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Geometria 1
Primo appello, sessione autunnale, 1998/99
9 settembre 1999
Esercizio 1
Siano dati in
![$\mathbb R^2$](img2.gif)
i punti
P=(0,1),
Q=(0,0) e le rette
L di equazione
![$\{x-y=1\}$](img3.gif)
e
M di equazione
![$\{y=\sqrt 2\}$](img4.gif)
.
Si dimostri che
d(
P,
L)=
d(
Q,
M). Si costruisca un'isometria
![$\varphi$](img5.gif)
tale che
![$\varphi(P)=Q$](img6.gif)
e
![$\varphi(L)=M$](img7.gif)
e se ne discuta l'unicità.
Soluzione
Esercizio 2
Sia
r la retta in
![$\mathbb R^3$](img8.gif)
di equazioni
Si determini un vettore direzione di
r.
Fra i piani contenenti la retta
r si trovi, se esiste:
1) un piano passante per P=(1,3,1);
2) un piano parallelo alla retta
;
3) un piano perpendicolare alla retta s.
Si discuta l'unicità dei piani trovati.
Soluzione
Esercizio 3
Siano dati i quattro punti
Si determini il fascio delle coniche per
P1,
P2,
P3 e
P4. Si dica se nel
fascio ci sono delle parabole e in tal caso quali sono. Si dica se nel fascio
ci sono delle circonferenze e in tal caso quali sono.
Soluzione
Esercizio 4
Sia
V lo spazio vettoriale dei polinomi in una variabile di grado minore o
uguale a
2. Si consideri il prodotto scalare definito da
Si dimostri che è non degenere, e si trovi una base ortogonale di
Vrispetto a tale prodotto.
Soluzione
Esercizio 5
Sia
![$V=U\oplus W$](img13.gif)
uno spazio vettoriale con un prodotto scalare
![$\langle,\rangle$](img14.gif)
.
Supponiamo inoltre di sapere che, per ogni
![$u\in U$](img15.gif)
e
![$w\in
W$](img16.gif)
,
si ha
![$\langle u,w\rangle=\langle w,w\rangle=0$](img17.gif)
e che
![$\langle
u,u\rangle> 0$](img18.gif)
se
![$u\ne 0$](img19.gif)
.
(i) Si dimostri che
su V è semidefinito positivo.
(ii) Si dimostri che se
allora
.
Suggerimento: si consideri
.
(iii) Si dimostri che
Soluzione
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Domenico Luminati
1999-10-29