CALCOLO DELLE VARIAZIONI
1o MODULO
A. A. 1997-98
Prof. Mario Miranda
Programma
- Il problema isoperimetrico nel piano.
Curve piane semplici chiuse continue di lunghezza finita.
Rappresentazione lipschitziana delle suddette.
Misura della regione piana limitata racchiusa dalle stesse.
- Dimostrazione della diseguaglianza isoperimetrica attraverso l'uso dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni lipschitziane periodiche.
Diseguaglianza di Bessel e identità di Parceval.
- Equazione di Eulero della brachistocrona. Proprietà della cicloide: soluzione della suddetta equazione, isocronismo delle oscillazioni del pendolo cicloidale. Isocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo qualunque.
- Il problema della esistenza delle geodetiche in uno spazio metrico.
- Spazi metrici compatti e il Teorema di Arzelà.
- Semicontinuità della lunghezza e il Teorema di Hilbert.
- Proprietà differenziali delle geodetiche classiche. Geodetiche sulla sfera.
- Il problema dell'elettrostatica. Unicità della soluzione.
- Il problema sul cerchio bucato: non esistenza.
- Osservazione di Gauss.
- Il problema con dato lipschitziano: osservazione di Hilbert - von Neumann.
- Teorema di esistenza di Hilbert.
- Risoluzione del problema dell'elettrostatica nell'ipotesi di Hilbert.
- Condizione sufficiente per la validità dell'ipotesi di Hilbert.
Testi consigliati
Note del docente e indicazioni bibliografiche.
Modalità e svolgimento dell'esame
Esame orale a fine corso.