Teorema di Carnot
Tra tutte le macchine termiche che utilizzano due sole sorgenti di calore a due determinate temperature (Fig. 1) la macchina di Carnot (Fig. 2), che opera fra la stessa coppia di sorgenti, è quella che ha il massimo rendimento.
Indicando con hI il rendimento di una macchina termica reale che opera tra le sorgenti a temperature TC e TF, con TC > TF, e con hC il rendimento della macchina di Carnot operante fra due sorgenti aventi le stesse temperature TC e TF, risulta che:
Fig.
1
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Fig. 2
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Dimostrazione
La dimostrazione del teorema di Carnot si effettua ragionando per assurdo, assumendo cioè che il rendimento della macchina reale è maggiore di quello della macchina di Carnot. Si dimostra che la conseguenza di questa ipotesi è la violazione della seconda legge della termodinamica. Dimostriamolo.
Sia, per assurdo
La disuguaglianza è soddisfatta nelle due eventualità: ponendo QC = QC, si avrebbe di conseguenza LC < LI; oppure ponendo LC = LI si avrebbe, QC > QI. Consideriamo la prima eventualità: QC = QC, che comporta che LC < LI. (*).
Ciò significa che la macchina reale, a parità di calore assorbito dalla sorgente più calda, produce un lavoro superiore a quello della macchina di Carnot.
Dato che LI > LC, una parte di questo lavoro, per esempio LC, si potrebbe utilizzarla per far funzionare un frigorifero. In particolare, dato che la macchina di Carnot è reversibile, LC, sarebbe sufficiente a far funzionare la macchina di Carnot in senso inverso, cioè come un frigorifero di Carnot (Fig. 3). Tutto questo rispettando il bilancio energetico fra sorgenti e sostanza termodinamica.
Fig. 3
Il resto del lavoro, cioè LI -LC > 0, sarebbe disponibile come lavoro esterno utile per far funzionare altri dispositivi (Fig. 4).
Fig. 4
Osserviamo che, il sistema combinato costituito dalla macchina reale e dal frigorifero di Carnot (Fig. 5 e Fig. 6) corrisponde, però, ad una macchina che viola lenunciato di Kelvin-Plank della II legge della termodinamica.
Fig. 5
Fig. 6
Di fatto il sistema combinato, il sistema composito macchina Irreversibile- frigorifero di Carnot si comporta come una macchina termica che utilizza una sola sorgente di calore (Fig. 7):
Fig. 7
Verifichiamo che il calore che affluisce al fluido operatore del sistema composto dalla macchina reale e dal frigorifero di Carnot, -ô QFô + ô QFô , coincide con il lavoro utile LI - LC ; applichiamo il primo principio della termodinamica (vedi Fig. 4)
-ô QFô + ô QFô = (LI - ô QC ô ) + ô QFô = (LI - ô QC ô ) + ô QFô =
LI - (ô QC ô - ô QFô ) = LI - LC.
Il lavoro LI - LC viene prodotto da una macchina che lavora con una sola sorgente.
Dunque, lipotesi iniziale, assunta per assurdo, porta ad un assurdo, e, come tale, va rigettata. Non è dunque vero che ma si ha:
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(*) Nel caso LC = LI e, di conseguenza, QC > QI la dimostrazione segue lo stesso svolgimento e porta alla conclusione che il sistema combinato viola lenunciato di Clausius del la seconda legge della termodinamica.