MECCANICA RAZIONALE (m)
A. A. 1999-00
Prof. Vinicio Moauro
Oggetto e obiettivi del corso
Vengono rivisitati i principi fondamentali della cinematica e della dinamica
classica per giungere alle equazioni del moto di sistemi costituiti da
un numero finito di punti, variamente vincolati, e di sistemi rigidi. Viene
quindi formulata in generale la cinematica e la dinamica di sistemi olonomi
a vincoli ideali, pervenendo alle equazioni di Lagrange e di Hamilton.
Particolare enfasi viene posta sull'analisi qualitativa dei moti, e, in
tale ambito, sul problema della stabilità.
Programma
-
Elementi di algebra tensoriale e di analisi tensoriale
-
Algebra tensoriale in uno spazio vettoriale euclideo: spazio duale; tensori
euclidei; criteri di tensorialità; elementi di algebra esterna.
-
Spazi puntuali affini euclidei: coordinate rettilinee e curvilinee.
-
Analisi tensoriale: campi vettoriali e tensoriali; differenziazione assoluta
e derivazione covariante.
-
Teoria qualitativa per le equazioni differenziali ordinarie
-
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: esistenza, unicità,
dipendenza continua dai dati iniziali; sistemi periodici e autonomi; linearizzazione
intorno ad una punto critico; concetti di stabilità e attrattività;
metodo diretto di Liapunov per lo studio della stabilità.
-
Sistemi differenziali piani: classificazione dei punti critici; analisi
qualitativa delle soluzioni; discussione di Weierstass; applicazioni.
-
Meccanica newtoniana
-
Questioni di cinematica: cammini e curve regolari di uno spazio affine
euclideo tridimensionale; triedro principale; velocità e accelerazione
di un punto mobile; moti piani; velocità angolare e velocità
areale; moti rigidi; caratterizzazione dell'atto di moto di un moto rigido;
teorema di Mozzi; moti relativi; teorema di Coriolis.
-
Dinamica del punto libero: equazioni del moto assoluto e relativo; posizioni
di equilibrio; integrali primi; teorema delle forze vive; forze conservative;
integrale primo dell'energia; forze centrali; analisi qualitativa delle
orbite in un moto centrale; il caso kepleriano.
-
Dinamica dei sistemi: forze interne e forze esterne; equazioni cardinali;
teorema delle forze vive; conservazione dell'energia; problema dei due
corpi.
-
Dinamica dei sistemi rigidi: operatore d'inerzia; elissoide di inerzia;
assi principali; teorema di Huygens-Steiner; energia cinetica, quantità
di moto e momento angolare di un corpo rigido; teorema di König; angoli
di Eulero; espressione della velocità angolare tramite gli angoli
di Eulero; corpo rigido con asse fisso privo di attrito; corpo rigido con
punto fisso privo di attrito; equazioni di Eulero; precessioni regolari
del giroscopio; rotazioni stazionarie e relativi problemi di stabilità.
-
Meccanica analitica
-
Meccanica Lagrangiana: sistemi vincolati; cenni sulle varietà differenziabili;
varietà delle configurazioni di un sistema ad un numero finito di
gradi di libertà; coordinate lagrangiane; sistemi olonomi ed anolonomi;
varietà delle configurazioni di un corpo rigido; velocità
e spostamenti virtuali; vincoli ideali; equazione simbolica della dinamica;
equazioni di Lagrange; funzione di Lagrange; integrali primi dell'energia
e di Jacobi; integrali primi dei momenti; teorema di Nöther; potenziale
generalizzato; forza di Lorentz; stabilità delle configurazioni
di equilibrio; teorema di Lagrange-Dirichlet; problema dell'inversione
del teorema di Lagrange-Dirichlet; stabilità dell'equilibrio in
presenza di dissipazione completa; piccole oscillazioni intorno ad una
configurazione di equilibrio stabile; modi normali.
-
Meccanica Hamiltoniana: equazioni di Hamilton; trasformazioni canoniche;
parentesi di Lagrange e di Poisson; integrali primi; funzioni generatrici
di trasformazioni canoniche; invarianti integrali; teorema di Liouville;
metodo di integrazione di Hamilton-Jacobi.
-
Principi variazionali: formulazione variazionale delle equazioni di Lagrange;
principio dell'azione stazionaria; principio di Maupertuis.
Testi consigliati
-
A. LICHNEROWICZ, Elementi di Calcolo Tensoriale, dispense
-
L. SALVADORI, Appunti delle lezioni
-
T. LEVI-CIVITA, U. AMALDI, Lezioni di Meccanica Razionale, Zanichelli,
Bologna
-
G. BENETTIN, L. GALGANI, A. GIORGILLI, Appunti di Meccanica Razionale,
dispense
-
F. BAMPI, M. BENATI, A. MORRO, Esercizi di Meccanica Razionale,
ECIG, Genova
Modalità e svolgimento dell'esame
L'accertamento del profitto avverrà attraverso un numero, non inferiore
a tre, di prove scritte in corso d'anno, e una prova orale di metà
corso. In base ai risultati di tali prove, verranno concessi agli studenti
dei crediti per l'esame finale, che consisteranno nell'esonero dalla prova
scritta d'esame, e in una riduzione del numero di argomenti della prova
orale d'esame.