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Geometria 1
Primo appello, sessione estiva, 1998/99
14 giugno 1999
Esercizio 1
Siano dati i seguenti punti in
![$\mathbb R^2$](img2.gif)
:
Si dimostri che esiste un'unica affinità
![$F:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$](img4.gif)
tale che
F(
Pi)=
Qi. Si dica se
F è un'isometria e in tal caso di che isometria si
tratta.
Soluzione
Esercizio 2
Siano dati in
![$\mathbb R^3$](img5.gif)
la retta
r di equazioni
![$\{x+y-1=x-y-z=0\}$](img6.gif)
,
il
punto
P=(1,1,2) e
il piano
H1 di equazione
![$\{x+2y+z=3\}$](img7.gif)
.
Si trovi, se esiste, un piano H2passante per P, parallelo a r e perpendicolare a H1, e si dica se è
unico.
Si trovi, se esiste, un piano H3 passante per P, perpendicolare a r e
parallelo a H1, e si dica se è unico.
Soluzione
Esercizio 3
Si determini il fascio delle coniche per i punti
Si dica se
esiste una conica del fascio passante per
P5=(1,1) e se è unica; in tal
caso, dire di che conica si tratta.
Soluzione
Esercizio 4
Si consideri il prodotto scalare su
![$\mathbb R^3$](img5.gif)
definito dalla matrice
Se ne trovi la segnatura e una base ortogonale.
Soluzione
Esercizio 5
Sia
V uno spazio vettoriale con un prodotto scalare non
degenere
![$\langle~,~\rangle$](img10.gif)
.
Sia
W un sottospazio vettoriale di
V, e
![$F:V\to V$](img11.gif)
un operatore lineare tale
che
![$F(W)\subset W$](img12.gif)
.
Si dimostri che
![$F^*(W^\perp)\subset W^\perp$](img13.gif)
.
Soluzione
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Domenico Luminati
1999-10-29