Le due rette M1 e M2 sono parallele, quindi non può esistere alcuna affinità che porti L1 su M1 e L2 su M2.
Le tre rette Ni sono anch'esse a due a due incidenti e i tre punti di
intersezione sono:
Sia i punti P1 che i Qi sono in posizione generica (non sono allineati) e
quindi esiste una unica affinità
tale che
per ogni
i. D'altra parte, visto che un'affinit'à porta rette in rette, tale
affinità dovrà necessariamente portare ogni Li su Ni (la retta per
Pi e Pj viene portata sulla retta per Qi e Qj. D'altra parte,
un'affinità che porti ogni retta Li su Ni dovrà necessariamente
portare i punti di intersezione delle rette Li nei punti di intersezione
delle corrispondenti rette Ni e quindi, per quanto detto sopra, una tale
affinità è unica.
Costruiamola. Siano
Soluzione dell'esercizio 2 Esplicitando il sistema rispetto alla variabile y si trova la seguente forma
parametrica della retta r:
Determiniamo una retta passante per P ed incidente ad entrambe. Osserviamo che
se una tale retta esiste, deve essere contenuta nell'intersezione dei due piani
,
passante per P e contenente R, e
,
passante per P e
contenente s. Determiniamo questi due piani:
Il fascio di piani per r è dato da
che contiene il punto P se e solo se
e quindi
ha equazione
x+z-2=0.
Equazioni cartesiane della retta s sono date da:
L'intersezione dei due piani è data da:
Intersechiamo R con r:
Intersechiamo R con s:
Soluzione dell'esercizio 3 Consideriamo le due coniche degeneri date dalle coppie di rette passanti
rispettivamente per P1P3 e P2P4 e per P1P4 e P2P3, che hanno
equazione rispettivamente:
Soluzione dell'esercizio 4 Usiamo il metodo di Jacobi. Consideriamo la base standard dei polinomi,
E1=1,E2=x,E3=x2, rispetto a tale base la matrice del prodotto scalare è
data da:
Soluzione dell'esercizio 5 1. Se
allora
2. Indichiamo con
.
Chiaramente se
allora f(vi)=0 per ogni i e quindi, per ogni
si ha
Viceversa, supponiamo che
per ogni g. Dimostriamolo prima
per il caso in cui i vi siano linearmente indipendenti. Se i vi sono
indipendenti, allora per ogni j esiste un funzionale
tale che
Vediamo ora il caso generale. Estraiamo da
una base di W.
Possima supporre, a meno di rinumerare i vettori, che i primi s dei vicostituiscano una tale base. Ogni altro dei vi si scriverà come
combinazione lineare di questi, ossia:
3. Osserviamo che:
Viceversa, supponiamo che
sia definito positivo ma che
non sia un sistema di generatori di V. Detto
,
esisterebbe allora un funzionale non nullo tale che
,
ma allora
,
contro l'assunto che
sia definito positivo.