Aritmetica e Teoria degli insiemi
Divisibilità fra interi. Principio del minimo intero. Principio di induzione. Algoritmo di Euclide. Classi di equivalenza e partizioni.
Teoria dei gruppi
Operazioni su un insieme. Monoidi. Gruppi. Il gruppo delle mappe biiettive su un insieme. Gruppo simmetrico Sn. Partizione in classi laterali e teorema di Lagrange. Sottogruppi normali. Gruppo quoziente. Primo teorema di isomorfismo fra gruppi. Applicazione: un gruppo ciclico è isomorfo a Z, o a un quoziente Z/nZ. Gruppi di permutazioni. Azioni. Azioni transitive. Teorema orbita/stabilizzatore: la similitudine.
Teoria degli anelli
Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli. Moduli liberi e matrici. Ideali bilateri. Anello quoziente, morfismi di anelli, nuclei di morfismi, primo teorema di isomorfismo. Criteri di divisibilità, prova del nove. Sviluppo di frazioni decimali. Funzione di Eulero. Crittografia a chiave pubblica. Metodo RSA. Firme autenticate. Test di primalità . Pseudoprimi. Radici quadrate di 1. Pseudoprimi forti. Testa o croce per telefono. Calcolo delle potenze. Calcolo delle radici quadrate.
Aritmetica nei domini. Domini a fattorizzazione unica (UFD) e domini a ideali principali (PID). Un PID è un UFD. Lemma di Gauß, e certi UFD che non sono PID. Un sottogruppo moltiplicativo finito di un campo è ciclico: dimostrazione con la j di Eulero. Un primo p ∫ 1 (mod 4) è somma di due quadrati. Terne pitagoriche.
Teoria dei campi
Estensioni di campi. Estensioni algebriche e trascendenti. Estensioni cicliche: teorema di struttura e polinomio minimo. Grado di una estensione, legami con l'algebricità. Grado di una estensione ciclica. Formula dei gradi. Aggiunta di una radice. Campi di spezzamento e chiusure algebriche. Esistenza del campo di spezzamento. Unicità del campo di spezzamento: isomorfismi su un campo. Campi finiti.
Testi consigliati
Non sarà adottato specificatamente alcun libro di testo: tutti gli argomenti richiesti verranno svolti a lezione o esercitazione. Per chi non potesse frequentare, è quindi raccomandabile farsi passare copia degli appunti da uno studente che frequenti. E' comunque consigliato consultare uno o più degli ottimi testi esistenti, quali:
B.L. VAN DER WAERDEN, Algebra I, Springer, Berlin 1971
N. JACOBSON, Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, Seconda Edizione 1989 (in inglese)
I.N. HERSTEIN, Topics in Algebra, Xerox, Lexington (MA) 1964. Un testo ricco di esempi concreti. C'è anche una versione italiana dal titolo Argomenti di Algebra, Editori Riuniti
A.I. KOSTRIKIN, Introduction a l'Algèbre, MIR, Mosca (in francese)
Modalità e svolgimento dell'esame
Si intende svolgere prove di accertamento del profitto ("provette") ogni due settimane. Chi abbia superato con esito positivo le provette, sarà esonerato dalla prova scritta, e potrà anche in certi casi ottenere direttamente un voto finale, ferma restando la possibilità di sostenere comunque la prova orale per migliorare il voto finale. Tutti gli altri dovranno sostenere una prova scritta e una prova orale.
Va sottolineato che viene caldamente consigliato agli studenti di svolgere tutte le provette. Attraverso le provette è possibile avere una verifica immediata della qualità del proprio studio, e anche per il docente è possibile accertare immediatamente eventuali problemi. Naturalmente il docente non pretende che i risultati delle prime provette, svolte dopo pochi giorni dall'inizio del corso, siano brillanti. Il rendimento che il docente si aspetta nelle provette è tipicamente crescente; il voto finale sarà vicino al voto delle ultime provette.
Date dei prossimi appelli d'esame:
Scritto: 9.9.97 ore 9,00
Orale: 9.9.97 ore 14,00