CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 6– GEOMETRIA 1

Esercizio 6.1 (Esercizio 5.1). Scrivere un vettore w ∈ ℝ^{3} linearmente dipendente dal vettore v ≡ (−1, 9, 0).

Esercizio 6.2 (Esercizio 5.2). Stabilire se i vettori v_{1} ≡ (1, 5, 7) e v_{2} ≡ (1, 3, 4) di ℝ^{3} sono linearmente dipendenti.

Esercizio 6.3 (Esercizio 5.3). Scrivere un vettore w ∈ ℝ^{4} linearmente dipendente dal vettore v ≡ (1, 3, −4, 2).

Esercizio 6.4. Dati i vettori (1, 1), (1, 3), (2, −1) ∈ ℝ^{2}, stabilire se sono linearmente dipendenti e se è possibile scrivere il secondo vettore come combinazione lineare degli altri due.

Esercizio 6.5. Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono sottospazio vettoriale di M_{3}(ℝ) di dimensione 6.

Esercizio 6.6. Calcolare una base B del sottospazio (di ℝ^{3}) U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}|x + y − z = 0}, verificare che u = (1, 1, 2) ∈ U e determinare le le componenti di u rispetto a B.

Esercizio 6.7.

a) Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori di ℝ^{5} sono linearmente dipendenti:

v_{1} = (0, 1, −1, 0, 1),  v_{2} = (1, 0, 1, 0, k),  v_{3} = (−1, 2, −3, 0, 0).

b) Per i valori di k determinati in a), esprimere uno o più vettori come combinazione lineare dei rimanenti.

Esercizio 6.8. Dati i vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 2), v_{2} ≡ (2, 4, 6), v_{3} ≡ (−1, 2, 5), v_{4} ≡ (1, 1, 10)

determinare se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} (determinare cioè se v_{4} appartiene allo spazio vettoriale generato da v_{1}, v_{2} e v_{3}). In caso positivo esprimere tale combinazione lineare (nella forma più generale possibile).

Esercizio 6.9. Dati i vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 1), v_{2} ≡ (−3, −2, −2), v_{3} ≡ (2, 2, k + 4), v_{4} ≡ (1, 3, 4)

determinare per quali valori del parametro reale k, v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} (determinare cioè se v_{4} appartiene allo spazio vettoriale generato da v_{1}, v_{2} e v_{3}). In caso positivo esprimere tale combinazione lineare (nella forma più generale possibile).

Esercizio 6.10. Ripetere l’esercizio precedente con i vettori

v_{1} ≡ (1, 3, 1), v_{2} ≡ (2, k, −1), v_{3} ≡ (−1, k − 1, 0), v_{4} ≡ (1, 15, 7)

Esercizio 6.11. Dati i vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (1, 2, 1), v_{2} ≡ (k − 2, k − 4, −k − 2), v_{3} ≡ (5, 9, 3)

determinare, se possibile, i valori del parametro k per cui il vettore v_{3} è combinazione lineare di v_{1}, e v_{2}. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare (nella forma più generale possibile).

Esercizio 6.12. Si considerino le matrici

A = (\begin{matrix}0 & 0 \\ k & 0 \end{matrix}) ,  B = (\begin{matrix}1 & k \\ −2 & 0 \end{matrix}) ,  C = (\begin{matrix}k & 1 \\ −1 & 1 \end{matrix})

Si dica per quali valori del parametro reale k le matrici A, B, C sono linearmente indipendenti nello spazio M_{2}(ℝ).

Esercizio 6.13. Si considerino le matrici

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & −1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}2 & k + 1 \\ 4 & k − 3 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 2k − 2 & 2k − 1 \end{matrix})

a) Si stabilisca per quale valore di k ∈ ℝ le matrici A, B e C sono linearmente dipendenti.

b) Per il valore trovato in a) esprimere B come combinazione lineare di A e C.

Esercizio 6.14. Siano dati i polinomi

p_{1}(x) = 1 + x, p_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2}, p_{3}(x) = x − x^{2}.

Esprimere, se è possibile, f(x) = x^{2} − x + 2 come combinazione lineare di p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x). Esercizio 6.15. Dimostrare che lo spazio vettoriale M_{n}(ℝ) si decompone come somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche e del sottospazio delle matrici antisimmetriche. Calcolare la dimensione dei due sottospazi. Esercizio 6.16. Calcolare la somma dei seguenti due sottospazi di ℝ^{3}:

V = ⟨(1, 1, k)⟩ U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}|x + y + z = 0}

al variare di k ∈ ℝ. Per quali valori di k, U + V è somma diretta? Esercizio 6.17. Date le matrici

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 1 & −1 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix})

mostrare che A è invertibile e determinare la matrice X ∈ M_{3}(ℝ) tale che AX + B = O

Esercizio 6.18. Data la matrice

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

verificare che A^{2} − A − 2I_{3} = O. Dedurre che A è invertibile e calcolare la sua inversa.

Esercizio 6.19. Determinare, al variare del parametro reale k ∈ ℝ il rango della matrice

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k^{2} & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k^{3} \end{matrix})

Discutere e risolvere in ℝ il sistema Ax = b, dove x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T} e b = (1, μ, μ^{2}, μ^{3}) dove k, μ ∈ ℝ. Esercizio 6.20. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t ∈ ℝ.

A_{1} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \end{matrix})  A_{2} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \\ 0 & 0 & t \end{matrix})  A_{3} = (\begin{matrix}1 & 0 & 3 & t \\ 2 & 1 & 2 & t + 1 \\ t & 0 & t & 0 \end{matrix})