CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 5– GEOMETRIA 1

Esercizio 5.1 (Esercizio 4.5). Si risolva il seguente sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}x + y + 2z & = 1 \\ (k + 2)x + 2y + 4z & = 2 \\ (1 + 2k)x + 3y + 2z & = 1 + 2k \end{cases}

al variare del parametro reale k. Esercizio 5.2 (Esempio 3.18 Ab-dF). Studiare la compatibilitá del seguente sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}x + λy + μz & = 0 \\ λx − y + λμz & = 3 \\ x + μy − 2z & = λ + 2 \end{cases}

al variare di λ, μ ∈ ℂ. Esercizio 5.3 (Esercizio 3.4 AB-dF). Stabilire se la seguente matrice

A = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & −1 & −1 & 2 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 4 & −1 & 7 \\ 1 & 1 & 4 & 2 & 8 \end{matrix})

è invertibile (utilizzando l’eliminazione di Gauss). Esercizio 5.4 (Esempio 3.4 AB-dF). Determinare per quali k ∈ ℂ la matrice

A = (\begin{matrix}1 & 0 & i & 1 \\ 3 & 1 & k & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 1 & k \end{matrix})

è invertibile. Esercizio 5.5. Sia dato l’insieme

V = {p(x) ∈ ℝ_{≤3}[x] | p(1) = 0 }

Dimostrare che l’insieme V è un sottospazio vettoriale di ℝ_{≤3}[x]. Esercizio 5.6.

Mostrare che l’insieme

W = \{ (\begin{matrix}3a & −a + b \\ a & −2a + b \end{matrix}) | a, b ∈ ℝ\}

è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici reali M_{2}(ℝ). Esercizio 5.7. Sia V Lo spazio vettoriale delle matrici reali 2×2. Si consideri la matrice A = (\begin{matrix}−8 & −7 \\ 1 & 0 \end{matrix}) e sia S il sottinsieme di V costituito dalle matrici che commutano con A:

S = \{M = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ V : AM = MA\}

Mostrare che S è un sottospazio di V.

Esercizio 5.8. Sia

A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ −2 & 2 \end{matrix})

e sia S = {M ∈ M_{2}(ℝ) | AM = MA = 0}. Dimostrare che S è un sottospazio di M_{2}(ℝ).

Esercizio 5.9. Sia A ∈ M_{n}(𝕂). Definiamo l’applicazione 𝕂[X] ∋ P ⟼ P (A) ∈ M_{n}(𝕂) (di valutazione in A) ponendo:

P (A) := a_{d}A^{d} + … + a_{1}A + a_{0}I_{n} se P (x) = a_{d}x^{d} + … + a_{1}x + a_{0} ∈ 𝕂[x].

Provare le seguenti affermazioni.

(1) (P + Q)(A) = P (A) + Q(A), (kP)(A) = kP (A) e (P Q)(A) = P (A)Q(A) per ogni P, Q ∈ 𝕂[X] e

k ∈ 𝕂.
(2) Se x ∈ 𝕂^{n} e λ ∈ 𝕂 sono tali che Ax = λx, allora P (A)x = P (λ)x.

Esercizio 5.10. Sia A ∈ M_{n}(𝕂) una matrice triangolare inferiore (rispettivamente superiore) avente tutti gli elementi diagonali a_{ii} diversi da zero. Si dimostri che A è invertibile e che l’inversa A^{−1} è ancora triangolare inferiore (rispettivamente superiore) con elemento diagonale di posto (i, i) uguale a a_{ii}^{−1}.

Matrici a blocchi. Sia 𝕂 un campo, siano m, n ∈ ℕ^{∗} := ℕ \ {0} e sia A ∈ M_{m,n}(𝕂). Spesso è utile partizionare a blocchi la matrice A, cioè scrivere A come segue. Consideriamo m_{1}, …, m_{p}, n_{1}, …, n_{q} ∈ ℕ^{∗} tali che m_{1} + m_{2} + … + m_{p} = m^{1} e n_{1} + n_{2} + … + n_{q} = n per qualche p, q ∈ ℕ^{∗}. Poniamo

A = (A_{ij})_{i,j} = ( \begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1j} & ⋯ & A_{1q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{i1} & ⋯ & A_{ij} & ⋯ & A_{iq} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p1} & ⋯ & A_{pj} & ⋯ & A_{pq} \end{matrix} ) ,

ove A_{ij} ∈ M_{m_{i},n_{j}}(𝕂) per ogni i ∈ {1, …, p} e j ∈ {1, …, q}. Per evidenziare il fatto che gli “elementi” A_{ij} della precedente rappresentazione di A sono matrici, si scrive anche

A = ( \begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1j} & ⋯ & A_{1q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{i1} & ⋯ & A_{ij} & ⋯ & A_{iq} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p1} & ⋯ & A_{pj} & ⋯ & A_{pq} \end{matrix} ) .

Esercizio 5.11. Siano A ∈ M_{2}(ℝ), B ∈ M_{2,3}(ℝ) e C ∈ M_{1,2}(ℝ) le matrici definite ponendo

A = ( \begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}0 & 2 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) , e C = ( 0 1 ) .

Si scriva esplicitamente la seguente matrice a blocchi E ∈ M_{3,5}(𝕂):

E = ( \begin{matrix}A^{T} A & B \\ CA & CB \end{matrix} ) .

Esercizio 5.12. Siano m, n, ℓ ∈ ℕ^{∗} e siano m_{1}+…+m_{p} = m, n_{1}+…+n_{q} = n e ℓ_{1}+…+ℓ_{r} = ℓ partizioni di m, n e ℓ rispettivamente. Consideriamo le matrici a blocchi A = (A_{ij})_{i,j} ∈ M_{m,n}(𝕂) e B = (B_{jk})_{j,k} ∈ M_{n,ℓ}(𝕂) con A_{ij} ∈ M_{m_{i},n_{j}}(𝕂) e B_{jk} ∈ M_{n_{j},ℓ_{k}}(𝕂) per ogni i ∈ {1, …, p}, j ∈ {1, …, q} e k ∈ {1, …, r}. Provare che AB è uguale alla matrice a blocchi (C_{ik})_{i,k}, ove C_{ij} = ∑_{j=1}^{q} A_{ij}B_{jk} ∈ M_{m_{i},ℓ_{k}}(𝕂) per ogni i ∈ {1, …, p} e k ∈ {1, …, r}:

1Una decomposizione di m in somma di interi positivi si dice partizione di m.

AB = ( \begin{matrix}A_{11} & ⋯ & A_{1j} & ⋯ & A_{1q} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{i1} & ⋯ & A_{ij} & ⋯ & A_{iq} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{p1} & ⋯ & A_{pj} & ⋯ & A_{pq} \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}B_{11} & ⋯ & B_{1k} & ⋯ & B_{1r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{j1} & ⋯ & B_{jk} & ⋯ & B_{jr} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{q1} & ⋯ & B_{qk} & ⋯ & B_{qr} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋯ & ∑_{j=1}^{q} A_{ij}B_{jk} & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \end{matrix} ) .

In altre parole, AB si può calcolare effettuando il prodotto “riga per colonna” a blocchi.

Esercizio 5.13. Siano m, n ∈ ℕ^{∗}. Definiamo il prodotto tensore^{2} ⊗ : M_{m}(𝕂) × M_{n}(𝕂) ⟶ M_{mn}(𝕂) tra matrici quadrate di ordine m e n ponendo:

A ⊗ B := ( \begin{matrix}a_{11}B & ⋯ & a_{1j}B & ⋯ & a_{1m}B \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{i1}B & ⋯ & a_{ij}B & ⋯ & a_{im}B \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m1}B & ⋯ & a_{mj}B & ⋯ & a_{mm}B \end{matrix} ) , ove A = (a_{ij})_{i,j}.

Siano A, C ∈ M_{m}(𝕂), B, D ∈ M_{n}(𝕂) e k ∈ 𝕂. Verificare che valgono le seguenti affermazioni.

(1) A ⊗ (B + D) = A ⊗ B + A ⊗ D e (A + C) ⊗ B = A ⊗ B + C ⊗ B.

(2) (kA) ⊗ B = A ⊗ (kB) = k(A ⊗ B).

(3) (A ⊗ B)^{T} = A^{T} ⊗ B^{T}.

(4) I_{m} ⊗ I_{n} = I_{mn}.

(5) (A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AB) ⊗ (CD).

(5′) A ⊗ B è invertibile se e soltanto se A e B lo sono. Inoltre in questo caso, si ha:

(A ⊗ B)^{−1} = A^{−1} ⊗ B^{−1}.

Esercizio 5.14. Provare che il prodotto tensore tra matrici definito nell’esercizio precedente è associativo:

(A ⊗ B) ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C)

per ogni A ∈ M_{m}(𝕂), B ∈ M_{n}(𝕂) e C ∈ M_{ℓ}(𝕂).

Sottomatrici. Sia A = (a_{ij})_{i,j} ∈ M_{m,n}(𝕂). Una sottomatrice di A è una matrice ottenuta estraendo alcune righe ed alcune da A. Più precisamente, dati i_{1}, …, i_{p}, j_{1}, …, j_{q} ∈ ℕ^{∗} tali che 1 ≤ i_{1} < i_{2} < … < i_{p} ≤ m e 1 ≤ j_{1} < j_{2} < … < j_{q} ≤ n, la sottomatrice di A ottenuta estraendo le righe i_{1}, …, i_{p} e le colonne j_{1}, …, j_{q} si indica con A(i_{1}, …, i_{p} | j_{1}, …, j_{q}) e si definisce ponendo

A(i_{1}, …, i_{p} | j_{1}, …, j_{q}) := (a_{i_{α},j_{β}})_{α,β},

con α ∈ {1, …, p} e β ∈ {1, …, q}. Se p = q e i_{α} = j_{α} per ogni α ∈ {1, …, p}, allora A(i_{1}, …, i_{p} | j_{1}, …, j_{p}) si dice sottomatrice principale di A di ordine p. Se in aggiunta i_{α} = j_{α} = α per ogni α ∈ {1, …, p}, allora A(i_{1}, …, i_{p} | j_{1}, …, j_{p}) = A(1, 2, …, p | 1, 2, …, p) si dice sottomatrice principale di testa di A di ordine p.

Esercizio 5.15. Sia A la seguente matrice in M_{4,5}(ℂ):

A := ( \begin{matrix}i & 0 & −3 & −i & −7 \\ 0 & 0 & 2i & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & i & −i & 1 − i \end{matrix} )

Si scrivano: la sottomatrice principale di testa A_{1} di A di ordine 3, la sottomatrice principale (non di testa) A_{2} di A di ordine 4 e la sottomatrice A_{3} := A(1, 2, 4 | 2, 5) di A.

2“⊗” viene anche detto prodotto di Kronecker.

Soluzione: Ecco le sottomatrici richieste:

A_{1} := ( \begin{matrix}i & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 2i \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) , A_{2} := ( \begin{matrix}0 & −3 & −i & −7 \\ 0 & 2i & 0 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ −1 & i & −i & 1 − i \end{matrix} ) e A_{3} = ( \begin{matrix}0 & −7 \\ 0 & 4 \\ −1 & 1 − i \end{matrix} ) . □

Esercizio 5.16 (Fattorizzazione LU). Sia A una matrice in M_{n}(𝕂) avente tutte le sottomatrici principali di testa invertibili. Si dimostri che esistono, e sono uniche, una matrice unitriangolare inferiore L ∈ M_{n}(𝕂) (cioè L è triangolare inferiore e tutti gli elementi diagonali sono uguali a 1 ) ed una matrice tringolare superiore U tali che A = LU.^{3}

3Questa fattorizzazione è una delle tecniche utilizzate in Analisi Numerica per la risoluzione “veloce” di sistemi lineari quadrati: per risolvere Ax = b, si scrive A = LU e si risolvono successivamente i sistemi lineari Ly = b in y e Ux = y in x.

La fattorizzazione LU può essere generalizzata ad ogni matrice in M_{n}(𝕂).