MATEMATICHE ELEMENTARI DA UN PUNTO DI VISTA SUPERIORE (m)
1o MODULO
A. A. 1996-97
Prof. Lucia Beretta
Oggetto e obiettivi del corso
Fornire allo studente un inquadramento storico per alcune fondamentali questioni di aritmetica, algebra e geometria; al tempo stesso indirizzare il futuro insegnante ad una corretta visione di alcuni importanti concetti e problemi matematici.
Programma
- ALGEBRA e GEOMETRIA. Problemi algebrici e costruzioni con riga e compasso. Numeri costruibli. Alcune famose figure costruibili. Classici problemi di costruzione. Equazioni di secondo e terzo grado. Soluzioni per radicali. Complementi storici.
- NUMERI RAZIONALI. I numeri naturali. Gli interi e i razionali. Divisibilità. Algoritmo di Euclide. Fattorizzazione unica. Classi di congruenza. Teoremi di Fermat e Eulero. Complementi storici.
- NUMERI IN GENERALE. Gli irrazionali. Esistenza e significato dei numeri irrazionali. I numeri reali. Continuità e completezza. I numeri complessi. I poligoni regolari. Il teorema fondamentale dell'algebra. Complementi storici.
- POLINOMI. Polinomi su un campo. Divisibilità. Fattorizzazione unica. Lemma di Gauss. Irriducibilità. Complementi storici.
- CAMPI. Numeri algebrici e campi. Elementi algebrici su un campo arbitrario. Grado di un campo su un sottocampo. grado di numeri costruibili. I poligoni regolari. Complementi storici.
- ISOMORFISMI. Isomorfismi di anelli e campi. Estensioni di campi. Automorfismi e gruppi. Omomorfismi e anelli quozienti. Complementi storici.
- GRUPPI. Perché i gruppi? Teorema di Caley. Gruppi abeliani. Gruppi diedrali. Gruppi di permutazioni. Gruppi di permutazioni in geometria. Complementi storici.
- TEORIA DI GALOIS. Gruppo di Galois. Soluzione per radicali. Struttura delle estensioni per radicali. Non esistenza di soluzioni per radicali n ≥ 5. Il teorema dell'elemento primitivo. Teoremi fondamentali della teoria di Galois; cenno alla dimostrazione. Estensioni normali. Estensioni cicliche. Costruzione di estensioni per radicali. Costruzioni di n-agoni regolari. Divisione di angoli arbitrari. Complementi storici.
Testi consigliati
E. ARTIN, Galois Theory, University of Notre Dame, Notre Dame
H. S. M. COXETER, Introduction to Geometry, Wiley, New York
J. C. STILLWELL, Mathematics and its history, Springer Verlag, New York
J. C. STILLWELL, Elements of Algebra- Geometry, Numbers, Equation, Springer Verlag, New York
Modalità e svolgimento dell'esame
Lo svolgimento del corso sarà di tipo tradizionale con solo prova orale quale esame.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 22.9.97 ore 15,30