ANALISI SUPERIORE
1o MODULO
A. A. 1996-97
Prof. Francesco Serra Cassano
Oggetto e obiettivi del corso
Il corso ha l'obiettivo di introdurre gli studenti ad argomenti e tecniche di ricerca attuali del Calcolo delle Variazioni e delle equazioni alle derivate parziali, traendo spunto da due problemi di Analisi classici: il problema di Dirichlet per il laplaciano e quello delle superfici di area minima.
Come prerequisiti sono richiesti entrambi i moduli di Istituzioni di Analisi Superiore.
Programma
Il corso si articolerà essenzialmente in due sezioni:
- 1. Spazi di Sobolev e formulazione variazionale del problema di Dirichlet per equazioni ellittiche.
Problema di Dirichlet per il laplaciano: formulazione classica, introduzione alla formulazione debole, Principio di Dirichlet. Spazi di Sobolev W1,p (W) e H1,p (W): definizione e prime proprietà. Densità di funzioni regolari in W1,p : approssimazione per convoluzione. Prodotto e composizioni in spazi di Sobolev. Spazi di Sobolev Wm,p.Prolungamento di funzioni di tipo Sobolev. Disuguaglianze di tipo Sobolev: disuguaglianza di Sobolev - Gagliardo - Nirenberg, disuguaglianza di Poincaré e di Morrey. Teorema di compattezza di Rellich - Kondrakov. Spazio W01,p (W). Formulazione variazionale del problema di Dirichlet per il laplaciano: teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram. Esistenza ed unicità della soluzione debole per un operatore ellittico in forma di divergenza. Cenni sulla regolarità delle soluzioni deboli. Principio del massimo.
- 2. Spazi BV e superfici di area minima.
Problema della superficie di area minima: formulazione geometrica del problema, minimi del funzionale dell'area. Equazione delle superfici mi-nime. Spazio BV(W) e prime proprietà. Approssimazione con funzioni re-golari in BV(W). Teorema di compattezza per BV(W). Teorema di esisten-za di superfici minime. Formula di coarea per funzioni BV(W) e disuguaglianza isoperimetrica.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 22.9.97 ore 9,00
Orale: