METODI DI APPROSSIMAZIONE (m)
1o MODULO
A. A. 1996-97
Prof. Alberto Valli
Oggetto e obiettivi del corso
Il corso tratta di metodi numerici di approssimazione nell'ambito della risoluzione di sistemi algebrici lineari, della approssimazione di funzioni, e della risoluzione di equazioni differenziali lineari a derivate parziali.
Nel primo modulo si affrontano i problemi relativi alla risoluzione approssimata di sistemi lineari, con metodi diretti ed iterativi, all'approssimazione di funzioni tramite funzioni polinomiali a tratti (elementi finiti) o polinomi globali, e si presentano i metodi di tipo variazionale per la risoluzione di equazioni differenziali a derivate parziali (metodo di Galerkin e sue varianti).
Nel secondo modulo si procede alla effettiva risoluzione appros-simata di equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche, fornendo stime di stabilità e dell'errore, e valutando l'efficacia degli algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari in questi specifici contesti.
Obiettivo del corso è di far apprendere agli studenti alcuni fra gli algoritmi più utilizzati per l'approssimazione delle soluzioni delle equazioni a derivate parziali lineari, fino al punto di metterli nella condizione di poter effettivamente implementare gli schemi introdotti (almeno nei casi più semplici) e di giungere così alla determinazione effettiva della soluzione approssimata, valutandone inoltre l'accuratezza in funzione dei parametri del problema.
Programma
- 1. Risoluzione di sistemi algebrici lineari
Metodi diretti: metodo di eliminazione di Gauss, metodo di Cholesky. Metodi iterativi: metodi di Jacobi, Gauss-Seidel, S.O.R.; metodo di Richardson; metodi del gradiente e del gradiente coniugato.
- 2. Interpolazione ad elementi finiti
Triangolazione, funzioni polinomiali a tratti, gradi di libertà. Funzioni di base e loro proprietà. Operatore di interpolazione e stima dell'errore. Operatori di proiezione e stima dell'errore.
- 3 Interpolazione polinomiale
Polinomi ortogonali di Chebyshev e di Legendre. Nodi e pesi di Chebyshev. Operatore di interpolazione di Chebyshev e stima dell'errore. Nodi e pesi di Legendre. Operatore di interpolazione di Legendre e stima dell'errore. Operatori di proiezione e stima dell'errore. Formule di integrazione approssimata di Gauss-Lobatto.
- 4. Metodi di approssimazione di tipo variazionale
Formulazione debole delle equazioni a derivate parziali. Lemma di Lax-Milgram. Metodo di Galerkin e sue varianti. Lemma di Cea. Stima dell'errore. Metodi di avanzamento in tempo per equazioni di evoluzione.
Testi consigliati
A. QUARTERONI, A. VALLI, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1994
Modalità e svolgimento dell'esame
Esame orale sui contenuti del corso.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 17.9.97 ore 9,00
Orale: 26.9.97 ore 9,00