prec C_{i(j_3(z_l))}
\quad\text{e}\quad
C_{i(j_2(z_l))}\prec C_{i(j_4(z_l))},
\\
\text{oppure}
\\
C_{i(j_1(z_l))}\succ C_{i(j_3(z_l))}
\quad\text{e}\quad
C_{i(j_2(z_l))}\succ C_{i(j_4(z_l))}.
\endgather
$$
\finenu
\dim
In modo  del    tutto  analogo alla  dimostrazione  della proposizione
precedente, la tesi segue dalla condizione \therosteritem B verificata
da $\prec$.
\finedim

Su $\ERRE\times\{|y|=1\}$ \`e definita la funzione $p\circ h_1$,
traccia dell'altezza costruita al passo precedente, che denoteremo
ancora con $h_1$.  Non \`e difficile vedere che si pu\`o supporre di
aver costruito l'altezza $h_1$ in modo che:
$$
h_1(t,y)=\cases
h_{1,1}(t)\quad&\text{se } y\ge1
\\
h_{1,-1}(t)\quad&\text{se } y\le-1
\endcases
$$
Dai Lemmi \lapa{lemuno} e \lapa{lemdue} e dal modo in cui si \`e
costruita l'altezza su $\ttilde S$, segue che possiamo
supporre che $h_{1,1}$ ed $h_{1,-1}$ abbiano le seguenti
propriet\`a:
\roster
\item
$h_{1,1}(t+1)=h_{1,1}(t)$ e $h_{1,-1}(t+1)=h_{1,-1}(t)$ se l'intorno
$U$ \`e orientabile oppure $h_{1,1}(t+1)=h_{1,-1}(t)$ e
$h_{1,-1}(t+1)=h_{1,1}(t)$ nell'altro caso;
\item
$\exists\puad\ep>0$ tale che:
\itemitem{a)}
$h_{1,1}$ \`e strettamente monotona sugli intervalli
$[t_i-\ep,t_i+\ep]$ e
$[z_l-\ep,z_l+\ep]$;
\itemitem{b)}
$h_{1,-1}$ \`e strettamente monotona sugli intervalli
$[s_j-\ep,s_j+\ep]$ e
$[z_l-\ep,z_l+\ep]$;
\itemitem{c)}
$h_{1,1}$ e $h_{1,-1}$ sono costanti negli altri intervalli;
\item
$\forall\puad t\in[0,1)\quad h_{1,1}(t)=h_{1,-1}(t)\iff t=t_i \text{ o }
t=s_j$ per qualche $i$ o $j$.
\endroster

Dal Lemma \lapa{lemuno} segue allora che si pu\`o estendere l'altezza
$h_1$ in un intorno, del tipo
$[\bar t-\delta,\bar t+\delta]\times[-1,1]$, di ogni cuspide, come
suggerito in figura \lafig{figmetti},
in modo che $(F,h_1):[\bar t-\delta,\bar
t+\delta]\times[-1,1]\to\ENNE\times\ERRE$ sia un embedding. Inoltre,
se per ogni punto di cuspide $\bar t$ denotiamo con $D_{j_1(\bar t)}$,
$D_{j_2(\bar t)}$ e $D_{j_3(\bar t)}$ le tre componenti aderenti al
punto stesso (cfr.  Lemma \lapa{lemuno}), detti $M(\bar
t)=\max\{i(j_2(\bar t)),i(j_3(\bar t))\}$ ed $m(\bar
t)=\min\{i(j_2(\bar t)),i(j_3(\bar t))\}$, possiamo supporre che
l'estensione sia tale che:
$$
\forall\puad(t,y)\in[\bar t-\delta,\bar t+\delta]\times[-1,1]\qquad
m(\bar t)\le h_1(x,t)\le M(\bar t).\tag$\star$
$$
Possiamo inoltre supporre di aver preso l'intorno $U$ di $\Sigma$ ed
il numero $\delta$ sufficientemente piccoli, in modo che, per ogni
coppia di punti di cuspide $(\bar t_1,0)$, $(\bar t_2,0)$ si abbia:
$$
F\bigl([\bar t_1-\delta,\bar t_1+\delta]\times[-1,1]\bigr)
\cap
F\bigl([\bar t_2-\delta,\bar t_2+\delta]\times[-1,1]\bigr)
=\vuoto.\tag$\star\star$
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\figuraps figmetti,110,0,1000,1,
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Si ha il seguente:
\lem\embcusp
L'applicazione:
$$
(F,h_1):\ttilde S\cup\bigcup\nolimits_{\bar t}\bigl([\bar t-\delta,\bar
t+\delta]\times[-1,1]\bigr)
\tto\ENNE\times\ERRE
$$
\`e un embedding.
\finenu
\dim
Per come \`e stata estesa $h_1$, l'applicazione \`e evidentemente una
immersione (ha differenziale iniettivo). D'altra parte, siano $x_1$,
$x_2\in\ttilde S\cup\bigcup_{\bar t}[\bar t-\delta,\bar
t+\delta]\times[-1,1]$, tali che $F(x_1)=F(x_2)$ e
$h_1(x_1)=h_1(x_2)$. Per il fatto che $(F,h_1):\ttilde
S\to\ENNE\times\ERRE$ \`e iniettiva, per la \thetag{$\star\star$} e
per come \`e stata estesa $h_1$ all'intorno delle cuspidi,
necessariamente deve risultare che se $x_1$ ed $x_2$ sono distinti,
allora $x_1\in[\bar t-\delta,\bar t+\delta]\times[-1,1]$ e
$x_2\in\ttilde S$. Inoltre, \`e chiaro che il punto $x_2$ deve stare
in una zona in cui $h_1$ \`e costante; detta $C_i$ la componente di
$\ttilde S-H(F)$ che lo contiene, $F(C_i)$ contiene la
cuspide corrispondente al punto $(\bar t,0)$. Ma allora:
$$
F(C_i)\cap F(D_{j_l(\bar t)})\ne\vuoto\qquad l=1,2,3,
$$
ed applicando due volte la \thetag A si ottiene:
$$
C_i\prec\min\{C_{i(j_l(\bar t))}\mid l=1,2,3\}
\quad\text{oppure}\quad
C_i\succ\max\{C_{i(j_l(\bar t))}\mid l=1,2,3\},
$$
ovvero:
$$
i<m(\bar t)=\min\{i(j_l(\bar t))\mid l=1,2,3\}
\quad\text{oppure}\quad
i>M(\bar t)=\max\{i(j_l(\bar t))\mid l=1,2,3\}.
$$
Da ci\`o, usando la \thetag{$\star$} ed il fatto che $h_1(x_2)=i$,
segue evidentemente un assurdo.
\finedim

A questo punto resta da estendere $h_1$ ad $U-\bigcup\nolimits_{\bar
t}\bigl([\bar t-\delta,\bar t+\delta]\times[-1,1]\bigr)$.  Ora, nelle
zone in cui le funzioni $h_{1,1}$ ed $h_{1,-1}$ sono entrambe
costanti, si trova facilmente una estensione dell'altezza come
suggerito in \lafig{figmetti1}.  D'altra parte il Lemma~\lapa{lemdue}
(cfr. condizione \therosteritem3) garantisce che anche nelle zone del
tipo $[z_l-\ep,z_l+\ep]\times[-1,1]$, sul cui bordo le funzioni
$h_{1,1}$ ed $h_{1,-1}$ sono entrambe monotone e tali che i valori
assunti dall'una sono sempre minori dei valori assunti dall'altra, si
pu\`o trovare una estensione locale (cfr. \lafig{figmetti2}) di $h_1$.
Inoltre, analogamente a quanto fatto nella estensione di $h_1$ attorno
alle cuspidi, possiamo supporre che queste estensioni locali assumano
nel punto $(t,y)$ un valore compreso tra $h_{1,1}(t)$ e $h_{1,-1}(t)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$$
\vcenter{\figuraps figmetti1,80,0,1000,1,}
\kern1cm
\vcenter{\figuraps figmetti2,60,0,1000,2,}
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Sempre la condizione \therosteritem3, garantisce che queste estensioni
locali si possono incollare a dare una estensione globale di $h_1$ ad
una funzione $h:S\to\ERRE$.

Con argomentazioni del tutto analoghe a quelle usate nella
dimostrazione del Lemma~\lapa{embcusp}, si dimostra facilmente, pur di
aver preso l'intorno $U$ sufficientemente piccolo, il seguente:
\lem.
L'applicazione $(F,h):S\to\ENNE\times\ERRE$ \`e iniettiva.
\finenu
Dato che evidentemente, per come \`e stata costruita $h$,
l'applicazione $(F,h)$ \`e una immersione, questo conclude la
dimostrazione del Teorema \lapa{teofattsuff}.
\finedim

%\def\nomefile{par34.tex}

\para{Una descrizione dei fibrati in rette\\sulle superficie}{fibss}

Lo scopo di questa sezione \`e quello di dare un modo costruttivo di
descrivere i fibrati in rette su superficie compatte, in modo che sia
possibile utilizzarla per la soluzione del problema della
fattorizzazione nel caso generale.
\prop\banalesusd
L'unico fibrato in rette sulla sfera $\ESSE^2$ \`e il fibrato banale.
\finenu
\dim
Segue dal teorema di classificazione dei fibrati sulle sfere (cfr.
\cite S, Teorema~18.5) e dal fatto che il gruppo fondamentale di
$\ERRE-\{0\}$ (che \`e il gruppo strutturale dei fibrati in rette) \`e
banale.
\finedim

Visto allora che il caso dei fibrati banali \`e gi\`a stato esaminato
nella sezione precedente, in questa sezione supporremo sempre che
$\ENNE$ sia una superficie compatta, connessa di genere positivo.

Ricordiamo una definizione di topologia:
\defi.
Siano $X$ ed $Y$ spazi topologici e sia $A\subset X$, sia $g:A\to Y$
una applicazione continua, si definisce unione di $X$ ed $Y$ su $g$ lo
spazio topologico:
$$
X\ccup_gY=\bigl.X\amalg Y\bigr/\!\VI_{x=g(x)},
$$
dove con $\amalg$ denotiamo come al solito l'unione disgiunta.
\finenu

\`E un fatto standard di  topologia differenziale (si veda ad esempio
\cite{Hi}), il seguente:
\teo.
Siano $M$ ed $N$ due variet\`a differenziabili con bordo della stessa
dimensione, e sia $\varphi;\de N\to\de M$ un diffeomorfismo.  Allora
esiste un'unica struttura di variet\`a differenziabile su
$N\ccup_\varphi M$ tale che le inclusioni di $M$ ed $N$ in
$N\ccup_\varphi M$ siano degli embedding.
\finenu

Torniamo alle nostre superficie. Sia $\ENNE_1$ una superficie compatta
con una componente di bordo, e sia $\pi_1:\EE_1\to\ENNE_1$ un fibrato
in rette.  Supponiamo che $\ristr{\EE_1}{\de\ENNE_1}$ sia banale, e sia
$\Phi:\ESSE^1\times\ERRE\to\ristr{\EE_1}{\de\ENNE_1}$ una banalizzazione.
Denotiamo con $\varphi:\ESSE^1\to\de\ENNE_1$ la restrizione di $\Phi$
alla sezione nulla.  Possiamo allora considerare il fibrato su
$\ENNE=\ENNE_1\ccup_\varphi\DD^2$ il cui spazio totale \`e dato da
$\EE=\EE_1\ccup_\Phi(\DD^2\times\ERRE)$ e con proiezione $\pi$
definita in modo ovvio.

Dimostriamo ora che la costruzione precedente non dipende dalla
banalizzazione scelta. Ovvero dimostriamo la seguente:
\prop.
Se $\Phi:\ESSE^1\times\ERRE\to\ristr{\EE_1}{\de S_1}$ e
$\Phi:\ESSE^1\times\ERRE\to\ristr{\EE_1}{\de S_1}$ sono due
banalizzazioni, allora i fibrati
$\EE=\EE_1\ccup_\Phi(\DD^2\times\ERRE)$ ed
$\EE'=\EE_1\ccup_{\Phi'}(\DD^2\times\ERRE)$ sono isomorfi.
\finenu
\dim
Consideriamo l'applicazione
$\Psi:\ESSE^1\times\ERRE\to\ESSE^1\times\ERRE$, data da
$\Psi=\Phi^{-1}\circ\Phi'$, evidentemente, esiste una estensione di
$\Psi$ ad un isomorfismo fibrato:
$$
\ttilde\Psi:\DD^2\times\ERRE\tto\DD^2\times\ERRE,
$$
ma allora l'applicazione
$(\text{Id}\amalg\ttilde\Psi):
\EE_1\amalg(\DD^2\times\ERRE)\to\EE_1\amalg(\DD^2\times\ERRE)$
passa a quoziente definendo una applicazione:
$$
\EE_1\ccup_{\Phi'}(\DD^2\times\ERRE)\tto\EE_1\ccup_\Phi(\DD^2\times\ERRE)
$$
che \`e evidentemente un isomorfismo di fibrati.
\finedim

Dato quindi un fibrato $\EE_1$ su una superficie compatta connessa con
una componente di bordo
$\ENNE_1$ che sia banale sul bordo di $\ENNE_1$, la proposizione
precedente definisce un fibrato $\EE$  sulla superficie $\ENNE$ ottenuta da
$\ENNE_1$ attaccando un disco al suo bordo.
\defi\defchiusura
Chiameremo tale fibrato la chiusura di $\EE_1$, e lo denoteremo con
$\EE_1\cup(\DD^2\times\ERRE)$.
\finenu
\prop\propchiusura
Ogni fibrato su una superficie compatta senza bordo $\ENNE$ \`e la
chiusura di un qualche fibrato su una superficie con una componente di
bordo.
\finenu
\dim
Sia $\EE$ un fibrato su $\ENNE$. Si consideri un disco $D$
``embedded'' in $\ENNE$. Dato che $D$ \`e diffeomorfo ad un disco, il
fibrato $\ristr\EE D$ \`e banale, e quindi anche $\ristr\EE{\de D}$
\`e banale.

Ma allora sia $\ENNE_1$ la superficie ottenuta da $\ENNE$ togliendogli
la parte interna di $D$, e sia $\EE_1=\ristr\EE{\ENNE_1}$. Per quanto
visto prima $\ristr{\EE_1}{\de\ENNE_1}=\ristr\EE{\de D}$ \`e banale,
ed \`e ovvio che $\EE$ sia la chiusura di $\EE_1$.
\finedim 

Per quanto visto fino ad ora, dare un fibrato su una superficie
compatta, connessa e senza bordo $\ENNE$, \`e completamente
equivalente a dare un fibrato sulla superficie $\ENNE_1$, ottenuta da
$\ENNE$ rimuovendo la parte interna di un disco embedded, che ristretto
a $\de\ENNE_1$ sia banale.

Come fatto in \ilpara{gcpesati}, definiamo genere pesato di una
superficie compatta, connessa, senza bordo. $\ENNE$, il numero:
$$
h(\ENNE)=\cases
2g(\ENNE) &\quad\text{se }\ENNE\text{ \`e orientabile}
\\
g(\ENNE) &\quad\text{se }\ENNE\text{ non \`e orientabile}
\endcases
$$
essendo $g(\ENNE)$ il genere della superficie.
Ricordiamo un altro fatto ben noto:
\teo.
Ogni superficie compatta, connessa, di genere pesato $h\ge1$ \`e il
quoziente di un poligono con $2h$ lati identificati a coppie.
\finenu
\dim
Basta tagliare la superficie lungo un insieme di curve che rappresenti
un insieme minimale di generatori del gruppo fondamentale della
superficie.
\finedim

Sia quindi $\ENNE$ una superficie compatta, connessa, senza bordo.
Fissiamo una volta per tutte i seguenti dati:
\roster
\item
un punto $\infty\in\ENNE$;
\item
un intorno aperto $U_\infty$ di $\infty$, la cui chiusura sia
diffeomorfa ad un disco;
\item
un insieme, $\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_h\}$, di curve lisce,
rappresentanti un sistema di generatori minimale di
$\pi_1(\ENNE,\infty)$.
\endroster
Sia $\ENNE_1=\ENNE-U_\infty$, evidentemente, tagliando $\ENNE_1$ lungo
le curve $\omega_1\cap\ENNE_1$ si ottiene un poligono $P_{\ENNE_1}$
con $4h$ lati. Chiamiamo $\ell^\infty_1,\dots,\ell^\infty_{2h}$ i lati
che provengono dal bordo di $U_\infty$, ed
$\ell^\VI_1,\dots,\ell^\VI_{2h}$ gli altri. Chiaramente sul perimetro
del poligono, i lati di tipo $\ell$ e quelli di tipo $\ell^\infty$
sono alternati. Possiamo supporre allora di averli numerati in modo
che la loro disposizione sul perimetro del poligono sia: $\ell_1^\VI\ell^\infty_1\dots\ell_{2h}^\VI\ell^\infty_{2h}$.

Per ogni $i=1,\dots,2h$, indichiamo con $\sigma(i)$ l'indice tale che
$\ell_i$ ed $\ell_{\sigma(i)}$ sono identificati in $\ENNE_1$, e con
$\psi_i:\ell_i\to\ell_{\sigma(i)}$ il diffeomorfismo che d\`a tale
identificazione. Osserviamo incidentalmente che per ogni $i$ risulta:
$\psi_{\sigma(i)}=\psi_i^{-1}$.

Consideriamo allora il fibrato banale $P_{\ENNE_1}\times\ERRE$, e
supponiamo di avere associato ad ogni lato $\ell_i$ un peso
$\rho_i=\pm1$ in modo che $\rho_i=\rho_{\sigma(i)}$. Possiamo allora
considerare il quoziente
$\EE_\rho=\bigl.(P_{\ENNE_1}\times\ERRE)\bigr/\!\VI_\sim$ dove:
$$
(x_1,t_1)\sim(x_2,t_2)
\iff
x_1\in\ell_i,\puad x_2=\psi_i(x_1),\puad t_2=\rho_it_2.
$$
Evidentemente $\EE_\rho$ \`e un fibrato in rette su $\ENNE_1$.
\prop.
Il fibrato $\ristr{\EE_\rho}{\de\ENNE_1}$ \`e banale.
\finenu
\dim
Evidentemente, $\ristr{\EE_\rho}{\de\ENNE_1}$ \`e il quoziente
dell'unione disgiunta
$\coprod\limits_{i=1}^n(\ell^\infty_i\times\ERRE)$ per la relazione
indotta da $\sim$. Ma, siccome ogni lato $\ell_i^\infty$ ha soltanto i
suoi vertici in comune con i lati del tipo $\ell$, e precisamente con
i lati $\ell_i$ ed $\ell_{i+1}$, il fibrato
$\ristr{\EE_\rho}{\de\ENNE_1}$ \`e ottenuto identificando $2h$ copie
di $[0,1]\times\ERRE$ per i bordi.  D'altra parte ogni identificazione
dei lati $\ell_i$ ed $\ell_{\sigma(i)}$ produce esattamente due di
tali identificazioni, e quindi in totale avremo un numero pari di
identificazioni che avvengono mediante l'applicazione $t\mapsto-t$. Da
cui la tesi.
\finedim

Pertanto ogni distribuzione $\rho$ di pesi su $\Omega$ produce un
fibrato $\EE_\rho$ su $\ENNE_1$ di cui si pu\`o fare la chiusura, e
quindi in definitiva produce un fibrato, che continuiamo a chiamare
$\EE_\rho$, sulla superficie $\ENNE$.

\prop.
Ogni fibrato su $\ENNE$ \`e ottenuto con la precedente costruzione.
\finenu
\dim
Sia $\EE$ \`e un fibrato su $\ENNE$, indichiamo con
$\EE_1=\ristr\EE{\ENNE_1}$ e con $\pi_1:\EE_1\to\ENNE_1$ la sua
proiezione.

Sia $\varphi:P_{\ENNE_1}\to\ENNE_1$ l'applicazione che d\`a il taglio
di $\ENNE_1$, e sia $\EE_P=\varphi^*\EE_1$ il
fibrato indotto su $P_{\ENNE_1}$. Dato che $P_{\ENNE_1}$ \`e contrattile,
il fibrato $\EE_P$ \`e banale, sia
$\Psi:P_{\ENNE_1}\times\ERRE\to\EE_P$ una banalizzazione. Si ha il
seguente diagramma commutativo:
$$
\CD
P_{\ENNE_1}\times\ERRE	@>\Psi>> \EE_P	@>\pi^*_1\varphi>>	\EE_1
\\
@VVV		@V\varphi^*\pi_1VV	@VV\pi_1V
\\
P_{\ENNE_1}	@=	P_{\ENNE_1} @>>\varphi>		\ENNE_1
\endCD
$$
Allora il fibrato $\EE_1$ \`e ottenuto da $P_{\ENNE_1}\times\ERRE$
quozientando per la relazione d'equivalenza:
$$
(x_1,t_1)\sim(x_2,t_2)\iff
\varphi(x_1)=\varphi(x_2)
\quad\text{e}\quad
(\pi_1^*\varphi)_{x_1}\Psi_{x_1}(t_1)=
(\pi_1^*\varphi)_{x_2}\Psi_{x_2}(t_2).
$$
Per come \`e definita l'applicazione $\varphi$, tale relazione pu\`o
essere riscritta nel modo seguente:
$$
(x_1,t_1)\sim(x_2,t_2)\iff
\cases
\exists\puad i,\quad x_1\in\ell_i,
\\
x_2=\psi_i(x_1),
\\
t_2=\Psi_{\psi_i(x_1)}^{-1}(\pi_1^*\varphi)_{\psi_i(x_1)}^{-1}
(\pi_1^*\varphi)_{x_1}\Psi_{x_1}(t_1).
\endcases
\tag$\star$
$$
Denotiamo
$\ch_{i,x}=\Psi_{\psi_i(x)}^{-1}(\pi_1^*\varphi)_{\psi_i(x)}^{-1}
(\pi_1^*\varphi)_{x}\Psi_{x}$. Dato che $\ch_{i,x}$ \`e un isomorfismo
lineare di $\ERRE$ in s\`e, che varia con continuit\`a al variare di
$x\in\ell_i$, si ha che o $\ch_{i,x}$ conserva l'orientazione per ogni
$x\in\ell_i$, oppure $\ch_{i,x}$ rovescia l'orientazione per ogni
$x\in\ell_i$.

Sia allora $\rho$ la distribuzioni di pesi definita da:
$$
\rho_i=\cases
1\quad&\text{se }\ch_{i,x}\text{ conserva l'orientazione}
\\
-1\quad&\text{se }\ch_{i,x}\text{ rovescia l'orientazione}.
\endcases
$$

Dal fatto che i lati $\ell_i$ sono contrattili, segue allora che \`e
possibile trovare la banalizzazione $\Psi$ del fibrato $\EE_P$ in modo
tale che le funzini $\ch_{i,x}$ siano date da:
$$
\ch_{i,x}(t)=\cases
t\quad&\text{se }\rho_i=1,
\\
-t\quad&\text{se }\rho_i=-1.
\endcases
$$
Con una tale scelta della banalizzazione, la relazione
\thetag{$\star$} si riduce alla relazione che definisce il fibrato
$\EE_\rho$, che \`e la tesi.
\finedim

%\def\nomefile{par35.tex}

\para{Fattorizzazioni con embeddings:\\il caso generale}{fceg}

Sia $F:S\to\ENNE$ una applicazione generica, e sia $\pi:\EE\to\ENNE$
un fibrato in rette su $\ENNE$; denotiamo come al solito con $\G$ il
contorno apparente di $F$.

Si fissi un punto $\infty\in\ENNE$, e sia $R=A\cup B\cup\Omega$ un
sistema di segmenti per $\ristr F\Sigma$.  Sia $\ttilde S$ la
superficie ottenuta da $S$ rimuovendo dei dischi aperti attorno ad
ogni punto dell'immagine inversa di $\infty$, come in Proposizione
\lapa{propmenodischi}, e sia $U_\infty$ un intorno di $\infty$ tale
che la sua chiusura sia diffeomorfa ad un disco e tale che $F(\ttilde
S)\cap\bar U_\infty=\vuoto$.

Sia $\ENNE_1=\ENNE-U_\infty$, per quanto visto nella sezione
precedente, possiamo supporre che $\ristr \EE{\ENNE_1}=\EE_\rho$, per
una opportuna distribuzione di pesi, $\rho$ su $\Omega$.

Per Proposizione \lapa{propmenodischi}, il problema che ci proponiamo
di risolvere in questa sezione, ossia trovare condizioni necessarie e
sifficienti perch\`e $F$ sia fattorizzabile in $\EE$, \`e allora
equivalente al problema di trovare condizioni necessarie e sufficienti
affinch\`e l'applicazione $\ristr F{\ttilde S}:\ttilde S\to\ENNE_1$
sia fattorizzabile in $\EE_\rho$.

\rem.
Analogamente a quanto visto in \ilpara{fci} e \ilpara{fceb}, l'applicazione $\ristr F{\ttilde S}$ \`e fattorizzabile in $\EE_\rho$ se
e solo se esiste una sezione $\sigma$ del fibrato $\bigl(\ristr
F{\ttilde S}\bigr)^*\EE_\rho\to\ttilde S$, tale che
$\pi_\rho^*F^\VI_1\circ\sigma$ sia un embedding (cfr.  il seguente
diagramma).
$$
\CD
\hbox to1.8em{\hss$(\ristr F{\tilde S})^*\EE_\rho$} @>\lar{\pi_\rho^*\ristrset F{\tilde S}}>>     \EE_\rho
\\
@V(\ristrset F{\tilde S})^*\pi_\rho VV           @VV\pi_\rho V
\\
\ttilde S           @>>\lar{\ristrset F{\tilde S}}>              \ENNE_1
\endCD
$$
\finenu

Cerchiamo allora di capire cosa significhi dare una sezione del
fibrato $(\ristr F{\ttilde S})^*\EE_\rho$.

Sia $S'$ la superficie ottenuta da $\ttilde S$ tagliando lungo gli
archi di $\ristr F{\ttilde S}^{-1}(\Omega)$, e sia $\xi:S'\to\ttilde S$
l'applicazione che d\`a il taglio. Se $\varphi:P_{\ENNE_1}\to\ENNE_1$
denota l'applicazione che d\`a il taglio di $\ENNE_1$ lungo gli archi
di $\Omega$ (cfr. \ilpara{fibss}), \`e definita un'unica applicazione:
$$
F':S'\tto P_{\ENNE_1}
$$
tale che il seguente diagramma risulti commutativo:
$$
\CD
S'            @>F'>>            P_{\ENNE_1}
\\
@V\xi VV                                 @VV\varphi V
\\
\ttilde S    @>>\ristrset F{\tilde S}>   \ENNE_1
\endCD
$$
Dalla commutativit\`a di questo e del seguente diagramma:
$$\kern-2.5em
\CD
\hbox to 0pt{\kern-1em$P_{\ENNE_1}\times\ERRE$\hss}
@<< <
\hbox to 0pt{\hss$\xi^*(\ristrset F{\tilde S})^*\EE_\rho$\hss}
@>> >
\hbox to0pt{\hss$(\ristr F{\tilde S})^*\EE_\rho$\kern2.5em\hss}
@>>>
\EE_\rho
@<<<
\hbox to 1.5em{$P_{\ENNE_1}\times\ERRE$\hss}
\\
@VVV
@VVV
@VVV
@VV\pi_\rho V
@VVV
\\
P_{\ENNE_1}
@<<\pretend{F'}\haswidth{\kern2.2cm}<
S'
@>>\pretend\xi\haswidth{\kern2.6cm}>
\ttilde S
@>>\ristrset F{\tilde S}>
\ENNE_1
@<<\varphi<
P_{\ENNE_1}
\endCD
$$
e dalla definizione del fibrato $\EE_\rho$ (cfr. \ilpara{fibss}),
segue allora che dare una sezione del fibrato $(\ristr F{\ttilde
S})^*\EE_\rho$ \`e equivalente a dare una  sezione del fibrato
$\xi^*(\ristr F{\tilde S})^*\EE_\rho$ che passi a quoziente, ovvero
a trovare una funzione $h:S'\to\ERRE$ tale che:
$$
\aligned
\forall\puad x_1,x_2\in S' &\text{ tali che } \xi(x_1)=\xi(x_2)
\\
&\text{ risulta: }
h(x_1)=\rho_ih(x_2) \text { se } F(\xi(x_1))=F(\xi(x_2))\in\omega_i
\endaligned
\tag$\bigstar$
$$
e che verifichi le analoghe condizioni sui differenziali, che ne
garantiscano la differenziabilit\`a a quoziente.

Denoteremo con $\sigma_h$ la sezione di $(\ristr F{\ttilde
S})^*\EE_\rho$ ottenuta dalla funzione $h$, per passaggio a quoziente.

\prop.
L'applicazione $\pi^*\ristr F{\ttilde S}\circ\sigma_h:\ttilde
S\to\EE_\rho$ \`e un embedding se e solo se l'applicazione:
$$
(F',h):S'\tto P_{\ENNE_1}\times\ERRE
$$
\`e un embedding.
\finenu
\dim
Ovvia dalle definizioni.
\finedim
\defi.
Data un'applicazione generica $F:S\to\ENNE$, ed un sistema di segmenti
per $\ristr F\Sigma$, diremo che $h:S'\to\ERRE$ \`e una altezza
{\it bizzarra} per $F$, se verifica la condizione \thetag{$\bigstar$} ed
inoltre $(F',h)$ \`e un embedding.
\finenu



Introduciamo alcune notazioni. Denotiamo con $\ttilde
H(F)=\big(H(F)\cap\ttilde S\big)\cup\de\ttilde S$ e con $H'(F)\subset S'$
l'insieme $H'(F)=\xi^{-1}\bigl(\ttilde H(F)\bigr)$. Denotiamo inoltre
con $\CC$ l'insieme delle componenti connesse di $S-H(F)$, con
$\ttilde\CC$ l'insieme delle componenti connesse di $\ttilde S-\ttilde
H(F)$ e con $\CC'$ l'insieme delle componenti connesse di
$S'-H'(F)$.

\prop\bigecomp
L'inclusione mette in corrispondenza biunivoca $\ttilde\CC$ con $\CC$,
mentre l'applicazione $\xi:S'\to\ttilde S$ mette in corrispondenza
biunivoca $\CC'$ con $\ttilde\CC$.
\finenu
\dim
La prima delle due asserzioni segue dall'osservare che, per come \`e
costruita $\ttilde S$, se $C\in\CC$ allora la parte interna di
$C\cap\ttilde S$ \`e connessa. Per quanto riguarda la seconda, segue
dal fatto che, per definizione, l'applicazione $\xi$ ristretta alle
componenti connesse di $S'-\xi^{-1}F^{-1}(\Omega)$ \`e un
diffeomorfismo.
\finedim
Se $C\in\CC$, denoteremo con $\ttilde C\in\ttilde\CC$ la parte interna
di $\ttilde S\cap C$, e con $C'\in\CC'$ la componente tale che
$\xi(C')=\ttilde C$.
\prop\propintcong
Siano $C_1$, $C_2\in\CC$, allora:
$$
F(C_1)\cap F(C_2)\ne\vuoto\iff F(\ttilde C_1)\cap F(\ttilde C_2)\ne\vuoto
$$
\finenu
\dim
Una implicazione \`e banale. Supponiamo allora che $F(C_1)\cap
F(C_2)\ne\vuoto$ ma che $F(\ttilde C_1)\cap F(\ttilde C_2)=\vuoto$.
Evidentemente, dato che, per costruzione, $F(\ttilde
S)\subset\ENNE_1=\ENNE-U_\infty$, necessariamente deve aversi
$F(C_1)\cap F(C_2)\subset U_\infty$, e quindi $\de\bigl(F(C_1)\cap
F(C_2)\bigr)\subset U_\infty$.  Ma $\de\bigl(F(C_1)\cap F(C_2)\bigr)$
contiene necessariamente pezzi di $\G$, e ci\`o \`e assurdo in quanto
si \`e scelto $U_\infty$ in modo che $\G\cap U_\infty=\vuoto$.
\finedim

\prop\propintconndue
Siano $\ttilde C_1$, $\ttilde C_2\in\ttilde\CC$, allora $F(\ttilde
C_1)\cap F(\ttilde C_2)$ \`e connesso.
\finenu
\dim
La stessa di Proposizione \lapa{propintconn}.
\finedim

\prop.
Siano $C'_1$, $C'_2\in\CC'$, allora $F'(C'_1)\cap F'(C'_2)$ \`e connesso.
\finenu
\dim
Dato che $\varphi\circ F'=F\circ\xi$, si ha che:
$$
F\bigl(\xi(C'_1)\bigr)\cap F\bigl(\xi(C'_2)\bigr)
=
\varphi\bigl(F'(C'_1)\bigr)\cap\varphi\bigl(F'(C'_2)\bigr).
$$
Per la proposizione precedente, sappiamo che
$F\bigl(\xi(C'_1)\bigr)\cap F\bigl(\xi(C'_2)\bigr)$ \`e connesso.
D'altra parte, $F'(C'_1)$ ed $F'(C'_2)$ sono contenuti nella parte
interna del poligono $P_{\ENNE_1}$ e $\varphi$ ristretta alla parte
interna di $P_{\ENNE_1}$ \`e un diffeomorfismo. Da ci\`o se ne deduce
la tesi.
\finedim

Supponiamo ora che $F:S\to\ENNE$ sia fattorizzabile in $\EE$, e sia
$h:S'\to\ERRE$ una altezza {\it bizzarra} per $F$.

\prop\propcompgrafg
Siano $C'_1$, $C'_2\in\CC'$ tali che $F'(C'_1)\cap F'(C'_2)\ne\vuoto$.
Allora vale una ed una sola delle seguenti due:
\roster
\item
$\forall x\in C'_1,\ y\in C'_2\quad\text{t. c.}\quad
F'(x)=F'(y)\quad\text{risulta}\quad h(x)<h(y)$;
\item
$\forall x\in C'_1,\ y\in C'_2\quad\text{t. c.}\quad
F'(x)=F'(y)\quad\text{risulta}\quad h(x)>h(y)$.
\endroster
\finenu
\dim
La stessa di Proposizione \lapa{propcompgraf}.
\finedim

Anche in questo caso, come nel caso del fibrato banale (cfr.
\ilpara{fceb}), possiamo dotare l'insieme $\CC'$ di una struttura di
grafo orientato ponendo:
$$
\forall\puad C'_1,\ C'_2\in\CC'\qquad
C'_1\to C'_2 \iff \text{ vale la \therosteritem1 di Proposizione
\lapa{propcompgrafg}}.
$$

Si pu\`o indurre la struttura di grafo orientato anche sull'insieme
$\CC$ ponendo:
$$
\forall\puad C_1,\ C_2\in\CC\qquad
C_1\to C_2 \iff C'_1\to C'_2;
$$
Chiameremo questo grafo il grafo associato all'altezza {\it bizzarra} $h$, e
lo indicheremo con $L(h)$.

\rem.
Osserviamo che da Proposizione~\lapa{propintcong} segue immediatamente
che per ogni $C_1$, $C_2\in\CC$ risulta che:
$$
F(C_1)\cap F(C_2)\ne\vuoto
\iff
F'(C'_1)\cap F'(C'_2)\ne\vuoto.
$$
Pertanto due componenti $C_1$, $C_2\in\CC$ sono congiunte da un lato
in $L(h)$ se e soltanto se $F(C_1)\cap F(C_2)\ne\vuoto$. Quindi la
situazione \`e del tutto analoga a quella che si aveva nel caso del
fibrato banale.
\finenu

\prop\propnoloopg
Il grafo $L(h)$ non ha loop.
\finenu
\dim
Esattamente la stessa di Proposizione \lapa{propnoloop}.
\finedim

Vale anche in questo caso un analogo di Proposizione
\lapa{propcompatibile}. Denotiamo con
$\Omega^-=\{\omega\in\Omega\mid\rho(\omega)=-1\}$. Vale la seguente:
\prop\propcompatibileg
Sia $F$ fattorizzabile in $\EE$, e siano $C_1,C_2,C_3,C_4\in\CC$,
$\ell$, $\ell_1$, $\ell_2$, lati del grafo $H(F)$,
valgono le seguenti
propriet\`a:
\roster
\ito A
se $C_1$, $C_2$ sono adiacenti lungo $\ell$
\(ovvero $\bar C_1\cap\bar C_2\supseteq\ell$\) ed
$F(C_3)\cap F(\ell)\ne\vuoto$ allora:
$$
\kern\itemindent C_1\to C_3 \text{ e }C_2\to C_3,
\quad\text{oppure}\quad
C_3\to C_1 \text{ e }C_3\to C_2;
$$
\ito B
se $C_1$, $C_2$ sono adiacenti lungo $\ell_1$ e $C_3$,
$C_4$ lungo $\ell_2$ con $F(\ell_1)\cap
F(\ell_2)\ne\vuoto$, essendo $F(C_1)$, $F(C_3)$ sul lato
sinistro del segmento $r$ ed $F(C_2)$, $F(C_4)$ sul suo
lato destro, dove $r\in R$ denota il segmento tale che
$F(\ell_i)\subset r$, allora:
$$
\alignat2
\kern\itemindent &C_1\to C_3 \text{ e }C_2\to C_4;
\quad\text{oppure}\quad
C_3\to C_1 \text{ e }C_4\to C_2;&\quad&\text{se }r\in R-\Omega^-;
\\
\kern\itemindent &C_1\to C_3 \text{ e }C_4\to C_2;
\quad\text{oppure}\quad
C_3\to C_1 \text{ e }C_2\to C_4;&\quad&\text{se }r\in \Omega^-.
\endalignat
$$
\endroster
\finenu
\dim
Per quanto riguarda la \therosteritem A, osserviamo che una tale
situazione si pu\`o avere soltanto se l'immagine dell'arco $\ell$ \`e
contenuta o in $\Gamma$ (il contorno apparente di $F$) o in un
segmento che non sta in $\Omega$; inoltre \`e facile vedere che se
$x_1\in\ell$ e $x_2\in C_3$ sono tali che $F(x_1)=F(x_2)$
necessariamente $x_1$ ed $x_2$ stanno in $\ttilde S$. In altri termini
ci si riconduce a dimostrare la seguente:
%
\par\noindent\sl\leftskip=\parindent\rightskip=\parindent
%
Siano $C_1'$, $C_2'$, $C_3'\in\CC'$ e sia $\ell'$ un lato di $H'(F)$
non contenuto in $\de S'$. Se $C_1'$ e $C_2'$ sono adiacenti lungo
$\ell'$ ed $F'(\ell')\cap F'(C_3')\ne\vuoto$, allora
$$
C'_1\to C'_3 \text{ e }C'_2\to C'_3,
\quad\text{oppure}\quad\
C'_3\to C'_1 \text{ e }C'_3\to C'_2.
$$
%
\par\noindent\rm \leftskip=0pt \rightskip=0pt
%
Evidentemente, la stessa argomentazione usata per dimostrare la
\therosteritem A di Proposizione~\lapa{propcompatibile}, dimostra la
tesi.

Vediamo ora la \therosteritem B. Se $F(\ell_1)$ ed $F(\ell_2)$ sono
contenuti in un segmento di $R-\Omega$, come nel caso precedente, ci
si riconduce a dimostrare la stessa tesi per il grafo delle componenti
$\CC'$ ed anche in questo caso la dimostrazione \`e identica a quella
di Proposizione~\lapa{propcompatibile}.

Supponiamo allora che $F(\ell_1),F(\ell_2)\subset\omega\in\Omega$.
Siano $x_1\in\ell_1$ ed  $x_2\in\ell_2$ tali che $F(x_1)=F(x_2)$.
Anche in questo caso, possiamo supporre che $x_1,x_2\in\ttilde S$.
Siano allora $\ell_1'$ ed $\ell_1''$ i lati di $H'(F)$ tali che
$\xi(\ell_1')=\xi(\ell_1'')=\ell_1$ ed $\ell_2'$ ed $\ell_2''$ i lati
tali che $\xi(\ell_2')=\xi(\ell_2'')=\ell_2$. L'ipotesi di
\therosteritem B sulle componenti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e $C_4$ si
traduce allora nella seguente sulle componenti $C'_1$, $C'_2$, $C'_3$
e $C'_4$:
\par\noindent\leftskip=\parindent\rightskip=\parindent\sl
$C'_1$ \`e adiacente ad $\ell_1'$, $C'_2$ \`e adiacente ad $\ell_1''$,
$C'_3$ \`e adiacente ad $\ell_2'$, $C'_4$ \`e adiacente ad $\ell_2''$;
ed $F'(C'_1)\cap F'(C'_3)\ne\vuoto$ ed $F'(C'_2)\cap F'(C'_4)\ne\vuoto$.
\par\noindent\leftskip=0pt\rightskip=0pt\rm
Siano allora $x_1'$, $x_1''$, $x_2'$, $x_2''$ i punti tali che:
$$
x_i'\in\ell_i',\quad\text{e}\quad \xi(x_i')=\xi(x_i'')=x_i\qquad
i=1,2.
$$
Non \`e difficile mostrare che si possono
trovare (vedi \lafig{figelle}) quattro archi:
$$
\gamma_i':[0,1]\to S'\quad\gamma_i'':[1,2]\to S'\qquad i=1,2
$$
\par
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps figelle,50,0,1000,
%\rete
\metti{$\ell_1'$}{-6}{30}
\metti{$\ell_1''$}{99}{62}
\metti{$\ell_2'$}{30}{98}
\metti{$\ell_2''$}{64}{-7}
\metti{$x_1'$}{-4}{48}
\metti{$x_1''$}{98}{48}
\metti{$x_2'$}{48}{98}
\metti{$x_2''$}{48}{-4}
\metti{$\gamma_1'$}{23}{48}
\metti{$\gamma_1''$}{72}{48}
\metti{$\gamma_2'$}{48}{74}
\metti{$\gamma_2''$}{47}{20}
\metti{$C_1'$}{15}{65}
\metti{$C_2'$}{78}{28}
\metti{$C_3'$}{70}{78}
\metti{$C_4'$}{27}{15}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noindent
tali che:\parfigura1\advance\elle-2
$$
\gather
\phantom{\hbox{\vrule height0pt width0pt depth5pt}}\gamma_i'(1)=x_i'\text{ e }\gamma_i''(1)=x_i''\qquad i=1,2;\tag1
\\
\phantom{\hbox{\vrule height0pt width0pt depth18pt}}\forall\puad t\ne1\quad\cases
\gamma_1'(t)\in C'_1,\quad &\gamma_1''(t)\in C'_2,
\\
\gamma_2'(t)\in C'_3,\quad &\gamma_2''(t)\in C'_4;
\endcases\tag2
\\
\forall\puad t\quad\cases
F'(\gamma'_1(t))=F'(\gamma'_2(t)),
\\ 
F'(\gamma''_1(t))=F'(\gamma''_2(t)).
\endcases\tag3
\endgather
$$
\parf\noindent
Ma allora, per definizione di altezza {\it bizzarra}, dalla
\thetag1 segue che le funzioni $g_1$, $g_2:[0,2]\to\ERRE$, definite da:
$$
g_1(t)=
\cases
h(\gamma'_1(t))&\puad\text{se }t\in[0,1]
\\
\rho(\omega)h(\gamma''_1(t))&\puad\text{se }t\in[1,2]
\endcases
\qquad
g_2(t)=
\cases
h(\gamma'_2(t))&\puad\text{se }t\in[0,1]
\\
\rho(\omega)h(\gamma''_2(t))&\puad\text{se }t\in[1,2]
\endcases
$$
sono continue.
\nl
Distinguiamo i due casi:
\roster
\ite{i}
$\omega\in\Omega^+=\omega-\Omega^-$;
\ite{ii}$
\omega\in\Omega^-$.
\endroster
Nel primo caso, se non valesse la tesi, vorrebbe dire che:
$$
C'_1\to C'_3\quad\text{e}\quad C'_4\to C'_3.
$$
Ma allora, per come \`e definita $\to$, dalle \thetag2 e \thetag3
segue che:
$$
\forall\puad t<1\quad g_1(t)<g_2(t)
\qquad\text{e}\qquad
\forall\puad t>1\quad g_1(t)>g_2(t).
$$
Ma allora necessariamente $g_1(1)=g_2(1)$, e quindi si ottiene:
$$
F'(x_1')=F'(x_2')
\qquad\text{e}\qquad
h(x_1')=h(x_2'),
$$
che \`e assurdo in quanto per ipotesi $h$ \`e un'altezza {\it bizzarra}
per $F$, ossia $(F',h)$ \`e iniettiva.

Nel secondo caso, se non valesse la tesi, si avrebbe:
$$
C'_1\to C'_3 \text{ e } C'_3\to C'_4,
$$
e quindi, tenendo conto che $\rho(\omega)=-1$, anche in questo caso si
avrebbe:
$$
\forall\puad t<1\quad g_1(t)<g_2(t)
\qquad\text{e}\qquad
\forall\puad t>1\quad g_1(t)>g_2(t).
$$
Da cui, nuovamente, l'assurdo.
\finedim

Come ci si aspetta, le Proposizioni \lapa{propnoloopg} e
\lapa{propcompatibileg} danno condizioni necessarie e sufficienti
affinch\`e un'applicazione generica $F:S\to\ENNE$ sia fattorizzabile
il $\EE$, nel senso dato dal seguente:
\teo\teofattsuffg
Siano $F:S\to\ENNE$ una applicazione generica, $R$ un sistema di
segmenti per $\ristr F\Sigma$ ed $\EE$ un fibrato in rette su $\ENNE$.
Con le notazioni introdotte in questa sezione, $F$ \`e fattorizzabile
in $\EE$ se e soltanto se si pu\`o dotare l'insieme $\CC$ delle
componenti di $S-H(F)$ di una struttura di grafo orientato senza loop
che verifichi le condizioni di compatibilit\`a \therosteritem  A e
\therosteritem B di Proposizione \lapa{propcompatibileg}.
\finenu
\dim
La dimostrazione \`e completamente analoga a quella del Teorema
\lapa{teofattsuff}, prima si definisce una altezza
{\it bizzarra} per la restrizione di $F$ ad $S$ meno un intorno tubolare di
$\Sigma$ e quindi si estende questa altezza all'intorno tubolare in
questione.

Il modo di definire l'altezza {\it bizzarra} per la restrizione di $F$
ad $S$ meno un intorno tubolare di $\Sigma$, \`e sostanzialmente lo
stesso usato nel caso del fibrato banale, in quanto
si deve definire una altezza ``vera'' per l'applicazione $F':S'\to
P_{\ENNE_1}$. L'unica accortezza che bisogna avere \`e nel fare in
modo che sia verificata la condizione \thetag{$\bigstar$}, ma che
ci\`o sia possibile, \`e garantito dalla condizione \thetag B.

Per quanto riguarda invece l'estensione all'intorno tubolare di
$\sigma$, in modo del tutto analogo al caso del fibrato banale, la
condizione \thetag A garantisce la locale estensione dell'altezza
attorno alle cuspidi, mentre la \thetag B permette di raccordare tali
estensioni locali.
\finedim

\rem.
Ripetendo pedissequamente le dimostrazioni di questa sezione, si pu\`o
dimostrare un analogo teorema di fattorizzazione mediante embedding
per le immersioni. Pi\`u precisamente, se $F:S\to\ENNE$ \`e una
immersione, detto $G(F)\subset S$ il grafo ottenuto dal bordo di $S$
aggiungendovi gli archi di $F^{-1}(R)$ che hanno entrambi gli estremi
su $\de S\cup F^{-1}(\infty)$, si dimostra che $G(F)$ \`e
l'1--scheletro di una cellularizzazione di $S$ tale che la restrizione
di $F$ alla parte interna di ciascuna 2--cella \`e un diffeomorfismo
con l'immagine. (Nel Capitolo 1, \ilpara{dti} questo fatto \`e
dimostrato nel caso $F^{-1}(\infty)=\vuoto$, ma la stessa
dimostrazione si applica anche al caso generale).
\finenu
Detto $\C$ l'insieme delle 2--celle di tale cellularizzazione, si
dimostra allora il seguente teorema di fattorizzazione mediante
embedding per immersioni:

\teo\teofattembimm
L'immersione $F:S\to\ENNE$ \`e fattorizzabile mediante un embedding
$\ttilde F:S\to\EE$ se e solo se si pu\`o dotare l'insieme $\C$ di una
struttura di grafo orientato senza loop, che verifichi le 
condizioni \therosteritem A e \therosteritem B di
Proposizione~\lapa{propcompatibileg}, ovviamente interpretate in
questo contesto.
\finenu

%\def\nomefile{par36.tex}

\para{Alcuni esempi}{es}

\subheading{Esempio 1}
Diamo ora un esempio di una curva piana che ha cinque estensioni non
equivalenti ad immersioni del disco, (si veda anche \cite P\ in cui
per ogni $n\in\Bbb N$ si costruisce una curva che ha esattamente $n$
estensioni non equivalenti ad immersioni del disco), di cui tre sono
fattorizzabili con embedding in $\ERRE^3$ ma le restanti due no.
Sia $\G$ la curva data in \lafig{f18u}, munita del lato
indotto dall'orientazione. In figura abbiamo tracciato soltanto tre
segmenti in quanto da tutte le altre componenti connesse di $\R2mega$
si possono tracciare segmenti che hanno con la curva soltanto
intersezioni positive, pertanto i tre segmenti costituiscono un
sistema ridotto di segmenti per la curva.
\smallbreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f18u,80,0,1000,
%\rete
\metti{$\alpha_1$}{95}{97}
\metti{$\alpha_2$}{0}{86}
\metti{$\alpha_3$}{55}{0}
\metti{$x_{1,1}^{-1}$}{58}{76}
\metti[1000]{$x_{1,2}^{\vphantom{1}}$}{692}{750}
\metti[1000]{$x_{1,3}^{\vphantom{1}}$}{765}{790}
\metti{$x_{1,4}^{\vphantom{1}}$}{86}{84}
\metti[1000]{$x_{2,1}^{-1}$}{278}{622}
\metti{$x_{2,2}^{\vphantom{1}}$}{19}{69}
\metti[1000]{$x_{2,3}^{\vphantom{1}}$}{102}{757}
\metti[1000]{$x_{2,4}^{\vphantom{1}}$}{-7}{775}
\metti{$x_{3,1}^{-1}$}{58}{36}
\metti[1000]{$x_{3,2}^{\vphantom{1}}$}{565}{260}
\metti[1000]{$x_{3,3}^{\vphantom{1}}$}{560}{170}
\metti[1000]{$x_{3,4}^{\vphantom{1}}$}{550}{75}
\centerline{\figura0 }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\smallbreak\noindent
Tale sistema ridotto di segmenti, produce allora la seguente parola
per la curva:
$$
w=x_{1,4}^\VI\puad x_{2,1}^{-1}\puad x_{3,2}^\VI\puad 
x_{1,3}^\VI\puad x_{2,4}^\VI\puad x_{3,1}^{-1}\puad 
x_{1,2}^\VI\puad x_{2,3}^\VI\puad x_{3,4}^\VI\puad 
x_{1,1}^{-1}\puad x_{2,2}^\VI\puad x_{3,3}^\VI.
$$
Abbiamo omesso l'indice ausiliario $\mu$ in quanto, essendo il lato
quello indotto dall'orientazione, coincide con l'esponente.

Non \`e difficile vedere che il numero di rotazione di questa curva
\`e esattamente 1 e che gli unici assemblaggi minimali (genere 0) sono
i seguenti cinque:
$$
\gather
\la_1=\bigl\{\{x_{1,1}^{-1},x_{1,4}^\VI\},
\{x_{2,1}^{-1},x_{2,4}^\VI\},
\{x_{3,1}^{-1},x_{3,4}^\VI\}\bigr\};
\\
\la_2=\bigl\{\{x_{1,1}^{-1},x_{1,2}^\VI\},
\{x_{2,1}^{-1},x_{2,2}^\VI\},
\{x_{3,1}^{-1},x_{3,2}^\VI\}\bigr\};
\\
\la_3=\bigl\{\{x_{1,1}^{-1},x_{1,4}^\VI\},
\{x_{2,1}^{-1},x_{2,3}^\VI\},
\{x_{3,1}^{-1},x_{3,2}^\VI\}\bigr\};
\\
\la_4=\bigl\{\{x_{1,1}^{-1},x_{1,2}^\VI\},
\{x_{2,1}^{-1},x_{2,4}^\VI\},
\{x_{3,1}^{-1},x_{3,3}^\VI\}\bigr\};
\\
\la_5=\bigl\{\{x_{1,1}^{-1},x_{1,3}^\VI\},
\{x_{2,1}^{-1},x_{2,2}^\VI\},
\{x_{3,1}^{-1},x_{3,4}^\VI\}\bigr\}.
\endgather
$$

Per quanto riguarda la fattorizzabilit\`a delle corrispondenti
immersioni, mediante enbedding in $\ERRE^3$, non \`e difficile
mostrare che le applicazioni corrispondenti ad $\la_3$, $\la_4$ ed
$\la_5$ sono fattorizzabili, mentre le altre due no. Esaminiamo ad
esempio il caso dell'applicazione corrispondente all'assemblaggio
$\la_1$.
\smallbreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f191u,70,70,900,
\metti{$\la_1$}{0}{45}
\metti{$\ssize F(C_1)$}{83}{67}
\metti{$\ssize F(C_2)$}{37}{93}
\metti{$\ssize F(C_3)$}{28}{19}
\metti{$\ssize F(C_4)$}{46}{55}
\setbox50\copy0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f192u,70,70,900,
\metti{$\la_2$}{0}{45}
\metti{$\ssize F(C_1)$}{80}{67}
\metti{$\ssize F(C_2)$}{35}{92}
\metti{$\ssize F(C_3)$}{29}{16}
\metti{$\ssize F(C_4)$}{43}{55}
\setbox100\hbox to\hsize{\copy50\hss\copy0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\centerline{\figura100 }
\smallbreak
Si scopre immediatamente (vedi \lafig{f191u}) che, dette $C_i$, con
$i=1,\dots,4$, le quattro celle della decomposizione indotta dal
sistema di segmenti, la cella $C_1$ si
attacca a $C_4$ lungo
$\left[x_{1,1}^{-1},x_{1,4}^\VI\right]$, la cella $C_2$ si
attacca a $C_4$ lungo
$\left[x_{2,1}^{-1},x_{2,4}^\VI\right]$, $C_3$ si attacca a
$C_4$ lungo $\left[x_{3,1}^{-1},x_{3,4}^\VI\right]$;
inoltre:
$$\allowdisplaybreaks
\alignat2
F(C_2)&\cap\left(x_{1,1}^{-1},x_{1,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
&\qquad
F(C_3)&\cap\left(x_{1,1}^{-1},x_{1,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
\\
F(C_1)&\cap\left(x_{2,1}^{-1},x_{2,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
&\qquad
F(C_3)&\cap\left(x_{2,1}^{-1},x_{2,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
\\
F(C_1)&\cap\left(x_{3,1}^{-1},x_{3,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
&\qquad
F(C_2)&\cap\left(x_{3,1}^{-1},x_{3,4}^\VI\right)\ne\vuoto;
\endalignat
$$
che significa che il grafo che descrive la fattorizzazione dovrebbe
soddisfare le condizioni:
$$\allowdisplaybreaks
\alignat3
&C_2\leftrightarrows C_1,C_4;
&\qquad
&C_1\leftrightarrows C_2,C_4;
&\qquad
&C_1\leftrightarrows C_3,C_4;
\\
&C_3\leftrightarrows C_1,C_4;
&\qquad
&C_3\leftrightarrows C_2,C_4;
&\qquad
&C_2\leftrightarrows C_3,C_4;
\endalignat
$$
ed una facile analisi dei casi possibili mostra che un grafo che
soddisfi tali condizioni deve necessariamente avere dei loop. In altre
parole l'immersione corrispondente all'assemblaggio $\la_1$ non \`e
fattorizzabile. Un'analisi del tutto analoga mostra che anche
l'immesione corrispondente all'assemblaggio $\la_2$ non \`e
fattorizzabile, mentre le immersioni corrispondenti agli altri tre
assemblaggi lo sono (cfr. \lafig{f201u}).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f201u,70,70,900,
\metti{$\ssize F(C_1)$}{80}{67}
\metti{$\ssize F(C_2)$}{35}{92}
\metti{$\ssize F(C_3)$}{29}{16}
\metti{$\ssize F(C_4)$}{43}{55}
\metti{$\la_3$}{0}{45}
\setbox50\copy0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f202u,70,70,900,
\metti{$\ssize F(C_1)$}{80}{67}
\metti{$\ssize F(C_2)$}{35}{93}
\metti{$\ssize F(C_3)$}{29}{16}
\metti{$\ssize F(C_4)$}{43}{55}
\metti{$\la_4$}{0}{45}
\setbox100\hbox to\hsize{\copy50\hss\copy0}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\figboxps f203u,70,70,900,
\metti{$\ssize F(C_1)$}{81}{67}
\metti{$\ssize F(C_2)$}{35}{92}
\metti{$\ssize F(C_3)$}{29}{16}
\metti{$\ssize F(C_4)$}{43}{55}
\metti{$\la_5$}{0}{45}
\setbox150\hbox to\hsize{\hss\copy0\hss\kern10pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setbox1\vbox{\copy100\kern-35pt\copy150}
\vskip6pt
\centerline{\figura1 }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Interpretando la stessa curva come ``contorno apparente'', non \`e
difficile verificare che si trovano esattamente 15 assemblaggi non
equivalenti, corrispondenti a 15 estensioni generiche, non
equivalenti, dalla sfera nel piano, della curva $\G$. Osserviamo
innanzitutto che l'unica deformazione che pu\`o portare ad assemblaggi
minimali \`e la deformazione $(D,H)=\bigl(\vuoto,\{1,\vuoto\}\bigr)$,
corrispondente ad effettuare una deformazione di primo tipo di $f$ (in
particolare $k_H=2$). Questo segue dal fatto che se $\Ass$ \'e un
assemblaggio minimale per tale curva, allora:
$$
2R(f)=2l(\A)-k_H-h(\A)=2l(\A)-k_H-2g(\A);
$$
(la seconda uguaglianza deriva dal fatto che $\ERRE^2$ \`e
orientabile, e quindi il grafo associato ad un assemblaggio di una
curva \`e sempre positivo) da cui segue immediatamente che $k_H$, \`e
pari. Lo stesso ragionamento appena fatto dimostra la seguente:
\prop.
Sia $\ENNE$ una superficie orientabile e sia $F:S\to\ENNE$ una
applicazione generica tale che $\Sigma_F$ sia connesso e tale che il
suo contorno apparente abbia un numero pari di cuspidi. Allora
l'intorno tubolare di $\Sigma_F$ \`e orientabile.
\cvd\finenu

Come conseguenza di tale proposizione e del Teorema~\lapa{fattimm}
si ha allora:
\prop.
Se $F$ \`e come nella proposizione precedente, allora $F$ \`e
fattorizzabile con una immersione in un fibrato $\pi:\EE\to\ENNE$ se e
solo se il fibrato $\bigl(\ristr F\Sigma\bigr)^*\EE$ \`e banale.
\cvd\finenu

In particolare, allora, un'applicazione $F$, con le propriet\`a delle
proposizioni precedenti, \`e sempre fattorizzabile con una
immersione in $\ENNE\times\ERRE$.

Tornando all'esempio, osserviamo ora che se $\A$ \`e minimale, allora
$l(\A)=2$. Infatti se si avesse $l(\A)=1$, dalla relazione di
minimalit\`a seguirebbe $2=-2g(\A)$ che \`e di nuovo palesemente
assurdo.
In definitiva, l'unica possibilit\`a che rimane aperta \`e per
assemblaggi con $k_H=2$ ed $l(\A)=2$. Per quanto visto in
Osservazione~\lapa{ossassconn} ogni componente dell'assemblaggio deve
essere minimale per la curva cui si riferisce, pertanto gli
assemblaggi minimali della curva sono i seguenti:
$$
\A_{i,j}=
\Bigl\{\bigl(\vuoto,\{1,\vuoto\}\bigr),\la_i\amalg\la_j\Bigr\}
\qquad i,j=1,\dots,5.
$$
Dove gli $\la_i$ sono gli assemblaggi visti sopra. Evidentemente
per ogni $i,j,l,m$ si ha che
$\A_{i,j}\sim\A_{l,m}\iff\{i,j\}=\{l,m\}$, e quindi si hanno
esattamente le quindici classi di assemblaggi minimali rappresentate
da:
$$
\A_{i,j}\qquad i,j=1,\dots,5\text{ e } i\le j.
$$
Per quanto riguarda la fattorizzabilit\`a di queste applicazioni,
osserviamo che, detta $F_{i,j}$ l'applicazione corrispondente
all'assemblaggio $\A_{i,j}$, sicuramente le applicazioni $F_{i,j}$ con
$i$ o $j$ uguale a 1 o 2, non sono fattorizzabili, in quanto per tali
assemblaggi valgono le stesse considerazioni fatte nel caso delle
immersioni; una analisi in tutto simile alla precedente, ma soltanto un
po' pi\`u complicata, mostra che soltanto le applicazioni $F_{i,i}$
con $i=3,4,5$ sono fattorizzabili mediante un embedding in $\ERRE^3$.

\figboxps catmac,60,0,1000,
%\rete
\metti{$\infty$}{55}{0}%
\metti[1000]{$\infty$}{368}{980}%
\metti{$\ssize y_{1,1,-}^{-1}$}{76}{63}%
\metti{$\ssize y_{2,1,-}^{-1}$}{9}{63}%
\metti{$\ssize y_{3,1,-}^{-1}$}{9}{35}%
\metti{$\ssize y_{4,1,-}^{-1}$}{76}{35}%
%
\metti{$\ssize x_{1,1,-}^{-1}$}{70}{89}%
\metti{$\ssize y_{1,2,+}^\VI$}{62}{83}%
\metti{$\ssize y_{2,2,+}^\VI$}{41}{82}%
\metti{$\ssize x_{1,2,-}^\VI$}{70}{8}%
\metti{$\ssize y_{4,2,-}^\VI$}{61}{14}%
\metti{$\ssize y_{3,2,-}^\VI$}{40}{15}%
\metti{$\omega_1$}{101}{50}%%
\metti{$\omega_1$}{-8}{48}%
\metti{$\beta_1$}{68}{75}%%
\metti{$\beta_2$}{25}{75}%
\metti{$\beta_3$}{25}{20}%
\metti{$\beta_4$}{68}{20}%
\subheading{Esempio 2}
Sia $\G$ la curva in \lafig{catmac},
generata dalla ``catastrophe machine'' di Zeemann \cite Z, e
consideriamo $\G$ immersa
nel piano proiettivo, ottenuto identificando i due lati del
2--agono in figura. Anche in questo caso abbiamo tracciato soltanto i
segmenti uscenti dalle cuspidi ed il generatore di
$\pi_1(\ERRE\PP^2,\infty)$ in quanto l'unico altro segmento necessario
per ottenere un sistema di segmenti, quello uscente dall'interno della
curva, pu\`o essere tracciato in modo da produrre soltanto
intersezioni positive, e quindi \`e ininfluente al fine di determinare gliassemblaggi.
$$
\aligned
&\text{Numero di rotazione della curva:}
\\
&R_X(f)=1
\\
\\
&\text{Parola della curva:}
\\
&w=
y_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{2,1,-}^{-1}\puad
y_{3,1,-}^{-1}\puad
y_{4,1,-}^{-1}
\\
\\
&\text{Parola della espansione:}
\\
&u=
x_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{1,2,+}^\VI\puad
y_{2,2,+}^\VI\puad
x_{1,2,-}^\VI\puad
y_{4,2,-}^\VI\puad
y_{3,2,-}^\VI
\endaligned
\qquad
\vcenter{\vbox{\figura0 }}
$$
Per la parola $w$, si hanno due sole partizioni possibili:
$$
\vbox{\halign{
(#)\hfil\puad
&#\hfil\qquad
&(#)\hfil\puad
&#\hfil
\cr
a
&$H_1=\{1\},\ H_2=\vuoto$;\hfil
&b
&$H_1=\vuoto,\ H_2=\{1\}$;\hfil
\cr}}
$$
mentre le deformazioni possibili, a meno di
complementazione sono otto:
$$
\vbox{\halign{
%\indent%\hskip\itemindent
(#)\hfil\puad
&#\hfil\qquad
&(#)\hfil\puad
&#\hfil\qquad
&(#)\hfil\puad
&#\hfil\qquad
&(#)\hfil\puad
&#\hfil
\cr
1&$D=\vuoto$;&
3&$D=\{2\}$;&
5&$D=\{4\}$&
7&$D=\{2,3\}$;
\cr
2&$D=\{1\}$;&
4&$D=\{3\}$;&
6&$D=\{1,2\}$;&
8&$D=\{1,3\}$.
\cr
}}
$$

Daremo ora una lista di tutti gli assemblaggi minimali, corrispondenti
ad applicazioni definite su superficie connesse.
\rem.
Osserviamo che per $\beta=0$ non ci sono assemblaggi, in quanto non ci
sono lettere positive alle quali accoppiare le quattro lettere
negative, ossia non esistono applicazioni $F:S\to\ERRE\PP^2$ che
hanno la curva $\G$ come contorno apparente tali che
$F^{-1}(\infty)=\vuoto$. Osserviamo inoltre che la relazione:
$$
2R_X(f)-c+\beta\ch(\ENNE)=\ch(S),
$$
nel nostro caso si riduce a:
$$
-2+\beta=\ch(S),
$$
da cui, se $S$ \`e una superficie connessa, $\ch(S)\le2$, e quindi
$\beta\le4$, ossia sar\`a sufficiente cercare $\beta$--assemblaggi con
$\beta\le4$. Osserviamo infine, che $\beta=4$ implica che la eventuale
superficie connessa $S$ ha caratteristica di Eulero uguale a due,
ossia \`e una sfera, sar\`a quindi superfluo cercare 4--assemblaggi
minimali corrispondenti alla scelta (b) della partizione, che
corrisponde ad avere un intorno tubolare non orientabile del luogo
critico.
\finenu

La $\beta$--espansione della parola deformata $w_{(D,H)}$
si ottiene aggiungendogli le parole $u_i$, definite nel modo seguente:
$$\allowdisplaybreaks
\alignat2
&\text{se }\beta=1&\qquad\left.
u_1=x_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{1,2,+}^\VI\puad
y_{2,2,+}^\VI\puad
x_{1,2,-}^\VI\puad
y_{4,2,-}^\VI\puad
y_{3,2,-}^\VI
\right.&
\\
&\text{se }\beta=2&\qquad\left\{\aligned
u_1&=x_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{1,3,+}^\VI\puad
y_{2,3,+}^\VI\puad
x_{1,4,-}^\VI\puad
y_{4,3,-}^\VI\puad
y_{3,3,-}^\VI
\\
u_2&=x_{1,2,-}^{-1}\puad
y_{1,2,+}^\VI\puad
y_{2,2,+}^\VI\puad
x_{1,3,-}^\VI\puad
y_{4,2,-}^\VI\puad
y_{3,2,-}^\VI
\endaligned
\right.&
\\
&\text{se }\beta=3&\qquad\left\{\aligned
u_1=x_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{1,4,+}^\VI\puad
y_{2,4,+}^\VI\puad
x_{1,6,-}^\VI\puad
y_{4,4,-}^\VI\puad
y_{3,4,-}^\VI
\\
u_2=x_{1,2,-}^{-1}\puad
y_{1,3,+}^\VI\puad
y_{2,3,+}^\VI\puad
x_{1,5,-}^\VI\puad
y_{4,3,-}^\VI\puad
y_{3,3,-}^\VI
\\
u_3=x_{1,3,-}^{-1}\puad
y_{1,2,+}^\VI\puad
y_{2,2,+}^\VI\puad
x_{1,2,-}^\VI\puad
y_{4,4,-}^\VI\puad
y_{3,2,-}^\VI
\endaligned
\right.&
\\
&\text{se }\beta=4&\qquad\left\{\aligned
u_1=x_{1,1,-}^{-1}\puad
y_{1,5,+}^\VI\puad
y_{2,5,+}^\VI\puad
x_{1,8,-}^\VI\puad
y_{4,5,-}^\VI\puad
y_{3,5,-}^\VI
\\
u_2=x_{1,2,-}^{-1}\puad
y_{1,4,+}^\VI\puad
y_{2,4,+}^\VI\puad
x_{1,7,-}^\VI\puad
y_{4,4,-}^\VI\puad
y_{3,4,-}^\VI
\\
u_3=x_{1,3,-}^{-1}\puad
y_{1,3,+}^\VI\puad
y_{2,3,+}^\VI\puad
x_{1,6,-}^\VI\puad
y_{4,3,-}^\VI\puad
y_{3,3,-}^\VI
\\
u_4=x_{1,4,-}^{-1}\puad
y_{1,2,+}^\VI\puad
y_{2,2,+}^\VI\puad
x_{1,2,-}^\VI\puad
y_{4,5,-}^\VI\puad
y_{3,2,-}^\VI
\endaligned
\right.&
\endalignat
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Partizione (a)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazione (1)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La parola deformata \`e data da: $w_{(D,H)}=\{w,\vuoto\}$.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Evidentemente si ha un solo 1--assemblaggio:
$\A_1=\bigl\{(D,H),\la_1\bigr\}$ con $\la_1$ dato dalle coppie:
$$
\la_1=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,2,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,2,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}
\\
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,2,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
$$
per il quale si ha:
$$
g(\A)=h(\A)=2,\quad l(\A)=2,\quad k_H=2,
$$
ossia l'assemblaggio \`e minimale e corrisponde ad una applicazione
dalla superficie non orientabile di genere 3 (ovvero:
$\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2$).
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=2$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
A meno di equivalenza (data dall'azione di $\frak S_2$) si trovano
cinque 2--assemblaggi minimali, $\A_2$, $\A_3$, $\A_4$, $\A_5$,
$\A_6$, corrispondenti ad aplicazioni definite su superficie connesse,
dati dai seguenti insiemi di coppie:
$$\allowdisplaybreaks
\align
\la_2
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_3
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_4
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_5
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,2,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_6
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,2,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\endalign
$$
per i quali si ha:
$$\gather
g(\A_i)=1,\quad h(\A_i)=2,\quad l(\A_i)=2,\quad k_H=2\qquad i=2,3
\\
g(\A_i)=h(\A_i)=2,\quad l(\A_i)=2,\quad k_H=2\qquad i=4,5,6
\endgather
$$
corrispondenti rispettivamente ad applicazioni definite sul toro
($\A_2$ ed $\A_3$) e sulla
bottiglia di Klein ($\A_4$, $\A_5$  ed $\A_6$).
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=3$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trovano, a meno dell'azione di $\frak S_3$, cinque 3--assemblaggi
minimali, $\A_7$, $\A_8$, $\A_9$, $\A_{10}$ ed $\A_{11}$,
corrispondenti a superficie connesse, dati dagli
insiemi di coppie:
$$\allowdisplaybreaks
\align
\la_7
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\\
\la_8
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\\
\la_9
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,4,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\\
\la_{10}
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,4,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\\
\la_{11}
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\endalign
$$
per i quali si ha:
$$
g(\A_i)=h(\A_i)=1,\quad l(\A_i)=2,\quad k_H=2\qquad i=7,\dots,11
$$
che corrispondono tutti quanti ad applicazioni definite sul piano
proiettivo.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=4$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trovano, a meno dell'azione di $\frak S_4$ due 4--assemblaggi
minimali $\A_{10}$ ed $\A_{11}$, corrispondenti a superficie connesse,
dati dai seguenti insiemi di coppie:
$$\allowdisplaybreaks
\align
\la_{12}
&=\left\{
\alignedat4
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,5,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,5,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,4,-}^\VI\}&\quad
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,4,-}^\VI\}
\\
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,8,-}^\VI\}&
&\{x_{1,4,-}^{-1},x_{1,7,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_{13}
&=\left\{
\alignedat4
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,5,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,4,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}&\quad
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}
\\
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,7,-}^\VI\}&
&\{x_{1,4,-}^{-1},x_{1,8,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\endalign
$$
Per tali assemblaggi risulta:
$$
g(\A_i)=h(\A_i)=0,\quad l(\A_i)=2,\quad k_H=2\qquad i=12,13
$$
e corrispondono entrambi ad applicazioni definite sulla sfera.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazione (2)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La parola deformata \`e data da: $w_{(D,H)}=\{y_{2,1}^{-1}\puad
y_{3,1}^{-1}\puad y_{4,1}^{-1},\puad y_{1,1}^{-1}\}$

Non si ha alcun assemblaggio minimale, in quanto la curva deformata
(\lafig{catmac31}) \`e omotopa alla curva in \lafig{catmac3}, e quindi
ha lo stesso numero di rotazione. Inoltre la parola $w_{(D,H)}$ \`e una
parola anche per quast'ultima curva. Dato che la curva in
\lafig{catmac3} ha un occhiello positivo, si conclude usando
Lemma~\lapa{lemocchielli}.
$$
\figuraps catmac31,40,0,1000,1,
\qquad
\figuraps catmac3,40,0,1000,1,
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazioni (3), (4), (5)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Per simmetria con il caso precedente si mostra che non
esistono assemblaggi minimali.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazione 6}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La parola deformata \`e data da: $w_{(D,H)}=\{
y_{3,1}^{-1}\puad y_{4,1}^{-1},\puad y_{1,1}^{-1}\puad y_{2,1}^{-1}\}$.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trova un solo 1--assemblaggio, $\A_{14}=\bigl((D,H),\la_{12}\bigr)$ con
$\la_{14}=\la_1$. Per tale assemblaggio risulta:
$$
g(\A_{14})=h(\A_{14})=1,\quad l(\A_{14})=1,\quad k_H=2,
$$
quindi l'assemblaggio \`e minimale, e corrisponde ad una applicazione
definita ancora su $\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2$.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=2$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trovano tre 2--assemblaggi minimali, $\A_{15}$, $\A_{16}$,
$\A_{17}$, corrispondenti a superficie connesse, con $\la_{15}=\la_2$,
$\la_{16}=\la_3$, $\la_{17}=\la_4$, per i quali si
ha:
$$
\gather
g(\A_i)=h(\A_i)=0,\quad l(\A_i)=1,\quad k_H=2,\qquad i=15,16
\\
g(\A_{17})=h(\A_{17})=2,\quad l(\A_{17})=2,\quad k_H=2,
\endgather
$$
corrispondenti ad applicazioni definite sul toro ($\A_{15}$ ed
$\A_{16}$) e sulla bottiglia di Klein~($\A_{17}$).

\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=3$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si tronano due assemblaggi minimali corrispondenti a superficie
connesse, $\A_{18}$ ed $\A_{19}$ con $\la_{18}=\la_7$ ed
$\la_{19}=\la_8$, per i quali risulta:
$$
g(\A_i)=h(\A_i)=1,\quad l(A_i)=2, \quad k_H=2,\qquad i=18,19,
$$
corrispondenti ad applicazioni definite sul piano proiettivo.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=4$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trova un solo 4--assemblaggio minimale, $\A_{20}$, corrispondente ad
un'applicazione definita sulla sfera, il cui insieme di coppie \`e
dato da: $\la_{20}=\la_{12}$, per il quale risulta:
$$
g(\A_{20})=h(\A_{20})=0,\quad l(\A_{20})=1,\quad k_H=2.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazione 7}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Per simmetria con il caso precedente, si ottengono sette assemblaggi
minimali $\A_{21}$, $\A_{22}$, $\A_{23}$, $\A_{24}$, $\A_{25}$,
$\A_{26}$ ed $\A_{27}$, corrispondenti ad altrettante applicazioni
generiche definite rispettivamente sulla superficie non orientabile di
genere tre ($\A_{21}$), sul toro ($\A_{22}$, $\A_{23}$), sulla
bottiglia di Klein ($\A_{24}$) sul piano proiettivo ($\A_{25}$,
$\A_{26}$) e sulla sfera ($\A_{27}$).
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Deformazione 8}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
La parola deformata \`e data da: $w_{(D,H)}=\{
y_{2,1}^{-1}\puad y_{4,1}^{-1},\puad y_{1,1}^{-1}\puad y_{3,1}^{-1}\}$.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Per l'unico 1--assemblaggio si ha:
$$
g(\A)=3,\quad h(\A)=6,\quad l(\A)=1,\quad k_H=2,
$$
quindi l'assemblaggio non \`e minimale.

\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=2$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trovano due 2--assemblaggi minimali $\A_{28}$ ed $\A_{29}$ con:
%$\la_{28}=\la_4$ ed $\la_{29}=\la_2$,
$$
\align
\la_{28}
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,2,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\\
\la_{29}
&=\left\{
\alignedat3
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,3,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,2,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}
\\
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,3,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
\endalign
$$
per i quali si ha:
$$
\gather
g(\A_{28})=h(\A_{28})=0,\quad l(\A_{28})=1,\quad k_H=2,
\\
g(\A_{29})=h(\A_{29})=2,\quad l(\A_{29})=2,\quad k_H=2,
\endgather
$$
corrispondenti ad applicazione definite rispettivamente sul toro e
sulla bottiglia di Klein.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=3$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trovano due assemblaggi minimali, $\A_{30}$ ed $\A_{31}$, con
insiemi di coppie dati da:
$$
\align
\la_{30}
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,2,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,3,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\\
\la_{31}
&=\left\{
\gathered
\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,4,+}^\VI\}\quad
\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,3,+}^\VI\}\quad
\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,4,-}^\VI\}\quad
\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}
\\
\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,4,-}^\VI\}\quad
\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}
\endgathered\right\}
\endalign
$$
per i quali risulta:
$$
g(\A_i)=h(\A_i)=1,\quad l(\A_i)=2,\quad k_H=2,\qquad i=30,31
$$
e che corrispondono ad applicazioni definite sul piano proiettivo.
\medbreak
\noindent
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$\beta=4$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newline
Si trova un solo 4--assemblaggio minimale corrispondente alla sfera,
$\A_{32}$, con insieme delle coppie:
$$
\la_{32}
=\left\{
\alignedat4
&\{y_{1,1,-}^{-1},y_{1,5,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{2,1,-}^{-1},y_{2,4,+}^\VI\}&\quad
&\{y_{3,1,-}^{-1},y_{3,3,-}^\VI\}&\quad
&\{y_{4,1,-}^{-1},y_{4,2,-}^\VI\}
\\
&\{x_{1,1,-}^{-1},x_{1,6,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,2,-}^{-1},x_{1,5,-}^\VI\}&\quad
&\{x_{1,3,-}^{-1},x_{1,8,-}^\VI\}&
&\{x_{1,4,-}^{-1},x_{1,7,-}^\VI\}
\endalignedat\right\}
$$
per il quale si ha:
$$
g(\A_{22})=h(\A_{22})=0,\quad l(\A_{22})=2,\quad k_H=2.
$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subheading{Partizione (b)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Non esitono assemblaggi minimali.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\medbreak
In definitiva si sono trovate esattamente 32 applicazioni non
equivalenti, definite su una superficie connessa e che hanno la curva
$\G$ come contorno apparente.  Per quanto riguarda la
fattorizzabilit\`a di tali applicazioni, evidentemente, per il
Teorema~\lapa{fattimm} (vedi anche Proposizione~\lapa{fattimmpdue}) si
ha che tutte sono fattorizzabili mediante immersioni sia in
$\ERRE\PP^2\times\ERRE$, sia in $\ERRE\PP^3$. Per quanto riguarda
invece la fattorizzabilit\`a mediante embedding, la situazione \`e
pi\`u articolata, ed usando il Teorema~\lapa{teofattsuffg},
ricordandosi che il fibrato banale \`e dato dal peso 1 su $\omega_1$
ed il fibrato tautologico ($\ERRE\PP^3-\{p\}$ cfr. \ilpara{appl}) dal
peso $-1$, si trovano i risultati riassunti nella seguente tabella:
\global\setbox0\vbox{\baselineskip12pt\kern4pt
 \hbox{$\A_7$, $\A_8$, $\A_9$, $\A_{10}$}
 \hbox{$\A_{11}$, $\A_{30}$, $\A_{31}$}}
\medbreak
\centerline{
\vbox{
\halign{%
\vrule height11pt depth4pt width0pt%
\vrule\puad\hfil#\hfil\puad\vrule%
&\puad#\hfil\puad\vrule%
&\puad#\hfil\puad\vrule%
&\puad#\hfil\puad\vrule%
&\puad#\hfil\puad\vrule%
\cr
\noalign{\hrule}
$\beta$
&\hfil\sl Dominio
&\hfil$\hookrightarrow\ERRE\PP^2\times\ERRE$
&\hfil$\hookrightarrow\ERRE\PP^3$
&\hfil\sl Non fatt.
\cr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% g=3 non orientabile
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noalign{\hrule}
1
&$\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2$ 
&$\A_1$
&$\A_1$
&$\A_{14}$, $\A_{21}$
\cr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% bottiglia di Klein
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noalign{\hrule}
2
&$\ERRE\PP^2\#\ERRE\PP^2$
&$\A_{17}$, $\A_{24}$
&\hfil$\star$\quad$\star$\quad$\star$
&$\A_4$, $\A_5$, $\A_6$, $\A_{29}$
\cr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% piano proiettivo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noalign{\hrule}
\vbox to\ht0{\vss\kern3pt\hbox{3}\vss}
&\vbox to\ht0{\vss\kern3pt\hbox{$\ERRE\PP^2$}\vss}
&\hfil\vbox to\ht0{\vss\kern3pt\hbox{$\star$\quad$\star$\quad$\star$}\vss}
&\vbox to\ht0{\vss\kern3pt\hbox{$\A_{18}$, $\A_{19}$, $\A_{25}$, $\A_{26}$}\vss}
&\copy0
\cr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% toro
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noalign{\hrule}
2
&$\ESSE^1\times\ESSE^1$
&\hfil$\star$\quad$\star$\quad$\star$
&$\A_3$, $\A_{15}$, $\A_{22}$
&$\A_2$, $\A_{16}$, $\A_{23}$, $\A_{28}$
\cr
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% sfera
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\noalign{\hrule}
4
&$\ESSE^2$
&\hfil$\star$\quad$\star$\quad$\star$
&$\A_{20}$, $\A_{27}$, 
&$\A_{12}$, $\A_{13}$, $\A_{32}$
\cr
\noalign{\hrule}}
}}
\smallbreak

\figboxps a1,35,0,1000,
\metti{$\A_1$}{0}{90}
\setbox101\box0
\figboxps a15,35,0,1000,
\metti{$\A_{15}$}{0}{90}
\setbox115\box0
\figboxps a17,35,0,1000,
\metti{$\A_{17}$}{83}{90}
\setbox117\box0
\figboxps a18,35,0,1000,
\metti{$\A_{18}$}{0}{5}
\setbox118\box0
\figboxps a20,35,0,1000,
\metti{$\A_{20}$}{83}{5}
\setbox120\box0
\setbox100\hbox{\box101\qquad\box115\qquad\box117}
\setbox200\vbox{\copy100\kern-.8cm\hbox to\wd100{\hss\box118\qquad\box120\hss}}
\centerline{
\figura 200
}

In \lafig{a1} sono schematizzate le applicazioni corrispondenti ad
alcuni degli assemblaggi elencati nella tabella. Ciascuna delle curve
chiuse, semplici (tratto forte) rappresenta il bordo dell'immagine di
ciascuna componente di $S-G(F)$.

La fattorizzazione dell'applicazione definita da $\A_1$, sia in
$\ERRE\PP^2\times\ERRE$ che in $\ERRE\PP^3$, \`e ottenuta attaccando
un manico alla sezione nulla del fibrato stesso, nel modo suggerito in
\lafig{catfat1}, ed in modo del tutto analogo la fattorizzazione di
$\A_3$ in $\ERRE\PP^3$ \`e ottenuta attaccando un manico ad una sfera
attorno al punto di vista (punto da cui si proietta), che costituisce
il rivestimento universale di $\ERRE\PP^2$. Le fattorizzazioni di
$\A_{17}$ ed $\A_{24}$ in $\ERRE\PP^2\times\ERRE$, sono invece
costruite attaccando un tubo tra due copie di $\ERRE\PP^2$, ottenute
come sezioni disgiunte del fibrato, nel modo suggerito da
\lafig{catfat2}. In modo analogo, si ottengono anche le altre
fattorizzazioni: quelle di $\A_{15}$ ed $\A_{22}$, sono ottenute
attaccando un tubo tra le due falde del rivestimento universale,
quelle di $\A_{18}$, $\A_{19}$, $\A_{25}$ ed $\A_{26}$ sono ottenute
attaccando un tubo tra la sezione nulla del fibrato ed una falda del
rivestimento universale ed infine, quelle di $\A_{20}$ ed $\A_{27}$
sono ottenute attaccando un tubo tra due sfere concentriche attorno al
punto di vista.
$$
\figuraps catfat1,60,0,1000,1,
\qquad\qquad
\figuraps catfat2,60,0,1000,1,
$$

\finecapi
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