GEOMETRIA (f)
A. A. 1998-99
Prof. Giuseppe Vigna Suria
Oggetto e obiettivi del corso
Lo scopo delle lezioni è quello di consentire allo studente di impratichirsi
con concetti fondamentali dell'algebra lineare e di rendersi conto come
la geometria moderna si appoggia su di essa.
Vengono anche esaminati i concetti basilari di teoria dei gruppi e
alcune nozioni fondamentali di topologia.
Programma
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Cenni di logica matematica
Proposizioni, connettivi, quantificatori, tavole di verità.
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Teoria degli insiemi
Insieme, elemento, appartenenza, unione intersezione, complementare,
prodotto cartesiano, insieme delle parti, relazioni d'ordine e d'equivalenza.
Funzioni, funzioni iniettive e suriettive, corrispondenza biunivoca.
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Numeri complessi
Descrizione delle inclusioni tra gli insiemi numerici N, Z,
Q, R.
L'insieme C = R × R; operazione di somma
e prodotto su C.
C è campo e l'equazione x2+1 = 0 è
risolubile in C.
Modulo, complesso coniugato.
Coordinate polari, legge di De Moivre.
Soluzione dell'equazione zn = a in C.
Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato).
Spezzamento dei polinomi su C e su R.
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Spazi vettoriali
Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Conseguenze immediate degli
assiomi.
Sottospazi vettoriali: esempi e controesempi. Intersezione e somma
di sottospazi.
Somma diretta.
Insiemi di generatori. Vettori linearmente indipendenti. Spazi vettoriali
di dimensione finita.
Basi di uno spazio vettoriale e sua dimensione. Dimensione dello spazio
somma e somma diretta di due sottospazi.
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Applicazioni lineari
Applicazioni lineari, monomorfismi, epimorfismi e isomorfismi. Rango.
Composizione. Struttura di spazio vettoriale su Hom (V, W). Spazio
duale.
Teorema sulla nullità + rango. Conseguenze immediate.
Matrici associate a applicazioni lineari.
Operazioni tra matrici, loro significato. Le matrici quadrate con somma
e prodotto sono un anello.
Isomorfismo tra matrici ed applicazioni lineari.
Trasformazioni invertibili e matrici invertibili.
Matrici elementari ed operazioni elementari sulle righe e sulle colonne
di una matrice.
Cambiamento di base. Interpretazione delle operazioni riga e colonna
come cambiamento di base.
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Determinanti
Definizione assiomatica di una funzione determinante.
Sua esistenza ed unicità. Formule di sviluppo del determinante.
Teorema di Binet. Determinante della trasposta di una matrice.
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Sistemi lineari
Rango di una matrice; rango per righe = rango per colonne.
Caratterizzazione del rango mediante i minori.
Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli.
Metodi di Gauss-Jordan per la risoluzione di sistemi lineari.
Calcolo dell'inversa di in matrice e teorema di Cramer.
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Autovalori e autovettori
Definizione di autovalore e autovettore. Polinomio caratteristico.
Molteplicità algebrica e geometrica. Condizioni di diagonalizzabilità.
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Forme bilineari
Forme bilineari e matrice associata. Nucleo destro e sinistro. Forme
non degeneri.
Prodotti scalari. Processo di Gram-Schmidt.
Forma di polarizzazione. Diagonalizzazione delle forme simmetriche.
Legge di inerzia (teorema di Sylvester).
Sottospazi ortogonali.
Prodotti hermitiani.
Aggiunto di un operatore. Operatori simmetrici, ortogonali ed unitari.
Proprietà dei loro autovalori. Teorema spettrale.
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Spazi affini
Definizione e proprietà fondamentali; riferimenti affini; cambio
di coordinate.
Applicazioni affini e matrici ad esse associate.
Trasformazioni affini e controaffini, traslazioni.
Sottospazi affini e loro rappresentazione cartesiana e parametrica.
Spazi affini euclidei. Riferimenti ortonormali. Isometrie.
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Spazi metrici e topologici
Definizione di spazio metrico e pseudometrico.
Funzioni continue.
Definizione di spazio topologico. Ogni spazio pseudometrico è
topologico. Aperti e chiusi. Topologia indotta. Spazio prodotto e quoziente.
Funzioni continue. Spazi connessi e compatti. Spazi di Hausddorff.
Caratterizzazione dei sottoinsiemi connessi e compatti di R.
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Strutture algebriche
Il concetto di gruppo. Esempi. Sottogruppi e sottogruppi normali. Gruppo
Quoziente
Omomorfismi di gruppi. Teorema di isomorfismo. Il concetto di anello
e anelli commutativi. Omomorfismi di anelli. Il concetto di campo. Caratteristica
di un campo.
Testi consigliati
Appunti.
Modalità e svolgimento dell'esame
I candidati verranno valutati attraverso una prova scritta e una orale.
La prova scritta può essere sostituita dalle verifiche periodiche
tenute durante lo svolgimento del corso.