CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 9– GEOMETRIA 1

Esercizio 9.1. Sia n un intero ≥ 2. Si dimostri che, \underline{per ogni campo 𝕂}, la seguente affermazione è verificata: se A = (a_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(𝕂) ha due righe (risp. colonne) uguali, allora det(A) = 0.

Soluzione: Poiché det(A^{T}) = det(A), è sufficiente dimostrare l’asserto nel caso in cui A abbia due righe uguali. Siano dunque r, s ∈ {1, …, n} tali che r < s e le righe A^{(r)} e A^{(s)} di A coincidono, cioè a_{rℓ} = a_{sℓ} per ogni ℓ ∈ {1, …, n}. Per ogni p ∈ σ_{n}, indichiamo con T_{p} la trasposizione di {1, …, n} che scambia tra loro p(r) e p(s). Definiamo:

L := {p ∈ σ_{n} | p(r) < p(s)} e L^{∗} := {p ∈ σ_{n} | p(s) < p(r)}.

Evidentemente, σ_{n} = L⊔L^{∗} e l’applicazione Ψ : L ⟶ L^{∗}, definita ponendo Ψ(p) := T_{p} ∘p, è una bigezione (si verifichi che Ψ è ben definita e che Ψ^{−1}(q) := T_{q} ∘q per ogni q ∈ L^{∗}). Per semplicitå, poniamo p^{∗} = Ψ(p) per ogni p ∈ L. Osserviamo che, per ogni p ∈ σ_{n}, valgono:

a_{r,p(r)} = a_{s,p(r)} = a_{s,p^{∗}(s)}, a_{s,p(s)} = a_{r,p(s)} = a_{r,p^{∗}(r)}

e

a_{i,p(i)} = a_{i,p^{∗}(i)} per ogni i ∈ {1, …, n} \ {p(r), p(s)}.

Segue che:

det(A) = ∑_{p∈L} ϵ(p)a_{1,p(1)} ⋯ a_{r−1,p(r−1)}a_{r,p(r)}a_{r+1,p(r+1)} ⋯ a_{s−1,p(s−1)}a_{s,p(s)}a_{s+1,p(s+1)} ⋯ a_{n,p(n)}+

+ ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} =

= ∑_{p∈L} ϵ(T_{p} ∘ T_{p} ∘ p)a_{1,p^{∗}(1)} ⋯ a_{r−1,p^{∗}(r−1)}a_{s,p^{∗}(s)}a_{r+1,p^{∗}(r+1)} ⋯ a_{s−1,p^{∗}(s−1)}a_{r,p^{∗}(r)}a_{s+1,p^{∗}(s+1)} ⋯ a_{n,p^{∗}(n)}+

+ ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} =

= ∑_{p∈L} ϵ(T_{p})ϵ(p^{∗})a_{1,p^{∗}(1)} ⋯ a_{r−1,p^{∗}(r−1)}a_{r,p^{∗}(r)}a_{r+1,p^{∗}(r+1)} ⋯ a_{s−1,p^{∗}(s−1)}a_{s,p^{∗}(s)}a_{s+1,p^{∗}(s+1)} ⋯ a_{n,p^{∗}(n)}+

+ ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} =

= − ∑_{p∈L} ϵ(p^{∗})a_{1,p^{∗}(1)} ⋯ a_{n,p^{∗}(n)} + ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} = [ponendo q := p^{∗} nella prima sommatoria]
= − ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} + ∑_{q∈L^{∗}} ϵ(q)a_{1,q(1)} ⋯ a_{n,q(n)} = 0.
■

Esercizio 9.2. Sia n un intero positivo. Si dimostri che, \underline{per ogni campo 𝕂}, vale la seguente formula di Binet: per ogni A, B ∈ M_{n}(𝕂), si ha det(AB) = det(A) det(B). Inoltre, se A è invertibile, allora det(A) ≠ 0 e det(A^{−1}) = (det(A))^{−1}.

Soluzione: Ripeti la dimostrazione di Corollario 6.3 a p. 79 di Sernesi usando l’Esercizio 9.1. ■

Esercizio 9.3. Sia n un intero positivo. Si dimostri che, \underline{per ogni campo 𝕂}, la funzione det : M_{n}(𝕂) ⟶ 𝕂 è l’unica funzione f : M_{n}(𝕂) ⟶ 𝕂 ad avere le seguenti tre proprietà:

(D1) f è multilineare sulle righe. (D2′) Se A ∈ M_{n}(𝕂) possiede due righe uguali, allora f(A) = 0. (D3) f(I_{n}) = 1.

Soluzione: Ripeti la dimostrazione di Corollario 6.3 a p. 79 di Sernesi con “det”= f e “B”= I_{n}.^{1} ■

Esercizio 9.4. Sia n un intero positivo e sia 𝕂 un campo arbitrario. Si dimotri che, se una funzione f : M_{n}(𝕂) ⟶ 𝕂 soddisfa le proprietà (D1) e (D2′) enunciate nel precedente esercizio, allora f è alternante sulle righe, ovvero vale:

(D2) Se la matrice B è ottenuta da A ∈ M_{n}(𝕂) scambiando tra di loro due righe diverse, allora f(B) = −f(A).

Soluzione: Se n = 1, allora non c’è nulla da dimostrare. Supponiamo n ≥ 2. Siano r, s ∈ {1, …, n} tali che r < s e B è ottenuta da A scambiando la r–esima riga con la s–esima. Da (D1) segue che:

f ( A^{(1)} ; ⋮ ; A^{(r−1)} ; A^{(r)} + A^{(s)} ; A^{(r+1)} ; ⋮ ; A^{(s−1)} ; A^{(r)} + A^{(s)} ; A^{(s+1)} ; ⋮ ; A^{(n)} ) = f ( A^{(1)} ; ⋮ ; A^{(r−1)} ; A^{(r)} ; A^{(r+1)} ; ⋮ ; A^{(s−1)} ; A^{(r)} ; A^{(s+1)} ; ⋮ ; A^{(n)} ) + f ( A^{(1)} ; ⋮ ; A^{(r−1)} ; A^{(r)} ; A^{(r+1)} ; ⋮ ; A^{(s−1)} ; A^{(s)} ; A^{(s+1)} ; ⋮ ; A^{(n)} ) + f ( A^{(1)} ; ⋮ ; A^{(r−1)} ; A^{(s)} ; A^{(r+1)} ; ⋮ ; A^{(s−1)} ; A^{(r)} ; A^{(s+1)} ; ⋮ ; A^{(n)} ) + f ( A^{(1)} ; ⋮ ; A^{(r−1)} ; A^{(s)} ; A^{(r+1)} ; ⋮ ; A^{(s−1)} ; A^{(s)} ; A^{(s+1)} ; ⋮ ; A^{(n)} ) .

Grazie a (D2′), si ha che 0 = 0 + f(A) + f(B) + 0 = f(A) + f(B) e quindi (D2) è verificata. ■

Esercizio 9.5. Siano m e n due interi positivi e sia 𝕂 un campo arbitrario. Definiamo la relazione ℛ𝒞 su M_{m,n}(𝕂) ponendo: A ℛ𝒞 B se B si può ottenere da A mediante un numero finito di operazioni elementari sulle righe e sulle colonne.

(1) Si dimostri che, date due matrici A, B ∈ M_{m,n}(𝕂), A ℛ𝒞 B se e soltanto se esistono M ∈ GL_{m}(𝕂) e N ∈ GL_{n}(𝕂) tali che B = MAN.

(2) Si dimostri che ℛ𝒞 è una relazione di equivalenza su M_{m,n}(𝕂).

(3) Sia h := min{m, n}. Per ogni r ∈ {0, 1, …, h}, definiamo la matrice S_{m,n}(r) = (s_{ij})_{i,j} ∈ M_{m,n}(𝕂) ponendo s_{ii} = 1 se i ∈ {1, …, r} e s_{ij} = 0 altrimenti^{2}. Si provi che, per ogni A ∈ M_{m,n}(𝕂), vale:

A ℛ𝒞 S_{m,n}(rk(A)).

(4) Sia π : M_{m,n}(𝕂) ⟶ M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 la proiezione naturale al quoziente A ↦^{π} [A]_{ℛ𝒞} e sia Φ : M_{m,n}(𝕂) ⟶ {0, 1, …, h} la funzione definita ponendo Φ(A) := rk(A) per ogni A ∈ M_{m,n}(𝕂). Si dimostri che Φ passa al quoziente rispetto a ℛ𝒞 , ovvero esiste, ed è unica, una funzione φ : M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 ⟶ {0, 1, …, h} tale che il seguente diagramma commuta

M_{m,n}(𝕂) ⟶^{Φ} {0, 1, …, h}
π ↓  ↗_{φ}
M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞  ,

ovvero tale che Φ = φ ∘ π.

(5) Si dimostri che la funzione φ definita al punto (4) è una bigezione.

Soluzione:

(1) Vedi il punto 9 a pagina 47 di Sernesi.

(2) ℛ𝒞 è evidentemente riflessiva: per ogni A ∈ M_{m,n}(𝕂), A = I_{m}AI_{n} e quindi A ℛ𝒞 A.

1I dettagli di tale dimostrazione sono stati fatti in classe.

2Se r = 0, allora S_{m,n}(r) è la matrice nulla di M_{m,n}(𝕂).

Proviamo che ℛ𝒞 è simmetrica. Siano A, B ∈ M_{m,n}(𝕂) tali che A ℛ𝒞 B. Dobbiamo provare che B ℛ𝒞 A. Grazie a (1), esistono M ∈ GL_{m}(𝕂) e N ∈ GL_{n}(𝕂) tali che B = MAN. Segue che A = M^{−1}BN^{−1} e quindi B ℛ𝒞 A.

La transitività di ℛ𝒞 è evidente dalla definizione di ℛ𝒞 stessa. Ad ogni modo dimostriamolo usando (1). Sia C ∈ M_{m,n}(𝕂) tale che B ℛ𝒞 C e siano P ∈ GL_{m}(𝕂) e Q ∈ GL_{n}(𝕂) tali che C = P BQ. Poiché C = P BQ = (P M)A(NQ), P M ∈ GL_{m}(𝕂) e NQ ∈ GL_{n}(𝕂), abbiamo che A ℛ𝒞 C.

(3) Sia A ∈ M_{m,n}(𝕂) e sia r := rk(A). Poiché le operazioni elementari sulle righe e sulle colonne di una matrice non alterano il rango della matrice stessa, applicando la tecnica di eliminazione di Gauss–Jordan ad A sia per righe che per colonne, otteniamo che A ℛ𝒞 S_{m,n}(r).

(4) Cominciamo col dimostrare che, se una tale φ esiste, allora è unica. Supponiamo che φ_{1} e φ_{2} siano funzioni da M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 in {0, 1, …, h} tali che φ_{1} ∘ π = Φ = φ_{2} ∘ π. Sia α ∈ M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 . Dobbiamo dimostrare che φ_{1}(α) = φ_{2}(α). Poiché π è surgettiva, esiste A ∈ M_{m,n}(𝕂) tale che π(A) = [A]_{ℛ𝒞} = α. Segue che:

φ_{1}(α) = φ_{1}(π(A)) = (φ_{1} ∘ π)(A) = (φ_{2} ∘ π)(A) = φ_{2}(π(A)) = φ_{2}(α).

Definiamo dunque la funzione φ : M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 ⟶ {0, 1, …, h} come segue: per ogni α ∈ M_{m,n}(𝕂)/ℛ𝒞 , scegliamo A ∈ M_{m,n}(𝕂) tale che π(A) = α (cioè A ∈ α) e poniamo

φ(α) := rk(A).

Evidentemente, se φ è ben definita, allora φ è la funzione cercata, essendo Φ = φ ∘ π per definizione di φ. Proviamo quindi che φ è ben definita, cioè che φ(α) non dipende dalla scelta di A. Sia A′ ∈ M_{m,n}(𝕂) un’altra matrice tale che π(A′) = α, cioè tale che A′ ∈ α. Poiché A e A′ appartengono alla stessa ℛ𝒞 – classe di equivalenza (cioé ad α), Aℛ𝒞 A′ e quindi, grazie all’invarianza del rango rispetto alle operazioni elementari sulle righe e sulle colonne, rk(A) = rk(A′). ■

Esercizio 9.6 (Gruppi matriciali speciali - vedi anche Esercizio 3.9, 3.10 e 3.11 del “Foglio di esercizi 3”). Sia n un intero positivo. Definiamo:

(1) SL_{n}(𝕂) := {A ∈ GL_{n}(𝕂) | det(A) = 1} per ogni campo 𝕂;

(2) SO(n) := {A ∈ O(n) | det(A) = 1} = {A ∈ GL_{n}(ℝ) | A^{T} A = I_{n}, det(A) = 1};

(3) SO(1, 3) := {A ∈ O(1, 3) | det(A) = 1} = {A ∈ GL_{4}(ℝ) | A^{T} I_{1,3}A = I_{1,3}}, ove I_{1,3} è la matrice diagonale in M_{4}(ℝ) avente il primo elemento diagonale uguale a 1 e i restanti tre elementi diagonali uguali a −1;

(4) SU(n) := {A ∈ U(n) | det(A) = 1} = {A ∈ GL_{n}(ℂ) | A^{H}A = I_{n}, det(A) = 1}, ove A^{H} è la matrice trasposta coniugata di A (anche detta aggiunta hermitiana di A) definita ponendo A^{H} := (\overline{a_{ji}})_{i,j} se A = (a_{ij})_{i,j}.

Dimostrare che:

(1′) SL_{n}(𝕂) è un sottogruppo di GL_{n}(𝕂). SL_{n}(𝕂) è detto gruppo lineare speciale di ordine n (su 𝕂). (2′) SO(n) è un sottogruppo di O(n). SO(n) è detto gruppo ortogonale speciale di ordine n.^{3} (3′) SO(1, 3) è un sottogruppo di O(1, 3). SO(1, 3) è detto gruppo di Lorentz proprio.^{4} (4′) SU(n) è un sottogruppo di U(n). SU(n) si chiama gruppo unitario speciale di ordine n.^{5}

Soluzione: Segue subito dalla formula di Binet. ■

Esercizio 9.7. Si calcoli il determinante della seguente matrice A ∈ M_{6}(ℝ) e si dica se è invertibile:

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 7 & 0 & 2 \\ −1 & 2 & 3 & 0 & −2 & −3 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) .

3Il gruppo SO(3) riveste un ruolo molto importante in Fisica, i suoi elementi corrispondono alle rotazioni spaziali.

4Il ruolo di SO(1, 3) è cruciale nelle teorie relativistiche.

5Per chiarire la rilevanza in Fisica dei gruppi unitari e unitari speciali citiamo, a titolo di esempio, il fatto che il prodotto SU(3) × SU(2) × U(1) è il gruppo di simmetria interna del modello standard (ovvero la teoria unificata che descrive tre delle quattro interazioni fondamentali: interazione elettromagnetica, nucleare forte e nucleare debole). In Fisica, per gruppo di simmetria interna (o gruppo di gauge) di una teoria si intende, in generale, un gruppo nel quale gli elementi si possono rappresentare (mediante omomorfismo) come trasformazioni rispetto alle quali la teoria è invariante.

Esercizio 9.8 (Esempio 9.4 di Ab-deF^{6}). Siano A, A^{∗} ∈ M_{n}(𝕂) matrici partizionate a blocchi come segue

A = ( \begin{matrix}B & C \\ 0_{1} & D \end{matrix} ) e A^{∗} = ( \begin{matrix}B & 0_{2} \\ E & D \end{matrix} )

dove B ∈ M_{p}(𝕂), C ∈ M_{p,q}(𝕂), 0_{2} è la matrice nulla in M_{p,q}(𝕂), E ∈ M_{q,p}(𝕂), 0_{1} è la matrice nulla in M_{q,p}(𝕂) e D ∈ M_{q}(𝕂) per qualche p, q ∈ ℕ^{∗} con p+q = n. Si provi che det(A) = det(B) det(C) = det(A^{∗}).

Esercizio 9.9. Sia A = (A_{ij})_{i,j} ∈ M_{n}(𝕂) una matrice triangolare superiore a blocchi ove A_{ij} ∈ M_{m_{i},m_{j}}(𝕂) per qualche m_{1}, …, m_{h} ∈ ℕ tali che m_{1} + … + m_{h} = n:

A = ( \begin{matrix}A_{11} & A_{12} & ⋯ & A_{1h} \\ 0 & A_{22} & ⋯ & A_{2h} \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & A_{hh} \end{matrix} ) .

Si dimostri che det(A) = det(A_{11}) det(A_{22}) ⋯ det(A_{hh}). Si provi inoltre che la stessa uguaglianza sussiste anche nel caso triangolare inferiore a blocchi.

Esercizio 9.10. Si dica per quali valori di t ∈ ℝ la seguente matrice A_{t} ∈ M_{6}(ℝ) è singolare.

A_{t} = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 4 & 5 & 6 & 7 & t \end{matrix})

Esercizio 9.11. Sia n un intero ≥ 2, siano x_{1}, …, x_{n} elementi di un campo 𝕂 e sia V (x_{1}, …, x_{n}) ∈ M_{n}(𝕂) la seguente matrice, detta matrice di Vandermonde relativa a (x_{1}, …, x_{n}):

V (x_{1}, …, x_{n}) = ( \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2} & ⋯ & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix} ) .

Si dimostri che det(V (x_{1}, …, x_{n})) = ∏_{(i,j)∈T_{n}}(x_{j} − x_{i}), dove T_{n} := {(i, j) ∈ {1, …, n} | i < j} e “∏” è il simbolo di produttoria, che indica il prodotto in 𝕂 ^{7}. Se ne deduca che V (x_{1}, …, x_{n}) è invertibile se e soltanto se gli elementi x_{1}, …, x_{n} sono a due a due distinti.

Esercizio 9.12. Sia n ∈ ℕ, siano x_{1}, …, x_{n}, x_{n+1} elementi a due a due distinti di un campo 𝕂 e siano y_{1}, …, y_{n}, y_{n+1} elementi di 𝕂 (non necessariamente distinti). Indichiamo con 𝕂_{≤n}[X] il 𝕂–spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ n a coefficienti in 𝕂. Si dimostri che esiste un unico polinomio P ∈ 𝕂_{≤n}[X] tale che P (x_{h}) = y_{h} per ogni h ∈ {1, …, n, n + 1}.

Esercizio 9.13. Sia n ∈ ℕ, siano x_{1}, …, x_{n+1} elementi a due a due distinti di un campo 𝕂 e sia 𝕂_{≤n}[X] il 𝕂–spazio vettoriale dei polinomi di grado ≤ n a coefficienti in 𝕂. Per ogni k ∈ {1, …, n + 1}, definiamo il polinomio L_{k} ∈ 𝕂_{≤n}[X] ponendo

L_{k}(X) := ∏_{h∈{1,...,n+1}\{k}}(x_{k} − x_{h})^{−1}(X − x_{h}).

Si dimostrino le seguenti affermazioni:

(1) Per ogni k, h ∈ {1, …, n + 1}, L_{k}(x_{h}) = δ_{kh}, ove δ_{kh} = 1 ∈ 𝕂 se k = h e δ_{kh} = 0 ∈ 𝕂 se k ≠ h.

(2) (L_{1}, …, L_{n+1}) è una base di 𝕂_{≤n}[X].

6Ab-deF sta ad indicare l’eserciziario “Esercizi di geometria” di Abate e de Fabritiis.

7Usualmente, per semplicità , si usa il simbolo ∏_{i<j}(x_{j} − x_{i}) al posto di ∏_{(i,j)∈T_{n}}(x_{j} − x_{i}).

(3) Dati y_{1}, …, y_{n+1} ∈ 𝕂 (non necessariamente distinti), il polinomio P (X) := ∑_{h=1}^{n+1} y_{k}L_{k}(X) ∈ 𝕂_{≤n}[X] ha la seguente proprietà :

(∗) P (x_{h}) = y_{h} per ogni h ∈ {1, …, n + 1} ^{8}.
(4) L’applicazione φ : 𝕂_{≤n}[X] ⟶ 𝕂^{n+1} definita ponendo
φ(Q) := (Q(x_{1}), …, Q(x_{n+1})) per ogni Q ∈ 𝕂_{≤n}[X]

è un isomorfismo lineare. Dedurre da questo fatto che, dati y_{1}, …, y_{n+1} ∈ 𝕂 (non necessariamente distinti), il polinomio P definito al punto (3) è l’unico polinomio in 𝕂_{≤n}[X] avente la proprietà (∗).

Esercizio 9.14. Siano v_{1}, v_{2}, v_{3} tre vettori in ℝ^{3}, sia Vol(v_{1}, v_{2}, v_{3}) il volume del parallelepipedo generato da v_{1}, v_{2} e v_{3} e sia A ∈ M_{3}(ℝ). Si dimostri la seguente formula:

Vol(Av_{1}, Av_{2}, Av_{3}) = | det(A)| · Vol(v_{1}, v_{2}, v_{3}).

Esercizio 9.15. Siano m, n ∈ ℕ^{∗}, sia A ∈ M_{m}(𝕂) e sia B ∈ M_{n}(𝕂). Provare che det(A ⊗ B) = (det(A))^{n}(det(B))^{m}.^{9}

Si svolgano i seguenti esercizi su Ab-deF: Esempio 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.11 e Esercizio 9.1, 9.2, 9.3, 9.5, 9.6, 9.7, 9.11, 9.12, 9.17^{10}, 9.20, 9.21 e 9.22.

Principio dei minori orlati. Ricordiamo che, data una matrice A ∈ M_{m,n}(𝕂) di rango r, se la sua sottomatrice A(i_{1}, …, i_{r}|j_{1}, …, j_{r}) è invertibile, allora si ha:

• (A^{(i_{1})}, …, A^{(i_{r})}) è una base del sottospazio vettoriale ⟨A^{(1)}, …, A^{(m)}⟩ di 𝕂^{n} = M_{1,n}(𝕂) generato dalle righe di A.

• (A_{(j_{1})}, …, A_{(j_{r})}) è una base del sottospazio vettoriale ⟨A_{(1)}, …, A_{(n)}⟩ di 𝕂^{m} = M_{m,1}(𝕂) generato dalle colonne di A.

Esercizio 9.16. Per ciascuna delle seguenti matrici

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(ℝ) e A_{2} = ( \begin{matrix}0 & 1 & 1 & −2 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & −1 & −1 & −1 \\ 1 & 0 & −1 & 2 & 2 \end{matrix} ) ∈ M_{4,5}(ℝ),

individuare una sottomatrice quadrata invertibile di ordine massimo. Dedurre il valore di rk(A_{1}) e di rk(A_{2}).

Esercizio 9.17. Sia W il sottospazio vettoriale di ℂ^{4} generato dai vettori (colonna) w_{1} = (1, i, 1, −i)^{T}, w_{2} = (i, −1, i, 1)^{T} e w_{3} = (−i, 1, −i, 1)^{T}. Si estragga da (w_{1}, w_{2}, w_{3}) una base di W e la si completi ad una base di ℂ^{4}.

Equazioni parametriche ed equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali di 𝕂^{n}. Sia W un sottospazio vettoriale di 𝕂^{n} = M_{n,1}(𝕂), sia (S) un sistema lineare omogeneo m × n a coefficienti in 𝕂 e siano w_{1} = (w_{1,1}, …, w_{n,1})^{T} , …, w_{s} = (w_{1,s}, …, w_{n,s})^{T} vettori di W.

Se Sol(S) = W allora le equazioni di (S) si dicono equazioni cartesiane di W in 𝕂^{n} (rispetto alla base canonica).^{11} Se (w_{1}, …, w_{s}) è una base di W allora le equazioni

( x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ) = t_{1}w_{1} + … + t_{s}w_{s} oppure \{ \begin{matrix}x_{1} = & t_{1}w_{1,1} + … + t_{s}w_{1,s} \\ ⋮ & ⋮ \\ x_{n} = & t_{1}w_{n,1} + … + t_{s}w_{n,s} \end{matrix} con t_{1}, …, t_{s} ∈ 𝕂

8Il polinomio P si dice polinomio interpolante lagrangiano (“Lagrangian interpolating polynomial” in inglese) relativo alle coppie (x_{1}, y_{1}), …, (x_{n+1}, y_{n+1}).

9Vedi Esercizio 5.13 sul “Foglio di esercizi 5” per la definizione di A ⊗ B.

10Si tenga presente che, data A ∈ M_{n}(𝕂), la matrice Cof(A) ∈ M_{n}(𝕂) dei cofattori di A per Ab-deF (vedi Esempio 9.6, p. 94) coincide con la trasposta della matrice cof(A) ∈ M_{n}(𝕂) dei cofattori di A per Sernesi (vedi Definizione 6.8, p. 81).

11(S) si dice sistema di equazioni cartesiane di W in 𝕂^{n} (rispetto alla base canonica).

si dicono equazioni parametriche di W in 𝕂^{n} (rispetto alla base canonica). Evidentemente, sia le equazioni cartesiane che quelle parametriche non sono univocamente determinate da W.

Se sono assegnate equazioni cartesiane (S) di W, allora per trovare equazioni parametriche di W è sufficiente risolvere il sistema omogeneo (S).

Viceversa, se sono assegnate equazioni parametriche di W, e quindi è assegnata una base (w_{1}, …, w_{s}) di W, allora per trovare equazioni cartesiane di W possiamo procedere come segue:

• si considera la matrice A ∈ M_{s,n}(𝕂) avente per righe w_{1}^{T} , …, w_{s}^{T} ^{12} e si osserva che

(RK) (x_{1}, …, x_{s})^{T} ∈ W ⟺ rk ( \frac{x_{1} ⋯ x_{n}}{A} ) = s.

• si individua una sottomatrice quadrata invertibile B = A(1, …, s|j_{1}, …, j_{s}) di A di ordine s e si definisce il sistema lineare omogeneo (S) con (n−s) equazioni nelle incognite x_{1}, …, x_{n} imponendo che tutti i minori orlati di B in A siano nulli. Grazie a (RK) e al principio dei minori orlati, si ha che le equazioni di (S) sono equazioni cartesiane di W.

A meno di riordinare gli indici di colonna di A e quindi le incognite x_{1}, …, x_{n}, possiamo supporre che B = A(1, …, s|1, …, s). Allora si ha:

(x_{1}, …, x_{s})^{T} ∈ W ⟺ rk ( \begin{matrix}x_{1} ⋯ x_{s} & x_{s+1} & ⋯ & x_{n} \\ B & A^{(s+1)} & ⋯ & A^{(n)} \end{matrix} ) = s

e quindi W = Sol(S), dove (S) è definito come segue:

(S) : \{ det ( \begin{matrix}x_{1} ⋯ x_{s} & x_{s+1} \\ B & A^{(s+1)} \end{matrix} ) = 0 ; ⋮ ; det ( \begin{matrix}x_{1} ⋯ x_{s} & x_{n} \\ B & A^{(n)} \end{matrix} ) = 0 .

Esercizio 9.18. Sia W il sottospazio vettoriale di ℝ^{5} avente le seguenti equazioni cartesiane:

(S) : \{ \begin{matrix}x_{1} − x_{2} − 2x_{3} − x_{4} + x_{5} = 0 \\ 2x_{1} − x_{2} − x_{4} = 0 \\ 3x_{1} − 2x_{2} − x_{5} = 0 \end{matrix} .

Si scrivano delle equazioni parametriche di W e se ne deduca la dimensione di W.

Esercizio 9.19. Sia W il sottospazio vettoriale di ℝ^{4} descritto dalle seguenti equazioni parametriche:

\{ \begin{matrix}x_{1} = t − s \\ x_{2} = 0 \\ x_{3} = −t + s \\ x_{4} = t \\ x_{5} = −t − 2s \end{matrix} con t, s ∈ ℝ.

Si scrivano delle equazioni cartesiane di W.

Esercizio 9.20 (Proiezione su sottospazi vettoriali). . Sia V uno spazio vettoriale su 𝕂 e siano U e W due sottospazi vettoriali di V tali che U ⊕ W = V. Definiamo l’applicazione ρ_{U} : V ⟶ W, detta proiezione di V su W lungo U, come segue: dato v ∈ V, consideriamo gli unici vettori u ∈ U e w ∈ W tali che v = u + w e definiamo ρ_{U}(v) := w. Si dimostri che ρ_{U} è lineare.

Esercizio 9.21 (Esercizio 4, p. 149, Sernesi). Sia W il sottospazio vettoriale di ℝ^{4} descritto dalle seguenti equazioni cartesiane:

(S) : \{ \begin{matrix}2X_{1} + X_{3} = 0 \\ X_{2} − 3X_{4} = 0 \end{matrix}

12Si considerano i vettori riga w_{i}^{T} anziché gli originali vettori colonna w_{i} solo perché, usualmente, è più pratico scrivere A anziché A^{T}.

FOGLIO DI ESERCIZI # 9 – 2012-2013 7

e sia U = ⟨e_{1}, e_{2}⟩, dove e_{1} = (1, 0, 0, 0)^{T} e e_{2} = (0, 1, 0, 0)^{T}. Dopo aver verificato che U ⊕ W = ℝ^{4}, trovare l’epressione analitica della proiezione ρ_{U} : ℝ^{4} ⟶ W di ℝ^{4} su W lungo U Si svolgano i seguenti esercizi su Ab-deF: Esempio 5.1, 5.2, 5.3, 5.6 e Esercizio 5.11, 5.12, 5.15, 5.16.