CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 4– GEOMETRIA 1

Esercizio 4.1. Sia V uno spazio vettoriale su un campo 𝕂 e sia {V_{i}}_{i∈I} una famiglia di sottospazi vettoriali di V. Provare che l’intersezione ⋂_{i∈I} V_{i} è un sottospazio vettoriale di V. È vera la stessa affermazione per l’unione ⋃_{i∈I} V_{i}?

Esercizio 4.2 (Esercizio 3.2). Sia ℝ[X] l’insieme dei polinomi in una indeterminata X a coefficienti in ℝ.

• Verificare che ℝ[X] è un gruppo rispetto alla somma tra polinomi.

• Verificare che ℝ[X] non è un gruppo rispetto al prodotto tra polinomi.

• Verificare che ℝ[X] è un anello commutativo con unità rispetto alla somma e al prodotto tra polinomi. È anche un campo con tali operazioni?

• Verificare che ℝ[X] è uno spazio vettoriale reale con la somma tra polinomi e con il prodotto per scalari dato dal prodotto tra polinomi, ove i numeri reali sono identificati con i polinomi costanti.

Esercizio 4.3 (Esercizio 3.3). L’insieme

S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

è un sottospazio vettoriale di ℝ^{3}? Perchè?

Esercizio 4.4 (Esercizio 3.4). Ripetere l’esercizio precedente con l’insieme

S = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1} .

Esercizio 4.5 (Esercizio 3.6). Sia n ∈ ℕ e sia ℝ_{≤n}[X] il sottoinsieme dei polinomi in ℝ[x] aventi grado ≤ n. Verificare che ℝ_{≤n}[x] è un sottospazio vettoriale di ℝ[x].

Esercizio 4.6 (Esercizio 3.8). Sia G il sottoinsieme di ℝ[X] definito ponendo

G := {aX^{2} + a ∈ ℝ[X] | a ∈ ℤ}

a) Mostrare che G è un gruppo rispetto alla somma di polinomi.

b) Dire se G è un sottospazio vettoriale di ℝ[x], motivando la risposta.

Esercizio 4.7. Sia n un numero naturale positivo e sia A ∈ M_{n}(𝕂), ove 𝕂 è un campo fissato. Definiamo i sottoinsiemi A, B e C di M_{n}(𝕂) ponendo

• A := {X ∈ M_{n}(𝕂) | tr(X^{T} X) = 0},

• B := {X ∈ M_{n}(𝕂) | tr(XA − A^{2}X) = 0},
• C := {X ∈ M_{n}(𝕂) | tr(X)A − tr(A)X = 0}.

Dire quale dei precedenti insiemi è un sottospazio vettoriale di M_{n}(𝕂).

Esercizio 4.8 (Esercizio 4.9). Sia

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + (k + 1)z = k, 2x + y + z = 0 } .

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{3}.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente esplicitare S.

Esercizio 4.9 (Esercizio 4.10). Sia

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 2y + kz = k − 1, x − 2y + z = 0, −2x + 4ky − 2z = 0 }

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{3}.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente esplicitare S.

2 FOGLIO DI ESERCIZI # 4 – 2012-2013

Esercizio 4.10 (Esercizio 4.11). Sia S il sottoinsieme di ℝ^{5} definito ponendo

S := {x ∈ ℝ^{5} | x_{1} − x_{2} + 2x_{5} = k, x_{1} + x_{3} + kx_{4} = 0} .

a) Per quali valori del parametro reale k l’insieme S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{5}?

b) Per i valori determinati al punto a) esplicitare S. Esercizio 4.11 (Esercizio 6.4). Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix})

utilizzando il metodo della riduzione a gradini. Esercizio 4.12 (Sernesi, esercizio 3 pag 48). Calcolare 3A^{−1} − AB^{−2}, dove

A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}0 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix})

Esercizio 4.13 (Da Sernesi Esercizio 4 pag 49). Calcolare in ℂ l’inversa, se esiste, delle seguenti matrici:

A = (\begin{matrix}2i & 0 & 1 \\ 0 & 0 & i \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

Esercizio 4.14 (Sernesi- Esercizio 5a pag 49). Risolvere il seguente sistema con il metodo dell’inversa.

\begin{cases}x + y − \frac{z}{2} = 1 \\ 12y − z = 12 \\ x + 3y = 3 \end{cases}