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Matematica Discreta (II modulo)
Primo appello, a.a. 2000/2001
13 giugno 2001
Da svolgersi in tre ore. Al candidato si richiede di svolgere cinque (e non
più di cinque) dei sei esercizi. A chi deve recuperare una delle
prove in itinere, si richiede di svolgere tutti gli esercizi della
corrispondente parte e di rispondere alla domanda di teoria.
Esercizio 1
Dire se il sistema di congruenze
ammette soluzioni ed in tal caso determinarle.
Soluzione
Esercizio 2
Si determinino le soluzioni della congruenza
![$x^7\cong 8 \quad{\rm mod} 77$](img11.gif)
.
Soluzione
Esercizio 3
Sia
![$X=\{1,2,\dots,n\}$](img12.gif)
con
![$n\ge 2$](img13.gif)
.
- Si determini la cardinalità dell'insieme
.
Sia
![$A\subseteq X$](img15.gif)
e sia
![$g:X\to X$](img16.gif)
una funzione bigettiva.
- Si determini la cardinalità dell'insieme
.
Soluzione
Domanda di teoria.
Si dia la definizione di elemento invertibile in
, quindi si enunci e
si provi il piccolo teorema di Fermat.
Esercizio 4
Sia
![$T=(V,E)$](img19.gif)
un albero e per ogni
![$i$](img20.gif)
si denoti con
![$V_i=\{v\in
V\mid \deg(v)=i\}$](img21.gif)
.
Si provi che se
ha solo verici di grado
e
allora
.
Dire motivando la risposta se è vero il viceversa.
Soluzione
Esercizio 5
Dire, motivando la risposta, quale dei vettori
è lo score di un grafo e quando ciò è possibile costruire un tale
grafo. Si dica inoltre se
- è possibile trovare un tale grafo che sia anche un albero
- è possibile trovare un tale grafo che sia anche 2-connesso
Soluzione
Esercizio 6
Dire, motivando la risposta, se i due grafi rappresentati in figura sono
tra loro isomorfi oppure no.
Soluzione
Domanda di teoria.
Si dia la definizione di grafo 2-connesso, quindi si provi che in un grafo
2-connesso ogni coppia di vertici è contenuta in un ciclo..
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Luminati Domenico
2002-05-16