GEOMETRIA II (m)
A. A. 1996-97
Prof. Edoardo Ballico
Programma
Testo di base Sernesi "Geometria 2":
- Spazi topologici e applicazioni continue:
- Spazi metrici: § 1
- Spazi topologigi: § 3
- Sottoinsiemi e spazi topologici (assioni di numerabilità): § 1
- Applicazioni continue: §4
- Esempi:
- Sottospazi : §5
- Prodotti: § 6
- Topologia: §7
- Propietà topologiche
- Assiomi di separazione; solo Haussdorff, regolare e normale; il Lemma di Urisohn Teorema 8.10 solo il caso metrizzabile; saltati gli Esempi 8.11 (pp.96-99); definizione di varietà topologica: § 8
- Compattezza: dimostrazione del teorema di Tichonoff solo per prodotti di un numero finito di spazi compatti; saltatodimostrazione del Teorema Fondamentale dell'Algebra 9.8: § 9
- Paracompattezza, numerabilmente compatto, compatto per successioni; numero di Lebesgue di un ricoprimento aperto di spazio metrico; successioni di Cauchy; spazi metrici completi; compattezza = compattezza per successioni in uno spazio metrico (Teorema 10.13 ed Esercizio 6, pag. 125); saltata la nozione di "seconda categoria" e il teorema di Baire: § 10
- Connessione: definizione, componente connessa, prodotto di spazi connessi; i sottoinsiemi connessi di R, connessione per archi, prodotto di connessi per archi: § 10
- Gruppo fondamentale e rivestimenti:
- Definizione di omotopia di applicazioni continue, di gruppo fondamentale e di rivestimenti;
- Senza dimostrazione l'esistenza di rivestimenti universali;
- Esempi (spazi contrattili e il cerchio);
- Gruppi liberi su un insieme di generatori, prodotto libero di gruppi e somma malgamata di gruppi: il teorema di Seifert -Van Kampen in piena generalità ma senza dimostrazione;
- Calcolo di gruppi fondamentali (Sn, l'otto);
- Varietà differenziabili
- Funzioni e applicazioni differenziabili e varietà: § 19
- Esempi: § 20
- Spazi tangenti: § 21
- Differenziale: § 22
- Orientabilità (cenno): § 23
- Diffeomorfismi: § 24
- Immersioni e summersioni: enunciati senza dimostrazione il teorema del Dini, il teorema delle funzioni implicite e il teorema del rango costante: § 25-26
- Campi di vettori: § 28
- Partizioni C all'infinito dell'unità (cenni e applicazioni): § 27 e 29;
- Geometria differenziale di curve e superfici:
- Curve differenziabili: § 30
- Classificazione delle curve regolari di RN (teorema di Frenet- Serret: § 31
- Superfici di RN: isometrie e prima forma fondamentale, cenno sulla definizione di carietà Riemanniana: § 32
- Superfici di R3: seconda forma fondamentale e curvatura (punti ellittici, iperbolici, ombelicali): § 34 e 35
- Proprietà globali delle superfici di R3: superfici compatte con curvatura gaussiana maggiore di 0 (teorema 36.4) ed esistenza dipunti P S R3, S compatta co K(P) maggiore di 0 (teorema 36.5): § 36
- Definizione di derivata covariante; senza dimostrazione il teorema Egregium: § 37
- Definizione di Geodetiche e scrittura dei simboli di Christoffel: § 38
- Discussione sulle geometrie non euclidee: § 39
Testi consigliati
E. SERNESI, Geometria 2, Bollati Boringhieri
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame si articola in una prova scritta e in un orale. Durante l'anno verranno svolte tre prove scritte (non obbligatorie) di accertamento sulla comprensione della materia.
Queste prove potranno sostituire la parte scritta dell'esame finale.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Scritto: 25.9.97 ore 9,00
Orale: 26.9.97 ore 9,00
Scritto: 9.10.97 ore 9,00
Orale: 10.10.97 ore 9,00