Quindi la soluzione generale dell'equazione è:
Imponendo le condizioni iniziali si ottiene il sistema lineare:
Soluzione dell'esercizio 2 . Infatti
per ogni
.
. Infatti, dato
si ha
. Infatti, se
allora, dato che
si ha che
, ma allora, moltiplicando a sinistra e destra
per
entrambi i memmbri si ottiene
. Per
l'arbitrarietà di
si conclude.
è normale. Proviamo che per ogni
,
si ha che
. Infatti
.
.
Soluzione dell'esercizio 3 Proviamo che è un sottoreticolo di
. Basta provare che dati
allora
e
.
è un'algebra di Boole. Dato che le operazioni di reticolo
sono
e
allora la relazione d'ordine è l'inclusione
(
) ed evidentemente
e
sono rispettivamente il minimo ed
il massimo di
(se
allora
ossia
). Quindi il reticolo è limitato. Che sia
distributivo segue dal fatto che le operazioni
e
sono
distributive. Proviamo che ogni elemento ha un complemento. Se
consideriamo
. Allora chiaramente
ed
inoltre:
Soluzione dell'esercizio 4 Proviamo che è un sottoanello dell'anello delle matrici. Evidentemente
(si ottiene ponendo
) resta da provare che se
che se
allora
,
,
.
Cominciamo dall'ultima sia
allora
è commutativo. Si osservi infatti che l'espressione per
che abbiamo
trovato sopra, resta invariata se si scambiano
con
e
con
ossia
.
è un campo. Osserviamo innanzitutto che la matrice
(si ottiene ponendo
e
), quindi
è un anello unitario.
Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da
, ma se
allora
e quindi
se e solo se
e
quindi o
e
(ossia
) oppure
. Dato che
allora
mentree
e quindi
l'ultima eventualità non si può verificare. In altre parole se
e
allora
è invertibile. Un semplice calcolo mostra che in questo
caso
Consideriam o l'applicazione
definita da
. È immediato
verificare che
è un morfismo di anelli con identità, quindi per la
proprietà universale dell'anello dei polinomi, esiste un unico morfismo
tale che
Proviamo che
. Osserviamo innanzitutto che
, infatti
Viceversa, sia
, effettuando la divisione
euclidea di
per
si determinano
tali che
con
, ossia
. Ma allora
Ma allora per il primo teorema di omomorfismo
Soluzione dell'esercizio 5 Indichiamo con l'insieme in questione.
Osserviamo che, per il ``lemma dei cassetti'', se un numero
ha un
espansione decimale con più di
cifre allora almeno due cifre sono
uguali, quindi l'insieme
è contenuto nell'insieme
dei numeri con
espansione di al più
cifre, e quest'ultimo è finito in quanto
ha
elementi.
Per ogni
indichiamo con
l'insieme dei numeri diversi da
costituiti
da
cifre distinte. Chiaramente
e
se
,
per ogni
e quindi
Calcoliamo
per ogni
. Se
è diverso da
, allora
la sua prima cifra può essere un arbitrario numero
(lo
non
può essere la cifra iniziale) e quindi per la sua scelta si hanno
possibilità. Fissata la prima cifra, le restanti
possono essere scelte
tra le rimanenti
cifre in modo che siano a due a due diverse, ossia in
modo che l'applicazione che ad ognuno degli
``posti vuoti'' associa una
di queste
cifre sia iniettiva. Quindi fatta la prima scelta si hanno
scelte possibili: tante quante le applicazioni iniettive da un
insieme di
elementi in uno di
elementi. In definitiva