Durata di raccolta della radiazione emessa da un elettrone in moto a velocità relativistiche
Il confronto tra durata di emissione e durata di raccolta della radiazione emessa da un elettrone in moto a velocità relativistiche consente di capire la ragione della concentrazione dell'enorme quantità di potenza della radiazione di sincrotrone in un cono di apertura angolare molto piccola.
Consideriamo un elettrone in moto a velocità relativistiche su una traiettoria curva. L'energia dell'elettrone è:
e la sua velocità
Poiché la particella è accelerata, essa irradia energia elettromagnetica.
Sia O l'origine del sistema di riferimento di
laboratorio e P il punto di osservazione della radiazione elettromagnetica
emessa dall'elettrone. Nel punto P all'istante t, il campo di radiazione
e
può essere calcolato dai potenziali
scalare e vettore associati alla carica. Questi potenziali vanno valutati
all'istante di emissione t' e coinvolgono l'osservatore in P all'istante t. La
relazione fra t e t' è la seguente:
Valutiamo l'intervallo dt di raccolta della radiazione in funzione del tempo di emissione dt':
.
_______
Dimostriamo che il secondo termine che precede l'ultima uguaglianza è nullo. Infatti:
dove rappresenta la
velocità angolare con cui ruota il vettore
.
Poiché ,
si ha:
Così abbiamo dimostrato che:
Considerando che entrambi dt e dt' sono maggiori di zero, si ha:
Osserviamo ora che il termine
può essere approssimato:
Per angoli f grandi
e
inoltre,
per cui
e quindi:
cioè, il tempo di raccolta è dello stesso ordine del tempo di irraggiamento.
Consideriamo il caso in cui f è molto piccolo, che poi è il caso realistico per un osservatore che osserva tangenzialmente la traiettoria dell'elettrone.
In questo caso:
da cui:
e quindi
e
Per un tempo di raccolta
tipico di un anello di accumulazione con un
si ha:
In un intervallo di tempo di 10-20 s si raccoglie radiazione irradiata durante un intervallo di tempo molto più lungo!
E' questa una spiegazione quantitativa del perché la radiazione di sincrotrone emessa da particelle ( elettroni o positroni) relativistiche con g >>1, è focalizzata nella direzione della velocità.