CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 7– GEOMETRIA 1

Esercizio 7.1. Determinare al variare di k ∈ ℝ la dimensione dei due sottospazi di ℝ^{3}:

U = ⟨(1, 1, k), (k + 1, 2, 2), (2 − k^{2}, 1, k)⟩

e

W = ⟨(1, 1, k), (k, 1, 2 − k), (k + 1, 2, k + 1)⟩

Esercizio 7.2. Calcolare al variare di k ∈ ℝ, la dimensione del sottospazio di ℝ_{≤2}[x]

U = ⟨kx − x^{2}, 1 − k + kx^{2}, k − (k − 1)x − kx^{2}⟩

Esercizio 7.3. Dimostrare che ℝ_{≤3}[x] è somma diretta dei sottospazi:

U = {a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}|a_{1} = a_{2}}  e  V = ⟨x − x^{2}⟩

Esercizio 7.4. Calcolare la somma dei sottospazi U = ⟨(1, 1, 1)⟩ e V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}|x + y = x − z = 0} di ℝ^{3}. Trattasi di somma diretta?

Esercizio 7.5. Sia p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} ∈ ℝ_{≤3}[x] allora p′(x) denoterà la sua derivata prima rispetto ad x, ovvero p′(x) = a_{1} + a_{2}x + a_{3}x^{2} . Verificare che

U = {p(x) ∈ ℝ_{≤3}[x]|p(1) = p′(1) = 0}

è un sottospazio di ℝ_{≤3}[x], poi calcolarne la dimensione e una base.

Esercizio 7.6 (Abate 4.18). Siano x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}. Dimostare che se |x_{1}| > |x_{2}| e |y_{2}| > |y_{1}| allora (x, y) è una base di ℝ^{2}.

Esercizio 7.7 (Abate 4.16). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e W un suo sottospazio. Dimostrare che se U_{1} e U_{2} sono due sottospazi di V supplementari di W, allora dim U_{1} = dim U_{2}.

Esercizio 7.8 (Abate 4.19). Determinare uno spazio vettoriale reale V e tre suoi sottospazi W_{1}, W_{2}, W_{3} tali che:

W_{1} ∩ (W_{2} + W_{3}) ≠ (W_{1} ∩ W_{2}) + (W_{1} ∩ W_{3}).