CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 8– GEOMETRIA 1

Esercizio 8.1 (Esercizio 6.1). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix})

C = (\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix})  D = (\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix})  F = (\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix})

Esercizio 8.2 (Esercizio 6.2). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix})  A_{2} = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})  A_{3} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})
A_{4} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})  A_{5} = (\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})  A_{6} = (\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix})

Esercizio 8.3. Dimostrare che il determinante di una matrice antisimmetrica di ordine dispari è nullo. Esercizio 8.4 (Esercizio 6.3). Calcolare il rango della seguente matrice A.

A = (\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}) k ∈ ℝ

Esercizio 8.5 (Esercizio 6.5). Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix})  A_{2} = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})  A_{3} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})
A_{4} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})  A_{5} = (\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})  A_{6} = (\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix})

Esercizio 8.6. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix})

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Esercizio 8.7. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}) (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k. Esercizio 8.8. Sia A_{t} la matrice reale

A_{t} = (\begin{matrix}0 & t & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 2 & t & 1 \end{matrix}) (t reale).

Stabilire per quali valori di t la matrice A_{t} è invertibile. Esercizio 8.9. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}) (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 8.10 (Esercizio 6.9). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ −4k & 4k − 1 & k − 2 \\ 0 & 1 − 4k & 0 \end{matrix}) (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 8.11 (Esercizio 6.11). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}) (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.

Esercizio 8.12 (Esercizio 6.12). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}) (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

Esercizio 8.13 (Esercizio 7.22). Siano dati i seguenti vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (2, 1, 1),  v_{2} ≡ (−1, 1, 2),  v_{3} ≡ (3, −2, −1),  v_{4} ≡ (4, −1, −2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

Esercizio 8.14 (Esercizio 7.23). Siano dati i seguenti vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 1),  v_{2} ≡ (2, 7, 7),  v_{3} ≡ (0, k^{2} + 2, 3),  v_{4} ≡ (1, k + 3, k^{2} + 2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} al variare del parametro k.

Esercizio 8.15 (Esercizio 7.24). Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di ℝ^{3}.

v_{1} ≡ (1, 2, −2),  v_{2} ≡ (1, 1, −3),  v_{3} ≡ (3, 7, k − 6)

Esercizio 8.16 (Esercizio 7.26).

a) Mostrare che i vettori

v_{1} = (0, 1, 1), v_{2} = (−1, k, 0), v_{3} = (1, 1, k)

sono linearmente indipendenti per ogni valore di k ∈ ℝ.

b) Esprimere il vettore v = (2, 1, 2) come combinazione lineare di v_{1}, v_{2}, v_{3}.

Esercizio 8.17 (Esercizio 7.26). In ℝ^{3} siano

v_{1} = (k, 2, 1), v_{2} = (−2, 1, 0), v_{3} = (0, 1, 1), (k parametro reale)

a) Si stabilisca per quali valori di k i tre vettori costituiscono una base di ℝ^{3}.

b) Per i valori trovati al punto a), si calcolino le coordinate del vettore v = (−2, 1, 2) rispetto a tale base.

Esercizio 8.18 (Esercizio 7.27). Si consideri il sottospazio V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ di ℝ^{5} generato dai vettori

v_{1} = (−1, 1, 2, 1, 0), v_{2} = (0, 2, 1, 1, 0), v_{3} = (1, 1, −1, 0, 0).

a) Trovare una base di V.

b) Determinare le coordinate del vettore v = (−2, 6, 6, 4, 0) ∈ V rispetto alla base trovata al punto a).

Esercizio 8.19 (Esercizio 7.28). Sia V il sottospazio di ℝ^{3} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (2, 1, 1),  v_{2} ≡ (−1, 1, 2),  v_{3} ≡ (3, −2, −1),  v_{4} ≡ (4, −1, −2).

Determinare una base di V. Esprimere inoltre v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} come combinazione lineare degli elementi di tale base.

Esercizio 8.20 (Esercizio 7.29). Sia V il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (2, 1, 2, 1),  v_{2} ≡ (6, 7, 8, 5)
v_{3} ≡ (2k, k + 8, 3k + 3, 2),  v_{4} ≡ (0, 2k, 2k, 1).

Determinare una base di V al variare del parametro k. Esprimere inoltre v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} come combinazione lineare degli elementi di tale base.

Esercizio 8.21 (Esercizio 7.30). Sia V il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2),  v_{2} ≡ (1, 3, 0, 3),  v_{3} ≡ (−1, −2, 1, −1).

Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k.

Esercizio 8.22 (Esercizio 7.31). Sia W il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}:

v_{1} = (−1, 1, −1, 1),  v_{2} = (1, k, 3, 4),  v_{3} = (1, −1, k, 1),  v_{4} = (0, 0, 1, k)

Si calcoli la dimensione di W al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.23 (Esercizio 7.32). Si considerino i vettori di ℝ^{4}

v_{1} = (3, −1, 2, 0), v_{2} = (−6, 2, −4, 0), v_{3} = (−3, k, k − 3, 0)

a) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{3} appartiene al sottospazio W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ generato da v_{1} e v_{2}.

b) Si trovi, al variare di k, una base di W e una base del sottospazio ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Esercizio 8.24 (Esercizio 7.33). Si considerino i vettori di ℝ^{4}

v_{1} = (1, 2, −1, 3), v_{2} = (−2, −4, 2, −6), v_{3} = (3, 6, k − 6, 3k)

a) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{3} appartiene al sottospazio W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ generato da v_{1} e v_{2}.

b) Si trovi, al variare di k, una base di W e una base del sottospazio ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Esercizio 8.25 (Esercizio 7.34). Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} ⟩ con

v_{1} = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v_{2} = (2, 2k + 2, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 0, 0), v_{4} = (−3, −7, −1, 2k)

a) Si determini la dimensione di V al variare di k ∈ ℝ.

b) Si determini una base di V al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.26 (Esercizio 7.35). Determinare una base dei seguenti sottospazi W di ℝ^{3}:

(1) W = ⟨(1, 2, 5), (−3, −6, −15)⟩

(2) W = ⟨(1, 2, 5), (−3, −6, −15), (2, 1, 0)⟩
(3) W = ⟨(−1, 2, 0), (0, 1, −1), (1, −1, 2)⟩

Esercizio 8.27 (Esercizio 7.36). Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩ con

v_{1} = (k + 3, k + 3, 0),  v_{2} = (0, 3, k + 2),  v_{3} = (0, 3k, k)

a) Si stabilisca per quali valori di k ∈ ℝ lo spazio V coincide con ℝ^{3}.

b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.28 (Esercizio 7.37). Sia V lo spazio vettoriale generato dai vettori v_{1} = (1, −2, 4, 0), v_{2} = (2, 3, −1, 1) e v_{3} = (0, −1, 3, 0):

V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩

(1) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale V.

(2) Determinare se il vettore v_{4} = (3, 1, 3, 1) appartiene a V. In caso positivo esprimere v_{4} come combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

(3) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale W = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}⟩.

Esercizio 8.29 (Esercizio 7.45). Si considerino i vettori di ℝ^{3}: v_{1} = (1, 2, 1), v_{2} = (1, 1, −1), v_{3} = (1, 1, 3), w_{1} = (2, 3, −1), w_{2} = (1, 2, 2), w_{3} = (1, 1, −3).

a) Si calcoli la dimensione dei sottospazi V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩, W = ⟨w_{1}, w_{2}, w_{3}⟩.

b) Si trovi una base del sottospazio intersezione V ∩ W.

Esercizio 8.30 (Esercizio 7.46). Si considerino i seguenti sottospazi di ℝ^{3}:

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 2y + z = 0}
V = ⟨(1, 0, 1), (1, 2, 1), (1, 0, 1)⟩

a) Determinare una base e la dimensione di U e di V.

b) Determinare una base e la dimensione di U ∩ V.

b) Determinare una base e la dimensione di U + V.

Esercizio 8.31 (Esercizio 7.47). Si considerino i seguenti sottospazi di ℝ^{4}:

U = {(0, 1, 1, 0)a + (0, 0, 0, 1)b | a, b ∈ ℝ}
V = {(x, y, z, w) ∈ ℝ^{4} | x + y = 0, z = 2x}

a) Determinare una base e la dimensione di U e di V.

b) Determinare una base e la dimensione di U ∩ V.

c) Determinare una base e la dimensione di U + V.

Esercizio 8.32 (Esercizio 7.49). Siano U e V i sottospazi di ℝ^{3} così definiti

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + z = 0}
V = ⟨(1, −1, 0), (1, 1, −1)⟩

a) Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U e V.

b) Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U + V e U ∩ V.

Esercizio 8.33 (Esercizio 7.50). Siano U e V i sottospazi di ℝ^{3} così definiti

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + z = 0}
V = ⟨(2, −1, −2), (−3, 4, 3)⟩

Dimostrare che U = V.

Esercizio 8.34 (Esercizio 7.51). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1}, a_{1} − a_{2} + 2a_{3}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2} + a_{4})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.35 (Esercizio 7.52). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2} + a_{4})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.36 (Esercizio 7.53). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3} + a_{4}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.37 (Esercizio 7.78). Nello spazio vettoriale V = ℝ_{2}[x] dei polinomi reali di grado non superiore a due, si considerino gli elementi

p_{1} = x − 1, p_{2} = x + 1, p_{3} = x^{2} − x.

a) Si mostri che l’insieme B = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) è una base di V.

b) Si trovino le coordinate del polinomio costante 1 nella base B.

FOGLIO DI ESERCIZI # 8 – 2012-2013 5

Esercizio 8.38. Studiare al variare del parametro α il sistema lineare seguente:

\{ \begin{matrix}x + y + z = α \\ αx + y + 2z = 1 \\ x + αy + 3z = 1 \end{matrix}

usando i metodi di Rouché -Capelli e di Cramer. Esercizio 8.39. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}2x + 3y − z = 1 \\ x + 4y + 2z = 2 \\ 3x − y − z = 3 \end{matrix}

Esercizio 8.40 (Abate 9.10). Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}x − y + 2z = 2 \\ −x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{matrix}

Esercizio 8.41. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}2ix + z = −1 \\ ix + iz = i \\ x + y + z = 2 \end{matrix}

Esercizio 8.42. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \end{matrix}

Verificare che l’insieme delle soluzioni del sistema forma un sottospazio vettoriale di ℝ^{4} e determinarne la dimensione.