ANALISI MATEMATICA I (m)
A. A. 1997-98
Prof. Mario Miranda
Programma
- I numeri interi sono il più piccolo insieme infinito.
- Il principio d'induzione.
- Sviluppo del binomio.
- Numeri interi primi: ogni intero è prodotto di interi primi.
- I primi sono infiniti.
- La decomposizione in fattori primi è unica.
- I numeri razionali e la loro espressione decimale.
- Reciproci dei numeri primi.
- Radici dei numeri primi.
- Ogni espressione decimale illimitata è un numero.
- Le espressioni decimali e le successioni crescenti di razionali.
- I numeri reali.
- Il numero di Nepero.
- Successioni monotone e loro limite.
- Limite di una successione qualunque: esistenza e non.
- Successioni estratte.
- Proprietà algebriche del limite di una successione.
- Somma di una serie.
- Somma degli inversi degli interi e degli inversi dei loro quadrati.
- Serie esponenziale.
- Il numero di Nepero è irrazionale.
- Convergenza assoluta delle serie e convergenza semplice. Ancora sul criterio della radice e del rapporto.
- Criterio della radice per la somma di una serie.
- Criterio del rapporto.
- Criterio di Leibniz.
- Prodotto di serie.
- Funzioni reali di variabile reale.
- Funzioni continue.
- Primo teorema di Weierstrass.
- Funzioni inverse delle funzioni continue.
- Secondo teorema di Weierstrass.
- Derivata di una funzione.
- Condizione necessaria della derivabilità.
- Teorema di Lagrange o del valor medio.
- La funzione esponensiale.
- Le funzioni trigonometriche.
- Formula di Taylor
- Sviluppo in serie di potenze della funzione esponenziale.
- Sviluppo in serie di potenze delle funzioni trigonometriche.
- Uniforme continuità e non delle funzioni continue.
- Integrale delle funzioni continue suintervalli chiusi e limitati.
- Teorema della media integrale.
- La continuità non è condizione necessariaper l'integrabilità.
- Teorema fondamentale del Calcolo integrale.
- Calcolo d'integrali.
- Integrazione per parti.
- Ancora sulla formula di Taylor.
- Integrazione per sostituzione.
- Continuità delle funzioni definite mediante una serie di potenze.
- Derivabilità delle funzioni definite mediante una serie di potenze.
- Derivata del logaritmo e dell'arcotangente; loro sviluppo in serie di potenze.
- Derivata dell'arcoseno e sviluppo del binomio di Newton.
- Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
- Terzo teorema di Weierstrass.
- I numeri complessi.
- Espressione algebrica dei numeri complessi.
- Espressione trigonometrica dei numeri complessi.
- Radici dei numeri complessi.
- Il teorema fondamentale dell'Algebra.
- Serie di potenze complesse.
- Esponenziale complesso.
- Funzioni trigonometriche complesse.
- Le formule di Eulero.
- Il logaritmo complesso.
- Espressione trigonometrica dello sviluppo dell'esponenziale.
- Polinomi e serie trignonometriche.
- Serie di Fourier delle funzioni periodiche.
- Quarto teorema di Weierstrass.
- Convergenza della serie di Fourier delle funzioni periodiche e dotate di derivata prima continua.
- Calcolo della somma degli inversi dei quadrati degli interi.
- Studio del grafico di una funzione.
- Regola di De l'Hôpital.
- Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine.
- Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine.
- Risoluzione della equazione dei moti armonici.
- Risoluzione del problema del moto dei pianeti.
- Continuità delle funzioni complesse di variabile complessa.
- Derivabilità delle funzioni complesse di variabile complessa.
- Condizioni di Cauchy-Riemann.
- Integrale complesso.
- Lemma di Goursat per le funzioni olomorfe.
- Teorema di Cauchy.
- Analiticità delle funzioni olomorfe.
- Caratterizzazione della olomorfia in termini reali.
- Il teorema di Liouville.
- Il teorema del massimo modulo.
- Il teorema del minimo modulo e il teorema fondamentale dell'Algebra.
- Armonicità della parte reale e della parte immaginaria delle funzioni olomorfe.
- Proprietà della media delle funzioni armoniche.
- Principio del massimo e del minimo per le stesse.
Testi consigliati
Le note del docente sono disponibili in copisteria e possono essere fotocopiate a spese degli interessati.
Una lista di testi utili per la consultazione è altresì messa a disposizione.
Modalità e svolgimento dell'esame
Gli studenti saranno invitati a sostenere cinque esercitazioni scritte parallelamente allo svolgimento del corso.
L'esame finale è orale.