ALGEBRA SUPERIORE
A. A. 1996-97
Prof. Andrea Caranti
1o MODULO
Oggetto e obiettivi del corso
Il corso ha per oggetto un'introduzione alla teoria di Galois classica. L'obiettivo è la classica dimostrazione della non esistenza di una "formula" generale per risolvere le equazioni algebriche di grado superiore al quarto.
Verranno anche fatti alcuni cenni al caso delle estensioni di grado infinio, che richiede una breve introduzione ai gruppi topologici.
Programma
- Campi di spezzamento
- Campo di spezzamento di un polinomio.
- Esistenza: lemma dell'aggiunzione di una radice. Unicità: Lemma
- sull'estensione di automorfismi. Esempi. Calcolo di gruppi di Galois.
- Corrispondenza di Galois
- Definizione del gruppo di Galois di una estensione. Definizione delle operazioni "primo". Estensioni normali. Lemmi fondamentali e loro conseguenze. Corrispondenza di Galois. Esempi. Legami fra normalità e stabilità. Legami con i campi di spezzamento. Separabilità.
- Estensioni radicali e gruppi risolubili
- Estensioni radicali. Gruppi risolubili: proprietà di base. Un'estensione
- radicale ha gruppo di Galois risolubile.
- Equazioni risolubili per radicali
- Risolubilità di Sn per n ≤ 4. Non risolubilità di Sn per n ≥ 5. Equazione generale di n-esimo grado. Funzioni simmetriche e funzioni simmetriche elementari. Un esempio di equazione di quinto grado a coefficienti razionali non risolubile per radicali.
- Estensioni di grado infinito e gruppi topologici
- Gruppi topologici. T1 Æ T2. Sistemi fondamentali di intorni, e loro caratterizzazione. Topologia p-adica su Z, interi p-adici Lemma di Zorn. Campo di spezzamento di una famiglia arbitraria di polinomi, chiusura algebrica. Estensioni normali di grado infinito. Estendibilità degli isomorfismi, caratterizzazione. Gruppi di Galois infiniti: topologia di Krull. I gruppi di Galois sono T2, totalmente sconnessi e compatti.
- Varie ed eventuali
- Caratterizzazione delle estensioni semplici mediante il numero finito di campi intermedi. Risolubilità dei p-gruppi e chiusura algebrica di C. Campi finiti e loro gruppi di Galois.
Testi consigliati
- I. KAPLANSKY, Fields and Rings, Chicago University Press
- Appunti del docente
Modalità e svolgimento dell'esame
L'esame consisterà della stesura di un tema su un argomento proposto dal docente, e sulla soluzione di uno o due esercizi. Temi ed esercizi saranno sorteggiati in una rosa nota in precedenza: gli esercizi saranno quelli svolti durante l'anno.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Scritto: 9.9.97 ore 9,30