MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE (m)
2° MODULO
A. A. 1999-00
Prof. Lucia Beretta
Oggetto e obiettivi del corso
Inquadrare e studiare le classiche geometrie euclidea ed iperbolica nell'ambito
della geometria assoluta via una fondazione assiomatica di tipo analitico
per poi classificare i relativi gruppi di isometrie. Sarà dedicata
attenzione durante lo svolgimento del corso ai nuovi programmi ministeriali
di geometria della scuola media superiore.
Programma
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SISTEMI DI ASSIOMI: Osservazioni storiche. Sistemi di assiomi di Hilbert.
Sistema di assiomi di Birkhoff.
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LA GEOMETRIA ASSOLUTA: Geometria incidente e geometria piana. L'assioma
di separazione del piano (A.S.P.) ed il teorema di Pasch. La geometria
"Goniometro". Perpendicolarità e congruenza di angoli. L'assioma
di congruenza di triangoli. Il teorema dell'angolo esterno e le sue conseguenze.
Triangoli rettangoli. Cerchi e "rette" tangenti.
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LA TEORIA DELLE PARALLELE: Il problema del quinto postulato di Euclide.
L'esistenza di "rette" parallele. Quadrilatero di Saccheri. La funzione
critica.
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LA GEOMETRIA IPERBOLICA: Semirette asintotiche. Difetto di un triangolo.
Distanza tra "rette" parallele. Principali risultati.
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LA TEORIA DELLE ISOMETRIE: Collineazione ed isometrie. Il modello di Klein
e il disco di Poincaré. La riflessione ed il suo assioma "specchio".
Fasci e cicli. La doppia riflessione ed il suo insieme invariante. La classificazione
delle isometrie. Il gruppo delle isometrie. L'assioma L.A.L. nel piano
iperbolico. Il gruppo delle isometrie di E e di H.
Testi consigliati
AGAZZINI EVANDRO, PALLADINO DARIO, Le geometrie non euclidee e i
fondamenti della geometria, E.S.T. Mondadori
BELL E., Mens of mathematics, New York: Simon and Schuster
BERGER M., Geometry I, II, Springer-Verlag
BONOLA R., Non euclidean geometry, New York: Dover
BOYER CARL B., Storia della matematica, ISEDI
COXETER H., Introductions to Geometry, New York: Wiley
HILBERT D., The foundations of Geometry, Chicago: Open Court
KRAUSE EUGENE F., Taxicab Geometry, Addison-Wesley
LOBACEVSKIJ NICOLAJ, Nuovi principi della geometria, Universale
Scientifica Boringhieri
MARTIN G., The Foundations of Geometry and non-Euclidean Plane,
New York: Intex
MOISE E. EDWIN, Elementary Geometry from an advanced standpoint,
Addison-Wesley
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame consiste nella discussione di una tesina su argomento scelto dallo
studente e in una prova orale.