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Geometria 1
Secondo appello, sessione autunnale, 1998/99
29 settembre 1999
Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le
risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con
dimostrazioni o confutazioni.
Esercizio 1
Siano dati in
![$\mathbb R^2$](img2.gif)
le rette:
Si determini, se e siste, una affinità
![$\varphi$](img4.gif)
tale che
![$\varphi(L)=L'$](img5.gif)
e
![$\varphi(M)=M'$](img6.gif)
.
Tale affinità è unica? Esiste una isometria con le stesse proprietà?
Soluzione
Esercizio 2
Sia
r la retta in
![$\mathbb R^3$](img7.gif)
di equazioni
Si determini un vettore direzione di
r.
Fra i piani contenenti la retta
r si trovi, se esiste:
- 1.
- un piano parallelo alla retta
;
- 2.
- un piano parallelo al piano
;
- 3.
- un piano perpendicolare al piano
.
Si discuta l'unicità dei piani trovati.
Soluzione
Esercizio 3
Siano dati i quattro punti
Si determini il fascio delle coniche per
P1,
P2,
P3 e
P4. Si dica se nel
fascio ci sono delle parabole e in tal caso quali sono. Si dica se nel fascio
ci sono delle circonferenze e in tal caso quali sono.
Soluzione
Esercizio 4
Si consideri il prodotto scalare su
![$\mathbb R^3$](img7.gif)
definito dalla seguente matrice
Se ne determini la segnatura ed una base ortogonale.
Soluzione
Esercizio 5
Sia
V uno spazio vettoriale reale con un prodotto scalare
![$\langle,\rangle$](img14.gif)
non degenere. Sia
![$F:V\to V$](img15.gif)
un operatore lineare e sia
F*il suo aggiunto. Si provi che
![$\ker F^* = (F(V))^\perp$](img16.gif)
.
Soluzione
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Domenico Luminati
1999-10-29