CALCOLO DELLE VARIAZIONI
1o MODULO
A. A. 1996-97
Prof. Mario Miranda
Programma
- 1. Il problema isoperimetrico nel piano.
Curve piane semplici chiuse continue di lunghezza finita.
Rappresentazione lipschitziana delle suddette.
Misura della regione piana limitata racchiusa dalle stesse.
- 2. Dimostrazione della diseguaglianza isoperimetrica attraverso l'uso dello sviluppo in serie di Fourier delle funzioni lipschitziane periodiche. Diseguaglianza di Bessel e identità di Parceval.
- 3. Equazione di Eulero della brachistocrona. Proprietà della cicloide: soluzione della suddetta equazione, isocronismo delle oscillazioni del pendolo cicloidale. Isocronismo delle piccole oscillazioni di un pendolo qualunque.
- 4. Il problema della esistenza delle geodetiche in uno spazio metrico.
- 5 Spazi metrici compatti e il Teorema di Arzelà.
- 6. Semicontinuità della lunghezza e il Teorema di Hilbert.
- 7. Proprietà differenziali delle geodetiche classiche. Geodetiche sulla sfera.
- 8. Il problema dell'elettrostatica. Unicità della soluzione.
- 9. Il problema sul cerchio bucato: non esistenza.
- 10. Osservazione di Gauss.
- 11. Il problema con dato lipschitziano: osservazione di Hilbert - von Neumann.
- 12. Teorema di esistenza di Hilbert.
- 13. Risoluzione del problema dell'elettrostatica nell'ipotesi di Hilbert.
- 14. Condizione sufficiente per la validità dell'ipotesi di Hilbert.
Testi consigliati
Note del docente e indicazioni bibliografiche.
Modalita e svolgimento dell'esame
Esame orale a fine corso.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 3.9.97 ore 9,30
Orale: 19.9.97 ore 9,30