2º Modulo
A. A. 2000/2001
Oggetto e obiettivi del corso:
Il modulo comprende 36 ore di lezione sulla teoria relativistica
del campo gravitazionale, la relatività generale di Einstein.
I
fondamenti di questa teoria, quali il principio di equivalenza, e alcune
delle sue immediate conseguenze, quali lo spostamento
delle righe spettrali, saranno introdotti nel primo modulo del corso
di Relatività. Si partirà dunque esaminando le implicazioni
formali del principio di equivalenza, il concetto di covarianza generale
e il relativo calcolo tensoriale. Si userà quindi il formalismo
e la covarianza generale per introdurre il campo gravitazionale nelle
equazioni della fisica. Infine si introdurranno le equazioni di
campo di Einstein e si discuteranno le sue principali applicazioni,
i test classici nel sistema solare, le onde, la cosmologia e i buchi
neri.
Nella lista degli argomenti che segue, i temi contrassegnati tra asterischi
saranno svolti solo se il tempo disponibile sarà
sufficiente.
Argomenti effettivamente svolti:
1.Analisi tensoriale: il principio di covarianza
generale; calcolo tensoriale; la metrica; la connessione e le sue proprietà
di
trasformazione; derivazione covariante; trasporto
parallelo e trasporto di Fermi; geodetiche spaziali, nulle e temporali;
*formalismo anolonomo*.
2.Il tensore di curvatura: definizione di curvatura;
tensori di Riemann, Ricci, Einstein e Weyl; proprietà algebriche
del
tensore di Riemann; le identità di
Bianchi; il commutatore delle derivate covarianti; l'accelerazione relativa
tra due
particelle e l'equazione di deviazione geodetica;
isometrie e vettori di Killing.
3.Gravitazione e materia: regola dell'accoppiamento
minimale e covarianza generale; analogia con l'elettrodinamica e
invarianza di gauge; tensore energia-impulso;
equazioni di bilancio energetico; leggi di conservazione; gravità
e particelle;
significato fisico delle geodetiche causali;
gravità e campo elettromagnetico; *gravità e campi a spin
semi-intero*; * la
precessione dello spin e dei giroscopi*.
4.Equazioni di Einstein: forma generale delle equazioni
di campo per la metrica; consistenza con le leggi di conservazione
e il limite Newtoniano; le equazioni di Einstein;
la costante cosmologica; deduzione da un principio variazionale, l'azione
di
Einstein-Hilbert; l'apparente insolubilità
del problema di Cauchy e sua risoluzione; *vincoli e invarianza di gauge*.
5.Applicazioni al Sistema solare: metrica a simmetria
sferica; teorema di Birkhoff; soluzione di Schwarzschild; il red
shift; deflessione della luce dal sole; lo
spostamento del perielio dei pianeti; *il ritardo nell'eco dei segnali
radar*.
6.Onde gravitazionali: l'approssimazione di campo
debole; onde piane; polarizzazione ed elicità delle onde gravitazionali;
energia e momento delle onde gravitazionali;
la radiazione di quadrupolo e la formula di Einstein.
7.Applicazioni cosmologiche: le osservazioni di
Hubble; il principio cosmologico; spazi simmetrici; la metrica di
Robertson-Walker; l'età dell'universo
e la costante di Hubble; la singolarità cosmologica; l'universo
statico di Einstein.
8.Applicazioni alle stelle: nane bianche e stelle
di neutroni; il limite di Oppenheimer-Volkhoff; la singolarità di
Schwarzschild; l'orizzonte degli eventi; la
struttura causale; definizione generale di buco nero; *cenno al teorema
di
Carter-Robinson*.
Testi consigliati
S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, principles
and applications of the general theory of relativity, John
Wiley & Sons., NY. (1972)
L. D. Landau e E. M. Lifshiftz, Teoria dei
Campi, Editori Riuniti, Roma (1976).
R. M. Wald, General Relativity, University
of Chicago press (1984).
Modalità e svolgimento dell'esame
Esame orale sugli argomenti svolti.