Prof. V. Moauro

a.a. 1999/2000

Programma

Elementi di analisi tensoriale

Coordinate curvilinee di uno spazio puntuale affine euclideo, curve coordinate e riferimento naturale in un punto, formule di trasformazione dei
vettori di base relative ad un cambiamento di coordinate curvilinee. Campi di vettori e di tensori definiti in uno spazio puntuale affine euclideo
riferito ad un sistema di coordinate curvilinee. Problema fondamentale dell’anlisi tensoriale, simboli di Christoffel. Differenziali assoluti e derivate covarianti delle componenti di un vettore e di un tensore.
Operatori differenziali in coordinate curvilinee: gradiente di una funzione scalare, divergenza di un campo vettoriale, laplaciano di una
funzione scalare.

Cinematica dei Sistemi Continui

Configurazioni di un sistema continuo, funzione densità associata ad una configurazione, moti regolari di un sistema continuo, velocità e
accelerazione di una particella in un moto. Punto di vista lagrangiano e euleriano nello studio del moto, campo euleriano delle velocità, linee
di corrente, moti stazionari, caso dei moti rigidi. Derivate sostanziali o lagrangiane, campo euleriano delle accelerazioni. Studio delle
deformazioni di un sistema continuo rispetto ad una configurazione di riferimento: tensore di dilatazione e tensore di deformazione, direzioni e
terne principali di deformazione, interpretazione fisica delle componenti del tensore di deformazione. Variazione dei volumi, coefficiente di
dilatazione cubica. Tensore di deformazione linearizzato. Tensore velocità di deformazione relativo ad un moto di un sistema continuo:
direzioni e terne principali del tensore di velocità di deformazione, interpretazione fisica delle componenti del tensore  velocità di
deformazione, caratterizzazione degli atti di moto rigidi mediante l'annullamento del tensore di velocità di deformazione. Analisi dell'atto di
moto di un sistema continuo. Variazione dei volumi lungo un moto, condizione di incompressibilità.  Derivata sostanziale di un integrale di volume.

Dinamica dei sistemi continui

Principio di conservazione della massa, equazione di continuità. Equazioni cardinali della Meccanica. Sforzi specifici attorno ad un punto, teorema di Cauchy sugli sforzi, tensore degli sforzi, osservazione di Cauchy. Equazione fondamentale della meccanica dei sistemi continui, simmetria del tensore degli sforzi. Condizioni al contorno. Problema della determinazione del moto di un sistema continuo, leggi costitutive.

Meccanica dei fluidi

leggi costitutive dei fluidi newtoniani, coefficienti di viscosità, equazioni di Navier-Stokes. Statica dei fluidi: fluidi soggetti a sollecitazioni conservative, fluidi pesanti, legge di Archimede, fluidi barotropici. Dinamica dei fluidi incompressibili: equazioni del moto e condizioni al contorno in forma adimensionale, numero di Reynolds. Equazioni di Stokes e equazioni di Eulero. Esempi di moti stazionari di fluidi viscosi: moti alla Poiseuille, moti alla Couette.
Fluidi perfetti : equazioni del moto e condizioni al contorno; vettore vortice, equazione di diffusione di Beltrami, teorema di Lagrange sulla conservazione della vorticità. Moti irrotazionali di fluidi perfetti barotropici soggetti a forze di volume conservative: formula di Bernouilli, teorema di Torricelli. Dinamica dei fluidi compressibili: teorema delle forze vive, primo e secondo principio della termodinamica, equazione dell’energia, equazione di stato, caso isotermo e caso adiabatico, gas perfetti.

Meccanica dei sistemi elastici

forma lagrangiana delle equazioni del moto e delle condizioni al contorno, potenziale termodinamico, equazioni dell’energia in forma lagrangiana, lavoro delle forze interne espresso mediante le caratteristiche di deformazione, legame tra caratteristiche degli sforzi e caratteristiche di deformazione. Sistemi elastici: equazioni della elasticità isoterma lineare, equazioni della elastostatica isoterma lineare.

Complementi

Preliminari sulle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili: problemi fisici schematizzati mediante equazioni alle derivate parziali (eq. del potenziale delle velocità di un fluido incompressibile, eq. del potenziale newtoniano, eq. del potenziale elettrostatico, eq. delle onde elettromagnetiche, eq. di conduzione del calore, eq. di diffusione dei fluidi). Problema di Cauchy. Equivalenza tra condizioni al contorno sulla derivata normale e sulle derivate parziali. Teorema di unicità della soluzione. Classificazione (equazioni di tipo iperbolico, parabolico ed ellittico). Riduzione a forma canonica.
Equazioni differenziali di tipo iperbolico: l’equazione delle corde vibranti, l’equazione delle onde soddisfatta dal potenziale elettrico e dal potenziale vettore magnetico per effetto delle equazioni di Maxwell. Risoluzione dell’equazione delle corde vibranti con la formula di d’Alambért. Continuità della soluzione rispetto ai dati iniziali. Problemi di regolarità nel caso della corda semilimitata e limitata. Teorema di Fourier (enunciato). Risoluzione dell’equazione delle corde vibranti con il metodo di separazione delle variabili, con studio della convergenza e della regolarità della soluzione espressa in serie. Soluzione espressa in serie tramite sviluppo in serie di Fourier della formula di d’Alambért. Corda pizzicata e percossa.
Equazioni differenziali di tipo parabolico: l’equazione di conduzione del calore in una sbarretta rettilinea uniforme ricavata dalla legge di Fourier e dalla legge fondamentale della calorimetria. Principio del massimo e teorema di unicità della soluzione. Continuità della soluzione rispetto ai dati iniziali ed al contorno. Risoluzione dell’equazione di conduzione del calore con il metodo di separazione delle variabili, con studio della convergenza e della regolarità della soluzione espressa in serie. La funzione di Green per l’equazione di conduzione del calore e le sue proprietà. Miglioramento della regolarità della soluzione espressa in serie.

Testi consigliati
A. LICHNEROWICZ, Elementi di calcolo tensoriale.
T. LEVI CIVITA, E. AMALDI, Compendio di Meccanica Razionale, parte II, Zanichelli, Bologna.
G. DUVAUT, Mécanique des milieux continus, Masson, Paris.
P. APPELL, Traité de Mecanique Rationelle, Tome III, Gauthier-Villars, Paris.
L.I. SEDOV, A course in Continuum Mechanics, vol. 1& vol. 3, Wolters-Nordhoff, Groningen.
A.N. TICHONOV, A. SAMARSKIJ, Equazioni della Fisica Matematica, M.I.R. Ed.