METODI DI APPROSSIMAZIONE (m)
2o MODULO
A. A. 1996-97
Prof. Alberto Valli
Oggetto e obiettivi del corso
Il corso tratta di metodi numerici di approssimazione nell'ambito della risoluzione di sistemi algebrici lineari, della approssimazione di funzioni, e della risoluzione di equazioni differenziali lineari a derivate parziali.
Nel primo modulo si affrontano i problemi relativi alla risoluzione approssimata di sistemi lineari, con metodi diretti ed iterativi, all'approssimazione di funzioni tramite funzioni polinomiali a tratti (elementi finiti) o polinomi globali, e si presentano i metodi di tipo variazionale per la risoluzione di equazioni differenziali a derivate parziali (metodo di Galerkin e sue varianti).
Nel secondo modulo si procede alla effettiva risoluzione appros-simata di equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche, fornendo stime di stabilità e dell'errore, e valutando l'efficacia degli algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari in questi specifici contesti.
Obiettivo del corso è di far apprendere agli studenti alcuni fra gli algoritmi più utilizzati per l'approssimazione delle soluzioni delle equazioni a derivate parziali lineari, fino al punto di metterli nella condizione di poter effettivamente implementare gli schemi introdotti (almeno nei casi più semplici) e di giungere così alla determinazione effettiva della soluzione approssimata, valutandone inoltre l'accuratezza in funzione dei parametri del problema.
Programma
- 1. Equazioni ellittiche
Formulazione debole dei problemi al contorno. Condizioni di risolubilità. Stabilità e con-vergenza per gli elementi finiti. Stabilità e convergenza per la collocazione spettrale. Matrice di stiffness: sue proprietà. Precondizionamento. Aspetti algoritmici.
- 2. Equazioni di convezione-diffusione
Esempi uno-dimensionali di instabilità. Numero di Peclet. Schemi di tipo upwind. Metodo di diffusione artificiale. Metodi SUPG, GALS, DWG.
- 3. Equazioni paraboliche
Formulazione debole. Condizioni di risolubilità. Metodo di semi-discretizzazione in spazio. Stabilità e convergenza (sia nel caso di elementi finiti che nel caso spettrale). Metodo di discretizzazione totale. Stabilità e convergenza. Aspetti algoritmici.
- 4. Equazioni iperboliche
Formulazione debole. Condizioni di risolubilità. Metodo di semi-discretizzazione in spazio. Metodo di discretizzazione totale.
Testi consigliati
A. QUARTERONI, A. VALLI, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994
Modalità e svolgimento dell'esame
Esame orale sui contenuti del corso.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 17.9.97 ore 9,00
Orale: 26.9.97 ore 9,00