CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 3– GEOMETRIA 1

Esercizio 3.1. Per quale t ∈ ℝ, la matrice

A = ( \begin{matrix}0 & 3t − 2 & −1 \\ t^{2} & 3 & t^{2} + 4 \\ −1 & 4t & 1 \end{matrix} )

è simmetrica?

Esercizio 3.2. Date le matrici

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\ 0 & −\frac{1}{3} & \frac{4}{3\sqrt{2}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

a) stabilire se A è ortogonale e determinare A^{−1};

b) si determini X ∈ M_{3}(ℝ) tale che AX + 3B = 0, dove 0 denota la matrice nulla 3 × 3.

Esercizio 3.3. Siano A, B ∈ M_{n}(𝕂) simmetriche.

a) AB è simmetrica?

b) A + B è simmetrica?

c) A − B è simmetrica?

Esercizio 3.4. Provare che

a) ∀A ∈ M_{n}(𝕂) la matrice A + A^{T} è simmetrica;

b) ∀A ∈ M_{n}(𝕂) la matrice A − A^{T} è antisimmetrica.

Esercizio 3.5. Si dimostri che, per ogni matrice M ∈ M_{n}(𝕂), esistono, e sono uniche, una matrice simmetrica S ∈ M_{n}(𝕂) e una matrice antisimmetrica A ∈ M_{n}(𝕂) tali che M = S + A.

Sia 𝕂 un campo (per esempio ℚ, ℝ o ℂ). Per ogni intero positivo n, denotiamo con M_{n}(𝕂) l’insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in 𝕂.

Esercizio 3.6 (Esercizio 7.18 di Ab-deF^{1}). Si determinino tutte le matrici A ∈ M_{n}(𝕂) che commutano con ogni altra matrice di M_{n}(𝕂), cioè tali che AB = BA per ogni B ∈ M_{n}(𝕂).

Esercizio 3.7 (Prima parte dell’Esercizio 14 di BFL^{2}). Sia A ∈ M_{n}(𝕂) una matrice strettamente triangolare superiore, cioè tale che a_{ij} = 0 per ogni i ≥ j se A = (a_{ij})_{i,j}. Si provi che A^{n} = 0.

Esercizio 3.8. Sia A ∈ M_{n}(𝕂). Una matrice B ∈ M_{n}(𝕂) si dice inversa sinistra di A (risp. inversa destra di A) se BA = I_{n} (risp. AB = I_{n}). Si dimostrino le seguenti affermazioni:

(a) Se B è una inversa sinistra di A e C è una inversa destra di A, allora A è invertibile e vale A^{−1} = B = C.

(b) A è invertibile se e soltanto se A ammette sia un’inversa sinistra che un’inversa destra.

Prima di proseguire con gli esercizi, ricordiamo la nozione di gruppo e definiamo quella di sottogruppo.

Definizione. Un gruppo è una coppia (G, ∗), dove G è un insieme non–vuoto e ∗ è una operazione binaria su G, cioè una applicazione ∗ : G × G ⟶ G, tale che:

(1) ∗ è associativa, cioè a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c per ogni a, b, c ∈ G.

1Ab-deF sta ad indicare l’eserciziario “Esercizi di geometria” di Abate e de Fabritiis.

2BFL sta ad indicare l’eserciziario “Problemi risolti di algebra lineare” di Broglia, Fortuna e Luminati.

(2) Esiste un elemento e di G, detto elemento neutro (rispetto a ∗), tale che a ∗ e = e ∗ a = a per ogni a ∈ G. Si può dimostrare che tale elemento è unico.

(3) Per ogni a ∈ G, esiste un elemento b di G, detto inverso di a (rispetto a ∗), tale che a∗b = b∗a = e. Tale elemento b è unico e si indica col simbolo a^{−1}.

Per semplicità si dice spesso che G è un gruppo, sottointendendo che l’operazione ∗ è stata fissata. Il gruppo (G, ∗) (o semplicemente G) si dice gruppo abeliano se, in aggiunta alle precedenti tre proprietà,

vale anche la seguente:

(4) l’operazione ∗ è commutativa, cioè a ∗ b = b ∗ a per ogni a, b ∈ G. ♢

Osservazione. Quando si parla di gruppi abeliani, usualmente si utilizza la notazione additiva, cioè “∗” si indica con “+”, “e” con “0” e “a^{−1}” con “−a”.

Definizione. Sia (G, ∗) un gruppo con elemento neutro e. Un sottoinsieme G′ di G si dice sottogruppo di G se l’operazione ∗ induce una struttura di gruppo su G′, cioè se valgono le seguenti proprietà:

(1′) e ∈ G′;

(2′) ab^{−1} ∈ G′ per ogni a, b ∈ G′.

Osservazione. Nella definizione precedente la condizione (2′) può sostituita con la seguente: (2′′) ab ∈ G′ e a^{−1} ∈ G′ per ogni a, b ∈ G′.

Esercizio 3.9. Siano n un intero positivo e sia GL_{n}(𝕂) := {A ∈ M_{n}(𝕂) | A è invertibile}. Si dimostri che GL_{n}(𝕂), dotato del prodotto matriciale, è un gruppo (non abeliano se n ≥ 2). Tale gruppo viene detto gruppo lineare generale di ordine n (su 𝕂).

Esercizio 3.10. Sia n un intero positivo. Definiamo:

(a) O(n) := {A ∈ GL_{n}(ℝ) | A^{T} A = I_{n}};

(a′) O(p, q) := {A ∈ GL_{n}(ℝ) | A^{T} I_{p,q}A = I_{p,q}}, ove p, q ∈ {0, 1, …, n} con p + q = n e I_{p,q} è la matrice

diagonale avente i primi p elementi diagonali uguali a 1 e i restanti q uguali a −1;

(b) U(n) := {A ∈ GL_{n}(ℂ) | A^{H}A = I_{n}}, ove A^{H} è la matrice trasposta coniugata di A (anche detta

aggiunta hermitiana di A) definita ponendo A^{H} := (\overline{a_{ji}})_{i,j} se A = (a_{ij})_{i,j}; Dimostrare che:

(α) O(n) è un sottogruppo di GL_{n}(ℝ). Tale sottogruppo si chiama gruppo ortogonale di ordine n e le

matrici in esso contenute si dicono matrici ortogonali di ordine n.^{3} (α′) O(p, q) è un sottogruppo di GL_{n}(ℝ).^{4} (β) U(n) è un sottogruppo di GL_{n}(ℂ). Tale sottogruppo si chiama gruppo unitario di ordine n e le

matrici in esso contenute si dicono matrici unitarie di ordine n.^{5}

Esercizio 3.11. Con le notazioni dell’esercizio precedente, provare che O(n) e O(p, q) sono stabili per trasposizione, e U(n) è stabile per passaggio a trasposta coniugata, cioè

(a) A ∈ O(n) ⟺ A^{T} ∈ O(n);

(a′) A ∈ O(p, q) ⟺ A^{T} ∈ O(p, q);

(b) A ∈ U(n) ⟺ A^{H} ∈ U(n).

Esercizio 3.12 (Esercizio 7.30 di Ab-deF). Dimostrare che, date comunque due matrici A, B ∈ M_{n}(𝕂), vale: tr(AB) = tr(BA). Dedurne che tr(M^{−1}AM) = tr(A) per ogni A ∈ M_{n}(𝕂) e per ogni M ∈ GL_{n}(𝕂).

Esercizio 3.13 (Esercizio 7.31 di Ab-deF). Si dimostri che non esistono matrici A, B ∈ M_{n}(𝕂) tali che AB − BA = I_{n}.

3Il gruppo O(n) viene utilizzato in Meccanica classica.

4Il gruppo O(3, 1) si chiama gruppo di Lorentz. Tale gruppo è di grande importanza in Relatività.

5Il gruppo U(n) viene utilizzato in Meccanica quantistica.