CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 11– GEOMETRIA 1

Esercizio 11.1 (Esercizio 9.2). Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’applicazione lineare definita da

T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)

a) Verificare che i vettori v_{1} = (0, 3, 1), v_{2} = (0, −1, 1) e v_{3} = (−1, 1, 0) sono autovettori di T e determinare i rispettivi autovalori.

b) Verificare che l’insieme B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} è una base di ℝ^{3}.

c) Determinare la matrice (diagonale) D associata a T rispetto alla base B.

d) Determinare la matrice diagonalizzante P (cioé la matrice P tale che P^{−1}AP = D).

Esercizio 11.2 (Esercizio 9.3). Sia T l’endomorfismo di ℝ^{3} definito da

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

a) Stabilire se esistono autovettori di T ed eventualmente determinarli.

b) Stabilire se T è diagonalizzabile.

c) Determinare la base rispetto alla quale T ha matrice associata D diagonale e determinare la matrice diagonale D e la matrice P diagonalizzante (cioé tale che P^{−1}AP = D).

Esercizio 11.3 (Esercizio 9.7). Date le matrici

A = (\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix})  B = (\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix})  C = (\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix})

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 11.4 (Esercizio 9.8). Si consideri la matrice

A = (\begin{matrix}0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

a) Determinare autovalori e autovettori di A.

b) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile.

Esercizio 11.5 (Esercizio 9.9). Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’endomorfismo a cui è associata la matrice

A = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & −6 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix})

a) Si determinino gli autovalori di T e si stabilisca se T è diagonalizzabile.

b) Si determini una base di R^{3} formata da autovettori di T.

Esercizio 11.6 (Esercizio 9.14). Sia S l’endomorfismo di ℝ^{4} con matrice associata

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \end{matrix})

rispetto alla base canonica.

a) Determinare autovalori e autovettori di S.

b) Stabilire se S è diagonalizzabile e in caso positivo individuare la matrice diagonalizzante.

Esercizio 11.7 (Esercizio 9.20). Data la matrice

M = (\begin{matrix}2 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & k − 1 & 4 \\ 1 & 0 & k & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

a) Discutere la diagonalizzabiltà di M al variare del parametro k ∈ ℝ.

b) Fissato a piacere un valore di k per cui M è diagonalizzabile, determinare per tale k la matrice P diagonalizzante.

Esercizio 11.8 (Esercizio 9.21). Sia A la matrice dipendente dal parametro reale

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ k − 3 & 2 − k & 0 & −k \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 − k & k & 0 & k + 2 \end{matrix})

a) Discutere la diagonalizzabiltà di A al variare di k.

b) Determinare una base di ℝ^{4} costituita da autovettori di A per un valore opportuno di k.

Esercizio 11.9 (Esercizio 9.22). Data la matrice

M = (\begin{matrix}3 & 0 & 1 & 0 \\ k − 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ −1 & 2 & 3 & 1 \end{matrix})

a) Si discuta la diagonalizzabiltà di M al variare del parametro k ∈ ℝ.

b) Per k = 2, si determini una base di ℝ^{4} formata da autovettori di M.

Esercizio 11.10 (Abate Esempio 14.1). Sia B = (e_{1} + e_{2}, e_{1} − e_{2}) una base di ℝ^{2} e T : ℝ^{2} → ℝ^{2} l’unico endomorfismo tale che:

T (1, 1) = (3 − 1) e T (1, −1) = (9, −3).

Determinare autovalori e autospazi di T, dimostrare che T è diagonalizzabile e trovare una base di ℝ^{2} formata da autovettori.

Esercizio 11.11 (Abate Esempio 14.2). Trova per quali valori di t ∈ ℂ la matrice

A_{t} = ( \begin{matrix}t & 1 & 2 \\ 1 & t & t \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

è diagonalizzabile (più precisamente: tale che l’operatore L_{A} : ℂ^{3} → ℂ^{3} la cui matrice rispetto alla base canonica è A è diagonalizzabile). Per tali valori di t esibire una base di autovettori e una matrice che rende A_{t} diagonale.

Esercizio 11.12. Sia T : ℝ_{≤3}[t] → ℝ_{≤3}[t] l’endomorfismo T (p)(t) = (t+1)p′′(t^{2}), dove p′′(t^{2}) è la derivata seconda del polinomio p valutata in t^{2}. Determinare autovalori e autospazi di T.

Esercizio 11.13 (Esercizio 8.14). Sia T l’endomorfismo di ℝ^{3} cos definito:

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2x_{1} + x_{3}, −2x_{1} + x_{2} + x_{3}, x_{2} + 2x_{3}).

a) Scrivere la matrice associata a T rispetto alle basi canoniche e determinare il nucleo e l’immagine di T.

b) Stabilire se T è iniettiva. Trovare, al variare del parametro reale k, tutti i vettori v tali che T (v) = (3, 3, k).

Esercizio 11.14 (Esercizio 8.16). Si consideri il seguente endomorfismo di ℝ^{4}

T (x, y, z, w) = (−x + z, 2y, x − 2z, w)

a) Si determino le dimensioni di immagine e nucleo di T e si stabilisca se T è invertibile.

b) Si determini l’inversa T^{−1}.

Esercizio 11.15 (Esercizio 8.22). Sia T : ℝ^{2} → ℝ^{3} l’applicazione lineare tale che

T (x, y) = (kx + 4y, x + ky, y)

dove k ∈ ℝ è un parametro reale.

Stabilire se T è iniettiva e/o suriettiva al variare del parametro k.

Esercizio 11.16 (Eserczio 8.23). Sia T : ℝ^{4} → ℝ^{4} l’applicazione lineare definita dalla matrice

A = M(T) = (\begin{matrix}5k & 1 & 3k + 4 & 0 \\ k + 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & k + 5 & 1 & k + 3 \\ 2k^{2} & 0 & k & 0 \end{matrix})

a) Discutere l’iniettività e suriettività di T al variare del parametro reale k.

b) Determinare la dimensione di immagine e nucleo di T al variare di k.

Esercizio 11.17 (Esercizio 8.24). Sia T : ℝ^{4} → ℝ^{3} l’applicazione lineare tale che

T (x, y, z, w) = (−x − y + z + w, −x + 2y − z, −x + y + 3z − 3w)

(1) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(2) Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale Im(T) ⊆ ℝ^{3}.

(3) Determinare la dimensione e una base dello spazio vettoriale N(T) ⊆ ℝ^{4}

Esercizio 11.18 (esercizio 8.25). Sia T : ℝ^{4} → ℝ^{3} l’applicazione lineare tale che

T (x, y, z, w) = (x − 2y + 3z, x − y + (k + 3)z + 2w, 2x − 3y + (k + 6)z + (k + 1)w)

dove k è un parametro reale.

Stabilire se esistono valori di k per cui T è iniettiva e/o suriettiva.