a.a. 2000/2001
Prof. Antonio Cassa
Programma
Gli argomenti preceduti da un asterisco sono facoltativi.
- Definizione di spazio metrico
- Esempi di spazi metrici
-* Esempi di spazi metrici di funzioni
- Spazio metrico prodotto
- Definizione
di isometria
- Spazi
metrici isometrici
- La isometricità
è una relazione di equivalenza
- Successione
convergente e punto limite di una successione
- Unicità
del punto limite
-* Osservazione:
il limite delle distanze è la distanza tra i punti limite
- Successioni
di Cauchy
- Ogni
successione convergente è di Cauchy
-* “Successione” con due indici naturali convergente
- Spazio
metrico completo
-* R è
completo
- Sottoinsieme
denso
- Un sottoinsieme
denso e proprio non è completo
- Ogni
spazio metrico ammette un completamento. La dimostrazione* è facoltativa.
- Il completamento
è “unico”. La dimostrazione* è facoltativa.
- Definizione
di disco (aperto) di dato centro e raggio
- Un disco
aperto contiene dischi centrati in ogni suo punto
- Esempi
di dischi
- Punti
interni, esterni e di frontiera per un sottoinsieme
- Parte
interna, parte esterna ed insieme frontiera di un sottoinsieme
- Proprietà
immediate di queste parti
- Esempi
e controesempi
-* Parti interne, esterne e di frontiera dei
dischi: esempi e controesempi
- Punti
aderenti ad un sottoinsieme
- Chiusura
di un sottoinsieme
- La chiusura
di un sottoinsieme è data dal complementare della sua parte esterna
- La chiusura
di un sottoinsieme è data dall’unione dell’insieme con la sua frontiera
- Sottoinsiemi
aperti e chiusi
- Esempi
ed osservazioni
- * Un sottoinsieme
è aperto se e solo se coincide con la sua parte interna
- * Un sottoinsieme
è chiuso se e solo se coincide con la sua chiusura
- Definizione
di applicazione continua tra spazi metrici
- Omeomorfismi
tra spazi metrici
- Metriche
topologicamente equivalenti su un insieme
- Esempio
di due metriche topologicamente equivalenti su R^2
- Intorni
dei punti in uno spazio metrico
- Un insieme
è intorno di un punto se e solo se il punto sta nella sua parte
interna
- Famiglia
degli intorni di un punto
- Rivisitazione
dei punti interni, esterni, di frontiera ed aderenti per mezzo degli intorni
- Un insieme
è aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto
- Un insieme
è intorno di un punto se e solo se contiene un aperto che contiene
il punto
- “Conoscere
tutti gli aperti” equivale a “conoscere tutti gli intorni dei punti”
- Rivisitazione
della definizione di applicazione continua per mezzo degli intorni
- Due
metriche su un insieme sono topologicamente equivalenti se e solo se definiscono
gli stessi intorni (e gli stessi aperti)
- Definizione
di topologia di uno spazio metrico
- Proprietà
della topologia
- Definizione
di topologia su un insieme e di spazio topologico
- Esempi
di spazi topologici
- Famiglie
di aperti che sono basi di una topologia assegnata
- Esempi
di basi di topologie
- Proprietà
di una famiglia di sottoinsiemi perché definisca una topologia di
cui è base
- Topologia
su R definita dalle semirette da meno infinito
- Una
famiglia di sottoinsiemi che copre tutto ed è chiusa per intersezioni
fa da base
- Topologia
indotta su un sottoinsieme
- Una
base sullo spazio induce una base su ogni sottospazio
- Metrica
indotta su un sottospazio di uno spazio metrico
- La topologia
indotta su un sottospazio di uno spazio metrico coincide con la topologia
definita dalla metrica indotta. La dimostrazione* è facoltativa.
- Intorni
di un punto in uno spazio topologico
- Ridefinizione
dei punti interni, esterni , di frontiera e di aderenza in uno spazio topologico
- Ridefinizione
della parte interna, esterna, di frontiera e della chiusura per un sottoinsieme
di uno spazio topologico
- Proprietà
di queste parti
- Definizione
di applicazione continua tra spazi topologici
- Un’applicazione
è continua se e solo se ha dei sottoinsiemi aperti come retroimmagine
degli aperti
- La composizione
di applicazioni continue è continua
- Definizione
di omeomorfismo tra spazi topologici
- Definizione
di spazi omeomorfi
-* L’omeomorfismo
tra spazi topologici è una relazione di equivalenza
-* Gruppo degli omeomorfismi di uno spazio in sé
-* Esempi di figure omeomorfe e non omeomorfe
- Definizione
di spazio metrico compatto
- Un intervallo
chiuso e limitato di R è compatto
- Un sottospazio
compatto in uno spazio metrico è chiuso
- Un sottospazio
di uno spazio metrico compatto è compatto se e solo se è
chiuso
- Il prodotto
di spazi metrici compatti è compatto. La dimostrazione* è
facoltativa.
- Diametro
di un sottospazio
- Sottoinsiemi
limitati
- Un sottoinsieme
è limitato se e solo se è contenuto in un disco
- Un sottoinsieme
è limitato se e solo se è contenuto in un disco con centro
assegnato
- Un sottospazio
di R^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato
- Ricoprimenti
e sottoricoprimenti aperti
- Esempi
- Dato
un ricoprimento aperto di uno spazio compatto è possibile ricoprirlo
con dischi subordinati di raggio costante. La dimostrazione* è
facoltativa.
- Uno
spazio metrico è compatto se e solo se ogni suo ricoprimento aperto
ammette un sottoricoprimento finito. La dimostrazione* è facoltativa
-* Definizione di sottoinsieme totalmente
limitato
-* Ogni sottoinsieme limitato in R^n è
totalmente limitato
-* Uno spazio metrico è compatto se
e solo se è completo e totalmente limitato
- Definizione
di spazio topologico compatto
- Esempi
- Ogni
sottospazio chiuso di uno spazio compatto è compatto
- Definizione
di spazio topologico di Hausdorff
- Esempi
e controesempi
- Un sottospazio
compatto di uno spazio di Hausdorff è chiuso. La dimostrazione*
è facoltativa.
- L’immagine
di un compatto secondo un’applicazione continua è compatta
- Un’applicazione
continua e biiettiva tra uno spazio compatto ed uno di Hausdorff è
un omeomorfismo. La dimostrazione* è facoltativa.
- Una
funzione continua su uno spazio compatto ha massimi e minimo.
- Definizione
di sottospazi staccati
- Due
sottospazi sono staccati se e solo se sono aperti nella loro unione. La
dimostrazione* è facoltativa.
-* Topologia della unione disgiunta
- Due
sottospazi sono staccati se e solo se la loro unione ha la topologia della
unione disgiunta. La dimostrazione* è facoltativa.
- Definizione
di spazio sconnesso (connesso)
- Uno
spazio è sconnesso se e solo se è unione disgiunta di due
aperti non vuoti
- Uno
spazio è connesso se e solo se i suoi unici sottoinsiemi aperti
e chiusi sono il vuoto e tutto lo spazio
- Uno
spazio è connesso se e solo se i suoi unici sottoinsiemi con frontiera
vuota sono il vuoto e tutto lo spazio. La dimostrazione* è facoltativa.
- Caratterizzazione
degli intervalli di R. La dimostrazione* è facoltativa.
- Un sottoinsieme
(non vuoto) di R è connesso se e solo se è un intervallo
- L’immagine
di un connesso è connessa
- Definizione
di cammini continui
- Spazi
connessi per archi
- Uno
spazio connesso per archi è connesso
- Giunzione
di cammini
- Cammino
opposto
- Un aperto
di R^n è connesso se e solo se è connesso per archi
-* Esempio di sottoinsieme del piano connesso
ma non connesso per archi
-* Uno spazio topologico in cui ogni
coppia di punti è contenuta in un connesso è connesso
-* L'unione di connessi con intersezione
comune non vuota è connessa.