ANALISI MATEMATICA I (m)
A.A. 1996/97
Prof. Mario Miranda
Programma
- I numeri interi sono il più piccolo insieme infinito. Il principio d'induzione.
- Numeri interi primi: ogni intero è prodotto di interi primi. I primi sono infiniti.
La decomposizione in fattori primi è unica.
- Sviluppo del binomio. Il numero di Nepero: limite di successioni e somma di una serie.
Il numero di Nepero è irrazionale.
- Somma degli inversi degli interi e degli inversi dei loro quadrati. Criterio della radice per la somma di una serie di numeri positivi. Limite della radice n-ma di n e di n! .
- Limite di una successione, limiti infiniti. Proprietà algebriche dei limiti. Successioni senza limite. Convergenza assoluta delle serie e convergenza semplice. Ancora sul criterio della radice e del rapporto.
- Serie di potenze: serie esponenziale e serie trigonometriche.
- Funzioni inverse delle funzioni continue: un teorema di Weierstrass.
- Teorema del valor medio per le funzioni derivabili.
- Derivata del logaritmo e dell'arcotangente; loro sviluppo in serie di potenze.
- Derivata dell'arcoseno e sviluppo del binomio di Newton.
- Teorema di Abel e raggio di convergenza della serie delle derivate. Derivata della somma di una serie di potenze.
- Uniforme continuità e non delle funzioni continue. Integrale delle stesse su intervalli chiusi e limitati. Integrale come limite delle somme.
- Teorema fondamentale del Calcolo integrale.
- Integrazione per parti e formula di Taylor. Sviluppo in serie di potenze dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche.
- Le funzioni iperboliche e le loro inverse.
- Integrabilità delle funzioni monotone. Esistenza di funzioni limitate non integrabili.
- Integrazione per sostituzione.
- Teorema di Weierstrass sulla approssimazione delle funzioni continue con polinomi.
- Numeri complessi: espressione algebrica e trigonometrica.
- Radici dei numeri complessi: Teorema fondamentale dell'Algebra.
- Serie di potenze complesse: esponenziale, logaritmo e funzioni trigonometriche.
- Sviluppo in serie trigonometrica della parte reale e della parte immaginaria dell'esponenziale complesso. Serie di Fourier.
- Convergenza della serie di Fourier delle funzioni 2π periodiche e dotate di derivata prima continua. Calcolo della somma degli inversi dei quadrati degli interi.
- Studio del grafico di una funzione e regola di De l'Hôpital.
- Risoluzione della equazione dei moti armonici.
- Risoluzione del problema del moto dei pianeti.
- Continuità e olomorfia delle funzioni complesse di variabile complessa.
- Condizioni di Cauchy-Riemann.
- Integrale complesso, integrabilità dei polinomi e Lemma di Goursat.
- Formula di Cauchy. Analiticità delle funzioni olomorfe.
- Armonicità della parte reale e della parte immaginaria delle funzioni olomorfe.
- Integrali su curve, Teorema di Liouville e Teorema del Massimo modulo.
- Teorema del minimo modulo e Teorema fondamentale dell'Algebra.
- Proprietà della media delle funzioni armoniche. Principio del massimo e del minimo per le stesse.
- Problema di Dirichlet per le funzioni armoniche su un cerchio. Formula di Poisson.
- Equazione del calore unidimensionale: unicità ed esistenza della soluzione.
- Equazione della corda vibrante: esistenza e unicità della soluzione.
Le note del docente sono disponibili in copisteria e possono essere fotocopiate a spese degli interessati. Una lista di testi utili per la consultazione è altresì messa a disposizione.
Modalità e svolgimento dell'esame
Gli studenti saranno invitati a sostenere cinque esercitazioni scritte parallelamente allo svolgimento del corso. L'esame finale è orale.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Orale: 19.9.97 ore 9,30
Orale: 8.10.97 ore 9,30