Equivalenza degli enunciati di Kelvin-Plank e Clausius

La negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank implica la negazione dell'enunciato di Clausius

Negare l'enunciato di Kelvin-Plank significa ammettere che è possibile realizzare una macchina termica che produca lavoro utilizzando una sola sorgentedi calore, a temperatura uniforme. Per il primo principio, al completamento di ciascun ciclo, il calore assorbito dalla macchina viene convertito integralmente in lavoro. Questo lavoro può essere utilizzato per far funzionare un vero frigorifero, cioè un frigorifero che estrae calore da una sorgente fredda e, grazie al lavoro esterno, convoglia calore ad una sorgente calda alla stessa temperatura dell'unica sorgente della macchina ipotetica. Si dimostra che la combinazione della macchina che viola l'enunciato di Kelvin-Plank e del frigorifero reale, permette di realizzare un frigorifero che viola l'enunciato di Clausius. Infatti il calore fornito dalla macchina ipotetica può essere utilizzato per far funzionare il frigorifero reale. La temperatura della sorgente fredda va scelta in modo che il frigorifero reale ceda alla sorgente calda la stessa quantità di calore che la macchina ipotetica trasfroma in calore. Applicando il primo principio della termodinamica al sistema composto si verifica che, così facendo, la sorgente calda riceve una quantità di calore esattamente uguale a quella fornita della sorgente senza che venga effettuato alcun lavoro dall'esterno. Qui di seguito sono riportati i bilanci energetici ( primo principio) per gli elementi costitutivi della macchina ipotetica, del frigorifero reale e del sistema congiunto. La dimostrazione è anche riportata graficamente in in Fig. 1 e, utilizzando quantità numeriche, subito dopo la Fig. 1.

Bilanci energetici:

Macchina ipotetica che viola l'enuncciato di Kelvin-Plank:
1) sorgente unica a temperatura T_C: cede calore: per esempio 1000 J per ciclo.
2) Sostanza termodinamica: trasforma integralmente i 1000 J di calore 1000 J di lavoro, ½L½ = ½Q_C½.

Macchina ipotetica che viola l'enuncciato di Kelvin-Plank:
1) sorgente unica a temperatura T_C: cede calore: -½Q_C½.
2) Sostanza termodinamica: trasforma integralmente il calore in lavoro, ½L½ = ½Q_C½.

Frigorifero reale:
1) sorgente fredda a temperatura T_F: cede calore al fluido termodinamico, -½Q_F½.
2) Fluido termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, +½Q_F½, utilizza lavoro esterno - ½L½; cede calore alla sorgente calda a temperatura T_C , -½Q_C½; bilancio: - ½L½ = -½Q_C½+½Q_F½, che equivale a ½L½ = ½Q_C½-½Q_F½.
3) sorgente calda: riceve la quantità di calore +½Q_C½= ½L½ + ½Q_F½

Sistema composto dalla macchina ipotetica e dal frigorifero reale:
1) sorgente fredda a temperatura T_F: cede calore al fluido termodinamico, -½Q_F½.
2) Fluido termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, +½Q_F½; utilizza il lavoro proveniente dalla macchina ipotetica, -½L½= -½Q_C½, cede calore alla sorgente calda a temperatura T_C, bilancio: -½L½ = -½Q_C'½+½Q_F½, che equivale a: -½Q_C½=-½Q_C'½+½Q_F½.
3) sorgente calda: riceve la quantità di calore +½Q_C'½ = ½Q_C½+½Q_F½in uscita dal fluido e cede la quantità di calore -½Q_C½alla macchina ipotetica; bilancio: ½Q_C½+½Q_F½-½Q_C½=½Q_F½. Il sistema composto si comporta come un frigorifero che estrae calore ½Q_F½dalla sorgente fredda e lo cede alla calda senza che venga eseguito alcun lavoro. Si comporta come un frigorifero che a tutti gli effetti che viola il postulato di Clausius.

Fig. 1 Dimostrazione grafica del fatto che la negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank implica la negazione dell'enunciato di Clausius

Dimostrazione numerica

La dimostrazione dell'equivalenza è semplicissima, se nel bilancio energetico si usano quantità numeriche, a dispetto di quanto potrà essere sembrato dalla dimostrazione utilizzante quantità letterali.

Macchina ipotetica che viola l'enuncciato di Kelvin-Plank:
1) sorgente unica a temperatura T_C, cede calore: per esempio -1000 J per ciclo, una quantità a caso (Fig. 2).
2) Sostanza termodinamica: trasforma integralmente i +1000 J di calore in +1000 J di lavoro.

Fig. 2 Macchina che viola l'enunciato di Kelvin-Plank (i segni del calore e del lavoro sono tralasciati perchè intuitivi)

Frigorifero reale:
1) sorgente fredda a temperatura T_F : cede calore al fluido termodinamico, per esempio -300 J per ciclo, una quantità a caso.
2) Fluido termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, +300 J, utilizza lavoro esterno - 1000 J; cede calore -½Q_C½=  alla sorgente calda a temperatura T_C, ½ J; bilancio: -½L½ = -½Q_C½+½Q_F½;   -1000 J = -½Q_C½+ 300 J,   Þ -½Q_C½= -1300 J.
3) sorgente calda: riceve la quantità di calore +½Q_C½= 1300 J.

Fig. 3 Frigorifero reale (i segni dei calori e del lavoro sono tralasciati perchè intuitivi)

Sistema composto dalla macchina ipotetica e dal frigorifero reale:
1) sorgente fredda a temperatura T_F: cede calore al fluido termodinamico, -300 J.
2) Fluido termodinamico: assorbe calore dalla sorgente fredda, +300 J.; utilizza il lavoro proveniente dalla macchina ipotetica, -1000 J, cede calore  -½Q_C'½alla sorgente calda a temperatura T_C, bilancio: -1000 J = -½Q_C'½+300 J, Þ  -½Q_C'½= -1300 J
3) sorgente calda: riceve la quantità di calore +½Q_C'½ = 1300 J in uscita dal fluido e cede la quantità di calore -1000 J alla macchina ipotetica; bilancio: 1300 -1000 = 300 J =½Q_F½. Il sistema composto si comporta come un frigorifero che estrae calore ½Q_F½dalla sorgente fredda e lo cede alla calda senza che venga eseguito alcun lavoro. Esso si comporta a tutti gli effetti come un frigorifero che  che viola il postulato di Clausius

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Fig. 5  Sistema composto dall'ipotetica macchina ad una sola sorgente a temperatura uniforme e da un frigorifero reale. Il sistema è equivalente ad un frigorifero che viola l'enunciato di Clausius (i segni dei calori e del lavoro sono tralasciati perchè intuitivi). 

La negazione dell'enunciato di Clausius implica la negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank

La dimostrazione del fatto che la negazione dell'enunciato di Clausius implica la negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank (Fig. 6) è del tutto analoga alla dimostrazione precedente.

Fig. 6 Dimostrazione grafica del fatto che la negazione dell'enunciato di Clausius implica la negazione dell'enunciato di Kelvin-Plank

Enunciati del II Principio della Termodinamica