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Matematica Discreta, II modulo
Prima prova in itinere, a.a. 2000/2001
27 aprile 2001
Da svolgersi in tre ore. Si richiede che vengano svolti a scelta quattro (e non
più di qyuattro) dei cinque esercizi e che si risponda alla domanda di teoria.
Esercizio 1
Siano
![$X$](img2.gif)
,
![$Y$](img3.gif)
,
![$A$](img4.gif)
insiemi. Si provi che
![$(X\times Y)^A$](img5.gif)
è in corrispondenza
biunivoca con
![$X^A\times Y^A$](img6.gif)
.
Soluzione
Esercizio 2
Siano
![$X,Y$](img7.gif)
insiemi finiti, e
![$A\subseteq X$](img8.gif)
,
![$B\subseteq Y$](img9.gif)
. Posto
![$\left\vert X\right\vert=n$](img10.gif)
,
![$\left\vert Y\right\vert = m$](img11.gif)
,
![$\left\vert A\right\vert = h$](img12.gif)
e
![$\left\vert B\right\vert = k$](img13.gif)
si determini, in funzione di
![$n,m,k,h$](img14.gif)
la cardinalità degli insiemi
[Suggerimento per il primo punto: si osservi che
![${\cal F}_1$](img16.gif)
è il
complementare di
![$\big\{f\in Y^X \bigm\vert f(A)\cap B = \varnothing \big\}$](img17.gif)
.]
Soluzione
Esercizio 3
Dire se il sistema di congruenze
Soluzione
Esercizio 4
Si determinino le soluzioni della congruenza
![$x^{23}\cong 5 \quad{\rm mod} 12$](img19.gif)
.
Soluzione
Esercizio 5
Sia
![$a\in\mathbb{Z}$](img20.gif)
e
![$\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$](img21.gif)
una successione di interi tali che
Si provi che allora
![$(x_{n+1},x_{n})=(x_1,x_0)$](img23.gif)
per ogni
![$n\in\mathbb{N}$](img24.gif)
.
Supponendo che
e che
e
si provi che
per ogni
.
Soluzione
Domanda di teoria.
Si dia la definizione di massimo comun divisore tra numeri interi e si enunci
e si dimostri il teorema di esistenza e unicità del massimo comun divisore.
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Luminati Domenico
2002-05-16