Prof. A. Cassa
A.A. 1999/2000
Programma generale
LOGICA: proposizioni, connettivi, predicati, quantificatori.
INSIEMI: costruzione di insiemi ed operazioni su di essi. Prodotto
cartesiano, relazioni di equivalenza e di ordine. Numeri naturali,
principio di induzione. Applicazioni. Numeri cardinali, insiemi numerabili.
Lemma di Zorn.
ALGEBRA LINEARE: spazi numerici, spazi vettoriali, sottospazi, basi,
dimensione. Applicazioni lineari, nucleo ed immagine. Sistemi lineari,
matrici ed operazioni su di esse, rango e determinante. Teorema di
Rouche`-Capelli. Matrici associate ad applicazioni lineari e cambiamenti
di
base.
Programma: parte teorica
1) logica proposizionale
2) negazione di una proposizione, tabelle dei valori di verita`
3) connettivi “e” e “o” e loro tabelle dei valori di verita`
4) identita` generali delle proposizioni
5) connettivi logici binari
6) implicazione ed equivalenza logica di proposizioni, proprieta` generali
7) regola di deduzione
8) connettivo “aut”
9) predicati logici
10) quantificatore universale ed esistenziale
11) regole di negazione e di sostituzione per i quantificatori
12) insiemi, uguaglianza tra insiemi
13) elementi di un insieme, insiemi definiti da predicati
14) insieme vuoto, insiemi con un solo elemento
15) insiemi definiti esplicitamente dai loro elementi
16) unione ed intersezioni di insiemi, proprieta` generali
17) complentare universale di un insieme ed insieme differenza
18) sottoinsiemi di un insieme, proprieta` generali
19) insieme delle parti di un insieme
20) paradosso di Russell
21) complementare relativo
22) coppia ordinata
23) prodotto cartesiano di insiemi
24) relazioni tra insiemi, relazioni logiche e insiemistiche
25) relazione di equivalenza, esempi ed osservazioni
26) classi di equivalenza
27) insieme quoziente
28) partizione di un insieme (facoltativo)
29) corrispondenza tra relazioni di equivalenza e partizioni (facoltativo)
30) relazioni d’ordine, deboli e strette, totali e parziali
31) minimi, massimi, minimali e massimali di un insieme ordinato
32) ordinamento indotto su un sottoinsieme
33) insiemi bene ordinati, esempi ed osservazioni
24) successivo di un elemento non massimo negli insiemi bene ordinati (facoltativo)
25) numeri naturali
26) dimostrazione degli “assiomi di Peano” (facoltativa)
27) principio di induzione, esempi
28) applicazioni tra insiemi e funzioni, dominio e codominio
29) immagine di un insieme, dimostrazione di alcune proprieta`
30) applicazione identica, inclusioni e restrizioni
31) applicazioni iniettive, suriettive e biiettive
32) inversa di una applicazione biiettiva, osservazioni
32) controimmagine di insiemi, proprieta` generali
33) composizione di due applicazioni, associativita` della composizione ed osservazioni
34) insiemi equipotenti, equivalenza definita dall’equipotenza
35) non equipotenza tra insiemi finiti e infiniti (dimostrazione facoltativa)
36) equipotenza tra insiemi finiti (dimostrazione facoltativa)
37) gli insiemi N ed R non sono equipotenti (dimostrazione facoltativa)
38) un insieme non e` equipotente all’insieme delle sue parti (dimostrazione facoltativa)
39) enunciato del teorema di Schroeder-Bernstein
40) numeri cardinali e potenza degli insiemi, osservazioni
41) cardinalita` di N (alef con zero) ed R (ci gotico)
42) gli spazi numerici R^n
43) campi di numeri, esempi
44) spazi vettoriali, esempi ed osservazioni
45) sottospazi vettoriali, esempi, controesempi e osservazioni
46) combinazione lineare di vettori, sottospazio generato da un insieme di vettori
47) insieme di generatori di uno spazio vettoriale
48) insiemi liberi, osservazioni
49) un vettore e` combinazione di vettori liberi in modo “unico” (senza dimostrazione)
49) base di uno spazio vettoriale, esempi ed osservazioni
50) ogni insieme di generatori contiene una base (dim. facoltativa)
51) ogni insieme libero si estende ad una base (dim. facoltativa)
52) esistono basi per ogni spazio vettoriale (dim. facoltativa)
53) due basi di uno spazio vettoriale sono equipotenti (senza dimostrazione)
54) esempi ed psservazioni sulle basi
55) applicazioni lineari, esempi ed osservazioni
56) isomorfismi tra spazi vettoriali, osservazioni
57) spazi vettoriali isomorfi, osservazioni
58) due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione
59) nucleo ed immagine di una applicazione lineare
60) il nucleo e l’immagine sono sottospazi vettoriali
61) dimensione del nucleo + dimensione dell’immagine = dimensione dell’ambiente
62) rango per righe e rango per colonne di una matrice
63) sistemi lineari omogenei e non
64) condizioni per l’ esistenza delle soluzioni di un sistema lineare
65) rango per righe = rango per colonne (senza dim.)
66) applicazione lineare tra spazi numerici associata ad una matrice
67) matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi numerici
68) isomorfismo con uno spazio numerico dato dalle componenti rispetto ad una base
69) matrice associata ad una applicazione lineare tra spazi vettoriali con basi assegnate
70) cambiamento di matrice conseguente ad un cambiamento di base (dim. facoltativa)
71) matrice associata all’identita` rispetto a due basi diverse
Programma: esercitazioni
Esercizi di logica matematica: tabelle di verità di connettivi
logici, tautologie e contraddizioni; ragionamento per assurdo; predicati
in una o
due variabili.
Esercizi di teoria degli insiemi: operazioni con gli insiemi; relazioni
d'equivalenza; insiemi definiti da predicati, esempi di paradosso.
Applicazioni; immagine di un elemento di un insieme; immagine inversa;
applicazioni iniettive e suriettive.
Applicazioni lineari e matrici: esercizi di calcolo di una matrice associata
ad un'applicazione lineare; matrice associata all'identità;
descrizione del nucleo e dell'immagine di un'applicazione lineare in
termini di sistemi lineari associati; descrizione di applicazioni lineari
con
dato nucleo.
Sistemi lineari e matrici: esempi di sistemi lineari; forma matriciale
di un sistema lineare; l'insieme delle matrici è uno spazio
vettoriale (dimostrazione); prodotto riga per colonna fra matrici;
matrici a gradini; matrici diagonali; risoluzione di un sistema lineare
rappresentato da una matrici a gradini; matrice orlata e teorema di
Rouchè Capelli per matrici in forma a gradini (discussione dell'esistenza
e
unicit`à delle soluzioni ); algoritmo di Gauss; il teorema di
Rouchè Capelli per matrici qualsiasi (dimostrazione del teorema
a partire dal
teorema di Rouchè Capelli per sistemi rappresentati da matrici
a gradini); l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è
uno
spazio vettoriale (dimostrazione); l'insieme delle soluzioni di un
sistema lineare non omogeneo è uno spazio affine.
Determinanti: determinante di una matrice di ordine 2 e soluzioni del
sistema lineare associato; determinante di ordine 2 come applicazione
bilineare alternante che vale 1 sull'identità; forma di Laplace
del determinante di una matrice di ordine n; proprietà del determinante;
determinante di matrici diagonali e triangolari; esistenza ed unicità
delle soluzioni di un sistema lineare: formula di Cramer (dimostrazione);
formula di Binet (senza dimostrazione); calcolo dell'inversa di una
matrice invertibile (dimostrazione); il rango per riga e quello per colonna
coincidono (dimostrazione); calcolo del rango di una matrice qualsiasi;
soluzioni di un qualsiasi sistema lineare in un campo qualsiasi
(dimostrazione); esempi riassuntivi.