Per arrivare ad una equazione di stato per il gas perfetto, è
necessario trovare una relazione fra la temperatura (quantità
macroscopica) e la velocità quadratica media (microscopica).
Il teorema di equipartizione dell'energia, la cui dimostrazione
esula dall'ambito di questi appunti, può in effetti essere
ricavato a partire dalla dinamica microscopica. Esso prova,
sotto ipotesi molto larghe sulle interazioni in gioco, che ogni
grado di libertà microscopico contribuisce la stessa quantità
di energia, precisamente
(dove
è la
costante di Boltzmann). Nel nostro caso le molecole sono trattate
come sistemi privi di gradi di libertà interni, quindi abbiamo
solo i tre gradi di libertà relativi alle translazioni:
Sostituendo dunque
nell'espressione per l'energia otteniamo
un legame fra sole quantità macroscopiche:
L'energia cinetica associata al moto traslatorio dipende quindi unicamente
dalla temperatura: essa è indipendente dalla pressione e dal volume.
Questo risultato segue direttamente dall'aver trascurato ogni forma di
energia potenziale fra le molecole. Quella che abbiamo scritto è in
effetti l'equazione di stato del gas perfetto; essa viene normalmente
scritta in termini di , e e la possiamo ricavare esprimendo
attraverso e :
Esprimendo come prodotto del numero di Avogadro e della
quantità di materia (il ``numero di moli'') abbiamo infine: