GEOMETRIA E ALGEBRA (m)
1° modulo
A. A. 1998-99
Prof. Giuseppe Vigna Suria
Oggetto e obiettivi del corso
Lo scopo delle lezioni è quello di consentire allo studente di impratichirsi
con concetti fondamentali dell'algebra lineare e di rendersi conto come
la geometria moderna si appoggia su di essa.
Programma
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Cenni di logica matematica
Proposizioni, connettivi, quantificatori, tavole di verità.
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Teoria degli insiemi
Insieme, elemento, appartenenza, unione intersezione, complementare,
prodotto cartesiano, insieme delle parti, relazioni d'ordine e d'equivalenza.
Funzioni, funzioni iniettive e suriettive, corrispondenza biunivoca.
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Numeri complessi
Descrizione delle inclusioni tra gli insiemi numerici N, Z,
Q, R.
L'insieme C = R × R; operazione di somma
e prodotto su C.
C è campo e l'equazione x2+1 = 0 è
risolubile in C.
Modulo, complesso coniugato.
Coordinate polari, legge di De Moivre.
Soluzione dell'equazione zn = a in C.
Teorema fondamentale dell'algebra (enunciato).
Spezzamento dei polinomi su C e su R.
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Spazi vettoriali
Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Conseguenze immediate degli
assiomi.
Sottospazi vettoriali: esempi e controesempi. Intersezione e somma
di sottospazi.
Somma diretta.
Insiemi di generatori. Vettori linearmente indipendenti. Spazi vettoriali
di dimensione finita.
Basi di uno spazio vettoriale e sua dimensione. Dimensione dello spazio
somma e somma diretta di due sottospazi.
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Applicazioni lineari
Applicazioni lineari, monomorfismi, epimorfismi e isomorfismi. Rango.
Composizione. Struttura di spazio vettoriale su Hom (V, W). Spazio
duale.
Teorema sulla nullità + rango. Conseguenze immediate.
Matrici associate a applicazioni lineari.
Operazioni tra matrici, loro significato. Le matrici quadrate con somma
e prodotto sono un anello.
Isomorfismo tra matrici ed applicazioni lineari.
Trasformazioni invertibili e matrici invertibili.
Matrici elementari ed operazioni elementari sulle righe e sulle colonne
di una matrice.
Cambiamento di base. Interpretazione delle operazioni riga e colonna
come cambiamento di base.
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Determinanti
Definizione assiomatica di una funzione determinante.
Sua esistenza ed unicità. Formule di sviluppo del determinante.
Teorema di Binet. Determinante della trasposta di una matrice.
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Sistemi lineari
Rango di una matrice; rango per righe = rango per colonne.
Caratterizzazione del rango mediante i minori.
Sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli.
Metodi di Gauss-Jordan per la risoluzione di sistemi lineari.
Calcolo dell'inversa di in matrice e teorema di Cramer.
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Autovalori e autovettori
Definizione di autovalore e autovettore. Polinomio caratteristico.
Molteplicità algebrica e geometrica. Condizioni di diagonalizzabilità.
Testi consigliati
Appunti
Modalità e svolgimento dell'esame
I candidati verranno valutati attraverso una prova scritta e una orale.
La prova scritta può essere sostituita dalle verifiche periodiche
tenute durante lo svolgimento del corso.