2° bimestre
Prof. A. Cassa
a.a. 1999/2000
Programma: parte teorica
1) prodotti scalari, osservazioni ed esempi
2) prodotti scalari in R^2 (facoltativo)
3) norma definita da un prodotto scalare, osservazioni ed esempi
4) disuguaglianza di Schwartz; quando vale l’uguaglianza
5) le prime tre proprieta` della norma; osservazione sulla norma della somma
6) semirette uscenti dall’origine ed ampiezza della loro apertura
7) teorema di Pitagora
8) identita` del parallelogramma
9) formule di polarizzazione
10) caratterizzazione delle norme che provengono da un prodotto scalare
11) metrica definita da un prodotto scalare e prime proprieta`
12) quando vale l’uguaglianza nella disuguaglianza triangolare
13) traslazioni e similitudini in uno spazio vettoriale
14) identita` del parallelogramma per la metrica
15) isometrie e omotetie
16) caratterizzazione delle metriche che provengono da un prodotto scalare
17) basi ortonormali, osservazioni
18) complemento ortogonale di un sottospazio
19) il complemento ortogonale di un sottospazio e` un sottospazio
20) dimensione del complemento ortogonale di un sottospazio
21) processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
22) isometria con R^n indotta da una base ortonormale
23) cambio di origine in uno spazio vettoriale
24) spazi dei vettori applicati e spazio dei vettori liberi
25) vettori applicati paralleli
26) spazi affini
27) spazi di vettori applicati e spazio dei vettori liberi in uno spazio affine
28) isomorfismi naturali
29) traslazioni e similitudini per uno spazio affine
30) applicazioni affini, esempi ed osservazioni
31) applicazione lineare associata ad una applicazione affine
32) applicazioni affini associate ad una applicazione lineare tra vettori liberi
33) isomorfismi affini, esempi ed osservazioni
34) isomorfismo affine naturale tra uno spazio affine e lo spazio dei suoi vettori liberi
35) affinita` di uno spazio affine, esempi ed osservazioni
36) gruppo delle affinita`
37) sottospazi affini, esempi ed osservazioni
38) sottospazi affini paralleli
39) esistenza di buone catene di sottospazi affini (dimostrazione facoltativa)
40) dimensione di uno spazio affine
41) sistemi di riferimento per uno spazio affine
42) isomorfismo tra uno spazio affine ed R^n indotto da un sistema di riferimento
43) punti in posizione generale
44) espressione matriciale per il cambiamento di coordinate affini
45) metriche euclidee e spazi metrici euclidei, esempi
46) affinita` isometriche e omotetiche tra spazi metrici euclidei, osservazioni
47) matrici ortogonali
48) affinita` isometriche di R^n
49) affinita` omotetiche di R^n
50) prodotto scalare per i vettori liberi (dimostrazione facoltativa)
51) affinita` isometrica naturale con lo spazio dei vettori liberi
52) sistemi di riferimento ortonormale
53) affinita` isometrica naturale tra uno spazio metrico euclideo ed R^n
54) espressione matriciale per il cambiamento di coordinate tra due riferimenti
55) equivalenza affine tra sottoinsiemi di uno spazio affine
56) classificazione affine per sottoinsiemi di uno spazio affine
57) equivalenza metrica tra sottoinsiemi di uno spazio affine
56) classificazione metrica per sottoinsiemi di uno spazio affine
57) classificazione affine delle coniche del piano affine
58) classificazione metrica delle coniche del piano affine
Programma: esercitazioni
Geometria affine ed euclidea del piano: equazione cartesiana e parametrica
di una retta ; punto medio di un segmento; angoli fra rette; formula
delle distanza punto - retta (dimostrazione in dotato del prodotto
scalare standard ); distanza fra punti nel piano affine; coniche: esempi;
definizione di una conica; matrici che definiscono la stessa conica;
significato geometrico della classificazione metria delle coniche; polinomio
caratteristico ed autovalori di una matrice di ordine 2 e 3; invarianti
metrici; caratterizzazione di matrici di rotazione nello spazio vettoriale
(dimostrazione); proiezioni ortogonali; esempio: la circonferenza,
esistenza e unicità di una circonferenza passante per una terna
di punti;
traslazioni di assi cartesiani; forme canoniche di coniche e loro classificazione
metrica; esempi ed esercizi riassuntivi.