ISTITUZIONI DI ANALISI SUPERIORE (m)
1o MODULO
A. A. 1997-98
Prof. F. Serra Cassano
Programma
I) Teoria della misura e dell'integrazione. Integrale secondo Lebesgue.
- Misure esterne. Insiemi misurabili rispetto ad una misura esterna. Misure esterne di Borel, di Borel regolari e di Radon. Criterio di misurabilità di Carathéodory per misure esterne su Rn.
- Risultati di approssimazione per misure esterne di Borel e di
Radon su Rn .
- Costruzione della misura esterna di Lebesgue su Rn e sue proprietà. Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro proprietà.
- Misura su una s-algebra. Relazione tra misura e misura esterna. Misura di Lebesgue su Rn. Misure di Borel, di Borel regolari e di Radon. Misure complete
- Funzioni misurabili e boreliane rispetto ad uno spazio di misura (X, A, m) e loro proprietà.
- Integrazione in uno spazio di misura (X, A, m). Integrazione secondo Lebesgue.
- Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
- Misura prodotto. Teorema di Fubini-Tonelli.
- Cambiamento di variabile per l'integrale secondo Lebesgue in Rn.
II) Complementi di Analisi Reale.
- Teorema di derivazione di Lebesgue per funzioni monotone. Funzione di Cantor-Vitali. Funzione di Weierstrass. Funzioni a variazione limitata su in intervallo [a,b]: spazio BV([a,b]). Teorema di decomposizione di Jordan.
- Funzioni assolutamente continue su [a,b]: spazio AC([a, b]).
Teoremi fondamentali del calcolo integrale.
III) Cenni sugli spazi di Banach. Spazi Lp. Spazi di Hilbert.
- Spazi vettoriali normati . Spazi di Banach .
- Spazi Lp e loro prime proprietà . Disuguaglianza di Holder. Disuguaglianza di Minkowski. Norma in Lp e completezza della norma.
- Dimensione di uno spazio vettoriale. Operatore lineare limitato fra spazi vettoriali normati e sua norma. Duale di uno spazio vettoriale normato e norma duale. Teorema di Riesz.
- Spazi di Hilbert . Prime proprietà geometriche degli spazi di Hilbert: legge del parallelogramma; teorema di proiezione su un convesso chiuso; proiezione ortogonale su un sottospazio chiuso. Teorema di Riesz-Fréchet. Sistemi ortonormali in uno spazio di Hilbert e base hilbertiana.
- Cenni sulle serie di Fourier in L2([-p,p]).
Testi consigliati
Brezis H.: Analisi Funzionale-Teoria ed applicazioni. Liguori, Napoli 1986.
Evans L. C. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press, Boca Raton 1992.
Rudin W.: Analisi Reale e Complessa, Bollati Boringhieri, Torino 1991.
Tamanini I.: Appunti del corso di Istituzioni di Analisi Superiore, a.a. 1985/86 Università di Trento.
Modalità e svolgimento dell'esame
La prova finale consiste in un esame orale.