GEOMETRIA I (m)
A. A. 1998-99
Prof. Alberto Tognoli
Oggetto e obiettivi del corso
Scopo del corso è l'insegnamento dell'algebra lineare e di alcune
sue applicazioni nello studio delle coniche e delle quadriche.
Sarà introdotto anche lo spazio proiettivo in modo da poter
giungere alla classificazione proiettiva di coniche e quadriche.
Programma
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PRODOTTI SCALARI
Forme bilineari e forme quadratiche. Prodotti scalari. Matrici ortogonali
e matrici simmetriche. Prodotti hermitiani.
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COORDINATE SULLA RETTA E NEL PIANO
Retta orientata e suoi segmenti. Coordinate sulla retta. Retta numerica.
Coordinate cartesiane ortogonali nel piano. Nozione di coordinate cartesiane
oblique. Coordinate polari.
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PROBLEMI ELEMENTARI DI GEOMETRIA ANALITICA DEL PIANO
Proiezione di un segmento. Distanza di due punti. Calcolo dell'area
di un triangolo. Divisione di un segmento in un rapporto dato. Trasformazione
delle coordinate cartesiane in una traslazione parallela degli assi. Trasformazione
delle coordinate cartesiane ortogonali in una rotazione degli assi. Trasformazione
delle coordinate cartesiane ortogonali nel cambiamento dell'origine e nella
rotazione degli assi.
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PROPRIETÀ GEOMETRICHE DELLE CURVE DEL SECONDO ORDINE
L'ellisse. Definizione dell'ellisse e deduzione della sua equazione
canonica. Studio della forma dell'ellisse. Eccentricità dell'ellisse.
Espressioni razionali dei raggi focali dell'ellisse. Costruzione dell'ellisse
per punti. Equazioni parametriche dell'ellisse. Ellisse come proiezione
di una circonferenza su un piano. Ellisse come sezione di un cilindro circolare.
L'iperbole. Definizione di iperbole e deduzione della sua equazione canonica.
Studio della forma dell'iperbole. Eccentricità dell'iperbole. Espressioni
razionali dei raggi focali dell'iperbole. Direttrici dell'ellisse e dell'iperbole.
La parabola. Deduzione dell'equazione canonica della parabola. Studio della
forma della parabola. Equazione polare dell'ellisse, dell'iperbole e della
parabola. Diametri delle curve del secondo ordine. Proprietà ottiche
dell'ellisse, dell'iperbole e della parabola. L'ellisse, l'iperbole e la
parabola come sezioni coniche.
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ALCUNI PROBLEMI ELEMENTARI DI GEOMETRIA ANALITICA NELLO SPAZIO
Coordinate cartesiane ortogonali nello spazio. Nozione di vettore libero.
Proiezione di un vettore su un asse. Proiezioni di un vettore sugli assi
coordinati. Coseni direttori. Distanza di due punti. Divisione di un segmento
in un dato rapporto.
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OPERAZIONI LINEARI SUI VETTORI
Definizione delle operazioni lineari. Proprietà principali delle
operazioni lineari. Differenza di vettori. Teoremi fondamentali sulle proiezioni.
Sviluppo dei vettori in componenti.
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OPERAZIONI LINEARI SUI VETTORI
Definizione delle operazioni lineari. Proprietà principali delle
operazioni lineari. Differenza di vettori. Teoremi fondamentali sulle proiezioni.
Sviluppo dei vettori in componenti.
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PRODOTTO SCALARE DI VETTORI
Il prodotto scalare e le sue proprietà fondamentali. Espressione
del prodotto scalare di vettori mediante le relative coordinate.
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PRODOTTO VETTORIALE E MISTO DI VETTORI
Prodotto vettoriale e sue proprietà fondamentali. Espressione
del prodotto vettoriale di vettori mediante le relative coordinate. Prodotto
misto di tre vettori. Espressione del prodotto misto di vettori mediante
le relative coordinate.
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SUPERFICI DEL SECONDO ORDINE
Ellissoide ed iperboloide. Cono del secondo ordine. Paraboloidi. Cilindri
del secondo ordine. Generatrici rettilinee dell'iperboloide a una falda.
Costruzioni di V. Suchov.
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ELEMENTI DI TEORIA DEI DETERMINANTI
Determinanti del secondo ordine e sistemi di due equazioni di primo
grado a due incognite. Sistema omogeneo di due equazioni di primo grado
a tre incognite. Determinanti del terzo ordine. Complementi algebrici e
minori. Soluzione e studio di un sistema di tre equazioni di primo grado
a tre incognite. Nozione di determinante d'ordine qualunque.
Testi consigliati
ACCASCINA, VILLANI, Algebra lineare, Casa ed. E.T.S., Pisa
N.V. EFIMOV, Elementi di geometria analitica, Editori Riuniti
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame consiste in una prova scritta ed una orale.