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Matematica Discreta
Prova informale
25 marzo 1999
Da svolgersi in 2 ore senza l'ausilio di libri o appunti.
Esercizio 1
Siano
![$F_i$](img2.gif)
i numeri di Fibonacci. Si provi che
Soluzione
Esercizio 2
Si trovino le soluzioni del sistema di congruenze:
Soluzione
Esercizio 3
Per ogni
![$x,y\in\mathbb{Q}$](img5.gif)
sia
![$x * y=x+y-xy$](img6.gif)
. Dire, giustificando la risposta,
se
![$(\mathbb{Q},*)$](img7.gif)
è un semigruppo oppure un monoide oppure un gruppo.
Soluzione
Esercizio 4
Si dimostri che
![$\{\sigma\in S_n\mid \sigma(1)=1\}$](img8.gif)
è un sottogruppo di
![$S_n$](img9.gif)
.
Soluzione
Esercizio 5
Si dimostri che l'insieme
![$G=\{(a,b)\mid a\in\mathbb{Q}^*\hbox{\rm { e }}b\in\mathbb{Q}\}$](img10.gif)
dotato dell'operazione
è un gruppo. (Si ricorda che
![$\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}-\{0\}$](img12.gif)
)
Detti
si dica quali tra
![$X_1$](img14.gif)
,
![$X_2$](img15.gif)
e
![$X_3$](img16.gif)
sono sottogruppi e quali no.
Soluzione
Esercizio 6
Sia
![$X$](img17.gif)
un insieme e siano
![$A_1,\dots,A_n\subseteq X$](img18.gif)
. Si provi che allora
essendo
![$\bigtriangleup $](img20.gif)
la differenza simmetrica (i.e.
![$A\bigtriangleup B=(A-B)\cup(B-A)$](img21.gif)
).
[Suggerimento: si usi l'induzione su
![$n$](img22.gif)
]
Soluzione
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Luminati Domenico
2002-05-16