CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 10– GEOMETRIA 1

Esercizio 10.1 (Esercizio 8.1). Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’applicazione definita da T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}^{2}, x_{2}, 2x_{3}). Stabilire se T è lineare.

Esercizio 10.2 (Esercizio 8.3). Stabilire se esiste una applicazione lineare T : ℝ^{2} → ℝ^{2} tale che

T (1, 2) = (3, 0),  T (2, 7) = (4, 5),  T (1, 5) = (1, 4)

Esercizio 10.3 (Esercizio 8.4). Stabilire se esiste una applicazione lineare T : ℝ^{2} → ℝ^{2} tale che

T (1, 2) = (3, 0),  T (2, 4) = (5, 0),  T (0, 1) = (1, 1)

Esercizio 10.4 (Esercizio 8.5). Determinare una applicazione lineare T : ℝ^{2} → ℝ^{2} tale che

T (1, 1) = (1, 2), T (0, 2) = (4, 4)

Esercizio 10.5 (Esercizio 8.6). Sia T : ℝ^{2} → ℝ^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (x + y, 2x, x − y). a) Verificare che T è lineare.

b) Determinare Nucleo e Immagine di T.

c) Determinare T (1, 2).

Esercizio 10.6 (Esercizio 8.7). Sia T : ℝ^{2} → ℝ^{3} l’applicazione lineare definita sulla base canonica di ℝ^{2} nel seguente modo: T (e_{1}) = (1, 2, 1), T (e_{2}) = (1, 0, −1).

a) Esplicitare T (x, y).

b) Stabilire se (3, 4, 1) appartiene a Im(T).

Esercizio 10.7 (Esempio 5.1 Ab-dF). Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’applicazione definita da T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{3}, 2x_{2} + 3x_{3}, −x_{3}).

a) Dimostrare che T è lineare.

b) Trovare una base di Ker(T) ed una di Im(T).

c) Descrivere il sottospazio T (W), dove W = {x ∈ ℝ^{3} | 3x_{1} + x_{3} = 0} e trovarne una base.

Esercizio 10.8 (Esempio 5.2- Ab-dF). Siano v_{1} = (0, 1, 2, 3), v_{2} = (1, 1, 0, 0), v_{3} = (0, 0, 1, 1) vettori di ℝ^{4}. Esibire un’applicazione lineare T : ℝ^{3} → ℝ^{4} tale che T (e_{j}) = v_{j} per j = 1, 2, 3. Tale applicazione è unica?

Esercizio 10.9 (Esempio 5.3 Ab-dF). Data

A = (\begin{matrix}1 & −1 & 0 & 3 \\ 5 & 2 & 7 & 1 \\ 4 & 3 & 7 & −2 \end{matrix})

Calcolare L_{A}(1, 1, 0, 1), trovare Ker(L_{A}) e Im(L_{A}) e verificare il teorema di nullità piú rango.

Esercizio 10.10 (Esempio 5.11- Ab-dF). Siano S : ℝ^{3} → ℝ^{2} e T : ℝ^{2} → ℝ^{4} le applicazioni lineari date da S(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} + x_{2}, x_{1} − x_{2} + x_{3}) e T (y_{1}, y_{2}) = (y_{1} + y_{2}, 2y_{1} + 2y_{2}, 0, −y_{1} − y_{2}). Trovare una base (v_{1}, v_{2}, v_{3}) di ℝ^{3}, una (u_{1}, u_{2}) di ℝ^{2} e una (w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}) di ℝ^{4}, tali che S(v_{1}) = O, S(v_{2}) = u_{1}, S(v_{3}) = u_{1}, T (u_{1}) = O, T (u_{2}) = w_{1}.

Esercizio 10.11 (Esercizio 5.11- Ab-dF). Sia T : V → W un’applicazione fra spazi vettoriali. Dimostrare che T è lineare se e solo se Γ = {(v, T (v)) ∈ V × W | v ∈ W } è un sottospazio di V × W.

Esercizio 10.12 (Esercizio 5.12- Ab-dF). Sia T : V → W lineare, e B = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) una base di V. Dimostrare che T è iniettiva se e solo se T (v_{1}), …, T (v_{n}) sono linearmente indipendenti.

Esercizio 10.13 (Esercizio 5.15- Ab-dF). Sia T : V → W lineare, V_{1} ⊆ V un sottospazio di V e W_{1} ⊆ W un sottospazio di W. Dimostrare che T (V_{1}) = {T (v) | v ∈ V_{1}} è un sottospazio di W e che T^{−1}(W_{1}) = {v ∈ V | T (v) ∈ W_{1}} è un sottospazio di V.

Esercizio 10.14 (Esercizio 5.16- Ab-dF). In ciascuno dei tre casi seguenti scoprire se è possibile costruire applicazioni lineari che soddisfano le condizioni indicate, e in caso ne esistano piú di una, trovarne almeno due distinte. a) T : ℝ^{4} → ℝ^{3} surgettiva e tale che Ker(T) = ⟨e_{1} + e_{2} + e_{3}⟩;

b) T : ℝ^{2} → ℝ^{2} tale che Ker(T) = ⟨(1, 1)⟩;

c) T : ℝ^{3} → ℝ^{3} iniettiva e tale che Im(T) = ⟨2e_{1} + e_{3}, −e_{1}⟩