(1). Il polinomio caratteristico è dato da:
Riducendo a scala le matrici e
si ottiene che
e
quindi
e
(4). La matrice non è diagonalizzabile. Dato che la
somma delle dimensioni degli autospazi è
che è diverso dalla dimensione
dello spazio ambiente (
).
Soluzione dell'esercizio 2 (1). Una ridotta a gradini di è data da
(2).
e una base di
è data dalle colonne della
matrice
corrispondenti alle colonne dei pivot, quindi una base di
è data da
.
. Per determinare una base del
nucleo risolviamo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice
che è
equivalente a quello associato alla sua ridotta a scala:
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Soluzione dell'esercizio 3 (1). Applichiamo il processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt ai due
vettori e
.
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
(2).
è l'insieme dei vettori ortogonali ha tutti i vettori di
, quindi
se e solo se
(3).
Dato che
, allora necessariamente
e
.
Soluzione dell'esercizio 4 (1). Scriviamo equazioni parametriche per .
(2).
La retta cercata passa per ed ha direzione ortogonale a
, ossia
parallela a
, quindi ha equazioni parametriche
(3).
Dato che le rette e
sono entrambe ortogonali al piano
, sono tra
loro parallele, quindi un piano che le contiene esiste.
L'equazione del generico piano passante per è data da