Teoria dei gruppi
Operazioni su un insieme. Monoidi. Gruppi. Il gruppo delle mappe biiettive su un insieme.
Gruppo simmetrico Sn. Partizione in classi laterali e teorema di Lagrange.
Sottogruppi normali. Gruppo quoziente.
Il teorema fondamentale sugli omomorfismi dei gruppi. Applicazione: un gruppo ciclico
è isomorfo a Z, o a un quoziente Z/nZ.
Prodotto diretto di gruppi. Il teorema cinese dei resti.
Gruppi di permutazioni. Azioni. Azioni transitive. Teorema orbita/stabilizzatore.
Il carattere di un'azione. Applicazione a problemi di conteggio.
Teoria degli anelli
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Ideali bilateri.
Anello quoziente, omomorfismi di anelli, nuclei di omomorfismi,
teorema fondamentale sugli omomorfismi degli anelli.
Criteri di divisibilità, prova del nove. Sviluppo di frazioni decimali.
Funzione di Eulero. Crittografia a chiave pubblica. Metodo RSA. Firme autenticate.
Test di primalità . Pseudoprimi. Pseudoprimi forti.
Testa o croce per telefono. Calcolo delle potenze. Calcolo delle radici quadrate.
Aritmetica nei domini. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e
domini a ideali principali (PID). Un PID è un UFD.
Lemma di Gauß, e certi UFD che non sono PID.
Un primo p congruo a 1 modulo 4 è somma di due quadrati. Terne pitagoriche.
Teoria dei campi
Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti.
Estensioni cicliche: teorema di struttura e polinomio minimo.
Grado di una estensione, legami con l'algebricità.
Grado di una estensione ciclica. Formula dei gradi. Aggiunta di una radice.
Campi di spezzamento e chiusure algebriche. Esistenza del campo di spezzamento.
Unicità del campo di spezzamento: isomorfismi su un campo. Campi finiti.