MECCANICA RAZIONALE (m)
A. A. 1996-97
Prof. Vinicio Moauro
Oggetto e obiettivi del corso
Vengono rivisitati i principi fondamentali della cinematica e della dinamica classica per giungere alle equazioni del moto di sistemi costituiti da un numero finito di punti, variamente vincolati, e di sistemi rigidi. Viene quindi formulata in generale la cinematica e la dinamica di sistemi olonomi a vincoli ideali, pervenendo alle equazioni di Lagrange e di Hamilton. Particolare enfasi viene posta sull'analisi qualitativa dei moti, e, in tale ambito, sul problema della stabilità.
Argomenti effettivamente svolti
- Elementi di algebra tensoriale e di analisi tensoriale
- Algebra tensoriale in uno spazio vettoriale euclideo:: spazio duale; tensori euclidei; componenti di un tensore euclideo; criteri di tensorialità; tensori simmetrici e antisimmetrici; elementi di algebra esterna; prodotto vettoriale in uno spazio vettoriale tridimensionale.
- Spazi puntuali affini euclidei:: coordinate rettilinee e curvilinee; esempi (coordinate polari, cilindriche, e sferiche).
- Analisi tensoriale:: campi vettoriali e tensoriali definiti in uno spazio puntuale affine euclideo; simboli di Christoffel; differenziazione assoluta e derivazione covariante; accelerazione di un punto mobile in uno spazio puntuale affine euclideo.
- Teoria qualitativa per le equazioni differenziali ordinarie
- Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine:: enunciati dei teoremi generali di esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati iniziali; sistemi periodici e autonomi; linearizzazione intorno ad una punto critico; concetti di stabilità e attrattività; metodo diretto di Liapunov per lo studio della stabilità; teoremi di Liapunov e di Barbasin e Krasovskii.
- Sistemi differenziali piani:: classificazione dei punti critici dei sistemi autonomi piani; analisi qualitativa delle soluzioni di un sistema piano derivante da una equazione differenziale del secondo ordine; discussione di Weierstass; applicazioni (equazione dei moti armonici, del pendolo semplice, della caduta libera dei gravi).
- Meccanica newtoniana
- Questioni di cinematica:: cammini e curve differenziabili di uno spazio affine euclideo tridimensionale; curve regolari; triedro principale; velocità e accelerazione di un punto mobile; moti piani; velocità angolare e velocità areale; moti rigidi; moti rigidi elicoidali; caratterizzazione dell'atto di moto di un moto rigido; teorema di Mozzi; moti relativi; teorema di Coriolis.
- Dinamica del punto libero:: equazioni del moto assoluto e relativo; posizioni di equilibrio; integrali primi; teorema delle forze vive; forze conservative; integrale primo dell'energia; forze centrali; analisi qualitativa delle orbite in un moto centrale; il caso kepleriano.
- Dinamica dei sistemi:: forze interne e forze esterne; equazioni cardinali; teorema delle forze vive; conservazione dell'energia; problema dei due corpi.
- . Dinamica dei sistemi rigidi: operatore d'inerzia; elissoide di inerzia; assi principali; teorema di Huygens-Steiner; energia cinetica, quantità di moto e momento angolare di un corpo rigido; teorema di König; angoli di Eulero; espressione della velocità angolare tramite gli angoli di Eulero; corpo rigido con asse fisso privo di attrito; corpo rigido con punto fisso privo di attrito; equazioni di Eulero; precessioni regolari del giroscopio; rotazioni stazionarie e relativi problemi di stabilità.
- Meccanica analitica
- Meccanica Lagrangiana:: sistemi vincolati; vincoli olonomi ed anolomi; cenni sulle varietà differenziabili; varietà delle configurazioni di un sistema ad un numero finito di gradi di libertà; coordinate lagrangiane; varietà delle configurazioni di un corpo rigido; velocità e spostamenti virtuali; vincoli ideali; equazione simbolica della dinamica; espressione lagrangiana dell'energia cinetica; equazioni di Lagrange; Componenti lagrangiane delle sollecitazioni; sufficienza delle equazioni cardinali per la descrizione del moto di un corpo rigido; funzione di Lagrange; integrali primi dell'energia e di Jacobi; integrali primi dei momenti; ; teorema di Nöther; potenziale generalizzato; forza di Lorentz; stabilità delle configurazioni di equilibrio; teorema di Lagrange-Dirichlet; problema dell'inversione del teorema di Lagrange-Dirichlet; stabilità dell'equilibrio in presenza di dissipazione completa; linearizzazione delle equazioni di Lagrange intorno a una configurazione di equilibrio; piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio stabile; modi normali.
- Meccanica Hamiltoniana:: equazioni di Hamilton; connessioni con i sistemi lagrangiani; funzione di Hamilton nel caso meccanico; caratterizzazione degli .integrali primi di un sistema hamiltoniano.
Testi consigliati
A.LICHNEROWICZ, Elementi di Calcolo Tensoriale, dispense;
L.SALVADORI, Appunti delle lezioni;
T.LEVI-CIVITA, U.AMALDI, Lezioni di Meccanica Razionale, Zanichelli, Bologna;
G.BENETTIN, L.GALGANI, A.GIORGILLI, Appunti di Meccanica Razionale, dispense;
F.BAMPI, M.BENATI, A.MORRO, Esercizi di Meccanica Razionale, ECIG, Genova.
Testi di consultazione
V. I. ARNOLD, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti;
A.FASANO, S.MARMI, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri;
E.MACH, La Meccanica nel suo sviluppo storico-critico, Bollati Boringhieri;
A.ROMANO, Lezioni di Meccanica Razionale, Liguori, Napoli;
C.TOLOTTI, Lezioni di Meccanica Razionale, Liguori, Napoli.
Modalità e svolgimento dell'esame
L'accertamento del profitto avverrà attraverso un numero, non inferiore a tre, di prove scritte in corso d'anno, e una prova orale di metà corso. In base ai risultati di tali prove, verranno concessi agli studenti dei crediti per l'esame finale, che consisteranno nell'esonero dalla prova scritta d'esame, e in una riduzione del numero di argomenti della prova orale d'esame.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Scritto: 23.9.97 ore 9,00
Orale: 25.9.97 ore 9,00
Scritto: 7.10.97 ore 9,00
Orale: 9.10.97 ore 9,00